CC BY
3
УДК 537.312.9
Емшричш модел! залежное^ електричних napaMeTpiß компонентов штегральних мжросхем вщ зовншнього тиску
Зилеслч М. О., Кучернюк П. В.
Нацншалышй тохшчшш ушворситот Укра'ши "Ки'шський иолггохшчшш шетитут ¡Moni 1горя СЛкорського"
E-mail: huchernuk&kpi.ua
Одиим з фактор!в, що впливають па електричш характеристики i параметрп штегралышх мшросхем, е зовшшшй тиск, якпй пайчасташе випикае в результат! процеов розшаруваш1я в корпус! мшросхеми. Шд д!ею тиску ширина заборонено! зоии патвпров1дпика змпиоеться, що иризводить до змши електричних параметр!в активпих i пасивпих компопептав штегралышх мшросхем (IMC). Сучасш модел! залежпост ширшш заборонено! зопи в!д тиску дуже спрощеш, не забезпечують точност! моделюваипя в широкому д!апазош зпачень тиску. що не дозволяв розробити адекватш математичш модел! пашв-иров1дникових компопептав для подалыного влвчешя вплнву тиску па електричш характеристики i параметри IMC. Для побудови бглын точпо! математичпо! модел! залежпост! ширшш заборонено! зопи кремшю в!д зовшшпього тиску було експеримепталыю досл!джепо вплнв тиску па електричш параметри штегралыюго резистора, дюда та бшолярпого транзистора, як! е компонентами спегцаль зовапо! IMC. Bnöip пасивпих i активпих компопептав для експеримепталышх досл!джепь дозволив виключити вплнв особливостей техполопчпих процеов впготовлешш i отримати бглын достов!рш даш для подалыно! побудови апроксимагцйпо! модель Досл1джеппя проводилися в д!апазош тиск!в в!д 0 до 25 ГПа. Вим1ри проводилися па спегцалыю скопструйовапому вим1рювалыюму степд!. Степд дозволяв проводити високоточш вим1рюваппя опору штегралышх резистор!в, ВАХ-дюд1в i трапзистор!в шд д!ею регульовапого тиску, що прикладаеться до поверхш пасивпого або активного компонента, реаль зовапого па кристал! IMC. Похнбка вим1рюваппя цього стенду визпачаеться похпбкою мультиметра i становпть ±0,001 В за напругою i ±0,0001 А за струму. Датчик зусилля вносить похибку в ±0,025 Н. Отримапо вирази для визпачеппя зпачеппя ширшш заборопепо! зопи через експеримептальш значения опору резистора i струму через дюд при пульовому тиску i певшй величин! тиску, що дозволило побудувати емшричпу модель залежпост ширшш заборопепо! зопи кремшю в!д тиску. Показано, що класичпа лшшпа модель не в!дображае реального пелипйпого характеру тако! залежпост!. Запропопо-вапо утошпоючий пелшшпий коефщ!епт i проведена сер!я обчислювалышх експеримептав для вибору оптимального методу апроксимацп експеримепталышх даш1х. В обчислювалыюму експеримепт! булп досл!джеш так! методи апроксимацп, як степепевий, логарифм1чпий, гшербол1чшш i експопептпий. Bei розрахупки проводилися з використаппям MATLAB R2016a. Для шдвшцеппя точпост! апроксимацп в розрахупках використовувалося 25 експеримепталышх точок. Наймепша в1дпоспа похибка апроксимацп отримапа для гшербол1чпо! апроксимацп. В рамках гшербол1чпого паближешш побудовапа емшричпа модель залежпост! ширшш заборопепо! зопи кремшю в!д зовшшпього тиску, похибка яко! по перевищуе '2% в д!апазош тисшв в!д 0 до 25 ГПа. На основ! запроиоповаио! емшричпо! модел! залежпост ширшш заборопепо! зопи кремшю в!д тиску побудоваш емшричш модел! в1дпов1дпих за-лежпостей опору штегралыюго резистора i струму через штегралышй дюд. Запропоповапо корегуюч! коефкцепти, як! дозволили зш1зити в1дпоспу похибку модел! для опору до 11%, для струму до 25%. Отримапа точшеть моделей дозволяв використовувати !х для подалыних досл!джепь вплнву тиску па електричш характеристики IMC.
Ключоег слова: деформагця: тиск: заборопепа зона: деламшагця: модель: апроксимац1я: пров!дшсть: густила струму: пашвпров1дпик
DOI: 10.20535/RAD АР. 2021.85.60-68
Вступ
Одшяо з актуальных задач проектування in-тегралышх мшросхем (IMC) е дослщження впли-
ву зовшшшх фактор1в на вихвдш характеристики для подалыного вгоначення основних фактор1в. що впливають на роботу мшросхеми. Сород основних фактор1в впливу найпоширон1шим с мехашчний
tuck (зовшшнш або внутршшш), що виникае внас-дшок мехашчних пошкоджень, особливостсй умов сксплуатацп або через дсламшащю [1]. Сучасна теоретична бала чистить нсдостатньо повне описания ф1зики процссу дсламшащйного впливу (псрсва-жас теоретична шформащя) [2. 3]. а також описано дскшька cnoco6iB визначити змшу слсктричних характеристик KpeMiiiio шд д1яо тиску у вшжцц математичних моделей [3 6]. Головною причиною змши слсктричних парамстр1в мшросхсми шд д1яо тиску виступас змша ширини заборонено! зони. Bi-дохй на сьогодш матсматичш модат даного впливу [4. 7, 8] не спроможш забезпечити достатшй р1вень T04ii0CTi для схсмотсхшчних модслювань, оскшьки с надто спрощеними або мають забагато припущень, яш унсможливлюють i'x використання для схемо-техшчного анал1зу та опттизацп. Метою роботи с експериментальне дослщжсння впливу тиску на слсктричш параметри нашвпровщникових компоненте та побудова емшричних моделей тако! зале-жноста для подалыного застосування у програмах схсмотсхшчного проектування IMC.
