CC BY
6
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 3 (2021). С. 37-44.
УДК 517.956.32+517.929
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ
ОБЩЕГО ВИДА
Н.В. ЗАЙЦЕВА
Аннотация. Для двумерного гиперболического дифференциально-разностного уравнения, рассматриваемого в полуплоскости, содержащего сумму дифференциального оператора и операторов сдвига по пространственной переменной, изменяющейся на всей вещественной оси, (или дифференциально-разностного уравнения с нелокальными потенциалами) построено трехпараметрическое семейство гладких решений. Все сдвиги в потенциалах по пространственной переменной - произвольные вещественные величины, никакие условия соизмеримости на них не накладываются. Это является наиболее общим случаем.
В настоящее время достаточно полно исследованы эллиптические и параболические функционально-дифференциальные уравнения, и в частности, дифференциально-разностные уравнения. Цель настоящей работы - исследовать гиперболические дифференциально-разностные уравнения с операторами сдвига по пространственной переменной, которые, насколько нам известно, ранее не были изучены. Природа физических задач, приводящих к таким уравнениям, принципиально отличается от задач для классических уравнений математической физики. Для построения решений используется классическая операционная схема, согласно которой к уравнению формально применяются сначала прямое, а затем обратное преобразования Фурье. Однако, если в классическом случае применение преобразования Фурье приводит к исследованию полиномов относительно двойственной переменной, то в данном случае, с учетом того, что в образах Фурье оператор сдвига является мультипликатором, символ дифференциально-разностного оператора представляет собой уже не полином, а комбинацию степенной функции и тригонометрических функций с несоизмеримыми аргументами. Это привело к вычислительным трудностям и совершенно иным эффектам в решении. Вообще говоря, данная схема приводит к решениям в смысле обобщенных функций. Однако, в данном случае удается доказать, что полученные решения являются классическими.
Доказана теорема о том, что если вещественная часть символа дифференциально-разностного оператора по пространственной переменной, входящего в уравнение, положительна, то построенные решения являются классическими. Приведены классы уравнений, для которых указанное условие выполнено. Получены соотношения, которым должны удовлетворять все коэффициенты и все сдвиги в уравнении, справедливость которых гарантирует требуемую положительность вещественной части символа дифференциально-разностного оператора в уравнении.
Ключевые слова: гиперболическое уравнение, дифференциально-разностное уравнение, несоизмеримые сдвиги, классическое решение.
Mathematics Subject Classification: 35R10, 35L10
N.V. Zaitseva, Hyperbolic differential-difference equations with nonlocal potentials. © Зайцева Н.В. 2021.
Работа выполнена при поддержке Центра фундаментальной и прикладной математики МГУ. Поступила 26 февраля 2021 г.
1. Введение
Впервые дифференциально-разностное уравнение появляется в работе J, Bernoulli [1] в задаче о невесомой натянутой струне конечной длины, вдоль которой распределены равные и равноудаленные массы. Рассмотренное им уравнение далее встретилось при разработке теории звука и привлекло внимание многих других математиков (см., напр., [2] и имеющуюся там библиографию), В книге [3] приведен обширный материал по теории линейных дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами, часто встречающимися в теории автоматического регулирования, В книге [4] подробно излагается теория линейных дифференциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами, большое внимание уделено асимптотическому поведению решений и теории устойчивости.
Изучение задач механики сплошных сред привело в дальнейшем к рассмотрению дифференциально-разностных уравнений с частными производными, В настоящее время достаточно полно исследованы задачи для указанных уравнений в ограниченных областях (см., напр., [5]—[Ю] и имеющуюся там библиографию), В неограниченных областях подробно изучены задачи для параболических [11] и эллиптических дифференциально-разностных уравнений [12] [16]. В частности, в работах [14], [15] рассматриваются сильно эллиптические уравнения с нелокальными потенциалами по одной из пространственных переменных, встречающиеся в моделях нелинейной оптики. Гиперболические дифференциально-разностные уравнения ранее были исследованы для случая, когда операторы сдвига в уравнении действуют по переменной времени [17], В работах [18]—[20] рассмотрены гиперболические дифференциально-разностные уравнения, содержащие суперпозиции дифференциальных операторов и операторов сдвига по пространственной переменной.
