Элементарная эквивалентность групп автоморфизмов редуцированных абелевых p-групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

12. Sirân J., Skoviera M. Orientable and non-orientable maps with given automorphism groups // Australas. J. Combin. 1993. 7. 47-53.

13. Fujii K. A note on finite groups which act freely on closed surfaces // Hiroshima Math. J. 1975. 5. 261-267,1; 1976. 6. 457-463, II.

Поступила в редакцию 20.04.2012

УДК 512.541.6 + 510.67

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГРУПП АВТОМОРФИЗМОВ РЕДУЦИРОВАННЫХ АБЕЛЕВЫХ р-ГРУПП

М. А. Ройзнер1

Рассматриваются неограниченные редуцированные абелевыр-группы (р ^ 3 Ai и A^. Доказывается, что если группы автоморфизмов Aut Ai и Aut A2 элементарно эквивалентны, то группы Ai и A2 эквивалентны в логике второго порядка, ограниченной финальным рангом базисных подгрупп групп Ai и A2.

Ключевые слова: элементарная эквивалентность, эквивалентность в логике второго р

Unbounded reduced Abelian p-groups (p > 3) Ai and A2 are considered. It is proved that Aut Ai Aut A2

Ai A2

Ai A2

р

phism groups.

1. Введение. В данной работе рассматриваются элементарные свойства (т.е. свойства, выразимые

р

Впервые вопросы связи элементарных свойств некоторых моделей с элементарными свойствами производных моделей были рассмотрены в 1961 г. А. И. Мальцевым в работе [1]. Он доказал, что группы Gn(K) и Gm(L) (G = GL, SL, PGL, PSL; n, m ^ 3 K, L — поля характеристики 0) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда m = n и толя K и L элементарно эквивалентны.

Развитие эта теория получила в 1992 г., когда с помощью конструкции ультрапроизведения и теоремы об изоморфизме [2] К. И. Бейдар и A.B. Михалев в работе [3] нашли общий подход к проблемам элементарной эквивалентности различных алгебраических структур и обобщили теорему Мальцева для случая, когда K и L являются телами и ассоциативными кольцами.

Продолжением исследований в этой области явились работы Е.И. Буниной 1998-2010 гг. [4-7], в которых результаты А. И. Мальцева были распространены на унитарные линейные группы над телами и ассоциативными кольцами с инволюцией, а также на группы Шевалле над полями и локальными кольцами.

В 2000 г. В. А. Толстых [8] рассмотрел связь свойств второго порядка тел и свойств первого порядка групп автоморфизмов бесконечномерных пространств над этими телами. В 2003 г. Е. И. Буниной и А. В. Михалевым [9] была изучена связь свойств второго порядка ассоциативных колец и свойств первого порядка категорий модулей, колец эндоморфизмов, групп автоморфизмов и проективных пространств модулей бесконечного ранга над этими кольцами.

В работе [10] Е.И. Бунина и A.B. Михалев установили связь между свойствами второго порядка р

В работе [11] Е.И. Бунина и М.А. Ройзнер рассмотрели связь между свойствами первого порядка группы автоморфизмов абелевой р-группы (р > 2) и свойствами второго порядка делимой части и базисной подгруппы самой группы.

1 Ройзнер Михаил Александрович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: MRoiznerQgmail.com. 15 ВМУ, математика, механика, №3

Данная работа является продолжением работы [11]. Мы устанавливаем связь между свойствами первого порядка группы автоморфизмов абелевой р-группы (р > 2) и свойствами второго порядка самой группы, ограниченными финальным рангом группы, при условии, что группа редуцирована.

2. Основные понятия. Абелева группа А называется п-огданмченной, если пА = 0. Группа называется ограниченной, если она п-ограничена для некоторого натурального п. Если такого п не существует, то такая группа называется неограниченной.

