Научная статья на тему 'Энергетические состояния одномолекулярного магнетика при учёте квадрупольного момента методом когерентных состояний группы su(3)'

Энергетические состояния одномолекулярного магнетика при учёте квадрупольного момента методом когерентных состояний группы su(3) Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
87
17
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
SU(3)-СПИНОВЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ / НАНОМАГНЕТИКИ / ОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ МАГНЕТИКИ / ОДНОИОННАЯ АНИЗОТРОПИЯ / КВАДРУПОЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ / SU(3) SPIN COHERENT STATES / NANOMAGNETS / SINGLE-MOLECULE MAGNETS / SINGLE-ION ANISOTROPY / QUADRUPOLE INTERACTIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Саттаров Д.А., Муминов Х.Х.

В работе рассчитаны энергетические состояния одномолекулярного магнетика при учёте квадрупольного магнитного момента методом когерентных состояний группы SU(3), исследован рельеф энергетической поверхности в зависимости от значений параметров одноионной анизотропии: спинового и квадрупольного обмена, а также параметров квадрупольной динамики. Показано наличие дополнительных минимумов в основном состоянии одномолекулярного магнетика при учёте квадрупольного обмена.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Саттаров Д.А., Муминов Х.Х.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Energy states of the single-molecule magnet accounting quadrupole moment at the SU(3) coherent states approach

In this paper energy states of the single-molecule magnet are calculated under the consideration of a quadrupole magnetic moment using SU(3) coherent states approach, the relief of the energy surface depending on values of parameters of single-ion anisotropy, i. e. spin and quadruple exchange, and also the parameters of quadruple dynamics is studied.

Текст научной работы на тему «Энергетические состояния одномолекулярного магнетика при учёте квадрупольного момента методом когерентных состояний группы su(3)»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №1-2_

ФИЗИКА

УДК 537.9+537.6

Д.А.Саттаров,

член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ОДНОМОЛЕКУЛЯРНОГО МАГНЕТИКА

ПРИ УЧЕТЕ КВАДРУПОЛЬНОГО МОМЕНТА МЕТОДОМ КОГЕРЕНТНЫХ

СОСТОЯНИЙ ГРУППЫ SI

Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан

В работе рассчитаны энергетические состояния одномолекулярно ри учёте

квадрупольного магнитного момента методом когерентных состояний группы SU(3), исследован рельеф энергетической поверхности в зависимости от значений параметров одноионной анизотропии: спинового и квадрупольного обмена, а также параметров квадрупольной динамики. Показано наличие дополнительных минимумов в основном состоянии одномолекулярного магнетика при учёте квадрупольного обмена.

Ключевые слова: SU(3)-спиновые когерентн остояни. нетики, одноионная анизотропия, квадрупотвзаимодей

Магнитные наноструктуры вообще и одномолекулярные магнетики (ОММ) в частности проявляют удивительное квантово-механическое поведение и представляют большой интерес, так как могут иметь технологическое применение в устройствах хранения информации и квантовых вычислениях.

Впервые полученный в 1980 году [1] молекулярный магнетик Mnl2Ol2(CHзCOO)l6(H2O)4 (далее Мп — 12) был незаслуженно забыт вплоть до 1991 г., когда в работах [2, 3] были выявлены большой молекулярный магнитный момент и магнитная бистабильность. В 1993 г. Анупам Гарг (Anupam Garg) [4] теоретически предсказал, что магнитное поле может использоваться для управления интер-

ференцией инстантонных траекторий, что должно приводить к периодическому гашению вероятности туннелирования и туннельного расщепления уровней. Далее, при исследовании свойств ещё од-

ного синтезированного ОММ — Fe8O2(OH)12(tacn)6Br8 (далее Fe — 8) [2], наблюдалась периодическая

осцилляция величины туннельного расщепления в магнитном поле, направленном перпендикулярно

Д / • \

легкой оси намагничения [5]. Это согласуется с предположениями Гарга [4].

тользуя метод спиновых когерентных состояний (СКС) группы SU(2), интеграл по траекториям в представлении этих состояний [6-8], Гарг получил квазиклассическое приближение кванто-во-механической задачи.