1 Основна частина
На сьогодш icnyc достатня кшьшеть наукових роби, в яких досить вичерпно описано yci аспекти впливу мехашчного тиску па нашвпров1дников1 ма-тср1али [4.6.9]. Ряд po6iT присвячсш достджоншо впливу тиску па концентрацпо носив у нашвпровщ-никах [3.7]. дослщжсншо залсжноста електропроввд-nocTi нашвпровщнишв ввд дп тиску. а також досль дженшо процейв гснсрацп-рскомбшацп [10]. Анал1з цих po6iT дозволяс зробити висновок, що причиною 3Miini слсктричних характеристик с змша ширини заборонено! зони шд впливом тиску та вплив тиску на механ1зми розсповання, яш визначають рухли-в1сть iiocii'b. Опрощена модель залсжноста ширини заборонено! зони нашвпровщника вщ тиску мае та-кий вигляд [11]:
Ед (X) = Едо - аХ,
прямо пропорщйно. Константа, що визначас вплив деформацп також обрана ссрсдшм значениям серед навсдсних у довщникових джерелах [3]. Зважаючи на yci спрощсння та припущення, яш використову-вались при виведенш залсжноста (1). можна зробити висновок про i'l недостатшо точшеть. Також вщеутш матсматичш модсл1 залсжноста рухливоста iiocii'b заряду в1д тиску. яш можна було б викори-стати в математичних моделях нашвпровщникових KOMnoiieiiTiB з метою дослщжсння впливу високих значеиь тиску на слсктричш характеристики IMC.
Враховуючи, що проведения експеримеиталышх дослщжень впливу тиску на ширину заборонено! зони нашвпровщнишв та рухлившть носив з метою побудови бшын точних математичних моделей потребус досить потужно! скспсримснталыго! ба-зи. в робота було прийнято piinciura дослщжувати не ф1зику вщповщних процеав у нашвпровщнику, а бсзпоссрсдшй вплив тиску на базов1 слсктричш параметри компонентав бшолярних IMC (onip штс-гралышх резистор1в. струм через дюдну структуру. косфщснт шдсилення за струмом бшолярного транзистора). Bn6ip саме цих штегралышх компо-iieiiTiB обумовлений особливостями спсщал1зовано! IMC, для подальшого схсмотсхшчного анал1зу яко! i планусться використати модель що розробляються.
Питома слсктропровщшсть кремнпо визначас-ться наступним виразом [11]:
= е(рр^р + пр^п),
(2)
де ai — питома провадшеть; е — заряд електрона; рр i пр — концентрация основннх i неосновннх носив вщ-иовщно; — рухлившть основних i неосновннх
iiocii'b заряду вщповщно.
Залежи1сть концентрацп основних i неосновннх iiocii'b заряду в кремни р-типу в1д ширини заборонено! зони описуються наступними р1вняннями [11.12]:
Рр
Nr.
(1)
+ Na 6X4 rT
де Едо — ширина заборонено! зони за нормаль-них умов, яка дор1внюе 1,12 еВ; Ед (X) — ширина заборонено! зони шд впливом тиску; а — бари-чний коефщ1ент; X — тиск, що д1е на кремн1й. Баричний коеф1щент для кремшю становить 3, 57 х 10-11 еВ/Па.
Експеримеиталышм шляхом було отримано модель ( ). Коеф1щент а е середн1м значениям мЬк експерименталышми та теоретичними даними. При цьому були зроблош припущення, що змша ширини заборонено! зони шд д1яо тиску вщбувасться
40
= Wa expl rT
(3)
(4)
де щ0 — власна концентращя носив заряду; Na — концентращя акцепторно! дом1шки; г - стала Боль-цмана; Т - температура.
R
I
aiS'
(5)
де I — довжнна резистора; S — площа поперечного nepepi3y резистора.
2
R
Nr
I ™vo -+ €е
Ед(Х) гТ
)vp) + (
+ I е-
^ Na е
Eg (X) гТ
(6)
е
3 урахуванням вираз1в (2-5) отримаемо мате-матичну модель впливу тиску на onip кремшевого резистора. роатзованого в р-область
У температурному доапазош, який ввдповщае облает власно! електропроввдност легованого на-швпроввдника, виконуеться сшвв1дношення рр « np [11]. 3 урахуванням piBiramra тсрмодинам1чно! piB-новаги
2 -Ед (X)
р х п = п20е гт , вирази (2) та (5) можна записати у виглядо [11]:
-Ед (X)
а = где
R
Ед (X)
R0e .
R
Ед (X) = Ед0 - 2rТ ln R.
Rt.
J =е
f Dp Dn \ f ^U^ \
ЫРр + DTnnp) Легт -1
J = лДёгТ) • Pnx — +np, — )
p n
(
e rT
n p
Вираз (12) демонструе дрейфову складову пов-iio'i густини струму дюда. Пров1вши деяш додатков1 математичш дп та зробивши подстановку з попере-дшх формул, отримаемо математичну модель зале-жносп струму через дюд ввд зовшшнього тиску:
J = у/(е гТ)
40
Nd
-Ед(Х)
,-J) + (пке
rj + \Na
(8)
(9)
-Ед{Х1 I U,.