Будем говорить, что элемент а группы А делится на натуральное число п (обозначение п|а), если уравнение пх = а имеет решение в группе А. Группа О называется дели,мой, если п|а для всех элементов а € О и всех натуральных чисел п. Группы ^ служат примерами делимых групп. Группа называется редуцированной, если она не содержит ненулевых делимых подгрупп.

Подгруппа С группы А называется сервантной, если уравнение пх = д € С, имеющее решение во всей группе А, имеет решение и в С. Подгруппа С сервантна в группе А тогда и только тогда, когда

Уп € Z пС = С П пА.

Подгруппа В группы А называется р-базисной, если выполнены следующие три условия: 1) подгруппа В является прямой суммой циклических р-групп и бесконечных циклических групп; ВА

3) факторгруппа А/В является р-делимой группой.

рр

В дальнейшем нам будут важны р-группы и их р-базисные подгруппы. Если А есть р-группа ид —

простое число, отличное от р, то группа А имеет лишь одну ^-базисную подгруппу, а именно нулевую. рр

те

Теорема 1 [13]. Подгруппа, В = ф Вп, где Вп ^ прямая сумма групп Ърп, служит, базисной под-

п=1

группой для р-группы, А тогда и только тогда, когда при любом, целом п > 0 подгруппа, В1 ® ... ® Вп

рп А

р А А

Бесконечная система Ь = (а^ ^/элементов гру ппы А называется независимой, если в Ь всякая конечная подсистема независима. Независимая система М элементов группы А называется максимальной, если в А не существует независимой системы, строго содержащей М. Рангом г (А) групп ы А называется мощность ее максимальной независимой системы, содержащей только элементы бесконечного порядка или порядка, равного степени простого числа. Финальным, рангом базисной подгруппы В р-группы А называется минимум кардинальных чисел г(рпВ).

В работе [11] Е. И. Бунина и М.А. Ройзнер ввели некоторые формулы для работы с инволюциями

2

Инволюции е соответствует разложение группы А в прямую сумму: А = А+ ® А-, где А+ = (а € А | еа = а} и А- = (а € А | еа = -а}.

Формула Бх^еше(е) означает, что автоморфизм е является экстремальной инволюцией, т.е. инволюцией, для которой одно из слагаемых А+ и А- неразложимо. Неразложимое слагаемое экстремальной инволюции е мы будем обозначать через А6, а оставшееся слагаемое — через А^. Порядком, экстремальной инволюции е будем называть порядок слагаемого А6.

По инволюции £ мы не сможем отличить в языке первого порядка группы А+ и А-. Поэтому мы

будем иметь дело с парами (£,е), для которых Бх^еше(е) Л £е = е£. Для таких пар либо А6 с А+, либо А6 с А-, подгруппа А6 и будет нам указывать на нужную из групп А+ и А- (обозначим ее через

А(§,е))- Свойство быть парой мы будем обозначать формулой Ра1г(£, е) £2 = 1 Л Бх^еше(е) Л £е = е£. Вместо выражений У£Уе(Ра1г(£, е) ^ (...)) и 3£Е1е(Ра1г(£, е) Л (...)) мы будем писать соответственно У(£,е)и 3(£,е).

В работе [11, с. 7, 8, 10, 24] также были введены следующие формулы:

1) е € е1 ® е2 А6 с А61 ® А62 и А^ э А¡^ П А^ для экстремальных инволюций е, е^ е2, таких, е1е2 = е2е1

2) е2 € (£1, е1) А62 с А(^2,б2) для экстремальной инволюции е2 и тары (£1,е1);

3) (£1,е1) с (£2,е2) ^^ А(^1 >е1) с А(?2,в2);

4) (£1,е1) = (£2,е2) ^^ А(§1 ,£1) = А(?2,в2);

5) (£1,е1) П (£2,е2) = (£3,е3) ^^ А(?з,вэ) = А(?1,61) П А(?2,62)5

6) (£i,ei) © (6^2) = (£з, е3) %3,вз) = ©

7) = (6^2) ^ ©%2,в2) = А.

