CC BY
224
УДК 621.371
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КРИСТАЛЛЫ, ИХ ОСОБЕННОСТИ И ПРИМЕНЕНИЕ А.С. Авдюшин, М.Ю. Власов, Ю.Г. Пастернак, А.П. Ярыгин
В статье приводится обзор информации и научных работ об электромагнитных кристаллах, дается краткое описание особенностей распространяющихся в них электромагнитных волн
Ключевые слова: электромагнитные кристаллы, метаматериалы, отрицательная среда, киральная среда
Начиная с девяностых годов ХХ века в научной литературе наблюдается лавинообразный рост публикаций по ряду направлений, которые впоследствии были объединены общим названием «метаматериалы». К этим направлениям относятся бианизо-тропные и киральные среды, фотонные, электромагнитные, магнонные и фононные кристаллы, отрицательные среды и т.д. Все перечисленные структуры представляют собой искусственные объекты, в которых могут распространяться волны различной природы. Интерес к этим объектам обусловлен тем, что они часто обладают свойствами, которые либо вообще не встречаются в естественных средах, либо выражены весьма слабо. Наибольшее внимание исследователей привлекали электромагнитные волны и, соответственно, электромагнитные свойства ме-таматериалов [1]. Тем не менее, особенно когда речь идет о кристаллических метаматериалах, следует отметить работы, посвященные свойствам спиновых (магнитостатических) [2] и акустических волн [3] в искусственных средах.
Идея искусственной среды появилась задолго до девяностых годов [4]. Основой искусственной среды служит искусственная частица, которая может иметь произвольную структуру. В качестве таких частиц используют диэлектрические, металлические, магнитные и другие образцы различной формы: сферы, цилиндры и т.д. [5]. Искусственные частицы располагаются в некотором объеме, формируя искусственный материал. Распределение частиц в объеме может быть случайным или регулярным, когда частицы располагаются упорядоченно в узлах решетки. В последнем случае уместно говорить об искусственном кристалле.
Искусственные материалы, как они понимались на первых этапах исследования, имели две существенные особенности:
- характерное расстояние между частицами (в случае упорядоченного расположения частиц - период решетки) много меньше длины волны в среде;
Авдюшин Артем Сергеевич - ЗАО «ИРКОС», нач. отдела, e-mail: [email protected].
Власов Михаил Юрьевич - ВГТУ, аспирант, e-mail: [email protected]
Пастернак Юрий Геннадьевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: [email protected]. Ярыгин Анатолий Петрович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: [email protected]
- частица имеет простую структуру, т.е. обладает малыми по отношению к длине волны размерами, не имеет резонансных или особых пространственных свойств.
Выполнение этих условий позволяло описывать искусственные материалы в терминах усредненных макроскопических параметров, таких как диэлектрическая и магнитная проницаемости. Качественный скачок в исследовании искусственных сред и переход к метаматериалам был обусловлен снятием ограничений на свойства частиц и расстояние между ними [6].
Увеличение периода решетки искусственного кристалла до размеров, сравнимых с половиной длины волны, привело к появлению ряда новых физических особенностей у волн в таких кристаллах. Все они связаны со структурными резонансами, наиболее ярким проявлением которых является появление полосы запирания, в которой волна становится затухающей [7]. При этом ее поле описывается экспонентой с действительным показателем. Оказалось, что при определенных условиях возможно создание сред, в которых в некоторой полосе частот будут отсутствовать распространяющиеся волны [8]. То есть ни при каких направлениях и ни для какой поляризации волна не может иметь действительную постоянную распространения. Указанная полоса частот называется полосой запирания.
Впервые такие кристаллы были предложены для использования в оптическом диапазоне частот [9]. По этой причине для них был предложен англоязычный термин photonic bandgap (PBG) crystal, который можно перевести на русский язык как «фотонный кристалл в запрещенной зоне» (полосе запирания).