^T 1
um e rT
- 1
(13)
Для подальших доелвджень зробимо наступш припущення. Характер залежноста електропровщ-носп кремшю ввд ширини заборонено! зони при ым-натних температурах ввдповвдас власшй електро-проввдносп 1 визначаеться виразом (8). Рухливкть носив заряду, яка визначаеться мехашзмами розй-ювання на акустичних фонолах, дефектах кристаль чно1 реиптки та атомах юшзованих домшок [11.12]. не заложить ввд змши ширини заборонено! зони та тиску. Корсктшсть цих ирипущень перев1римо в ход1 подальших оксиеримонталышх досшджонь.
Використовуючи вираз (9) можна визначити вплив при нульовому тиску До та певнш величин! тиску X — Дх на ширину заборонено! зони:
Використовуючи вираз (13). у припущенш ступ
складових струму (електронною або д1рковою) можна знехтуватн. Вплив тиску па ширину заборонено! зони можливо визначити за допомогою анал1зу ввдношень струму дюда:
Ед (X )=Ед0 + гТ ln ^ .
(14)
(Ю)
Вплив тиску на вольт-амперну характеристику (ВАХ) дюда проявляться у змии вихщного струму при незмшнш напру з1 прямого змщення. Густн-на струму р-п переходу заложить ввд коицентрацп основннх та ноосновних носив заряду 1 визначаеться за наступною формулою [12]:
(И)
J Dn Dp
дпфузГ! електрошв i д1рок вщповщио; Ln i Lp — дифузппп довжини електрошв у р-обласп i д1рок у п-обласп вщповвдио; Um — напруга прпкладена до переходу.
Внкорнставшн сшввщношення мЬк дифузшни-мн довжннамн i часом жнття iiocim, а також сшв-ввдношення хйж рухливштю носив заряду i коефщь ентом дифузи, густпну струму можна представптп у наступному вигляд1 [12]:
- 1) , (12)
Коефщент шдсилеиня за струмом ft е одним з найважливших параметр1в бшолярного транзистора i визначаеться як ввдношення струму колектору до струму базп. Якгцо для моделювання струму колектору можна використати вираз типу (13). то струм бази визиачасться рекомб1нащйними проце-самн в 6a3i i icnyiOTb тшьки eMnipnniii внразн для його моделювання. Це не дозволяс побудувати тео-ретичну модель та зробити висновки. як1 фактори будуть визначати залежн1сть струму бази ввд тиску. Таку залежн1сть можна встановити тшьки експери-менталышм шляхом.
Для експернменталышх доелвджень впливу зов-iiimiiboro тиску на розглянуп внще електрнчн1 па-раметрн компоиеит1в б1полярних IMC було проведено цикл експернмент1в. Втирювання проводнлнея за допомогою спещально розробленого вим1рюваль-ного стенду [13]. Стенд дае можлив1сть проводити Biic0K0T04iii втирювання опору 1итегралышх рези-CTopiB. В АХ дюд1в та транзпстор1в пвд впливом ре-гульованого тиску. який прикладаеться до noBepxni пасивиого чи активного компоненту. реал1зованого у крнстал1 IMC. Похнбка внм1рювання опнеаннм прпстроем пояснюеться похпбкою мультнметра ± 0,001 В для напруги та ± 0,0001 А для струму. Дода-
ткова похибка визиачасться датчиком вим1рюваиия ±
Проведено експеримент, за допомогою якого ви-значено вплив Mexaniniioro тиску па коефщент пвд-силення (за струмом), суть якого полягае у BiiMipio-Bainii струму колектору та бази. Дослвджения проводилось з штегралышм ri-p-ri транзистором, який було ув1мкнуто за схемою 3i сшлыпга емиером. П1д час проведения експерименту напруга на база-ем1терному переход! становила 0,7В, лабораторним блоком жнвлення визначався внхвдннй струм бази. При визначеш напруги колектор-ем1тер струм
х
r'T
X
2rT
но обмежувався, напруга складала 9 В. Результата втирювань наведеш в Таблищ 1.
3 експсрименталышх даних видно, що коофшд-ент шдсилоння за струмом но змпиоеться шд впли-вом тиску (незначш вщхилення можна пояснити похибкою втпрювань). Цо дозволяв зробити висно-вок, що. нсзважаючи на р1зш ф1зичш мехашзми (дройфовий для струму колектору та рекомбша-щйний для струму бази), характер залежноста цих струсив в1д зовшшнього тиску с однаковим.
Для дослщжсння виливу тиску на ошр ште-грального резистора, струм через штегралышй дгод та ширину заборонено! зони було проведено два цикли окспориммтв. В першому цикл1 втпрював-ся ошр штегралыгого резистора (номшал 125 кОм) при прикладанш зовшшнього мехашчного тиску. У другому цикл1 для дгода проводилося втпрюван-ня ВАХ. При цьому площа розр1зу (поперечного) для такого дюда становила 2, 75 х 10-8 см2. Шд час проведения експсрименту напруга прямого змще-ння шдтримувалася незмшною 1 становила 0.3 В. На дгод ирикладався зовшшнш мехашчний тиск 1 фшсувалося значения струму через дюд. Для виключення впливу саморозшр1ву нашвпровадника при щхтканш струму через нього, останшй було обмежеио величиною 30 мА. При цьому температура кристалу знаходилась у доапазош 20 24 градусп за Цсльмсм.