Формула f (£1) = £2 для экстремальных инволюций £1,£2 и произвольного автоморфизма f означает, что f (A£1) = A£2. Но такая ситуация возможна только тогда, когда по рядки слагаемых A£1 и A£2 совпадают, поэтому удобно ввести обозначение для соответствия неразложимых слагаемых разных порядков:

f def

£1 H £2 4== Extreme(£1) Л Extreme(£2) Л f (£1) е £1 © £2 Л f (£1) = £1 Л f (£1) = £2.

Формула ord(£1) < ord(£2) означает, что порядок экстремальной инволюции £1 меньше порядка

£2

3. Выделение базисной подгруппы. Пусть дана неограниченная редуцированная абелева р-группа A, имеющая бесконечную мощность ^ и финальный ранг базисной подгруппы ^fln. Существует разложение A = A1 © A2, такое, что порядок любой неразложимой под группы группы A1 меньше порядка любой неразложимой подгруппы группы A2 и ранг базисной подгруппы группы A2 равен ^fln. Покажем, как выделить такое разложение формулой. Лемма 1. Введем, формулу

ByOrd({,£) 4== V£^Extreme(£;) = (£ е ({,£) ^ ord(£) ^ ord(£))j.

Формула

Final({o,£o) 4=4 ByOrd({o,£o) ЛV(6,£l) С ({с,£0)(ByOrd(6 ,£1) =

выделяет, описанное выше разложение А = А\ ф А2, где А\ = , А2 = А^0>£0у

Доказательство. Формула ByOrd выделяет разложения А = А^-^-ф> в которых порядок любой неразложимой подгруппы группы ^гту меньше порядка любой неразложимой подгруппы группы

Final

ние А = A-j^r^j ф -А(£0)£0) должно быть разложением по порядку, а во-вторых, для любого разложения по порядку A(g0;£0) = -А(£ье1) © А^о £0)n(-g1 £1) ранг группы £0)n(gi ei) не превосходит ранга базисной подгруппы группы A(^1 ,£1). Последнее означает, что ранг базисной подгруппы группы А(^0>£0) равен финальному рангу ^fin.

Зафиксируем пару ({сь^о) и обозначим Aiow = £о~), =

Лемма 2. Для любой редуцированной неограниченной абелевой р-группы A существует такой автоморфизм v, что v |ai = id и Im ^v — id \Afij = B для, некоторой базисной подгруппы, B, т.е. для,

любого b е B существует элемент, a е Afln; такой, что v(a) = a + b, и, наоборот,, для любого a е Afln существует элемент b е B, такой, что v(a) = a + b.

Доказательство. Возьмем базисную подгруппу B, такую, что Aiow С B. По теореме 2 существует

такой эндоморфизм £: A H B, что £ 1 . = id и Im (£ 1 . ) = B П Afln, причем ord(£(a)) < ord(a) для

' A low V ' A fin /

каждого a е Afln. Тогда построим автоморфизм v независимо на A iow и на Afln таким образом: пусть v L = id и v L = id + £. Очевидно, мы получим требуемый автоморфизм.

IA low IA fin *

Сопоставим автоморфизму v подгруппу Bv с помощью формулы. Следующая формула показывает, когда неразложимая подгруппа, соответствующая экстремальной инволюции £, лежит в группе Bv:

def i

InBase(£, v) 4== 3 £low,£flnf Extreme(£iow) Л Extreme(£fln) Л £ е £iow © £йпЛ

Л £ low С A low Л £ fln С A fin Л 3 £ С A fln (£ H £ fin Л ord(£) > ord(£ fln))) .

Лемма 3. Для авт,ом,орфизм,а, и, определяемого в лемме 2, соответствующая подгруппа Ви совпадает с исходной, базисной подгруппой, В.