Поскольку с точки зрения распространения между волнами оптического и СВЧ-диапазонов существенной разницы нет, то вскоре появились электромагнитные и electromagnetic bandgap (EBG) кристаллы, являющиеся полным аналогом фотонных кристаллов, но в СВЧ-диапазоне [10]. Построение феноменологической модели электромагнитного кристалла, позволяющей определить параметры его собственных волн, показано в работе [1] с использованием результатов работ [11-17]. Эффекты, возникающие на границах электромагнитных кристаллов, также описаны в работе [1] с применением соотношений, полученных в [18-25].
Приставка «мета» в переводе с греческого означает «следующий». Таким образом, метамате-
риал - это следующий за материалом (за «обычным» искусственным материалом). В этом смысле перечисленные выше классы искусственных кристаллических структур имеет смысл называть метакри-сталлами, которые являются следующим этапом развития «обычных» кристаллов. На сегодня термин метакристаллы объединяет фотонные, электромагнитные, магнонные и фононные кристаллы. В будущем можно ожидать появления новых типов ме-такристаллов.
В теории периодических структур появление запрещенных зон известно достаточно давно [26]. Его связывают с синфазным сложением отраженных волн от периодически расположенных нерегулярно-стей. В электромагнитном кристалле в качестве таких нерегулярностей выступают слои частиц (см. рис. 1).
, ) , )
Рис. 1. Синфазное сложение волн, отраженных от слоев электромагнитного кристалла
Если расстояние между слоями кратно половине длины волны в среде, в которой они расположены, то отраженные волны суммируются синфаз-но. Поэтому на частотах, соответствующих этому условию, собственная волна периодической структуры оказывается нераспространяющейся. Ее волновое число является мнимой величиной, которая характеризует скорость затухания волны. В оптическом диапазоне эффект синфазного сложения отраженных волн называют брэгговским отражением. Процессы формирования запрещенных зон в двумерных электромагнитных кристаллах подробно рассмотрены в работах [27-29].
В одномерных электромагнитных кристаллах, образованных диэлектрическими слоями (см. рис. 2), могут существовать запрещенные зоны, в которых плоско-слоистая структура не пропускает, а полностью отражает электромагнитные волны. Это свойство представляет большой интерес для создания в оптическом диапазоне сильно отражающих поверхностей. Проблема в том, что металлы в видимом диапазоне ведут себя принципиально иначе, чем на СВЧ, и не могут выполнять функцию поверхности с большим коэффициентом отражения. Напротив, различные периодические структуры, находящиеся в полосе запирания, могут играть такую роль.
Полоса запирания - не единственное физическое явление, связанное с увеличением периода кристаллической решетки. Ему предшествует явление пространственной дисперсии, связанное с нелокальностью взаимодействия поля с материальной средой [30]. Классическая теория исходит из того, что векторы электрической и магнитной индукции связаны с векторами электрического и магнитного полей локально, т. е. значение индукции в точке связано со значением поля в той же точке пространства. При увеличении периода решетки такое предположение оказывается несправедливым. В этом случае указанные выше векторы связываются интегральным оператором, определенным в некоторой области около точки наблюдения. Переход от точки к области означает нелокальный характер связи. Ее внешним проявлением служит, в частности, зависимость (дисперсия) постоянных распространения волн в среде от направления их распространения, которая послужила основанием для использования термина «пространственная дисперсия».
Рис. 2. Структура, образованная диэлектрическими слоями
Нелокальность взаимодействия полей вообще характерна для метакристаллов [31]. Кроме усложнения материальных уравнений она существенно меняет взаимодействие волн на границе такой среды и свободного пространства [32]. В общем случае это взаимодействие также становится нелокальным. На границе «обычных» сред устанавливаются локальные граничные условия непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей. Эти условия становятся некорректными, когда речь идет о метаматериале с достаточно большим периодом, так как взаимодействие волн на границе с пространственно дисперсионной средой также становится нелокальным и требует использования других граничных условий [33].
