CC BY
13
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА
УДК 537.2:620.3
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ НА ИЗОЛИРОВАННОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ СФЕРЕ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСТОЧНИКОВ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Д. В. КОМНАТНЫЙ
Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого», Республика Беларусь
Ключевые слова: наносистемы, микросистемы, электростатическая индукция, изолированная сфера, заряженная прямая нить, заряженная круговая нить, метод отражений, теоремы сложения.
Введение
При разработке процессов высоковольтных электротехнологий, конструировании нано и микросистем возникает необходимость анализа электростатической индукции на проводящих объектах сферической формы [1]-[4]. В указанных работах рассмотрена электростатическая индукция на заземленной сфере, потенциал которой численно равен нулю, в присутствии точечного электрического заряда или диполя. Однако решение этой задачи приведено в очень большом числе литературных источников, в том числе в учебных пособиях по различным дисциплинам [5]-[8]. С другой стороны, по результатам [9] можно заключить, что для практических приложений востребовано рассмотрение электростатической индукции на изолированной проводящей сфере. В нано- и микросистемах часто встречаются более сложные источники электростатического поля в виде заряженной прямой либо круговой нити. Задача об электростатической индукции на изолированной проводящей сфере в присутствии указанных источников электростатического поля практически не представлена в научных и научно-технических публикациях.
Целью настоящей работы является получение расчетных соотношений для потенциала и поверхностной плотности электрического заряда, индуцированных на изолированной проводящей сфере элементарными источниками электростатического поля в виде заряженной прямой нити и заряженной круговой нити.
Постановка задачи
В бесконечном пространстве Я3 с диэлектрической проницаемостью среды во размещена изолированная проводящая сфера. С центром сферы связана система координат 0ху2. На некотором расстоянии от сферы размещен элементарный источник электростатического поля (рис. 1). Линейная плотность электрического заряда источника предполагается постоянной. Размеры источника и расстояние от него до сферы таковы, что электрическое изображение источника в сфере целиком размещается внутри сферы, а центр сферы не совпадает с изображением источника. По электростатической индукции сфера приобретает постоянный, заранее неизвестный потенциал. Также на сфере появляются индуцированные электрические заряды, при этом суммарный заряд сферы равен нулю. Требуется найти потенциал сферы и поверхностную плотность индуцированных электрических зарядов на ней.
г
А
Рис. 1. Изолированная проводящая сфера в присутствии элементарного источника электростатического поля: а - прямой нити; б - круговой нити
Вывод расчетных соотношений для случая прямой нити. Для расчета потенциала электростатического поля, созданного в пространстве источником электрического поля и индуцированным на сфере электрическим зарядом, наиболее просто применить метод электрических изображений в сфере [6], [7]. Поэтому в настоящей статье для достижения поставленной цели применяется этот метод с необходимыми дополнениями, позволяющими получить расчетные соотношения для индуцированного потенциала и поверхностной плотности электрического заряда на сфере в наиболее оптимальной сферической системе координат.
В случае прямой заряженной нити, линейная плотность электрического заряда которой т, для каждого элементарного заряда dq = тёа вводятся электрическое отражение - dq— на расстоянии Ь = —■ от центра сферы О и заряд dq— в центре сфе-а а а
ры О [7].
Тогда потенциал, созданный элементарным зарядом нити и его электрическими изображениями в произвольной точке пространства, имеет вид:
dф = —— 4л;в,
тda тR0da ^ тR0da
г1 аг2 аг0
(1)
где ф - потенциал, В; во - электрическая постоянная, Ф/м; —0 - радиус сферы, м; а - расстояние от элементарного заряда до центра сферы, м; г1 - расстояние от заряда dq, м; г2 - расстояние от электрического изображения заряда dq, м; г0 - расстояние от заряда в центре сферы, м.
Для расчета электростатической индукции на сфере расстояния г1 и г2 необходимо переразложить в сферической системе координат, связанной с декартовой 0ху2 и центром сферы. Для этого используются представления, указанные в [10]. Они основаны на теоремах сложения для двух сферических систем координат, центры которых лежат на общей вертикальной оси и сдвинуты по этой оси на некоторое расстояние [11]. Результат преобразования (1) имеет вид:
дф =
1
4л:в0
ю п ю тр2п+1 тр
2 ^ рп (сов 0) О^-ПТгРп (сов 0) + ^ да
п=1 а Г аг
а
(2)
где п - счетная переменная; г - радиальная сферическая координата, м; Рп - полином Лежандра порядка п; 0 - угловая сферическая координата, рад.