Розультати окспориммтв наведеш в Таблищ 2. Щкавим с то. що при збшыненш тиску поиад 25 ГПа для поршого експсрименту значения неможливо бу-
Табл. 1 Експоримеиталыю значения коефщента шдсилоння за струмом вщ тиску
Тиск. ГПа 0 1 5 10 15 20 25
1кЛ 2,02х10-6 9,28х10-6 1,48х10-5 7,23 х10-4 4,07 х 10-3 1,48х10-2 2,80х10-1
hA 2,02х10-8 9,10 х10-8 1,47х10-7 7,31 х10-6 4,03 х 10-5 1,50х 10-4 2,91 х10-3
Р 100 102 101 99 101 99 99
Табл. 2 Залсжшсть опору штегралыгого резистора та вихщного струму штегралыгого дюда вщ тиску
Тиск, ГПа 0 1 5 10 15 20 25 30 35 40
Onip, Ом 125000 68758 21279 5625 1753 487,5 108 16,54 3,78 0,715
Струм, А 3,60 х10-9 4,90 х 10-8 3,10 х10-7 2,50 х10-6 3,80 х 10-5 7,70 х 10-4 2,0 х10-2 >3,0 х10-2 >3,0 х 10-2 >3,0 х10-2
Отримаш ексисрименталыи розультати дозволя-ють зробити висновок, що кшуюча лшшна модель залсжносп ширини заборонено! зони вщ тиску (1) мае прийнятну для подальшого застосування по-хибку моделюваиия лише при значениях тиску до 5 ГПа. При збшынеш тиску модель (1) вже но в1д-ображас реалышй характер залежность
Оскшьки характер залсжносп ширини заборонено! ЗОНИ в1д тиску с нслшшним, доцшыго викори-стовувати насту пне р1вняння:
ло втпряти у зв'язку з обмежоннм функщоналом мультнметра (значения мешш шж роздшьна зда-тшеть). Для другого доипджоння за д11 того самого тиску значения иеровищували введеш обложения (захист ввд впливу саморозпдлву). Тому, для подальших розрахуншв 1 побудови моделей внкорн-стовуватнмуться даш, отримаш при тиску до 25 ГПа включно. На шдстав1 отриманих експоримеиталь-них результате з використанням вираз1в (10) 1 (14) було розраховано значения параметру Ед(Х) щл р1зних величинах тиску 1 проведено пор1вняння з моделлю (1) (Табл. 3. Рис. 1).
1.2 1 0.8
!0.6 0.4
0.2
0
-Eg(X) резистор -Eg(X) дiод Eg(X) модель
10 20 Тиск, ГПа
Рис. 1. Залежшсть значения Ед (X) в!д тиску
Вщхилення М1ж отриманими значениями ширини заборонено!* зони для двох проведених екс-перимент!в не перевишу е 5%, що може слугувати шдтвердженням коректност! зроблених вище при-пущень при отриманш вираз!в (10) та (14).
0
30
Табл. 3 Пор1вняння експериментальних результат!в з моделлю (1)
Тиск. ГПа 0 1 5 10 15 20 25
Ед (X ),еВ резистор 1,12 1,08 1,02 0,96 0,90 0,84 0,75
Ед (X ),еВ дюд 1,12 1,05 1,00 0,95 0,88 0,80 0,71
Ед (X ),еВ модель (1) 1,12 1,08 0,94 0,76 0,58 0,40 0,22
Ед(X) = Едо - а7(X)Х,
де 7 (X) — уточнюючий коефщент, що визначаеться шляхом апроксимаци нелшшно! функци.
Розрахусмо запропонований нелишишй коофшд-ент 7 (X) при р1зних величинах тиску, використову-ючи отримаш сксиерименталыи результата, наведе-ш у Табл. 3. Результатн розрахушив вщображеш в Табл. 4.
Табл. 4 Експериментальне значения 7 в1д тиску
Тиск. ГПа 0 1 5 10 15 20 25
7,резистор 0 0.86 0.55 0.44 0.42 0.41 0.40
7,ДЮД 0 0.88 0.54 0.47 0.44 0.44 0.43
3 Табл. 4 видно, що в обох окспоримонтах значения 7 сшвпадають з вщхиленням, що не перевищуе 8%. Це шдтворджус короктшсть отриманих експе-рименталышх даних та можлившть !х застосування для побудови емшрично! модат залежносп ши-рини заборонено! зони в1д тиску. Для подалыних обчислень буде використано усероднеш значения ко-ефшденту 7(X) та Ед(X).
Для побудови омтрично! модол1 залежноста ши-рини заборонено! зони вщ тиску скористасмось математичним аиаратом апроксимаци. Розгляномо
тииов1 методи апроксимаци та проводемо обчислю-валышй окспернмонт для вибору найбшын точного методу.
Для обробки експорименталышх результате найчасташе використовують найпоширешпп методи апроксимаци. серод яких лишша, експоноищальна, квадратична. гшорбатчна, кубична, логарифхйчна, стоиенова та иоказникова [14]. Враховуючи, що за-лежшсть 7(Х) е нел1н1йною '1, вщповщно, викори-стання лйпйно1 апроксимаци с нодоцшышм. а квадратична та куб1чна апроксимаци використовую-ться для опису величин, що поперем1нно зростають 1 змоншуються (характер розиод1лу яких не с по-ст1йно зростаючим чи спадаючим) [14]. в обчислю-валышх експеримеитах щ методи використовувати но будемо.