В данной работе проводится анализ модифицированного гамильтониана модели единого (суммарного) спина (Single-Spin Model). За основу взят гамильтониан для молекулы Мп — 12 в отсутствии внешнего магнитного поля, но с учетом поперечной анизотропии четвёртого порядка [9]:

Адрес для корреспонденции: Саттаров Джамолиддин Абдужабборович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Айни, 299/1, Физико-технический институт АНРТ. E-mail: iristropos@yandex.ru

Н = О ( §2 - ) + К(^ + + Л (^ - ) , (1)

где О > /1 > К > 0 — параметры анизотропии, ( I = х, у, г) — стандартные операторы проекций спина, а 5+ = § х + I §у.

Первый член отражает наличие у системы оси легкого намагничения вдоль оси г , система обладает аксиальной симметрией относительно г; второй член выражает наличие четырёхкратной поперечной анизотропии, это даёт образование четырёх равных энергетических максимумов в плоскости х — у, ось г - ось симметрии С4; третий член увеличивает упомянутые максимумы вдоль оси х и уменьшает максимумы вдоль оси у(см. [9]).

Метод когерентных состояний (КС) является квазиклассическим приближением, в этих состояниях минимизируется соотношение неопределенностей Гейзенберга. Оператор Гамильтона системы усредняется по КС, в которых поведение системы наиболее близко к классическому, а следовательно, можно ограниченно применять гамильтонов формализм. Весь вопрос в том, как проводить усреднение входящих в гамильтониан спиновых операторов п-ой степени. Наша модификация касается второго члена уравнения (1), а именно вида операторов .

В упомянутых работах [4, 10] усреднение проводилось

ах [4, 10] усреднение проводилось по схеме: (СБ^СБ) = (С5\§±Л\СБ)-..,(СБ\§±Л\СБ).

_ , (2)

п сомножителей

Если под | С5 ) понимают КС группы SU(2), отвечающие операторам спина 5 = -, выражение (2) остаётся верным. Однако для спиновых операторов произвольного значения спина независимыми являются лишь его степени от 1 до , то есть оператор будет выражаться через более низкие степени оператора 5г [10]. Таким образом, для спина 5 = ^ все операторы степени выше 1-ой

выразить через линейную комбинацию операторов . Операторы же более высоких степеней будут

выражаться через 1 и 2 степени ( ).

Восемь операторов спина образуют группу , для полноты динами-

ческого описания, отражающего все взаимодействия, определяемые величиной спина, необходимо минимальное количество действительных динамических переменных, равное 45 = 4-1 = 4 [11]. Вид SU(3)-КС выбран в действительной параметризации, предложенной в работе [12]. Учитывая сказанное выше, нами предлагается следующая схема усреднения второго члена уравнения (1) по КС группы :

<С5 | §* | С5) = <С5 | §2 | С5) - <С5 | 4 | С5) = (3)

= <С5 | 4 4 | С5) - < С5 | 4 4 | С5). ( )

Данная модификация позволяет взглянуть на одноионную анизотропию 4-го порядка как на наличие внутреннего квадрупольного взаимодействия, то есть квадрупольный обмен, а также даёт возможность учесть динамику модулей вектора классического спина и квадрупольного момента. По-

пытка учета динамики модулей вектора классического спина и квадрупольного момента впервые была осуществлена в [13], однако усреднение в этой работе проведено по схеме (2). Усредняя второй член (1) по схеме (3), получим:

K(ßt + §ï) = к(<5+5+>•(S,s,) + <s s >■<s s >).

—>

—>

tf(<CS|S+S+|C5) • <CS|S+S+|CS) + <CS|S_S_|CS) • <CS|S_S_|CS)) = ^^^ (4)

Выражение в круглых скобках ассоциируется с квадрупольным магнитным моментом. Хотя при более общем рассмотрении вид среднего квадрупольного момента, полученного в [14], оказывается более сложным:

-«.f.

д2 = СШ • СШ + СШ • &$+> + <5_5_> • <5+5+> + (1 — <44»-. (5)

Стоит отметить, что третий член уравнения (1) мы намеренно усредняем по схеме (2), т. к. <^>(> • <£г> — представляет собой классический аналог спин-спинового («диполь-дипольного») взаимодействия или взаимодействие спина с поперечным внешним магнитным полем; конструкция <^>+^>+> • — взаимодействие «суперспинов»-квадруполей, что является следствием наличия

внутренней структуры «единого спина».

