ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗНОНАПРАВЛЕННЫМИ СДВИГАМИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 3 (2021). С. 107-115.

УДК 517.956

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗНОНАПРАВЛЕННЫМИ СДВИГАМИ

В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

А.Б. МУРАВНИК

Аннотация. Исследуется задача Дирихле в полупространстве для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с операторами, представляющими собой композиции дифференциальных операторов и операторов сдвига, действующих по пространственноподобным переменным (независимым переменным, изменяющимся на всей вещественной оси). Указанные уравнения, существенно обобщающие классические эллиптические уравнения в частных производных, возникают в разнообразных приложениях математической физики, для которых характерны нелокальные и (или) неоднородные свойства процесса или среды. В теоретическом плане интерес к таким уравнениям обусловлен тем, что они связывают между собой значения неизвестной функции (и ее производных) не в одной точке, а в разных, что делает неприменимыми многие классические методы.

Для рассматриваемой задачи устанавливается разрешимость в смысле обобщенных функций (а для уравнения — классическая разрешимость), строится интегральное представление указанного решения формулой пуассоновского типа и доказывается, что построенное решение является классическим вне граничной гиперплоскости и равномерно стремится к нулю при стремлении времениподобной переменной (единственной независимой переменной, изменяющейся на положительной оси, ортогональной гиперплоскости граничных данных) к бесконечности. Ранее исследовались только случаи, в которых оператор сдвига действует лишь по одной пространственноподобной переменной. В настоящей работе операторы сдвига действуют по каждой пространственноподобной переменной.

Для получения ядра Пуассона используется классическая операционная схема Гель-фанда - Шилова: к изучаемой задаче применяется преобразование Фурье по всем пространственноподобным переменным (используется тот факт, что операторы сдвига, так же как и дифференциальные операторы, являются мультипликаторами Фурье), и исследуется полученная задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (зависящего от двойственных переменных, как от параметров).

Ключевые слова: эллиптические задачи, дифференциально-разностные уравнения, разнонаправленные сдвиги.

Mathematics Subject Classification: 35R10, 35J25

А.В. Muravnik, Elliptic differential-difference equations with differently directed

translations in half-spaces.

© Муравник А.Б. 2021.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-0100288 А.

Поступила 10 февраля 2021 г.

1. Введение. Постановка задачи

Краевые задачи в полупространстве традиционно считаются характерными для параболических и гиперболических уравнений: единственная независимая переменная, изменяющаяся на полуоси, естественным образом трактуется как время, все остальные переменные — пространственные, а данные, задаваемые на границе области (т.е. на гиперплоскости, ортогональной этой полуоси), трактуются, соответственно, как начальные данные. Однако, на примере уравнения Лапласа в полупространстве (см., напр., [1], [2]) хорошо видно, что некоторые задачи в полупространстве корректны и для стационарных уравнений, причем выделенная указанным выше образом пространственная переменная приобретает так называемые временинодобные свойства. Действительно, задача

их,+ иуу = 0, ж е Яп, у > 0, (1.1)

и\у=0 = и0(х), х е Кга, (1.2)

т.е. задача Дирихле для уравнения Лапласа в полупространстве и задача Коши (с тем же самым краевым условием) для уравнения теплопроводности

п

^ иХ]Х] - щ = 0, ж е Кга, у> 0, (1.3)

3 = 1

обладают следующим принципиальным сходством: обе задачи корректны в классе ограниченных решений и решение каждой из этих задач представляется в виде свертки краевой функции и0 с ядром Пуассона, которое для задачи (1.2), (1.3) равно

е 4

(2 ^УУ

а для задачи (1.1)—(1.2) равно

ГШ_у.__(14)

"+1 /I ю оч п+1 • V-"-1 V

Ж 2 (|ж|2 + у2) 2

Таким образом, решение (эллиптической) задачи (1.1)—(1.2) во многом ведет себя подобно решению эволюционной задачи —так, разрешающий оператор обладает полугрупповым свойством по (пространственной) переменной у, и, более того, справедлив тот же самый критерий Репникова - Эйдельмана стабилизации решения (при у ^ что и

для случая задачи Коши для уравнения теплопроводности (см. [3]). Это и дает основания характеризовать пространственную переменную у как времениподобную, причем эта времениподобноеть порождена именно анизотропией области, в которой ставится задача: рассматриваемое уравнение является эллиптическим (а значит, ни одна из независимых переменных не выделяется относительно других), но, исследуя его в анизотропной области, мы тем самым выделяем (по крайней мере) одну независимую переменную (в данном случае — единственную, которая изменяется не на всей оси, а на полуоси), что оказывает влияние и на качественные свойства решения.