Стопенова 1 показникова апроксимаци описую-ться иаступиими р1вняннями [14]:
у = ахъ, (15)
у=аЪх. (16)
Табл. 5 Обчисшовалыи результатн р1зних метод1в апроксимаци
Ексиеримент Степеиева Показникова Логарифхпчна Ппорбол1чна Експоноищальна
Тиск. ГПа 7(Х) 7(Х) Похиб. % 7(Х) Похиб. % . 1(Х) Похиб.. 7с 7(Х) Похиб. % . 1(Х) Похиб.. 7с
1 0.8772 0.8397 4,27 0,6347 27,64 0,8159 6,99 0,927 4,88 0,6347 27,64
2 0.7894 0,7130 9,68 0,6207 21,37 0,7206 8,72 0,7452 6,26 0,6207 21,37
3 0.7016 0,6479 7,66 0,6070 13,49 0,6648 5,25 0,6747 4,51 0,6070 13,49
4 0.6138 0,6054 1,38 0,5936 3,30 0,6252 1,84 0,5951 3,89 0,5936 3,30
5 0.5261 0,5743 9,16 0,5805 10,34 0,5945 13,00 0,5231 0,57 0,5805 10,34
6 0.5131 0,5501 7,19 0,5677 10,62 0,5694 10,96 0,5045 1,69 0,5677 10,62
7 0.5002 0,5304 6,02 0,5552 10,98 0,5482 9,58 0,4913 1,79 0,5552 10,98
8 0.4873 0,5140 5,47 0,5429 11,40 0,5298 8,71 0,4813 1,24 0,5429 11,40
9 0.4744 0,4999 5,37 0,5309 11,91 0,5136 8,26 0,4736 0,17 0,5309 11,91
10 0.4615 0,4876 5,66 0,5192 12,50 0,4991 8,15 0,4674 1,28 0,5192 12,50
11 0.4549 0,4768 4,81 0,5078 11,62 0,4860 6,83 0,4623 1,62 0,5078 11,62
12 0.4483 0,4671 4,18 0,4965 10,73 0,4740 5,71 0,4581 2,17 0,4965 10,73
13 0.4418 0,4583 3,73 0,4856 9,91 0,4630 4,79 0,4545 2,87 0,4856 9,91
14 0.4352 0,4504 3,48 0,4749 9,11 0,4528 4,03 0,4514 3,71 0,4749 9,11
15 0.4287 0,4431 3,36 0,4644 8,33 0,4433 3,41 0,4488 4,69 0,4644 8,33
16 0.4273 0,4364 2,11 0,4541 6,25 0,4345 1,67 0,4465 4,47 0,4541 6,25
17 0.4260 0,4302 0,97 0,4441 4,23 0,4261 0,01 0.4444 4,30 0,4441 4,23
18 0.4247 0,4244 0,08 0,4343 2,25 0,4183 1,52 0,4426 4,20 0,4343 2,25
19 0.4234 0,4191 1,02 0,4247 0,30 0,4108 2,98 0,4410 4,15 0,4247 0,30
20 0.4271 0,4140 1,92 0,4154 1,59 0,4038 4,34 0,4395 4,12 0,4154 1,59
21 0.4266 0,4093 3,48 0,4062 4,21 0,3970 6,38 0,4382 3,33 0,4062 4,21
22 0.4252 0,4048 4,98 0,3972 6,77 0,3906 8,32 0,437 2,58 0,3972 6,77
23 0.4248 0,4006 6,40 0,3885 9,23 0,3845 10,16 0,4359 1,85 0,3885 9,23
24 0.4240 0,3966 7,76 0,3799 11,64 0,3787 11,92 0,4349 1,15 0,3799 11,64
25 0.4231 0,3928 9,06 0,3715 13,99 0,3731 13,62 0,4339 0,46 0,3715 13,99
Сородньоарифм. похибка. % 4,76 9,74 6,68 2,87 9,74
Визначоння косфщятв проводиться шляхом приведения фуНКЩ1 до лшшного виду з використа-нням логарифмування, а шеля цього за допомогою мстод1в найменших квадратав визначаються значения.
Логарифхпчна та гшсрбол1чна аироксимащ! опи-суються настуиними р1вняннями вщповвдно [14]:
у = а 1п х + Ъ, (17)
у = а + Ъ/х. (18)
Для таких мстод1в коефщягаи визначаються приведениям функщ1 до лшшного виду \ використо-вуючи метод найменших квадрапв визначаються шукаш значения.
Апроксимащя скспонснщалышм методом оиису-сться р1внянням [14]:
у = аеЬх. (19)
Визначоння константних значень аналоично до поиередшх метод1в.
Для вибору методу апроксимащ! ексиеримен-тальних значень коефщенту ^(Х), який забезпе-чить найменшу похибку апроксимащ!. було проведено цикл обчислювалышх окспоримонтав. Розра-хунки проводились з використанням математичного пакету МАТГАВ К2016а. Для шдвшцення точносп апроксимащ! у розрахунках використовувались 25 точок експсрименталышх даних.
Результатн обчислювалышх сксисриментв для розглянутих вище метод1в апроксимащ! наведеш у табл. 5.
Анатзуючи отримаш результатн визначено, що для тако! задач1 найбшыну точшеть забезиечус ri-порбсипчний метод аироксимащ!. Тож в иодальших розрахунках використано саме такий метод.
Проанал1зувавши отримаш данш отримано на-стуину емшричну модель, яка визначае змши ширини заборонено! зони шд д1яо зовшшнього тиску:
Ед(X) = Едо - а^(X)Х,
(20)
7 (X )=0,4116 +
5, 57 х 108
У табл. 8 наведено nopiBiramra иохибок лшш-но1 модат (1) та запропоновано1 омшричнем модель Розрахована вщносна похибка для oniicaiioi' вище модат не бшынс 2% (в д1апазош тиску вщ 0 до 25ГПа). це дозволяс застосовувати i"i для побудо-ви моделей впливу тиску на иараметри активних та паенвннх компоненте IMC. Використання апро-ксимащйного шдходу для визначоння нелшшного коефщенту ^(Х) дозволяе також комиенсувати похибку. пов'язану з розрахунком значения баричного коефщенту а.