Расстояние а изменяется в пределах координат концов заряженной нити 21 и 22. Поэтому для вычисления потенциала, созданного всей нитью, ее электрическим изображением и зарядом в центре сферы, выражение (2) следует проинтегрировать от 21 до 22:
ф =
4л:в0
22 , ю 2 да
2 (сов ®»-2!
п=0 V" У п=1
да | т—
ап+1 У гп+1
2^Рп (сов 0) + ^ |
г2/ -т— г [ да
21
г * V а 21
. (3)
Вводятся обозначения:
1 2
да
1 , ^2 1
а0 =-1п—, ап =
4л:в0 V ап+1 / 0 4л:в0 2х' " 4л:в0
21
11
пп
V 21 22 У
при п > 1.
Тогда (3) записывается в форме
ф =
1
4л:в0
ю ю тТ?2п+1 _ 73
2 ап тг"Рп (сов 0) - 2 ап (сов 0)+а0 ^
(4)
Если в (4) положить г = —0, то на поверхности сферы потенциал будет
ф
г = —
= та0 =
1 -1й -Г2
4лв0 21
(5)
Очевидно потенциал сферы - величина постоянная, таким образом, решение (4) соответствует одному из граничных условий задачи.
Поверхностная плотность заряда на поверхности сферы вычисляется по формуле
а = -в,
дф дг
г = —
(6)
где а - поверхностная плотность электрического заряда сферы, Кл/м Подстановка (4) в (6) после преобразований дает:
а = -в 0
т
2аК1 (2п + 1)п (сов 0)-—а0
V п=0
—0
(7)
2
1
ап
Полный заряд сферы q определяется по формуле
2 пп
q = JcdS = ||аД2 sin &d&d\. (8)
S 0 0
Подстановка (7) в (8) и интегрирование с учетом известных свойств полиномов Лежандра [5] позволяет убедиться, что полный заряд сферы численно равен нулю. Таким образом, выражение (7) соответствует граничному условию задачи. Следовательно, соотношения (5) и (7) верно описывают результат электростатической индукции на изолированной проводящей сфере в присутствии заряженной прямой нити.
Вывод расчетных соотношений для заряженной круговой нити. В случае круговой заряженной нити для каждого элементарного заряда нити dq вводится электрическое изображение в сфере dq2. Элементарный заряд круговой нити равен
dq = iRr1d\, (9)
где Rri - радиус нити, м; у - угловая координата, рад.
Заряд электрического изображения элементарного заряда dq равен [7]:
_R R
dq2 d\\ , (10)
roi
где Rs - радиус сферы, м; r01 - расстояние от центра сферы до элементарного заряда, м. Электрическое изображение элементарного заряда лежит на расстоянии r02 =
r01
от центра сферы O [7]. Элементарный заряд полученной в результате электрического изображения круговой нити радиуса Rr2 имеет выражение dq2 = xRr2d\, поскольку угловая координата у для обеих нитей равна (рис. 1, б). Тогда из (10) следует, что для линейной плотности заряда нити-изображения т2 справедлива формула
т2 Rr 2 =-т ^. (11)
В центре сферы размещается точечный заряд, численно равный полному электрическому заряду нити-изображения [7], умноженному на -1. Потенциал этого заряда с учетом (1о) вычисляется по формуле
Фо =jRi ldw=RR,
0 4лвоroir 0 28оГо1Г
i dw = . (12)
J /от* т*
Для расчета электростатической индукции на сфере необходимо потенциалы исходной нити и нити-изображения в сфере переразложить в сферической системе координат, связанной с декартовой Oxyz и центром сферы. Для этого в [10] приведены соотношения, основанные на соответствующих теоремах сложения, которые содержатся в [11]. С учетом (11) эти соотношения имеют вид:
ш TR (— I")"
Ф.1 = 1^4^ P (cos ©0 )r"Pn (cos 0); (13)
"=0 r01
r01
Ф
к2
^ 2р
n=0 п
2n+l
(-1)"
.и+1
Pn (cos 0О Pn (cos 0).
(14)
а
Из геометрических соображений (рис. 1, б) следует, что cos 0О = — . Тогда соот-
ношения (13) и (14) приобретают вид:
= И^ (а_(cos0).
фк1 S 2_r1 ^n+1 P"
"=0 z't>0 '01
V r01 у
(-1)" P f а 1 1 P ( 0)
= ^-r1 ^ v ' P--"+1 pn (cos 0).