К числу физических явлений, обусловленных усложнением структуры частиц, формирующих искусственную среду, следует отнести киральность [34]. Один из наиболее простых способов создать киральную среду - это использовать в качестве частицы спираль из обыкновенной проволоки [35]. Удивительным свойством спирали является ее реак-
ция на внешнее поле, которую можно описать суммой электрического и магнитного дипольных моментов. Таким образом, внешнее электрическое поле порождает вторичное поле, которое можно описать как сумму полей электрического и магнитного элементарных диполей. В некиральных средах электрическое поле создает электрический дипольный момент, а магнитное - только магнитный. Явление киральности с точки зрения макроскопических параметров среды приводит к связи вектора электрической индукции с магнитным полем, а вектора магнитной индукции - с электрическим полем.
Киральные среды могут иметь анизотропные свойства и в этом случае они называются кираль-ными анизотропными средами [36]. Такие среды остаются взаимными. В самом общем случае, когда в анизотропной среде не выполняется принцип взаимности, она называется бианизотропной средой.
Существенным образом на параметры метама-териала и метакристалла, в частности, влияют резонансные свойства частицы. Оказывается, что частицы определенной структуры демонстрируют резонансные свойства, выражающиеся в резком изменении их параметров некотором диапазоне частот [37]. Резонансы частиц имеют квазистатическую природу, поскольку размер самой частицы весьма мал. Таким образом, ее можно рассматривать как некоторый контур, имеющий свою собственную частоту и добротность. Материальные параметры среды, составленной из резонирующих частиц, выделяет наличие области частот, в которой они оказываются отрицательными [38]. Существенно, что могут быть предложены такие материалы, у которых одновременно и диэлектрическая, и магнитная проницаемости будут меньше нуля. Такие среды называются отрицательными средами. В англоязычной литературе используют термин double negative [39], т.е. дважды отрицательная среда, который, возможно, лучше отражает физические особенности среды, но в русском варианте он распространения не получил.
Проще всего можно получить отрицательные значения эффективной диэлектрической проницаемости в двумерных проволочных структурах, которые в англоязычной литературе получили название wire media, т.е. проволочные среды [40]. Пример такой структуры, образованной металлическими цилиндрами (нитями), показан на рис. 3.
Структура, изображенная на рис. 3, безусловно, обладает анизотропией, и ее можно рассматривать в качестве среды с отрицательной se только для волны, имеющей компоненту электрического поля Ex. При этом волны могут распространяться только в плоскости YOZ, т. е. d/dx = 0. На рис. 4 показана зависимость от частоты эффективной диэлектрической проницаемости se для проволочной среды с расстоянием между частицами, равным 3 мм, и диаметром проволочных частиц, равным 0,05 мм [1]. Из этого рисунка хорошо видно, что на низких частотах se оказывается меньше нуля. Существенно, что отрицательной диэлектрическая проницаемость будет вплоть до нулевой частоты. Начиная с некоторой частоты, которую можно назвать критической, ди-
электрическая проницаемость оказывается положительной величиной.
Рис. 3. Проволочная среда
Отрицательная ее делает постоянную распространения волны в среде мнимой, а саму волну не-распространяющейся, запредельной. Ее поле экспоненциально затухает. Подобные волны встречаются также в плазме [41].
Рис. 4. Эффективная диэлектрическая проницаемость проволочной среды
Значительно более сложной проблемой является создание отрицательной магнитной проницаемости. Точнее, проблемой является просто создание структур с существенными магнитными свойствами. Дело в том, что в природе магнитные заряды не существуют. Поэтому магнитный диполь может быть реализован только с помощью электрических токов. Известно, что кольцевой электрический ток создает поле, которое на некотором удалении от него (дальнее поле) может быть описано как поле магнитного диполя (см. рис. 5).
Однако интенсивность этого поля много меньше, чем интенсивность поля, создаваемого линейным электрическим током с той же амплитудой. Причина этого понятна, так как элементы тока, расположенные на противоположных сторонах кольца, направлены в разные стороны, и их поля компенсируют друг друга.