Вызывает естественный интерес вопрос, насколько общим является описанное выше явление, и в настоящей работе задача Дирихле в полупространстве исследуется для эллиптических дифференциально-разностных уравнений, т.е. уравнений, в которых на неизвестную функцию, помимо дифференциальных операторов, действуют операторы сдвига.

Такие функционально-дифференциальные уравнения в настоящее время активно исследуются во всем мире (см., напр., [4] и имеющуюся там библиографию), что обусловлено их многочисленными приложениями, не покрываемыми классическими моделями математической физики (см., напр., [5]-[8] и имеющуюся там библиографию). Глубокое и полное изложение теории задач в ограниченных областях для эллиптических дифференциально-разностных уравнений (а также тесно связанных с ними нелокальных задач для дифференциальных эллиптических уравнений) можно найти в [8]-[11] (см, также имеющуюся там библиографию). Задачи в неограниченных областях исследованы в значительно меньшей степени,

В настоящей работе рассматривается случай, в котором дифференциально-разностное уравнение содержит суперпозицию дифференциального и разностного операторов.

А именно, в полупространстве <j (х,у) уравнения

х g Rn,y > 0 > рассматривается задача Дирихле для

где

^2uxjXj (х,у) + Uyy (х,у) + a,j uXjXj (xi,... ,Xj-i,Xj + hj ,xj+i,... ,Xn,y) = 0, (1.5) j=i j=i

a0 := max |a3-1 < 1, (1,6)

j=i,n

a hi,... ,hn — произвольные вещественные параметры.

Модельное уравнение, содержащее оператор сдвига только по одной пространственной переменной (т.е. уравнение (1.5), в котором а2 = ... = an = 0), рассмотрено в [12]. В настоящей работе рассматривается более общий случай, в котором оператор сдвига (так же, как и вторая производная) действует по каждой из прострапствеппоподобных переменных.

Для двумерного случая (когда переменная х — скалярная), эта задача исследовалась в [13]—[16], Многомерный случай, насколько известно автору, рассматривается впервые.

2. Операционная схема

Будем использовать классическую операционную схему Гельфанда - Шилова (см., напр., [17, §10]): к задаче (1.2), (1,5) применим (формально) преобразование Фурье по (n-мерной) переменной х\

f (С) = j е-** f (x)dx.

Rn

Это приводит к следующей начальной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения:

d2û ( n n \

= I ^|2 + Y1 азS cos h3fj + 1 Y1 аз^ sin h3fj У G (0, (2Л)

u( 0-,O=MO. (2-2)

Отметим, что полученная задача не является задачей Коши, поскольку уравнение имеет второй порядок, а начальное условие только одно,

n n

Обозначая aj£j cos hj£j через a(£), a, aj£j sinhj^j через b(Ç), получаем уравнение j=i j=i

л 2т7

^ = (ICI2 + a(0 + ib(Ç))u.

Итак, (2,1) —это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, зависящее от и-мерного параметра характеристическое уравнение которого имеет два корня ±p(cos 9 + i sin 9), где

Р = Р(С) = ((Id2 + а(0)2 + b2(0) \ 0 = 0(£) = 2 arctg Щ)

2 &|£ |2 + а(е )•

Решаем задачу (2.1)—(2.2), подходящим образом выбираем «свободную» произвольную постоянную (она появляется за счет того, что количество начальных условий меньше порядка уравнения) и к полученному решению

Щ (С) е-ур{*)[с®* ^^

применяем (формально) обратное преобразование Фурье

I (х) = ^ / / (№.