Пусть a, bk, hk (к = 1,п) - заданные вещественные числа, В настоящей работе рассмотрим в полуплоскости (х, t) € R1 х (0, гиперболическое уравнение, содержащее сумму дифференциального оператора и операторов сдвига по пространственной переменной
д2и(х, t) def 2д2и(х, t) v^, , и ^ /1 ^
dt2 =Lu = a^~2--^ Ьк и(х - hk, ^ tL1)
к= 1
которое, согласно терминологии [3], будем называть дифференциально-разностным уравнением, Все сдвиги hfc (к = 1,п) в уравнении - произвольные величины.
Хорошо известны задачи математической физики, приводящие к классическим уравнениям с частными производными, содержащими, помимо производных, искомую функцию или потенциал. Примером является уравнение малых колебаний тяжелой однородной нити с закрепленным верхним концом около своего вертикального положения равновесия. При изучении электрических колебаний в проводах уравнение для силы тока (или уравнение для напряжения) содержит неизвестную функцию, если не пренебрегать потерями (утечкой) через изоляцию проводов и величиной сопротивления. Распространение электрических колебаний описывается телеграфными уравнениями. Можно ввести акустические аналоги сопротивления и утечки - трение газа о стенки сосуда и пористость среды, соответственно, и получить гиперболические уравнения с классическим потенциалом. Решения гиперболического уравнения
utt - a2uxx + cu = 0,
в которых фазовая скорость гармонических волн зависит от частоты, то есть описывают дисперсию волн, получаются при коэффициенте с = 0 в уравнении.
Процесс диффузии неустойчивого газа (диффузия с распадом) приводит к уравнению
ut = О2△и + [ и,
где $ < 0 - характеристика вещества. Большой интерес представляют процессы диффузии при наличии цепных реакций (например, процесс размножения нейтронов), исследование которых приводит к уравнению
ut = а2Аи + ¡3 и,
где ¡3 > 0 (диффузия с размножением).
Изучение установившихся колебаний (механических, акустических, электромагнитных и т.д.) приводит к волновому уравнению
△и + си = 0,
где коэффициент с > 0, Кроме того, часто встречаются задачи об установившихся колебаниях в неоднородной среде - задачи теории дифракции,
В рассматриваемом уравнении (1.1) потенциалы являются нелокальными, так как все вещественные сдвиги hк (к = 1,п) не являются бесконечно малыми величинами и могут принимать сколь угодно большие значения. Отметим, что оператор сдвига не является подчиненным по отношению к дифференциальному оператору. Уравнение (1.1) связывает значения искомой функции и в (п + 1)-ой различной точке полуплоскости (x,t) € R1 х (0, что принципиально отличает дифференциально-разностные уравне-
ния от классических уравнений математической физики.
Вещественная часть символа дифференциально-разностного оператора L имеет вид
п
Re Щ) = -а2С2 — £ Ьк cos (hk£). к=1
Оператор — L(^) называется положительным, если —ReL(^) > 0 для любо го £ € R1, т.е. если выполняется неравенство
п
а2^2 + £ Ък cos (hk0 > 0. (1.2)
к=1
В дальнейших рассуждениях будем считать оператор —L(£) положительным.
Определение 1.1. Функция u(x,t) называется классическим решением уравнения (1.1), если в каждой точке полуплоскости (x,t) € R1 х (0, существуют классические, т.е. определенные в смысле пределов отношений конечных разностей, производные Utt и ихх, и в каждой точке этой полуплоскости выполняется соотношение (1.1).
2. Построение решений
Для нахождения решений уравнения (1.1) используем классическую операционную схему Гельфанда - Шилова [21, §10], согласно которой применим к равенству (1.1) преобразование Фурье Рх и получим для функции и(£,1) = Рх[и](£,1) обыкновенное дифференциальное уравнение
<12Щ,1) . 22
dt2
характеристическое уравнение которого имеет корни
+ £b*eZhk ^
— а2е + > >z u(Z,t), £ € (—«,, +«,), (2.1)
kio = ± i
\
a?i2 + bkeihk« = ± гр(£)ег^, k=1
где
' х2 / - \ А 4
Лс2
/ п \ 2 / п \
р(0 = | Í а2е2 + ^ bk cos (hkC)j + í^ bk sin (hk£)j | , (2.2)
Y, bk sin (h kC) k=i_
п
a2í2 + E &k cos (hkC)
:= 2 arctg--. (2-3)
k=1
Отметим, что для любых вещественных значений параметров a, bk, hk (к = и (
функции р(^) и <р(£) определены корректно. Таким образом, общее решение уравнения (2,1) определяется по формуле
, ¿) =(^<1 eííp(?)[cos^(S)+ísin^(?)] + С2(^) e-ííp(?)[cos^(?)+ísin^(?)]