Поэтому, если мы, например, создаем магнитный диполь с помощью металлической рамки, то ее
дипольныи момент намного меньше, чем электрический дипольный момент металлической проволоки. Поэтому, чтобы создать среду с заметными магнитными свойствами, необходимо усилить эффективность взаимодействия поля с магнитным диполем, точнее, со структурой, которая выполняет функцию магнитного диполя.
Рис. 5. Магнитный диполь в виде кольцевого электрического тока
Средством усиления взаимодействия служит резонанс, который в некоторой полосе частот увеличивает амплитуду тока и, как следствие, магнитный дипольный момент. Можно предложить большое число структур, имеющих резонансные свойства, поле которых близко к полю магнитного диполя. Наибольшее распространение получили так называемые split ring резонаторы, т. е. резонаторы на расщепленных кольцах. Пример такого резонатора показан на рис. 6 [42].
Рис. 6. Резонатор с расщепленными кольцами
Резонатор данного типа имеет квазистатическую природу и напоминает резонансный контур на сосредоточенных емкостях и индуктивностях. Металлические проводники шириной, много меньшей длины волны, характеризуются индуктивностью, а зазоры между внешним и внутренним кольцами создают емкости. Таким образом, электрические токи на кольцах замыкаются через токи смещения в емкостных зазорах, создавая единый кольцевой ток. На частоте резонанса, когда реактивные импедансы емкостей и индуктивностей совпадают, происходит резкое усиление тока, эквивалентное росту магнитного дипольного момента. Важным достоинством резонатора на расщепленных кольцах являются его
малые по сравнению с длиной волны размеры, которые позволяют создавать структуры с малым периодом.
Типичная частотная зависимость действительной и мнимой частей магнитной проницаемости показана на рис. 7.
20
10
-10
-20
-30
Re(/i( /))
л
( Im(// (/))
4.4
4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 ГГц
Рис. 7. Частотная зависимость действительной и мнимой частей магнитной проницаемости
Из этого рисунка видно, что на частотах выше резонансной действительная часть магнитной проницаемости меньше нуля. При удалении от резонанса она стремится к единице. Мнимая часть отрицательна. По абсолютной величине она резко растет на частоте резонанса, а затем падает быстрее, чем мнимая часть стремится к единице. Поэтому можно выделить такую область частот, в которой, с одной стороны, Re(^e) < 0, а с другой - Im (у.г) достаточно мало.
Комбинация электрических и магнитных диполей позволяет создать среду, имеющую одновременно отрицательные se и /ie. Такие среды получили название double negative [39], т.е. дважды отрицательные среды. В русскоязычной литературе используется термин «отрицательная среда» [43]. Одна из первых попыток создать отрицательную среду была основана на использовании двумерно-периодической решетки из металлических стержней, которые играли роль электрических диполей, и резонаторов на расщепленных кольцах [44]. Эта структура схематично показана на рис. 8.
В работе [45] был предложен интересный вариант создания отрицательной среды с помощью спиральных частиц, длина спирали в которых имеет резонансные размеры.
В качестве частицы рассматриваются металлические спирали (см. рис. 9).
Электрический ток в спирали течет вдоль металлического проводника. Поэтому он имеет азимутальную (кольцевую) и продольную (вдоль оси спирали) компоненты. Азимутальная компонента электрического тока формирует магнитный диполь, а продольная компонента - электрический. Таким образом, спираль представляет собой довольно сложный объект, который описывается совокупностью двух диполей.
о-о-о-о-о-о-о-о
о-о-о-о-о-о-о-о
о-о-о-о-о-о-о-о
о-о-о-о-о-о-о-о
о-о-о-о-о-о-о-о
о-о-о-о-о-о-о-о
о-о-о-о-о-о-о-о
с^-^-о-о-о —о-о-о
Металлические Пластины с резонаторами
цилиндры
Рис. 8. Двумерная отрицательная среда
Рис. 9. Спиральная частица
Важным обстоятельством является то, что внешнее электрическое поле, создавая в спирали электрический ток, одновременно возбуждает как электрический, так и магнитный диполи. Точно так же действует и внешнее магнитное поле. Частицы такого типа являются киральными частицами, а среды на их основе - киральными.