Доказательство. Пусть Ае лежит в В. Тогда Ае лежит в прямой сумме Ае 1ош ф Ае Яп, где Ае 1ош С В П Аlow =: В и АеЯп С В П Адп =: Вдп. Пусть АеЯп = (Ь). Тогда существует элемент а € Адп

16 ВМУ, математика, механика, №3

большего порядка, чем Ъ, такой, что V(а) = а + Ъ, и в качестве е' можно взять экстремальную инволюцию, соответствующую неразложимой подгруппе (а), так как (а) ® V((а)) = (а) ® А6Яп.

Обратно, пусть для экстремальной инволюции е выполнена формула ГпВаве. Тогда, очевидно, А61ош лежит в В. Теперь рассмотрим А6Яп = (Ъ). Пусть А6' = (а) V(а) = ка +1Ъ. По построению V имеем к = 1.

Так как (а) ® (ка + 1Ъ) = (а) ® (Ъ), то 1 /р. Тогда для некоторого т выполнено V(та) = та + Ъ, т.е. Ъ € В. Утверждение доказано.

Теперь нам необходимо записать условие на V о том, что подгруппа В^ является базисной. Для этого введем обозначения.

1. Формула

Без^ье!) Уе^е2 € (£1,е1) ^ огё(е2) ^ огё(е))

выделяет пары инволюций (£1 ,е1), которым соответствуют прямые суммы циклических групп порядка, не превосходящего огё(А6).

2. Формула

МахИ^е(£ъе1) Reste(£l,е1) ЛУ(£2,е2^Reste(£2,е2) ^ (£1,е1) с (£2,е2))

выделяет пары инволюций (£1 ,е1), которым соответствуют максимальные прямые суммы циклических групп порядка, не превосходящего огё(А6). Лемма 4. Для автоморфизма V формула

ЬзВазе^) Уе0 Extreme(еo) ^ У(£,е)^Уе' (е' с (£,е) ^

^ огё(е') ^ огё(е0) Л 1пВазе(е', V)) ^ МахБез^0(£,е)

истинна тогда и только тогда, когда подгруппа В^ базисная.

Доказательство. Условие ^Вазе^) означает, что любое ограничение порядком огё(ео) подгруппы В^ является максимальным огё(ео)-ограниченным слагаемым группы А. Утверждение леммы следует из теоремы 1.

4. Выделение формульных множеств в базисной подгруппе. В работе [11, с. 8-11] был доказан вариант теоремы Шелаха [14] для случая, когда О — множество наборов автоморфизмов, некоторым способом кодирующих эндоморфизмы группы А = ф Zр1 (1 € М).

Теорема 3. Существует формула <£>(...); удовлетворяющая следующему условию. Пусть (/¿}гем _ множество элементов из О.. Тогда можно найти вектор д, такой, что формула £>(/,д) истинна в О тогда и только тогда, когда / = / для некоторого г €

Чтобы пользоваться теоремой Шелаха в случае неразложимых прямых слагаемых базисной подгруп-ВВ / /1 /2

В

/(Аб1) = Аб2 3е(Extreme(е) Л е Д е1 Л е Д е2).

Композиция отображений очевидным образом выражается через последнюю формулу. Таким образом, мы получаем теорему Шелаха в следующем виде.

Теорема 4. Пусть О — множество экстремальных инволюций, соответствующих прямым слагаемым из В. Существует формула ф(...), удовлетворяющая следующему условию. Пусть (/¿}гем _ множество элементов из О.. Тогда можно найти вектор д, такой, что формула (р(/,~д) истинна в О тогда и только тогда, когда / = /г для некоторого г €

5. Введение структуры на базисной подгруппе. С помощью теоремы 4 введем множество экстремальных инволюций, соответствующее разложению базисной подгруппы на неразложимые слагаемые. Это множество должно удовлетворять двум условиям: во-первых, инволюции в нем должны быть независимы друг с другом, а во-вторых, любое надмножество экстремальных инволюций должно содержать зависимые инволюции. Обозначим это множество через Ед.