=(ji (£) е-íp(?)[sin^(?)-í cos^(?)] + С2(£) eíp(^)[sin^(^)-í cos^(?)]
где С1 (£), С2(£) - произвольные постоянные, зависящие от параметра Положив значения констант С1(^) = 1, С2(£) = 0, из последнего равенства будем иметь
и(С, t) = e-t Gl(«e(2.4)
где введены обозначения
G1(0 :=p(0srn<p(0, G2(0 :=р(0ш><р(0. (2.5)
Применив к равенству (2.4) обратное преобразование Фурье F-1, получим выражение
и(х, t)=7 í e-íGl(«е^е-гхЧ^ = 1 í e-íGl(«ег(^)-х*)d£ 2 т J 2 т J
(2.6)
=27 J e-tGl(° cos (tG2(0 - хС)d£ +27 J e-tGl(° sin (tG2(0 - хС)d£.
—<x — <x
Следует отметить, что, формально применив прямое Fx и обратное F-1 преобразования
ле обобщенных функций, не заботимся об обосновании сходимости интегралов в (2.6). На основании (2.6), рассуждая так же, как и в [14], [15], докажем следующее утверждение.
Теорема 2.1. При выполнении условия (1.2) функции
F(х, t;0 := e-íGl(« cos(tG2® - х£), (2.7)
Н(х, t; 0 := e-tGl(« sin (tG2(О - х£), (2.8)
где G1(^>) и G2(^) определяются равенствами (2.5), удовлетворяют уравнению (1.1) в классическом смысле.
Доказательство. Подставим сначала функцию (2.7) непосредственно в уравнение (1.1). Для этого найдем
Fx(х, t,0=£ e-tGl® sin(t G2(0 -х£),
Fxx(х, t;0 = 42e-íGl(?) cos(tG2® - х£),
Ft(х, t; О = -G^e-íGl(?) cos (tG2® - х£) - G2(C)e-tGl(0 sin (tG2® - х£),
Ftt(x, t; О = (G*(О - G¡(0) e-tGi® cos (tG2(£) - <) + 2 G1(0G2(0e-tGl(e) sin (tG2(0 - x£). С учетом (2,5) будем иметь
2 G1(0G2(0 = P2(£)sin2 '(£).
Так как аргумент '(£) определяется выражением (2,3), то имеет место неравенство |2 '(£)| < а, следовательно, cos 2 '(£) > 0. Тогда выполняются равенства
Vcos2 2 '(£) = | cos 2 '(£)1 = cos 2 '(£) и справедливо следующее соотношение: tg2 <р(0
sin2 'АО
Vi + tg2 2 (
arctg ■
Е h sin (hkf) к=1_
п
а2£2 + Е h cos (hkО к=1
1 + tg2
arctg
Е bk sin (hkC) к=1_
п
а2£2 + Е h cos (hkC) к=1
Е bk sin (hkC) k=1
(
a2^2 + E bk cos (hkC) k=1
E bk sin (hkC)
" п
a2í2 + E &k cos (hkC) k=1
i+
E bk sin (hkO k=1
)
(W + E^k cos (hkC))
/
«2C2 + E h cos (hkC) k=1
)
i
V
п 2 п 2
f «2e + E bk cos (hk£) j + ( E bk sin (hkC) I k =1 k =1
В силу условия (1.2) и формулы (2.2) из последнего равенства получим
i
sin2 ' ( )
sin (hkС),
откуда следует, что
2 Gi(0G2(0 = Y1 bk sin (hkС).
k=1
cos 2 ' ( ) > 0
теперь
G2(0 - G2(0 =p2(0 (sin2 '(O - cos2 '(£))
P2(0
- p2 (O cos 2 '(O = -
(
- 2( )
V1+tg2 2 '(o
«2Г + E bk cos (hkC) k=1
У
V
п 2 п 2
«2C2 + E bk cos (hk0) + E &k sin (hkC) k=1 J \k=1 J
2 2
^ - bk cos(h kí).