3 вираз1в (10) та (14) можна отримати насту-nui залсжносп опору штегралыгого резистору та струму через дюд в1д зовшшнього тиску:
R(X ) = Д(0)
3Ед (Х)-Ед
2гТ
I (X )= I (0)
еЕд0-Ед (Х )
гТ
(21)
(22)
Табл. 6 Результатн моделювання з використанням моделей (20)-(22))
Тиск. ГПа 0 1 5 10 15 20 25
Onip, Ом 125000 68758 21279 5625 1753 487,5 108
Модель (21). Ом 85278 64285 20760 5054 1230 299 73
Похибка. % 31,78 6,50 2,44 10,16 29,82 38,57 32,49
Струм. А 3,60х 4,90 х 3,10х 2,50х 3,80 х 7,70х 2,0х 10-2
10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4
Модель (22), А 7,73х 1,36х 1,31х 2,20 х 3,72 х 7,70х 1,0х 10-2
10-9 10-8 10-8 10-8 10-8 10-8
Похибка, % 114,86 72,22 57,90 11,90 2,20 18,55 47,09
Табл. 7 Результатн моделювання з використанням моделей (23)-(24)
Тиск, ГПа 0 1 5 10 15 20 25
Onip, Ом 125000 68758 21279 5625 1753 487,5 108
Модель (23), Ом 124602,4 70091,2 23346,9 6233,9 1664,5 444,4 118
Похибка, % 0,320 1,940 9,720 10,820 5,050 8,830 9,880
Струм, А 3, 6х10-9 4, 9х10-8 3,1 х10-7 2, 5 х 10-6 3,8 х 10-5 7, 7х10-4 0,020
Модель (24), А 3, 6х 10-9 4, 9 х 10-8 2, 9 х 10-7 2, 6 х 10-6 4, 7х10-5 8, 5 х 10-4 0,015
Похибка, % 1,460 1,890 5,250 3,850 23,960 10,980 22,480
У табл. 6 наведено пор1вняння результате моде-лювання з використанням моделей (20-22) та оксис-рименту. Вщносна похибка для опору доходить до 40%. а для струму до 100%.
Для збшыпоння точноста емшричних моделей опору та струму представило вирази (21). (22) у вигляд1
Табл. 9 Числов1 значения коригуючих косфщентав
R(X ) = Д(0)
I (X )= I (0)
еАЕд(Х)-Едо тгТ
еЕд0-В Eg (Х)
пгТ
Тиск. ГПа Експе-рнмент Модель (1) Емшрична модель
Eg(x) еВ Eg(x) еВ В1дн. пох.. % Eg(x) еВ Вщн. пох.. %
1 1.07 1,08 0,85 1,09 1,36
2 1.06 1,05 0,95 1,07 1,01
3 1.04 1,01 3,20 1,06 1,20
4 1.02 0,98 4,50 1,04 1,40
5 1.01 0,94 7,53 1,03 0,90
6 1.00 0,91 9,30 1,01 0,76
7 0.99 0,87 12,30 1,00 0,52
8 0.97 0,83 15,30 0,98 0,28
9 0.96 0,80 17,30 0,97 0,04
10 0.95 0,76 20,50 0,95 0,21
11 0.94 0,73 22,50 0,94 0,40
12 0.92 0,69 25,70 0,92 0,60
13 0.91 0,66 27,80 0,91 0,80
14 0.90 0,62 31,30 0,89 0,90
15 0.89 0,58 34,86 0,88 1,20
16 0.87 0,55 37,22 0,87 1,26
17 0.86 0,51 40,80 0,85 1,32
18 0.84 0,48 43,30 0,84 1,38
19 0.83 0,44 47,10 0,82 1,45
20 0.81 0,41 49,30 0,81 1,51
21 0.80 0,37 53,80 0,79 1,25
22 0.78 0,33 57,90 0,78 1,04
23 0,76 0,30 60,90 0,76 0,78
24 0,75 0,26 65,40 0,75 0,52
25 0,73 0,23 68,70 0,73 0,24
Середньо- арифм. похибка. % 30 0,9
(23)
(24)
Д1апазон тиску Вщ 0 до 1 ГПа Вщ 1 до 5 ГПа Бшыпс 5 ГПа
А 1,018 1,000 1,000
Г11 1,000 2,140 2,140
В 1,018 0,975 1,000
Г1 0,220 1,040 0,975
де ,,т,п — коригукга коефщенти. Будемо вважа-ти, що щ коофшденти ие залежать в1д тиску. Чи-слов1 значения цих косфщентав, отримаш шляхом опттизащйно! ироцедури з використанням методу найменших квадратав у МАТГАВ К2016а, наведеш у табл. 9.
Значне вщхилення коефщентав т \ п ввд тео-ретичних значень (2 для опору та 1 для струму) у д1апазош тиску до 1 ГПа, скорпн за все. иов'язане з виливом змши рухливоста носив заряду шд дшо тиску. що не враховувалось при побудов1 моделей (2022). Це питания потребуй додаткових дослщжень.
Табл. 8 Результати пор1вняння моделей
У табл. 7 наведено nopiBiramra результате мо-делювання залсжноста опору та струму вщ зовн1ш-нього тиску з використанням моделей (23). (24) з експерименталышми даними. Як видно з табл. 7. вщносна похибка модел1 для опору ие перевищус 11%. а для струму 25%. що можна вважати прийиятиим для подалыного внкорнстання отрнма-них у щй робоп математичиих моделей при схемоте-хшчному модолюванш та аиал1з1 для розробки IMC i3 заздалегщь визначними електричиими характеристиками та параметрами, що не змпиоватимуться при робота мщюсхсми у середовищах 3i значним виливом механ1чного тиску.