К™

Получаем

1

^-yP(0(cos e(o+¿ sin em Uo(z)e™< dzdi

(2п)п j j

Rn Rn

/ U°(Z)j el(x-zH-vm(cosт+гsinm)d£dz

Rn И"

1 fu0(z)[ ei((x-z^-yp(^sinm)e-yp(t)cose(Vdidz

(2ж)п j j

и™ и™

1 f ua(z) [ cos((x - z) •C- yp(£)sm6(£))e^d^dz

(2ж)п j j

Rn Rn

+ (2^/Uo{z)j Sin((;r - Z) -yp(C)cosdz.

R" Rn

Учитывая нечетность функции b(0 то каждой перемеппой получаем в итоге функцию

u(x, у) = У Е(х - О y)uo(Od^ (2.3)

Rn

где

Е(х, у) =(2^ / e-VGlcos (х ■ е - УG2(0) С (2-4)

R"

Gi(0 =p(0cos9(0, G2(0 = p(0sin9(0. (2.5)

Поскольку значения арктангенса лежат в промежутке (-), имеем неравенство

I^(£)I ^ т-е- cos#(£) > 0 и cos 29(0 ^ 0, Значит, cos#(£) можно представить в виде

1 + cos 2 9(0 т , ---. хеперь применим формулу

1

cos2 29(0 =

1 + tg2 29(0

и снова учтем неотрицательность cos 2 #(£). Получим, что

1

cos 2в(^)

Далее, поскольку

справедливо равенство

а значит,

2 0(C) = arctg tg20(£)

y/1 + tg2 2д(0 ■ ( )

ICI2 + a(0' ( )

ICI2 + a(0'

cos 20(£)= + ,2

4

Ш2 + a(0)2

icI2 + «(0

Ш2 + a(o)V V Ш2 + «(о)2 + то + «(е))2 + m '

поскольку условие (1.6) гарантирует неотрицательность функции Ю2 + а(£) при любом £ G Rra. Тогда

cosS(e) = _L А + + <>

^V \Ш2+а«»2+62 ю.

Введем в Rra функцию

-(О := V(i^i2 + а(^))2 + ^ = VICi4 + а2(0 + ь2(0 + мт2

Тогда

ад =>/?(£)-= 11 +

icI2 + а(0

у/m2 + а®)2 + ^ -

г-ж 1 + i^i2 + а(0

72 V-Ш)-

=^ v-(0 + ici2 + «(0 ^ ^ viei2 + «(0

(в силу неотрицательности функции —), Следовательно, функция G\(£) ограничена снизу выражением

1

ICI2 - £ k-1£2 ^

1

3=1

icI2 -«о ¿е2 = — VI£I2 (1 -«о) = ^

3=1

1 - о

ici,

что гарантирует корректность определения функции (2.4) в полупространстве Кп х (0,

Отметим, что, применяя в настоящем разделе прямое и обратное преобразования Фурье, мы, в соответствии с общей схемой [17, §10], не заботились об обосновании сходимости интегралов и законности перемены порядка интегрирования, поскольку речь шла о решениях в смысле обобщенных функций. В лемме 3.1 (см. следующий раздел) речь идет о гладких функциях, но она доказывается самостоятельно.

2

3. Построение ядра Пуассона

Будем называть функцию и(х, у) классическим решением уравнения (1.5), если в каждой точке полупространства Rn х (0, существуют классические (т.е. определенные в смысле пределов отношений конечных разностей) производные uXjXj ,j = 1,п, и иуу и в каждой точке указанного полупространства выполняется соотношение (1.5). Справедливо следующее утверждение.