щах D, тогда уравнение э]

Для упрощения, будем измерять энергию в единицах О, тогда уравнение энергии системы (в безразмерном виде) с учётом (4) и всех замечаний по усреднению в (3) примет вид: Ес1 = (Н) = (С5\Н\СБ) =^2[2(1 + Ясо5(2ф))со52(2^)5т2(0) --Б2ксс>5(9)51п(4(р)51п(2д) ((3 + со5(20))5т(2,д)5т(4у) + )^т(2у)5т2(0)) + + ^52&со5(4<р) (зт2(2д) (соз2(2у)(3 + соз2(20)) — 16со52(0)зт2(2у)) + (6)

+ 4со5(2у)(3 + со5(20))5т(2^)5т2(0) + 45т4(0))],

где 0, <, у, д — и есть те самые четыре параметра, описывающие спиновую динамику (углы 0, < сферической системы координат), квадрупольную динамику (угол у описывает вращение квадрупольно-

-------^ - —---------------ния их дл - '"2 ■ -2 —^ ■ - 1 Л

го момента вокруг спина) с учетом сокращения их длин + = cos^(2,g) + sin^(2,g) = 1), Л = —.

D

а вокруг спина) с учетом сокращения и

/s Xj

зуализация энергии (6) в сферических к

Визуализация энергии (6) в сферических координатах (Я^, 0, с учётом изменения параметров Я, fc, 7 выполнена по результатам расчётов в математическом пакете Wolfram Mathematica и представлена на рис. 1 и 2.

ьтатам ра льтатам ра

Рис.1. Э]

¿=0.003

£

кие поверхности ли(3)-модели при значениях параметров: а) Л=0.394, k=g=y=0; б) Я=0, ¿=0.00386, g=Y=0; г) Л=0.383, ¿=0.00438, g=0.2482, у=0; д) Л=0.238, ¿=0.00068, .614, у=0.754; е) 7=0.158, ¿=0.0078, g=0.6095, у=4.687.

я /у г>

гетические поверхности SU(3)-модели п )0386, g=Y=0; в) 7=0.383, ¿

ских по

верхностей показывает, что в случае X=k=g=y=0 энергетическая

Анализ энергети

поверхность аксиально симметрична относительно оси , также явно видны два минимума, при 0 = 0 и в = 7тт/2 , соответствующие ориентации спина вдоль оси легкого намагничения. За образование этих минимумов отвечает первый член в (1).

Рис. 2. Изменения цен к=0.00438, §=у=0; б) X к=0.00438, g=0.17435

ых энергетичес—.....

=0.00438, §=0.108,

).108, у=0; в) Х=0.383, к

зависимости от значений д и у: а) Х=0.383, =0.00438, §=0.174358, у=0; г) Х=0.383,

На рис.1а приведен случай поперечной анизотропии 2-го порядка, со средней осью у и жесткой осью х. Это соответствует значению X, отличному от нуля. При этом вклад от квадрупольного момента отсутствует ( к = 0 ). На рис.1б, наоборот, изображён случай, когда присутствует только квадрупольный момент (Л, = 0 , к 0). В плоскости х-у появляются уже четыре равных энергетических максимума, а также четыре «долины» — локальные минимумы энергии. Увеличение X приводит к асимметрии распределения энергии в направлениях х и у (рис.1в). В случаях, изображённых на рис.1а-в (параметры g=y=0) система ведёт себя аналогично случаю, описанному в [9].

Постепенное увеличение g (рис.1г) приводит к тому, что, во-первых, в экваториальной плоскости растёт отношение максимума энергии к минимуму, во-вторых, поверхность полярного минимума (воронка), постепенно деформируясь, превращается в четыре воронки, «оси» которых посте-

пенно отклоняются от оси г. Динамика такого превращения хорошо просматривается на рис. 2а, 2б и 2в. При больших значениях g (на рис.2в g=0.174358) в долинах возникают дополнительные лепестки, которые хорошо видны на рис. 1д, 1е, 2в и 2г.

Изменение у приводит к кручению основных лепестков (рис.1д). При больших значениях у=4.687 (рис.1е) в экваториальной плоскости возникает кольцевая перетяжка.

