Элементы кинематической геометрии кривой линии Текст научной статьи по специальности «Математика»

3, Плотников Ю.В., Когут СЛ.. Элементы программно-аппаратного обеспечения станка с ЧПУ // Математическое моделирование и расчет узлов и устройств объектов железнодорожного транспорта: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омск, Омская гос. акад. путей сообщен™, 1997. С. 31—35.

4. Справочник по промышленной робототехнике: В 2-х кн. Кн. 1/Подред. Ш.Нофа;Пер.сангл. Д. Ф.Миронова и др.. — М.: Машиностроение, 1989. — 480 с.

5. МирошникИ.В, Согласованное управление многоканальными системами. — Д.: Энергоатомиздат, 1990. - С. 128.

6, Бурдаков С.Ф., Дьяченко В.А., Тимофеев А.Н. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов — М.:Высш.шк., 1986.— С. 264.

7. Борцов Ю.А., Соколовский Г.Г. Автоматизированный электропривод с упругими связями. — СПб,: Энергоатомиздат, 1992. — С. 288.

КОГУТ Станислав Алексеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматика и системы управления».

СИМАКОВ Александр Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматика и системы управления».

КОГУТ Алексей Тарасович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматика и системы управления».

УДК 514 18:514 7 К. Л. ПАНЧУК

Омский государственный технический университет

ЭЛЕМЕНТЫ

КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КРИВОЙ ЛИНИИ_

Исследуется кинематика трехгранника Френе пространственной кривой при перемещении его вдоль кривой. Приведены уравнения подвижного и неподвижного аксоидов трехгранника. В качестве примера рассмотрена цилиндрическая винтовая линия. Для плоской кривой линии показано, что ее трехгранник описывает подвижный аксоид -плоскость и неподвижный аксоид - цилиндрическую поверхность с направляющей линией — эволютой.

В начертательной геометрии известны кинематические исследования плоской кривой, описываемой вершиной ее подвижного трехгранника, и применение этих исследований в задачах кинематической геометрии на плоскости [1]. В плане развития этих исследований рассмотрим некоторые аспекты кинематики пространственной кривой.

Трехгранник Френе (ТФ) пространственной кривой при перемещении вдоль кривой совершает сложное движение, мгновенная вращательная компонента которого описывается вектором Дарбу [2]:

ф) = <тг + кр, (1)

гд &з(Т0)<5<з(Т)-Т11<1<Т\ р = р(1) - параметрическое уравнение кривой; 5 = зЦ) - длина дуги кривой, описываемая функцией, допускающей обращение ? = Цз) ; г , р - орты касательной и бинормали соответственно, определяющих ТФ в данной точке; а и к -соответственно кручение и кривизна кривой в этой точке.

Предположим, что ТФ является абсолютно твердым телом. В таком случае к нему применима основная теорема кинематики [3], которая позволяет определить полное мгновенное движение ТФ. Компонентами этого движения являются: мгновенное вращательное движение, вектор (1) которого может быть преобразован к виду:

7n) = a*L- k*Lp dt dt

(2)

а также мгновенное поступательное движение, описываемое вектором

rM> = TtT

(3)

Сложение движений, описываемых векторами (2) и (3), приводит к мгновенному_винту (МВ) [4], осько-торого параллельна вектору г и удалена от него на

расстояние |рмв|, представляющее собой модуль вектора

— Го х г к Рл|д = -^-= ,

г er + к

(4)

где и - орт нормали кривой. Параметр этого МВ определяется следующим образом;

ГоГ а

г а + к

(5)

Угловое положение оси МВ относительно вектора определяется

1

cosiy = пег ; sinw = пк ; п~ / ,,

Ver + Jr

(6)

Непрерывное однопараметрическое множество осей МВ, образуемое при перемещении ТФ вдоль кривой, представляет собой подвижный аксоид (ПА1 в системе координат т,и,р и неподвижный аксоид

(НА) в системе координат Х\Ъ. Определим уравнение ПА мгновенных винтовых осей ТФ:

Рп=Рмв+с1■

(7)

где й = йсоз^т + йэтч/Р; о( = р| - параметр, определяющий положение текущей точки оси МВ относительно точки приведения на ней. Учитывая (4), получим в обобщенном виде

Pn = hr + hP + hu .