Висновки
У робота скспсримонталыго дослщжено вилив зовшшнього тиску на електрнчн1 параметрн штс-грального резистору. д1оду та транзистора. Bn6ip саме цих 1нтегралышх компоненте обумовленнй особливостями спещал1зовано1 IMC, для подальшо-го схемотехн1чного анал1зу яко! i планусться ви-користати побудоваш в робот1 модел1. Показано, що тиск не виливас на косфщент п1дсилення за струмом б1полярного транзистора. Це вказус на те. що. незважаючи на pi3iii механ1зми (дрейфовий для струму колектору та рскомбшащйний для струму бази). характер залсжноста цих струм1в в1д зовнь шнього тиску с однаковим.
Ексиерименталыю дослщжено i показано що Bi-дома лиийна залежн1сть ширини заборонено1 зони ввд тиску с занадто спрощеною i вщображас реаль-ний характер ща залежност1 т1льки при значениях тиску до 5 ГПа. Введения нслшшного косфщенту (який отримано за допомогою апроксимащ! екс-пернменталышх даних) дозволило п1двищити то-niiicTb модел1 при розрахуиках з високими значениями тиску. Отримано числов1 значения косфщь ciiTiB аироксимащ! та побудовано оновлену ексиери-ментальну модель залсжноста ширини заборонено! зони кремнио ввд тиску. Розрахована вщносна похибка для ново! модел1 ие перевищус 2% для тиску вщ 0 до 25 ГПа.
3 використанням запропоновано! омшрично!' мо-дел1 залсжноста ширини заборонено!' зони кремнио ввд тиску побудовано CMnipiiniii модел1 вщповщ-них залежностей опору 1нтегралыюго резистору та струму через 1нтегралышй дюд. Запропонова-
iio Kopnryioni коофщенти. яш дозволили знизити ввдносну похибку модат для опору до 11%. для струму до 25%. Отримана точшеть моделей дозволяв використовувати i'x у подальших дослщжо-ннях пов'язаних i3 впливом тиску на олоктричш характеристики мшросхом при використанш схемо-тохшчних мотод1в анал1зу та оиттизащ!.
Подальших дослщжонь потребуй вивчоння за-лежносп рухливосп nociiB заряду ввд зовшшнього тиску. що дозволить побудувати ввдповвдш ОМШрИ-4iii модат та. можливо. скорегувати запропоновану омшричну модель залежносп ширини заборонено! зони кромнпо ввд тиску.
References
[1] М. R. Begley, .1. W. Hutchinson (2017) The Mechanics and Reliability of Films, Multilayers and Coatings. England: Cambridge University Press, 288 p.
[2] Yasuhisa Omura ed. (2013) Physics of Semiconductor Devices for Analysis, in SOI Lubistors: Lateral, Unidirectional, Bipolar-type Insulated-gate Transistors, pp.271-287. DOl: 10.1002/9781118487914.ch25
[3] Boer K. W. and Pohl U. (2018) Semiconductor Physics. Springer, 1299 p.
[4] Ridley В. K. (2013) Quantum Processes in Semiconductors. Oxford: Oxford University Press. D01:10.1093/acprof:oso/9780199677214.001.0001
[5] Barlian Л., Park W-T., Mallon .1., Rastegar Л. and Pruitt B. (2009) Review: Semiconductor Piezoresistance for Microsystems, Proceedings of the IEEE, Vol 97, pp. 513-552. DOl: 10.1109/.IPROC.2009.2013612
[6] Johnston Л. H. (2010) Reliability and Radiation Effects in Compound Semiconductors. Singapore: World Scientilic, 363 p.
[7] Creemer .1. F. (2002) The ejject of mechanical stress on bipolar transistor characteristics, Ph.D. dissertation, Delft Univ., 260 p.
[8] Creemer .I.F. and French P..I. (2002) Л new model of the ellect of mechanical stress on the saturation current of bipolar transistors, Sensors and Actuators A Physical, Vol 97-98, pp. 289-295. D01:10.1016/S0924-4247(01)00854-8
[9] Kochemyrovskyi V. Л. and Sokolov Y. Л. (2013) Defekty krystallycheskoi struktury poluprovodnykovykh materyalov [Defects in the crystal structure of semiconductor materials]. Sankt-Peterburh, Russia: SPOU Publ., 36 p.
[101 MIttal K. L., and Ahsan T.(2014) Adhesion in Microelectronics. Hoboken, Scrivener Publishing/Wiley, 368 P-
[11] Shalimova K.V. (2010) Fizila poluprovodnikov [Semiconductor physics]. Sankt-Peterburh, Lan Publ., 400 p.
[12] Sze S. M„ К wok K. Ng, and Yiming Li (2007) Physics of Semiconductor Devices. John Wiley and Sons, 791 p.
[13] Zylevich, M. O. (2019) Measuring stand for investigation of the inlluence of inhomogeneous deformation on the bipolar mass components. Electronic and Acoustic Engineering, 2(1), 21 25. DOl: 10.20535/2617-0965.2019.2.1.162156
[14] Ezerskyi V. V. (2011) Melody approksimatsii funktsii [Methods for approximating functions]. Omsk, SibONUK Publ., 52p.
Эмпирические модели зависимости электрических параметров компонентов интегральных микросхем от внешнего давления
Зилевич М. О., Кучернюк П. В.