Пусть В = ф Вг, где Вг — неразложимые слагаемые. Мы хотим выделить множество автоморфиз-

г

мов дг^-, где огё(Вг) ^ огё(В^), которые задавши бы порождающие элементы Ъг этих неразложимых слагаемых, а именно Вг = (Ъг) для любо го г, д^ = и д^ (Ъг) = Ъг + Ъ^- для любых г,

т=г

в

Лемма 5. Пусть автоморфизм д таков, что д = и д(Ъг) = к1 Ъг + к2Ъ^ для некоторых

т = г

г, У, к1 = 0,к2 = 0, где Вг = (Ъг); В, = (Ъ,). Тогда к1 = 1 тогда и только тогда, когда для некоторого к и автоморфизма до? такого, что до = и до(Ъд) = ¿1Ъ^ + 12Ъг для некоторых 11 =0,12 = 0, где

^^ Вт

т = к

В^ = (Ъд ); верно включение до~1ддо (Вд) с Вд ® В,. Доказательство. Имеем

до"1ддо (Ък) = до_1д(11 Ък + №) = д-1 (11 Ък + Ъг + ^Ъ,) = Ък + - 1) Ъг + 12 к2Ъ^-.

Отсюда видно, что д—1ддо (Вд) лежит в Вд ® В, тогда и только тогда, когда к1 = 1. Лемма доказана. Теперь зададим условия на множество автоморфизмов.

1) Для каждых г и у, огё(Вг) ^ огё(В,), в множестве должен существовать ровно один автоморфизм дг,, который тождествен на ф Вт и переводит Вг в подгруппу группы Вг ® В,, не совпадающую

т=г

ни с В^ с В,. Других автоморфизмов в множестве не должно быть.

2) Для каждого автоморфизма д, из этого множества д, (Ъг) = Ъг

+ кг,Ъ, для некоторого кг,, где Вг = (Ъг), В, = (Ъ,). Это условие можно записать в виде формулы благодаря лемме 5.

3) Выполнено равенство д—/д-1 д^дг, = дг& для любых трех автоморфизмов дг,,д,к,дгк из этого множества. Это условие согласует коэффициенты кг, между собой.

Таким образом, выбрав соответствующие порождающие Ъг, можем считать, что все коэффициенты кг, равны единице, т.е. дг, (Ъг) = Ъг + Ъ,.

Полученное с помощью теоремы 4 множество, удовлетворяющее данным условиям, обозначим через Ей.

А

А

дый элемент группы с помощью некоторого автоморфизма и задать формулами равенство и сложение

А

носильное ему предложение в языке первого порядка группы автоморфизмов А^ А, заменив все кванторы по элементам группы и предикаты равенства и сложения на соответствующие им кванторы по интерпретирующим автоморфизмам и формулы, задающие равенство и сложение (подробности о преобразовании предложений см. в [11]).

А

прямое слагаемое Вг = (Ъг) базисной подгруппы В большего порядка. Тогда существует автоморфизм /, тождественный на прямом дополнении к Вг и переводящий Ъг в Ъг + а. Таким автоморфизмом и будет

а

/

3ег € Ед 3еа (Ех^ете(еа) Л ег Д еа) Л Уе, € Ед (ег = е, ^ /(е,) = е^.

/1 /2

/1 = /2 3е1,е2 € Ед 3еа (Ех^ете(еа) Л е1 Д еа Л е2 Д еа Л 3дг, € Ей(е1 Д е2 Л д-1^, = /0). Наконец, запишем формулу сложения таких автоморфизмов:

/1 + /2 = /3 44 3/1 ,/2,/3(/1 - /1 Л /2 - /2 Л /з - /3Л

Л 3ег € Ев (/1 (ег) = ег Л /2 (ег) = ег Л /3 (ег) = ег Л /3 = /1 /2)

А

А

дело с неограниченной редуцированной абелевой р-группой А, для которой известно разложение А = 17 ВМУ, математика, механика, №3

Ai ф A 2 = A iow ф A где груипа A fin имеет ранг базисной подгруппы, равный финальному рангу ß fin. Также известно разложение базисной подгруппы B = Biow ф Bfin, где Biow С Aiow, Bfin С Afin. Выразим логику второго порядка группы A, ограниченную ßfln. Идея интерпретации такая же, как и в работе [11].