Спираль - наиболее распространенный вид ки-ральных частиц. Особенностью спирали является то, что ее поле может быть представлено в виде поля двух элементарных диполей - электрического и магнитного, направленных вдоль оси спирали.
Одна спираль обладает анизотропией. Изотропная киральная частица может быть получена с помощью трех спиралей, ориентированных вдоль координатных осей 0х,0у,0/ (см. рис. 10).
Спиральная частица имеет магнитный момент. На частотах, когда длина проводника спирали близка к половине длины волны в свободном простран-
стве, в ней возникает резонанс. Отметим, что длина самой спирали при больших углах намотки оказывается много меньше длины проводника. Поэтому условие близости ее к половине длины волны не означает, что вся частица также имеет аналогичные размеры. На резонансе, который наступает одновременно для электрического и магнитного диполей, так как они создаются одним и тем же электрическим током, резко усиливаются дипольные моменты и возникает область частот, в которой одновременно и диэлектрическая и магнитная проницаемости отрицательны. Таким образом, мы получаем отрицательную среду.
Рис. 10. Изотропная киральная частица
Отрицательные среды обладают рядом удивительных свойств. Интересно, что некоторые свойства волн в отрицательных средах были исследованы еще в шестидесятые годы ХХ века В.Г. Веселаго [46]. Он, в частности, показал, что волны в отрицательных средах являются обратными волнами, для которых действуют новые законы преломления. Однако теория В. Г. Веселаго была чисто феноменологической. В ней никак не ставился вопрос о реализации такой среды.
Создание отрицательной среды было связано с «конструированием» специального метакристалла, который был исследован затем экспериментально [44, 47]. Таким образом, развитие метаматериалов создало условия для экспериментальной, а затем технологической реализации отрицательных сред. При этом, конечно, следует учитывать, что само развитие этого направления сильно стимулировалось надеждой на реализацию уникальных свойств структур, содержащих отрицательные среды.
К числу таких структур, безусловно, относится линза Веселаго, представляющая собой пластину из отрицательной среды. В работе [48] впервые был теоретически обоснован эффект сверхфокусировки поля линзой Веселаго. В ряде последующих работ [44, 47] этот эффект был экспериментально подтвержден. Несмотря на теоретическую небезупречность работы Дж. Пендри, она явилась сильным стимулом развития целого направления, связанного
с исследованием и экспериментальной реализацией сферхфокусировки.
Линза Веселаго представляет собой одиночный слой отрицательной среды с ее = ¡е = -1. Интерес к этому объекту обусловлен тем, что в нем может быть реализована предсказанная в работе [48] сверхфокусировка электромагнитного поля, т. е. концентрация поля в области меньшей, чем допускает известный в оптике критерий Рэлея [49]. Несмотря на исключительную геометрическую простоту линзы Веселаго, ее теоретическое исследование потребовало коррекции классического подхода к анализу плоско-слоистых структур, изложенному в монографиях [50, 51].
Последовательная теория линзы Веселаго начала разрабатываться в работах А.Д. Шатрова [52], в которых он, в частности, показал, что задача о возбуждении магнито-диэлектрического слоя с е = -1 и г = -1 математически некорректна. Продолжением работы [52] можно считать работу [53], в которой был получен ряд аналитических оценок эффекта сверхфокусировки.
В работе [54] В.В. Шевченко представил альтернативный подход к описанию электромагнитных явлений в линзе Веселаго. Он основан на использовании нового интегрального представления поля. Достоинство такого интегрального представления состоит в том, что оно естественным образом описывает как расходящиеся, так и сходящиеся волны. При этом при е = -1 и г = -1 не возникают расходящиеся интегралы. Автору работы [54] впервые удалось математически корректно показать, что в предельном случае при е = -1 и г = -1 одиночная граница раздела двух сред с положительными и отрицательными материальными параметрами осуществляет идеальную фокусировку поля. Следует отметить, что теория, развитая в [54], не описывает случай е = -1, ¡г ф -1 и рассматривает каждую границу линзы независимо друг от друга.