Одним из факторов, влияющих па электрические характеристики и параметры интегральных микросхем, является внешнее давление, которое чаще всего возникает в результате процессов расслоения в корпусе микросхемы. Под действием давления ширила запрещенной зоны полупроводника изменяется, что приводит к изменению электрических параметров активных и пассивных компонентов интегральных микросхем (ИМС). Современные модели зависимости ширины запрещенной зоны от давления очень упрощены, по обеспечивают точности моделирования в широком диапазоне значений давления, что не позволяет разработать адекватные математические модели полупроводниковых компонентов для дальнейшего изучения влияния давления па электрические характеристики и параметры интегральных схем. Для построения более точной математической модели зависимости ширины запрещенной зоны кремния от внешнего давления было експеримепталыго исследовано влияние давления па электрические параметры интегрального резистора, диода и биполярного транзистора, которые являются компонентами специализированной ИМС. Выбор пассивных и активпих компонентов для экспериментальных исследований позволил исключить влияние особенностей технологических процессов изготовления и получить более достоверные данные для дальнейшего построения аппроксимациошгой модели. Исследования проводились в диапазоне давлений от 0 до 25 ГПа. Измерения производились па специально сконструированном измерительном стенде. Стенд позволяет проводить высокоточные измерения сопротивления интегральных резисторов, ВАХ-диодов и транзисторов под действием регулируемого давления, прикладываемого к поверхности пассивного или активного компонента, реализованного па кристалле ИС. Погрешность измерения этого стенда определяется погрешностью
мультиметра и составляет ±0,001 В по напряжению и ±
±
пия ширины запрещенной зоны через экспериментальные значения сопротивления резистора и тока через диод при пулевом давлении и определенной величине давления, что позволило построить эмпирическую модель зависимости ширины запрещенной зоны кремния от давления. Показано, что классическая линейная модель не отражает реального нелинейного характера такой зависимости. Предложен уточняющий нелинейный коэффициент и проведена серия вычислительных экспериментов для выбора наиболее оптимального метода аппроксимации экспериментальных данных. В вычислительном эксперименте были исследованы такие методы аппроксимации, как степенной, логарифмический, гиперболический и экспоненциальный. Все расчеты про-
водились с использованием MATLAB R2016a. Для повышения точности аппроксимации в расчетах использовалось 25 экспериментальных точек. Наименьшая относительная погрешность аппроксимации получена для гиперболического приближения. В рамках гиперболического приближения построена эмпирическая модель зависимости ширины запрещенной зоны кремния от внешнего давления, погрешность которой не превышает 2% в диапазоне давлений от 0 до 25 ГПа. На основе предложенной эмпирической модели зависимости ширины запрещенной зоны кремния от давления построены эмпирические модели соответствующих зависимостей сопротивления интегрального резистора и тока через интегральный диод. Предложены поправочные коэффициенты, которые позволили снизить относительную погрешность модели по сопротивлению до 11%, по току до 25%. Полученная точность моделей позволяет использовать их для дальнейших исследований влияния давления на электрические характеристики интегральных схем с использованием схемотехнического анализа и оптимизации.
Ключевые слова: деформация; давление; запрещенная зона; деламинация; модель; аппроксимация; проводимость; плотность тока; полупроводник
An Empirical Model of the Silicon Bandgap Dependence on the External Pressure
Zylevic M. 0., Kucherniuk P. V.
One of the factors that affect the electrical characteristics and parameters of integrated circuits is the external pressure, which most often results from delamination processes in the thickness of the chip body. Under the influence of pressure, the bandgap of the semiconductor changes, which leads to changes in the electrical parameters of the active and passive components of the 1С. Current models of bandgap dependence on pressure are very simplified, do not provide modeling accuracy in a wide range of pressure values, which does not allow to development of adequate mathematical models of semiconductor components for further study of the effect of pressure on the electrical characteristics and parameters of integrated circuits. To build a more accurate mathematical model of the dependence of the band gap of silicon on external pressure, the effect of pressure on the electrical parameters of the integrated resistor, diode and bipolar transistor, which are components of specialized ICs, was
experimentally investigated. The choice of passive and active components for experimental research made it possible to eliminate the influence of the features of technological manufacturing processes and to obtain more reliable data for further construction of the approximation model. The studies were performed in the pressure range from 0 to 25 GPa. Measurements were made using a specially designed measuring stand. The stand makes it possible to perform high-precision measurements of the resistance of integral resistors, VAC diodes, and transistors under the influence of controlled pressure applied to the surface of the passive or active component implemented in the IC crystal. The measurement error of this stand is determined by the error of the multimeter and is ±0.001 V for voltage and ±0.0001 A for current. An error of ±0,025 N is introduced by the force sensor. The expressions were obtained to determine the bandwidth value due to the experimental values of the resistor and current resistance through the diode at zero pressure and a certain amount of pressure, which allowed us to construct the bandgap of silicon on the pressure. It is shown that the classical linear model does not reflect the real nonlinear nature of such a dependence. A clarifying nonlinear coefficient is proposed and a series of computational experiments are conducted to select the most optimal method of approximation of the experimental data. In the computational experiment, such methods of approximation as power, logarithmic, hyperbolic, and exponential were investigated. All calculations were performed using MATLAB R2016a. To increase the approximation accuracy, 25 experimental data points were used in the calculations. The smallest relative error of approximation was obtained for hyperbolic approximation. Using the hyperbolic approximation, an empirical model of the dependence of the bandgap of silicon on the external pressure is constructed, the error of which does not exceed 2% in the pressure range from 0 to 25 GPa. Using the proposed empirical model of the dependence of the width of the silicon bandgap on the pressure, empirical models of the corresponding dependences of the resistance of the integrated resistor and the current through the integrated diode are constructed. Adjustment coefficients are proposed which allowed reducing the relative error of the model for resistance up to 11%, for current up to 25%. The obtained accuracy of the models allows us to use them for further studies of the influence of pressure on the electrical characteristics of integrated circuits using circuit analysis and optimization.
Key words: deformation; pressure; bandgap; delamination; model; approximation; conductance; current density; semiconductor