Лемма 3.1. Функция (2.4) является классическим решением уравнения (1.5) в полупространстве Rn х (0,

Доказательство. Подставим функцию (2п)п£ в уравнение (1.5):

(2n)nSxJxJ (х, у) = - j $e-yGM cos (х • £ - yG2(0) d£, j = M;

Rn

(2ТГ)%(х, y) = - j Gl(0e-yGcos (х - yG2(£))d£

Rn

+ J G(Oe-yG^ sin (х •i-yG2(£))d£;

Rn

(2^)пЕуу(х, y)=J Gj(0e-yG(« cos (х - yG2(£))d£

Rn

-J G1(0G2 (Oe-yG ® sin (х ^-yG2 (£))d£

Rn

-J G1(0G2 (Oe-yG ® sin (х ^-yG2 (£))d£

Rn

-J G (Oe-yG cos (х^ i-yG2 (£)) di

Rn

= / (Gi(0 - G(£)) e~yGl«) cos (х • £ - yG2(£)) d£

R"

- 2 i G1(0G2(0e-yG<« sin (х • £ - yG2(0) d^

Rn

Отметим, что во всех этих случаях дифференцирование под знаком интеграла является законным, потому что возникающие в результате подынтегральные множители не имеют

Далее, используя (2.5), получаем, что

2 G1(0G2(0 = 2p(0cose(0p(0sind(0 = P2(0sin2d(0

= p2(0 tg 2 в(0 cos 2 в(0р2(0т^г-т cos 2 в(0

|С| + vw++

Теперь вычислим

G№ - = АО [ cos2 9(0 - sin2 в(0 = АО cos 20(0

ICI2 + a(Q <р(0

v(0= icI2 + a(0.

Отсюда следует, что

(2тт)п£уу (x, y)=J (|£|2 + a(0) е—yGl (« cos (x •Ç-y G2(0) dÇ

Rn

-J b(Oe—yGl(^ sin (x •i-y G2(0)d0 Rn

а потому

n

(2vr)n ^x, (x, y) + (2^)n£yy(x, y) 3=1

-yGl a(0 cos (x • £ - У ад) - 6(0 sin (x • i - y G2®) ) ^

n

e -yGiЮ £ a^ cos hj0 cos (x • £ - УG2(0)

n

- £ a4 sin h& sin (x • e - уад) ^ =1

r. n

J e-yGl (« £ a^J cos (x • £ + h & - ^(0) ^

R" •?=1

П r.

£aj -yGl(ç) cos ((xi,... ,xi-i,xi + hj,xj+i,... ,xn) • £ - yG2(0) dÇ

R"

R"

aj J ^ cos ((x 1 , . . . , x j — 1 , x j I h J ,

j =1 R"

n

-(2^)n4 a

(2n)n^aj SXjXj (xi,... ,x— ,xj + hj,xj+i,... ,x,n, y). =1

□

Замечание 3.1. Если положить а\ = ■ ■ ■ = ап = 0, т.е. рассмотреть классическое дифференциальное уравнение вместо дифференциально-разностного, то формула (2.4) даст известное ядро Пуассона (1.4) для задачи Дирихле в полупространстве для, уравнения Лапласа.

4. Свертка с суммируемыми функциями

Теперь найдем мажоранту самой функции Е(х, у), а также ее производных произвольного порядка. Для этого достаточно учесть, что дифференцирование этой функции по любой переменной приводит к появлению в подынтегральной функции в (2.4) множителей вида Gj(0, j = 1, 2, оцениваемых сверху по абсолютной величине функцией consi|£|,

и использовать оценку G(£) ^ \J^—г0|£|, полученную в параграфе 2, Получаем, что

wme(*,У)\ ^ ^-i \e\re= ffi , i ivre

3 пп(1 - |а0|)"2-ут+п

= ^ [ р-^е-чР = ^ '

ут+п J ' ' ут+п 1

где константа зависит только т, п и а0.

Теорема 4.1. и0 € ^(Кп), то функция (2,3) является, классическим бесконечно

дифференцируемым, решением уравнения (1,5) е Еп х (0, +ж). Это решение принимает граничное значение и0 при у = 0 в смысле обобщенных функций.