Линза Веселаго является резонансным объектом. Резонанс, связанный с вырождением прямой и обратной собственных волн в продольно однородной структуре, был впервые изучен в работе [55], в которой исследовались волны плазменного слоя. При отсутствии потерь добротность резонатора стремится к бесконечности. По этой причине задача возбуждения такого резонатора при е, г = -1 является некорректной задачей, так как поле резонирующего колебания стремится к бесконечности. Следовательно, корректный анализ линзы Веселаго обязательно должен подразумевать наличие потерь в структуре. Потери могут быть обусловлены потерями в среде или потерями в приемнике (см. [56]).
Продольный резонанс собственных волн пластины, образующей линзу Веселаго, не является резонансом затухающих волн. Усиление затухающих волн, получившее это название (см., например, [57]), является причиной сверхфокусировки. В нашем случае, наоборот, продольный резонанс негативно сказывается на сверхфокусировке, поскольку она обеспечивается, как показано ранее, волнами непрерывного спектра (интеграл по берегу разреза).
Резонансная добавка от дискретного спектра волн только ослабляет эффект сверхфокусировки.
Другим необычным эффектом, который предсказан пока только теоретически и который также основан на использовании отрицательных сред, является эффект невидимости [58]. В англоязычной литературе для него используется термин cloaking -маскировка, который более адекватно отражает существо явления. Речь идет о создании специального укрытия, которое отклоняет электромагнитные волны таким образом, что они огибают объект, расположенный внутри него. В результате объект становится «невидимым», прозрачным для электромагнитных волн. Таким образом, свойства самого объекта остаются неизменными, но укрытие из отрицательной среды маскирует его [59].
Продолжая разговор о метаматериалах и их практическом использовании, следует остановиться на метакристаллах с дефектами. Интерес к дефектам в фотонных кристаллах был стимулирован потребностью оптических устройств в эффективно отражающих поверхностях и средах, которые могли бы сыграть роль, аналогичную той, что играют металлы в СВЧ-диапазоне. В запрещенной зоне фотонный кристалл представляет собой среду, в которой электромагнитные волны не могут распространяться [60]. Они экспоненциально затухают аналогично волнам в металле или плазме. В этом случае, вводя в фотонный кристалл дефект, например, удаляя элемент кристалла из решетки, мы создаем некоторую полость. В этой полости может накапливаться электромагнитная энергия, так как излучиться оттуда она не в состоянии, поскольку полость окружена средой, полностью отражающей электромагнитные волны. Таким образом, мы получаем возможность создать высокодобротный резонатор [61].
Продолжая процесс формирования дефектов в фотонных кристаллах путем удаления элементов из решетки, можно создать волноведущий канал - волновод, который обеспечивает направленную передачу электромагнитной энергии вдоль своей оси [62]. Далее, формируя волноводные сочленения, изгибая волноводы и т.д., мы можем создавать широкий спектр функциональных элементов и устройств на их основе [63]. Эти устройства обладают рядом уникальных свойств, которые определяют перспективность их применения в оптическом и СВЧ-диапазонах. Принципы построения волно-водных СВЧ-устройств на основе электромагнитных кристаллов с использованием результатов работ [6471] приведены в [1]. В этой же работе приведены принципы построения EBG-волноводов, связанных волноводов и устройств на их основе, основанные на работах [72-78].
Интересные физические эффекты наблюдаются при введении дефекта в одномерный электромагнитный кристалл, находящийся в полосе запирания. В работе [79] было показано, что введение дефекта может приводить к возникновению высокодобротных колебаний, получивших название Юховских колебаний [80]. Два дефекта могут сформировать систему связанных колебаний. Увеличение числа
дефектов образует многосвязанную систему, способную играть роль полосового фильтра.
На рис. 11 представлены зависимости модулей коэффициентов прохождения и отражения (кривые 1 и 2) от частоты, построенные для следующих параметров: е = 3, Р = 15, ё = 2, N = 15. Эти зависимости имеют типичный для периодических структур вид.