Таким образом, проведённый анализ показывает, что последовательный учёт квадрупольного обмена в гамильтониане ОММ в рамках подхода SU(3) КС приводит к более полному учёту квадру-польной динамики и, соответственно, к появлению дополнительных минимумов в основном состоянии. Последнее неизбежно приведёт к появлению дополнительных каналов туннелировани ветственно, к более богатой картине туннельного расщепления в ОММ.

ЮМ COCIOM-

юв туннелирования и, соот-

Поступило 25.10.2016 г.

\

1. Lis T. - Acta Crystallogr, 1980, B36, pp.2042-2046.

2. Caneschi A. et al. - J. Am. Chem. Soc., 1991, v. 113, pp.

3. Sessoli R., Gatteschi D., Caneschi A., Novak M.A. -

ЛИТЕРАТУРА ЛИТЕРАТУРА

p. 5873-5874.

iature, 1993, v.365, pp. 141-143.

5. Wernsdorfer W., Sessoli R. - Science, 1999, v.284, pp.133-1

4. Garg A. - EuroPhys. Lett., 1993, v.22(3), pp.205-210.

6. Kuratsuji H., Suzuki T. J. - Math. Phys., 1980, v.21(3), pp. 472-476.

7. Klauder J.R. - Phys. Rev. D, 1979, v.19, №8, pp. 2349-2356.

8. Kochetov E.A. - J. Math. Phys., 1995, v.36, №9, pp.4667-4679.

9. Foss-Feig M.S., Friedman J.R. - EPL, 2009, v.86, №2, Article I 002, pp.1-6.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики: т.3. Квантовая механика (нерелятивистская теория)/ Под ред. Л.П.Питаевского. - М.: Физматлит, 2008, 800 с.

11. Ostrovskii V.S. - Sov. Phys. JETP, 1986, v.64(5), pp.999-1005.

12. Абдуллоев Х.О., Муминов Х.Х. - ФТТ, 1994, т.36, №1, с. 170-178.

13. Yousefi Y., Muminov Kh.Kh., Quadrupole excitation in tunnel splitting oscillation in nanoparticle Mn12. - Advances in Condensed Matter Physics, 2012, article ID 530765, pp. 1-4.

14. Муминов Х.Х., Теоретические исследования и математическое моделирование некоторых спиновых систем: Автореф. дисс. ... к.ф.-м.н. — Дубна: ОИЯИ, 1992.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

/С4 ч/V V

Ч,.А.Саттаров, ад.Муминов

ХРЛАТХРИ ЭНЕРГЕТИКИИ МАГНЕТИКИ ЯК-МОЛЕКУЛЙ ДАР НАЗАРДОШТИ ГАШТОВАРИ ЧА^ОРКУТБЙ ТАВАССУТИ УСУЛИ ХРЛАТХРИ КО^ЕРЕНТИИ ГУРУ^И SU(3)

Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Дар маколаи мазкур долатдои энергетикии магнетики як-молекулй бо назардошти гаштовардои чадоркутбии магнитй тавассути усули долатдои кодерентии гурудй SU(3) дисоб карда шуда, релиефи сатди энергетикй вобаста аз киматдои параметрдои гайридамсонгардии

як-ионй, яъне мубодилаи спинй ва чадоркутбй, ва инчунин параметрдои динамикаи чадоркутбй тадкдк; карда шудааст. Мавчудияти минимумдои иловагй дар долати асосии магнетикдои як-молекулй дар назардошти мубодилаи чадоркутбй нишон дода шудааст.

Калима^ои калидй: холатуои коуерентии спинии SU(3), наномагнетищо, магнетищои як-молекулй, гайриуамсонгардии як-ионй, мубодилаи ча^орцутбй.

D.A.Sattarov, Kh.Kh.Muminov ENERGY STATES OF THE SINGLE-MOLECULE MAGNET ACCOUNTING QUADRUPOLE MOMENT AT THE SU(3) COHERENT STATES APPROACH

S.U.Umarov Physical-Technical InstituteAcademy of Sciences of the Republic of Tajikistan

In this paper energy states of the single-molecule magnet are calculated under the consideration of a quadrupole magnetic moment using SU(3) coherent states approach, the relief of the energy surface depending on values of parameters of single-ion anisotropy, i. e. spin and quadruple exchange, and also the parameters of quadruple dynamics is studied. Key words: SU(3) spin coherent states, nanomagnets, quadrupole interactions.

gle-ion anisotropy,

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.