k=1
2
2
С учетом найденных выражений Gf(£) - G^2(C) и 2G1(£)G2(£) из равенства (2,9) получим Ftt(x, t;0 = - ^2е2 + ¿ bk cos (hk£) j e-íGi(« cos (íG2(£) - x£)
п
+ Y^ bk sin (hkC) ■ e -tGl(« sin (íG2(0 - x£).
k=1
Подставив найденные производные Ftt и Fxx в уравнение (1.1), будем иметь
Ftt(x, t;0-a2Fxx(x, í;£)
(п п \
cos (t G2(0 -xC) -Y bk cos (hkC) - sin (t G2(0 -xC) ■ Y bk sin ht) k=1 k=1
п
= - e-^) Y^ bk (cos (tG2(0 - xC) ■ cos (hk0 - sin (tG2& - x£) ■ sin (hk£))
k=1
п п
- r --- cos (fG„( P) -xp + h A) = - V ,,, F -
bk cos (tG2(0 -x£ + hkC) = - £ bkF(x - hk, t; 0, k=1 k=1
F( x, ; )
Аналогично проверим, что и функция (2,8) удовлетворяет уравнению (1.1) в каждой точке полуплоскости (x, t) G R1 x (0, Вычислим
Hx(x, t;0 = -£e-íGl(« cos (^(£) - x^,
Hxx(x, t;0 = 4-tGl(0 sin (tG2(0 -x£),
Ht(x, t; 0 = -G1(0e-tGl^ sin (tG2® - x£) + G2(£)e-tGl^ cos (tG2® - x£), Htt(x, t; 0 = (G¡(0 - G^(0) e-tGl^ sin (tG2(£) - x£) - 2 G1(0G2(0e-tGlcos (tG2(£) - x£)
- I a2t2
i2 + £ bk cos (hk0 ) e-tGl(0 sin (tG2(0 - x£) k=1 J
Y bk sin (hkC) ■ e-tGl^ cos (tG2(0 - xC).
k=1
Подставив производные Htt и Hxx в уравнение (1.1), получим itt(x, í;M - a2
п
Htt(x, t; 0 - a2Hxx(x, t;0 = - e-tGl^ ( sin (tG2(0 - x£) ■ ^ bk cos (hk0
^ k=1
п \
+ cos (tG2(0 -x£) ■ J] bk sin (hkC) )
k=1 '
п í
= - e -tG^Y^ bJ sin (tG2(0 - xC) ■ cos (hk0 k=1 ^
+ cos (tG2(0 -x£) ■ sin (hk^
п
= - e Y bk sin (tG2(0 -xC + hk0
k=1
(х - hk, t;£).
k Н k=1
□
Следствие 2.1. При выполнении условия (1.2) семейство функций
G(х, t;a,3, О :=а e-tGl(?) cos (tG2(0 - х£)+/ e-tGl(?) sin(tG2(0 - х£),
где G^) и G2(^) определяются, равенствами (2.5), удовлетворяет уравнению (1.1) в классическом, смысле для, любых вещественных значений параметров а, 3 и
3. Классы уравнений, удовлетворяющих условию теоремы
Выясним теперь, каким соотношениям должны удовлетворять коэффициенты уравнения a, bk и сдвиги hk (k = 1,п), чтобы выполнялось условие (1.2) для любого вещественного значения Положив в (1.2) значение £ = 0, очевидно, получим неравенство
п
^ bk > 0. (3.1)
k=1
п
Рассмотрим функцию a2^2 + ^ bk cos (hk£) при £ G (0, Производная этой функции
k=1
равна
О 2t U - fu С\ О 2t Л S^bkhk sin(hkC)\
2a khk sin (Ы) = 2a U 1 - 2a2 hklk I . k=1 \ k=1 /
Так как
h
то справедливо неравенство
sin (h£)
< 1 при любом 4 Е (0,
A bkhl sin (hk0 > 1 _ ^ bkhk
^ 2а2 hkt ^ 2а2 ;
k=1 ks k=1
откуда делаем вывод, что производная положительна на промежутке £ Е (0, +ж) при выполнении условия
п
2а2 > ^ bkh2k. (3.2)
k=l
п
Тогда функция а2£2 + bk cos(hk£) при £ Е (0, +ж) возрастает, а при £ Е [0, +ж) прн-
k=l
п
ннмает наименьшее значение, равное bk > 0. В силу четности функции, это значение
k=l
является наименьшим для всех вещественных £ Е (-ж, Тем самым мы показали,
что условие (1.2), при котором справедлива теорема, выполняется, если коэффициенты уравнения а, bk и сдви ги hk (к = 1,п) удовлетворяют соотношениям (3.1) и (3.2).