Нам потребуется множество независимых пар инволюций, где каждая пара соответствует прямому слагаемому группы Bfln. В каждом таком прямом слагаемом должны содержаться неприводимые прямые слагаемые сколь угодно высокого порядка. Всего таких пар должно быть ßfin. Как и в работе [11], такое множество можно выделить с помощью теоремы 4. Назовем это множество F fin.

На каждом прямом слагаемом, соответствующем паре (£,e) из Ffin, интерпретируем элемент груп-A

мых прямых слагаемых из B следует брать неразложимые прямые слагаемые из A(g>e). Два автоморфизма будут эквивалентны (т.е. будут кодировать один и тот же элемент группы), если они отличаются на автоморфизм, тождественный на A(g>e):

/i ~(f>e) /2 Ä 3/ (Ve e (£,e)/(e) = e Л f = /2/).

Оставшаяся часть доказательства выразимости логики второго порядка полностью аналогична таковой в работе [11]. А именно каждому предложению ф ограниченной логики второго порядка группы A соответствует эквивалентное предложение ф логики первого порядка группы Aut A, полученное по определенному алгоритму. В этом алгоритме все предметные переменные заменяются на кодирующие их автоморфизмы, a k-местные предикатные переменные заменяются на k автоморфизмов /1,...,/ кодирующих элементы на каждом прямом слагаемом A(g>e), (£,e) e Ffin. Набор (xi,..., ) принадлежит этому предикату, если существует прямое слагаемое A(g e), на котором автоморфизм / кодирует элемент Xi для каждого i = 1,... , k. Подробнее данный алгоритм описан в работах [10, 11].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мальцев А.И. Об элементарных свойствах линейных групп // Проблемы математики и механики. Новосибирск, 1961. 110-132.

2. Кейслер Г., Чэн Ч.Ч. Теория моделей. М.: Мир, 1977.

3. Beidar C.I., Michalev А. V. On Malcev's theorem on elementary equivalence of linear groups // Contemp. Math. 1992. 131. 29-35.

4. Бунина 1%. II. Элементарная эквивалентность унитарных линейных групп над полями // Фунд. и прикл. матем. 1998. 4. 1-14.

5. Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность унитарных линейных групп над кольцами и телами // Успехи матем. наук. 1998. 53, № 2. 137-138.

6. Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность групп Шевалле // Успехи матем. наук. 2001. 56, № 1. 157-158.

7. Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность групп Шевалле над локальными кольцами // Матем. сб. 2010. 201, № 3. 3-20.

8. Tolstykh V. Elementary equivalence of infinite-dimensional classical groups // Ann. Pure and Appl. Log. 2000. 105. 103-156.

9. Бунина Е.И., Михалев A.B. Элементарные свойства категорий модулей над кольцом, колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов модулей // Фунд. и прикл. матем. 2004. 10. № 2. 51-134.

10. Бунина Е.И., Михалев A.B. Элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов абелевых р-групп // Фунд. и прикл. матем. 2004. 10, № 2. 135-224.

11. Бунина Е.И., Ройзнер М.А. Элементарная эквивалентность групп автоморфизмов абелевых р-групп // Фунд. и прикл. матем. 2009. 15, № 7. 81-112.

12. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы: Т. 1. М.: Мир, 1974.

13. Szele Т. On the basic subgroups of abelian p-groups // Acta math. Acad. sei. hung. 1954. 5. 129-141.

14. Shelah S. Interpreting set theory in the endomorphism semi-group of a free algebra or in the category // Ann. sei. Univ. Clermont. 1976. 13. 1-29.

Поступила в редакцию 28.05.2012