(8)

где /, 1г = й5ту/; Ь - ^ ■

Анализ уравнения (8) показывает, что ПА представляет собой прямой коноид-линейчатую поверхность, образующие которой пересекают ортогонально ось

Поверхность эта ограничена вдоль оси о, поскольку непрерывная функция на отрезке

5(7"0 )< б <>8(Т) принимает максимальное и минимальное значения. Учитывая, что к(з)> 0 и (т(з)> О илистее О для пространственной кривой, на основании уравнения (8) делаем вывод, что условиям а > о и <т<0 соответствуют два ПА, зеркально-симметричных относительно плоскости векторов р и и. Уравнение НА может быть записано в векторной форме

Рн=Р + Рп

(9)

где р = х1 + у) + гк- уравнение исходной кривой линии. Учитывая известные в дифференциальной геометрии формулы для ортов г, Ъ^р [2], можно после преобразований выражения (9) записать уравнение НА в координатной форме:

хн = x + m,(xcr + aj + m.2x • ••

Ун =y+m,(y(T + a2) + m2y • ••

zH = z + ml(z<j + a3) + m2z

(Ю)

где m.=

+к2

т..

У z •• ••

У z

а, =

z х

Z X

X у

•• M

* У

Рассмотрим в качестве примера цилиндрическую винтовую линию постоянного шага. Ее векторное Уравнение имеет вид |3]:

p = ae(<p) + htpk

(11)

Н

а = -

к = -

В этом случае, согласно (4), (5) и (6) получаем

|р| = а; р = Л; соБу/ = -: = п = л/а;!+Л2 . Оче-11 л л

видно, 51'л^>0, т.е. 0 < у < л . На основании (И) можно записать:

- dp - dr _ - _ r = —; » = — ■, P = t*V\ ds ds

где ds = L/ dp = -Ja1 + h2d<p.

Используя предыдущие формулы, на основании (2), (3), (4) и (7) получим рп =kd-e(<p)a, откуда следует, что ПА вырождается в прямую, совпадающую с осью Z. НА, согласно (9) и (11)_, описывается векторным уравнением рн =(h<p+d)k. Очевидно, онтакже вырождается в прямую Z.

Рассмотрим плоскую кривую. Для нее имеет место <7 = 0, z = const • В этом случае вектор мгновенной угловой скорости согласно (2) принимает вид

dt

(12)

Вектор мгновенного поступательного перемещения определяется уравнением (3). Очевидно, ~?(1)±Гп(1) и р = 0 на основании (5). Из (4) следует

1 -

рт=-о, Таким образом, ПА плоской кривой описывается в соответствии с (6) и (8) следующим векторным уравнением

pn=Pd+v^ ,

(13)

где d е (-да,да). ПА представляет собой плоскость векторов р и и, образованную непрерывным множеством осей «чистых» мгновенных вращений ТФ, параллельных направляющему вектору р этой плоскости. Поскольку z = const, то из (10) следует:

= Х + -

y„=y+F;

(14)

гДе е(<р) = со8(р\ + 51П(р)\ 0<<р<2тт; Л = —; Н-шаг

2л

винтовой линии.

Параметры а и к линии постоянны и вычисляются следующим образом:

Первые два уравнения (14) совпадают с известными уравнениями эволюты плоской кривой [2] и вместе с третьим описывают НА — цилиндрическую поверхность с направляющим вектором р.

Библиографический список

1. А. В. Бубенников, М. Я. Громов. Начертательная геометрия. Иэд.2-е, перераб. и дополн. Высшая школа. М„ 1973. С. 416.

2. П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии. Госуд. изд-во техн.-теоретич. литературы. М., 1956. С. 420.

3. Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье. Курс теоретической механики. Т. 1. Статика и кинематика, Изд. 8-е, перераб. и дополн. М., изд-во «Наука», 1982. С. 352.

4. Ф. М. Диментберг. Теория винтов и ее приложения. М„ изд-во «Наука», 1978. С. 328.

a' + h' ' a +h

ПАНЧУК Константин Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.