Фк2 =S
2s0
-P
n+1 n
V r01 у
(15)
(16)
Потенциал на поверхности сферы вычисляется путем суммирования потенциалов источников поля (12), (15), (16) и подстановки в эти формулы г = В результате получается
Ф0
r = R
+ Фк1
r = R,
+ Фк2
xRr
r = R
2r P
(17)
Потенциал сферы получается постоянным, следовательно, соотношения (12), (15), (16) соответствуют одному из граничных условий задачи.
Поверхностная плотность электрического заряда сферы определяется по формуле (6). После подстановки в нее суммы потенциалов (12), (15), (16) и преобразований получается
а =
Rr1T 2Г0Д
¿-1 ,-"-1
(- Г P" i-Vn (cos 0)[(-1)"+1 n + (-1)" (- (n +1))]. (18)
01
V r01 у
Полный заряд сферы определяется по (8). Подстановка (18) в (8) и интегрирование с учетом известных свойств полиномов Лежандра [5] показывает, что полный заряд сферы численно равен нулю. Таким образом, формулы (12), (15), (16), (18) удовлетворяют граничному условию задачи для полного электрического заряда сферы и верно описывают результат электростатической индукции на сфере от заряженной круговой нити.
Заключение
Приведенные в статье результаты позволяют сделать вывод, что расчет электростатической индукции на проводящей изолированной сфере от элементарных источников электростатического поля - прямой заряженной нити, круговой заряженной нити, может быть осуществлен на основе метода электрических изображений в сфере. Для переразложения потенциала исходных источников и их изображений в системе координат, связанной с центром сферы, применяются теоремы сложения [11]. Полученные соотношения для потенциала поверхности сферы и поверхностной плотности электрического заряда сферы удовлетворяют граничным условиям задачи: постоянству потенциала сферы и равенству нулю ее полного электрического заряда [7]. Следовательно, по теореме единственности решения уравнений электростатического поля [7] полученные расчетные соотношения являются верными. Таким образом, поставленная в статье цель может считаться достигнутой. Полученные ре-
01
r
01
n=0
01
n=0
зультаты могут применяться для проектирования микро- и наносистем, анализа высокотехнологических процессов, т. е. в наиболее прогрессивных областях техники.
Они также являются новыми для физического и математического моделирования
электростатической индукции, таким образом, имеют и теоретическое значение.
Литература
1. Xu, Z. Electrostatic interaction in the presence of dielectric interlaies and polarization-induced like-charge attraction / Z. Xu // Physical Review E. - 2013. - Vol 87, № 1. -P. 15-22.
2. Yu, D. The effect of shape and roughness on the maximum induction charge for small particles / D. Yu, G. S. P. Castle, U. Adamiak // Journal of physics 2008 conference. Series 142 / Journal of physics. - London : Journal of physics, 2008. - P. 1-6.
3. Lot, A. Modeling of electrostatic forces induced by chemical surface functionalization for microrobotic applications / A. Lot [et al.] // IEEE/RST International Conference on Intelligent Robots and Systems / IEEE/RST. - Tokyo : IEEE, 2013. - P. 2065-2070.
4. Santos, F. C. The electrostatic field of a point charge and an electrical dipole in the presence of a conducting sphere / F. C. Santos, A. C. Tort // European journal of physics. -2004. - № 25. - P. 859-868.
5. Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. - М. : Высш. шк., 1970. - 712 с.
6. Матвеев, А. Н. Электродинамика / А. Н. Матвеев. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Высш. шк., 1980. - 383 с.
7. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники: Электромагнитное поле : учеб. для студентов вузов / Л. А. Бессонов. - М. : Высш. шк., 1978. - 231 с.
8. Слободянюк, А. И. Сборник задач по физике. Очень длинные физические задачи / А. И. Слободянюк. - Минск : БГУ, 2001. - 180 с.
9. Высоковольтные электротехнологии : учеб. пособие по курсу «Основы электротехнологии» / А. О. Аношин [и др.] ; под ред. И. П. Верещагина. - М. : Изд-во МЭИ, 1999. - 204 с.
10. Ерофеенко, В. Т. Основы математического моделирования / В. Т. Ерофеенко, И. С. Козловская. - Минск : БГУ, 2002. - 195 с.
11. Ерофеенко, В. Т. Теоремы сложения / В. Т. Ерофеенко. - Минск : Наука и техника, 1989. - 254 с.
Получено 28.02.2019 г.