Доказательство. Первое утверждение следует из леммы 3,1 и оценки (4,1), Второе утверждение доказывается так же, как в [12, Замечание 2]. А именно, краевая задача понимается в смысле Гельфанда - Шилова (см, [17, §10]), решение ищется в классе обобщенных функций п-мерной переменной х, зависящих от вещественного параметра у, дважды дифференцируемых по этому параметру на положительной полуоси и непрерывных по нему в нуле (см., например, [18, §9, п, 5]), Таким образом, вне граничной гиперплоскости построенное решение является гладким (классическим), при этом краевое условие (1.2) понимается как предельное соотношение и(, у) ^ и0 в топологии обобщенных функций переменной х при стремящемся к нулю справа вещественном параметре у. □

Из найденной в данном разделе оценки ядра Пуассона и его производных легко выводится следующее утверждение.

Следствие 4.1. Если и0 € Ьх(К""), то решение (2,3) и любая, его производная стремятся, к нулю при у ^ +ж равномерно по х € К" и ограничена сверху по абсолютной величине функцией С(т,п)^и0^ы(К-) у-т-п, где т — порядок производной.

Благодарности

Автор выражает благодарность участникам Второй Международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа — 2020» за полезные обсуждения его доклада, способствовавшие лучшему пониманию полученных результатов, их дальнейшему развитию и улучшению их изложения.

Автор глубоко признателен А,Л, Скубачевекому за постоянное внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Е.М. Stein, G. Weiss. On the theory of harmonic functions of several variables. I: The theory of HP spaces // Acta Math. 103:1-2, 25-62 (I960).

2. E.M. Stein. On the theory of harmonic functions of several variables. II: Behavior near the boundary // Acta Math. 106:3-4, 137-174 (1961).

3. V. Denisov, A. Muravnik. On asymptotic behavior of solutions of the Dirichlet problem in halfspace for linear and quasi-linear elliptic equations // Electron. Res. Announc. Am. Math. Soc. 9, 88-93 (2003).

4. A.JI. Скубачевский. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // Усп. матем. наук. 71:5, 3-112 (2016).

5. М.А. Vorontsov, N.G. Iroshnikov, R.L. Abernathv. Diffractive patterns in a nonlinear optical two-dimensional feedback system, with field rotation // Chaos, Solitons, and Fractals. 4:8-9, 1701-1716 (1994).

6. А.Л. Скубачевский. О бифуркации Хопфа для, квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения // Дифф. уравн. 34:10, 1394-1401 (1998).

7. A.L. Skubachevskii. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics // Nonl. Anal. 32:2, 261-278 (1998).

8. A.L. Skubachevskii. Elliptic functional differential equations and applications. Birkhauser, Basel. 1997.

9. А.Л. Скубачевский. Неклассические краевые задачи. /// Совр. матем. фунд. напр. 26, 3-132 (2007).

10. А.Л. Скубачевский. Неклассические краевые задачи. II // Совр. матем. фунд. напр. 33, 3-179 (2009).

11. П.Л. Гуревич. Эллиптические задачи с нелокальными краевыми условиями и полугруппы Феллера, // Совр. матем. фунд. напр. 38, 3-173 (2010).

12. А.Б. Муравник, Эллиптические дифференциально-разностные уравнения в полупространстве // Матем. заметки. 108:5, 764-770 (2020).

13. А.Б. Муравник. О задаче Дирихле в полуплоскости для, дифференциально-разностных эллиптических уравнений // Совр. матем. фунд. напр. 60, 102-113 (2016).

14. А.Б. Муравник. Асимптотические свойства решений задачи Дирихле в полуплоскости для, некоторых дифференциально-разностных эллиптических уравнений // Матем. заметки. 100:4, 566-576 (2016).

15. А.В. Muravnik. On the half-plane Dirichlet problem for differential-difference elliptic equations with several nonlocal terms // Math. Model. Nat. Phenom. 12:6, 130-143 (2017).

16. А.Б. Муравник. Асимптотические свойства решений двумерных дифференциально-разностных эллиптических задач, // Совр. матем. фунд. напр. 63:4, 678-688 (2017).

17. И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. Краевые задачи для, эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // Усп. матем. наук. 8:6, 3-54 (1953).

18. Г.Е. Шилов. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука. 1965.

Андрей Борисович Муравник,

АО «Концерн «Созвездие»,

ул. Плехановская, 14,

394018, г. Воронеж, Госсия

E-mail: amuravnik@yandex. ru