Рис. 11. Частотные характеристики регулярной структуры
В окрестности частоты 9 ГГц наблюдается полоса запирания первого порядка. Вторая полоса запирания располагается в окрестности удвоенной частоты, равной примерно 18 ГГц. В пределах полосы запирания электромагнитная энергия не проходит через периодическую структуру и практически полностью отражается от нее. Показательно также то, что в полосе пропускания наблюдаются сильные пульсации модуля коэффициента передачи, что еще раз подтверждает тот факт, что простая периодическая структура не обеспечивает частотную характеристику, которая обычно требуется от фильтра [81].
Колебания в дефектах в одномерных плоскослоистых электромагнитных кристаллах получили названия юховских колебаний. Как уже отмечалось выше, они нашли наибольшее применение в оптическом диапазоне. Может быть, по этой причине многие авторы видели аналогию между такого типа и квантовыми процессами в твердом теле, где тоже есть запрещенные зоны и резонансы проводимости, обусловленные дефектами [82]. Однако нам кажется, что в электродинамике есть структуры, которые намного ближе по физике своего функционирования к рассмотренным выше. К ним можно отнести диэлектрические резонаторы в запредельных волноводах [83].
Для описания электродинамических явлений в электромагнитных кристаллах с дефектами используется метод компенсирующих источников [84] -численный метод, позволяющий находить количественные связи между параметрами сложных структур, а также метод теоретического исследования таких структур, позволяющий решать фундаментальные для этого класса объектов задачи. Смысл применения этого метода состоит не только в его эффективности, которая весьма высока, но также и в том, что он позволяет анализировать идеализированные структуры, такие как бесконечный волно-
вод, образованный последовательностью дефектов в кристалле, связанные волноводы и т.д. С его помощью можно решать задачи о собственных волнах таких волноводов, что служит основой для корректного использования классического аппарата матриц рассеяния, описывающих сложные многополюсники. Решение ряда ключевых задач для метода компенсирующих источников с использованием соотношений, полученных в [85-89], приведено в [1]. В этой работе с использованием соотношений, полученных в работах [12, 90-92], также описывается применение метода компенсирующих источников для щелевых решеток.
Интересные перспективы с точки зрения практического использования имеют отражающие поверхности на основе фотонных и электромагнитных кристаллов, которые можно назвать метаповерхно-стями [93]. С их помощью можно создавать, например, не встречающиеся в естественных условиях магнитные стенки, т.е. поверхности, на которых выполняется граничное условие равенства нулю тангенциальных компонент магнитного поля [94]. Такие структуры находят применение в антенной технике при создании сверхмалогабаритных направленных антенн, а также других типов антенн с необычными свойствами [95]. Особенности распространения собственных волн в планарных периодических структурах на базе [96-102] рассматриваются в работе [1], где приводятся примеры синтеза антенн и квазиоптических устройств на основе двумерных электромагнитных кристаллов, в том числе проектирование планарных линз и антенн на основе ленточных решеток [103].
Как развитие идеи фотонных и электромагнитных кристаллов можно рассматривать магнонные кристаллы. Свойства этих структур в существенной степени определяются необычными свойствами распространяющихся в них магнитостатических волн [104]. Магнитостатические волны в тонких пленках были изучены достаточно давно [105]. Известно, что их свойства существенно отличаются от свойств электромагнитных волн. Они имеют длину волны, на много порядков меньшую длины волны в свободном пространстве или в «обычной» среде. Одно это открывает большие перспективы для миниатюризации различных радиоэлектронных устройств. Дополнительные возможности появляются при взаимодействии магнитостатических волн с периодическими структурами, которые по аналогии с электромагнитными волнами имеют полосы запирания и демонстрируют свойства магнонных кристаллов [106,107]. При этом необходимо иметь в виду, что взаимодействие магнитостатических волн с периодическими структурами сильно отличается от случая электромагнитных волн. Поэтому важным этапом развития этого направления является исследование закономерностей физических явлений в магнонных кристаллах, в том числе поиск оптимальной структуры элементарной частицы магнон-ного кристалла, которая обеспечивает максимальную эффективность взаимодействия с магнитоста-тическими волнами.