Благодарности
Автор выражает благодарность A.B. Муравнику за постановку задачи и ценные советы, А.Л. Скубачевекому - за постоянное внимание к работе, участникам Второй Международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа - 2020» - за полезные обсуждения доклада.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. J. Bernoulli. Meditationes. Dechordis vibrantibis // Commentaril Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 3, 13-28 (1728).
2. H. Burkhardt. Entwicklungen nach oscillirenden Funktionen und Integration der Differentialgleichungen der mathematischen Physik // Jahresber. Deutsch. Math.-Ver. 10, 1-1804 (1908).
3. E. Pinnev. Ordinary Difference-Differential Equations. Berkeley and Los Angeles: University of California press. 1958.
4. P. Беллман, К.Л. Кук. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967.
5. A.L. Skubachevskii. Elliptic functional differential equations and applications. Basel-BostonBerlin: Birkhauser. 1997.
6. А.Л. Скубачевский. Неклассические краевые задачи. / // Совр. математика. Фундам. направления. 26, 3-132 (2007).
7. А.Л. Скубачевский. Неклассические краевые задачи. II // Совр. математика. Фундам. направления. 33, 3-179 (2009).
8. А.Л. Скубачевский. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // Успехи матем. наук. 71:5(431), 3-112 (2016).
9. Л.Е. Россовский. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием, и растяжением аргументов неизвестной функции // Совр. математика. Фундам. направления. 54, 3-138 (2014).
10. Е.П. Иванова. О гладких решениях дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигам,и аргументов // Матем. заметки. 105:1, 145-148 (2019).
11. А.Б. Муравник. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления, и, качественные свойства решений задачи, Коши // Совр. математика. Фундам. направления. 52, 3-143 (2014).
12. А.Б. Муравник. Асимптотические свойства решений задачи, Дирихле в полуплоскости для, некоторых дифференциально-разностных эллиптических уравнений, // Математ. заметки. 100:4, 566-576 (2016).
13. А.В. Muravnik. On the half-plane Dirichlet problem for differential-difference elliptic equations with several, nonlocal terms // Math. Model. Nat. Phenom. 12:6, 130-143 (2017).
14. А.Б. Муравник. Эллиптические задачи, с нелокальным потенциалом, возникающие в моделях нелинейной оптики // Матем. заметки. 105:5, 747-762 (2019).
15. А.В. Muravnik. Half-plane differential-difference elliptic problems with generalkind nonlocal potentials / / Complex Variables and Elliptic Equations, https://doi.org/10.1080/17476933.2020.1857372 (2020).
16. А.Б. Муравник. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения в полупространстве // Матем. заметки. 108:5, 764-770 (2020).
17. В.В. Власов, Д.А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории // Совр. математика. Фундам. направления. 30, 3-173 (2008).
18. Н.В. Зайцева. О глобальных классических решениях некоторых гиперболических дифференциально-разностных уравнений // Докл. РАН. 491:2, 44-46 (2020).
19. Н.В. Зайцева. Глобальные классические решения некоторых двумерных гиперболических дифференциально-разностных уравнений // Дифференц. уравнения. 56:6, 745-751 (2020).
20. N.V. Zaitseva. Classical solutions of hyperbolic differential-difference equations with several nonlocal, terms // Lobachevskii J. of Math. 42:1, 231-236 (2021).
21. И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. Краевые задачи, для, эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, и их приложения // Успехи матем. наук. 8:6, 3-54 (1953).
Наталья Владимировна Зайцева,
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова,
Ленинские горы 1, строение 52,
119991, г. Москва, Россия
E-mail: zaitseva@cs.msu.ru
