CC BY
39
УДК 669.713.7
А. А. Кишкин, В. П. Леонов, Е. В. Черненко
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОТОКА В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ТУРБОМАШИН
Проведен расчет пространственного пограничного слоя для центробежных компрессорных машин, работающих практически на любых газах. Получено интегральное соотношение уравнения энергии теплового пространственного пограничного слоя.
E-mail: crio@power.bmstu.ru
Ключевые слова: уравнение энергии, коэффициент теплоотдачи, пространственный пограничный слой.
Расчеты пространственного пограничного слоя (ППС) наиболее актуальны для таких турбомашин (ТМ), как малорасходные холодильные центробежные компрессорные машины (ЦКМ) с холодопроизво-дительностью Q0 не более 10 кВт. Размеры проточной части таких машин, особенно ширина рабочего колеса на выходе, могут составлять не более 1 мм. Что касается турбодетандеров (ТД), то эти машины могут работать в области одной или двух фаз [1]. Газопаровыми ТД (в отличие от влажно-паровых турбин, работающих на водяном паре) называются детандеры, в которых процесс расширения начинается в газовой области, а заканчивается в области влажного пара. Жидкостно-паровыми считаются ТД, работающие на вскипающем потоке. Жидкостной ТД представляет собой криогенную турбину. Такие ТД работают на различных веществах, в том числе и на гелии. В теории ТМ при разработке математических моделей выделяют несколько основных конструктивно-граничных элементов: межлопаточный канал рабочего колеса и направляющего аппарата (диффузора и соплового аппарата); подводящие и отводящие устройства; зазор между ротором и статором встроенного электродвигателя в ЦКМ. При определении функциональных взаимосвязей отдельные элементы заключаются в общую модель ТМ. Для сжимаемых рабочих тел отделить механическую задачу об изменении кинетической энергии потока от тепловой невозможно, учет необратимости и неадиабатности течения в элементах ТМ требует определения функций для локального напряжения трения и коэффициента теплоотдачи. Полуэмпирические интегральные методы теории пограничного слоя (динамического и температурного) в большей мере рассматривают плоские (двумерные) модели для линейных задач. Вращение ротора ТМ используется как основное техническое движение, линии тока в проточной части имеют форму спирали или окружности. Если линии тока искривлены, то кроме продольного пе-
репада давлений в потоке имеется также поперечный перепад давления, уравновешивающий действие центробежных сил. В пограничном слое, в котором давление внешнего потока передается без изменений, это равновесие нарушается, поскольку центробежная сила вследствие снижения скорости становится меньше. Равновесие восстанавливается под действием сил трения вторичного течения в пограничном слое, направленного противоположно поперечному градиенту давления, т.е. от вогнутой стороны линии тока внешнего потока. Скорости вторичного течения, переменные по толщине слоя и направленные в центр кривизны линий тока, вызывают в пограничном слое и на поверхности тела поперечные касательные напряжения. Таким образом, суммарное касательное напряжение на поверхности тела в общем случае не совпадает с направлением линий тока внешнего потока, как это имеет место в плоском или осесимметричном пограничных слоях. Поле скоростей вторичного течения может иметь сложную структуру и изменять свое направление по толщине слоя.
Появление вторичного течения характерно для ППС и приводит к отклонению направления линий тока внутри слоя по сравнению с линиями тока внешнего потока. В пространственных слоях используют понятие донных (предельных) линий тока, расположенных в непосредственной близости от поверхности и совпадающих с направлением суммарных касательных напряжений, действующих на поверхности. Отклонение донных линий тока от линий тока внешнего потока характеризуется углом скоса донных линий тока, зависящим от интенсивности вторичных течений. Суммирование в каждой точке соответствующих параметров вторичного и первичного течений дает действительные параметры пространственного потока через лопаточную решетку рабочего колеса и направляющего аппарата.
Несмотря на многочисленность исследований вторичных течений в решетках, до настоящего времени отсутствуют надежные теоретические и практические рекомендации по выбору значений коэффициентов вторичных потерь и теплоотдачи.
Для решения задачи локального теплообмена при поперечном градиенте давления потока на внешней границе пограничного слоя, как правило, используются интегральные соотношения динамического и теплового ППС. Необходимо отличать плоский (двумерный) пограничный слой и пространственный (трехмерный) с течением, индуцированным поперечным градиентом давления [2]. В классической постановке интегральное соотношение уравнения энергии теплового ППС представляет собой дифференциальное уравнение с двумя неизвестными: толщиной потери энергии и локальным коэффициентом теплоотдачи.
рСр— = div q + ^Ф + p div с + e,
(1)
Общее уравнение энергии в операторной форме [3] запишем в виде dT dr
где (с учетом р = const) с = и + и + w — дивергенция абсолютной скорости, равная нулю. Следовательно, в уравнении энергии (1) не учитывается работа сил давления
p div с = 0. (2)
Дивергенцию удельного теплового потока в естественных криволинейных координатах можно представить как
div д = div (grad ЛТ) = У2(ЛТ) =
1
H^Hy И,ф
^ (xdTHyH
др \ др И
+ JL(xdTRH
dy V dy Hy
+
iöTH^Hy
дф \ дф H,ф
(3)
Учитывая, что при анализе масштаба значений автор работы [2] оставляет только члены с координатой, ортогональной поверхности
д
(члены с —-), тогда выражение (3) с учетом Л = const примет вид
dy'
V2(AT) =
Л
д (дтщ H
HvHy H ду \ду H
(4)
Полную производную по температуре в естественных криволинейных координатах запишем как
ЯТ dт
дт dTdp ±_dTdi JLдГ^Ф.
дт Hv др dt Hy ду dt H^ дф dt '
окончательно выражение для полной производной получим в виде
ЯТ _дТ и дТ и дТ т дТ Ят дт Нф др Ну ду И,ф дф'
(5)
Диссипативная функция в естественных криволинейных координатах имеет вид
Ф = 2
1 ди
H др
+
1 ди
Hy дУ
+
1 дт\'
-
H дф J
+
1 ди 1 ди
Hy ду H др,
2
2
1 dw 1 ди\2 /1 du 1 dw
+ \ й др + Иф дф) + \ Иф дф + Ну ду) ' (6)
С учетом масштабов значений автор работы [2] оставляет в дисси-
ди дь)
пативном члене только члены с —- и ——, тогда уравнение (6) упро-
ду ду
стится:
^ / 1 ди\2 / 1 &ш\2
ф = (й еи) + (,й ау) ■ (7)
Зная выражения (2), (4), (5) и (7) и то, что внутренних источников теплоты нет (е = 0), уравнение (1) принимает вид
/от ^дт ьдТ
Р ~ёт + Н др + НУ ~ду + Иф дф
X д (дТНф Н
1 + V
1 ди\2 /1 dw
Ну ду) V Н дУ
(8)
H^HyИф dy V dy Hy
Учитывая, что Hy = 1, а коэффициенты Ламе Иф = const и Hv = const при интегрировании по оси y и течение — установив-
дТ
шееся, т.е. —— = 0, запишем окончательное уравнение энергии для
дт
пространственного пограничного слоя в естественной криволинейной системе координат:
u дТ дТ w дТ
рСр\Н dp + U ду + Нф дф]
д2Т
= V+V
ди\ / dvj ду) V дУ
(9)
Проинтегрируем уравнение (9) по координате у в границах толщины пограничного слоя. При этом учтем выражение для скорости V (нормальной граничной поверхности), полученное из уравнения неразрывности [2]:
(у у
I ^ *+1 ^ *
0 0
Последовательно проинтегрируем члены уравнения (9), начиная слева. По существу рассматривается функция (Т — Т0), где Т — температура в пограничном слое; Т0 — температура стенки:
[ и д (Т — %).
-¿у =
J Н dp
о
2
2
2
5 5
1 [д (u (T - To)). 1
и„] др ¿у—((Т—Т0) д£)"у=м- (10)
00
После интегрирования и преобразований получаем выражение для интеграла второго члена
5 / 5 \ 5
[у—<1у = — (Т5 — ТО I [ иЛу \ — (Т5 — Т0) дйф Г —
.1 др Щ др\ У ЩИф др У
0 \0 / 0
5 \ 5
(Т5 — Т0) д I 5 Ыу) — ^ 5 Ыу+
Иф дф \J / И-Щ дф
oo
5 5
1 дИф Г , 1 Г du ,
+ м-иф. wJ (T - To) ui»+h-J (T - To)
oo
5 5
hH: °Hf J'(T - To) wdy + Иф j(T To)
oo
где Т 5 — температура на внешней границе пограничного слоя. Интеграл третьего члена определится как
5
Г ь д (Т — Т0)
у Иф д— ¿у = 0
5 5
1 [д (ь (Т — ТО), 1
1 Г dw
dy - — (T - To) —dy = A3. (12)
Иф J дф
Иф J дф Иф
о о
Учитывая выражение для удельного теплового потока
д (Т — Т0)
q = X-
дУ
получаем интеграл четвертого члена (с учетом закона Ньютона-Рихмана д = ¿^/¿Б = а (Т 5 — Т0))
5
л / ^ ¿У =
0
д
= ! ^дйу = = Яд - до = -до = -а (Тд - То) = А4. (13) о
Для пятого члена уравнения (9) необходимо отметить, что для турбулентного пограничного слоя вязкое слоистое течение реализуется в
ди дь
тонком подслое о\, где эпюра скорости линеина и —— и —— постоянны.
ду ду
Аналогично толщине потери импульса динамического ППС [2] вводится понятие толщины потери энергии температурного пограничного слоя:
5
и (л Т - То и V Тд - То
= / 77 ( 1 - ) dy, (14)
о
= I -г ( 1 - ) dy (15)
ь Л _ Т - То
„ и V Тд - То
о
— толщины потерь энергии теплового ППС в продольном и поперечном направлениях соответственно.
Окончательно получаем выражение для интегрального соотношения уравнения энергии ППС:
+ д ) + ЗЩ „, + днЕ „ =
Ну др + Щ дф + ЩЩ др * + нщ дф ьф
а Ту0 (1 + е2)
рСри рСр (Тд - То)'
а
где = — критерии Стантона.
рсри
Выводы. Получено интегральное соотношение уравнения энергии теплового пространственного пограничного слоя, позволяющее вести интегрирование при поперечном градиенте давления по граничным поверхностям проточноИ части и других узлов турбомашин.
S
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Давыдов А. Б., Кобулашвили А. Ш., ШерстюкА. Н. Расчет и конструирование турбодетандеров. - М.: Машиностроение, 1987. - 232 с.
2. К и ш к и н А. А., Черненко Д. В., Черненко Е. В. Уравнения импульсов трехмерного пограничного слоя // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - Новочеркасск. - № 4. - 2007.
3. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1969. - 744 с.
Статья поступила в редакцию 1.07.2010