Перечисленные выше физические эффекты и их применения показывают, что переход от искусственных сред с «простыми» частицами и малым периодом их размещения к метаматериалам и мета-кристаллам был не простым изменением количественных характеристик, а качественным скачком, который позволяет говорить о появлении нового научного направления. Его развитие требует создания новой совокупности представлений о физических явлениях в новом классе структур, новых способов их математического описания, новых технологий изготовления таких структур.
Литература
1. Банков, С.Е. Электромагнитные кристаллы [Текст] / С.Е. Банков. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. -352 с.
2. Гуляев, Ю.В. Отражение поверхностных магнитостатических волн от периодически неровного участка поверхности феррита [Текст] / Ю.В. Гуляев, С.А. Никитов, В.П. Плесский // Радиотехника и электроника. - 1981. - Т. 26, № 11. - С. 2282-2290.
3. Распространение упругих волн в фононных кристаллах [Текст] / И.В. Лисенков [и др.] // РЭ. -2007. - Т.52, №9. - С. 1122-1134.
4. Фельд, Я.Н. Антенно-фидерные устройства [Текст] / Я.Н Фельд, Л.С. Бененсон. - М.: Изд-во ВВИА, 1959. - Ч.2. - 551 с.
5. Зелкин, Е.Г. Линзовые антенны [Текст] / Е.Г. Зелкин, Р.А. Петрова. - М.: Сов. Радио, 1974. - 280 с.
6. Sihvola, A. Metamaterials in electromagnetics [Text] / A. Sihlova // Metamaterials. - 2007. - Vol. 1, № 1. - P. 2-11.
7. Силин, Р.А. Периодические волноводы [Текст] / Р.А. Силин. - М.: ФАЗИС, 2002. - 438 с.
8. Joannopopoulus, J. D. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light [Text] / J.D. Joannopopoulus, R.D. Meade, J.N. Winn. - Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 2008. - 2nd ed. - 304 p.
9. Yablonovitch, E. Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics [Text] / E. Yablonovitch // Phys. Rev. Lett. - 1987. - Vol. 58, № 20. - P. 2059-2062.
10. Sakoda, K. Optical Properties of Photonic Crystals [Text] / K. Sakoda. - Berlin: Springer-Verlag,
2005. - 253 p.
11. Caloz, C. Electromagnetic metamaterials: transmission line theory and microwave applications [Text] / С. Caloz, Т. Itoh. - NY.: J. Wiley and Sons,
2006. - 352 P.
12. Марков, Г.Т. Возбуждение электромагнитных волн [Текст] / Г.Т. Марков, А.Ф. Чаплин. - М.: Радио и связь, 1983. - 296 c.
13. Чаплин, А.Ф. Анализ и синтез антенных решеток [Текст] / А.Ф. Чаплин. - Львов: Выщ. шк., 1987. - 180 с.
14. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [Текст] / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. - М.: ГИФМЛ, 1962. - 1100 с.
15. Прудников, А.П. Интегралы и ряды [Текст] / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. -М.: Физматлит, 2002. - Т.1. - 688 с.
16. Determination of effective permittivity and permeability of metamaterials from reflection and transmission coefficients [Text] / D.R. Smith [et al.] // Phys. - Rev. B. - 2002. - Vol. 65, №. 19. - P. 1951041-195104-5.
17. Simovsky, C.R. Bloch material parameters of magneto-dielectric metamaterials and the concept of Bloch lattices [Text] / C.R. Simovsky // Metamaterials.
- 2007. - Vol. 1, № 2. - P. 62-80.
18. Нобл, Б. Метод Винера-Хопфа [Текст] / Б. Нобл. - М.: Иностр. лит., 1962. - 280 с.
19. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т.4: Оптика [Текст] / Д.В. Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. - 792 с.
20. Вайнштейн, Л.А. Электромагнитные волны [Текст] / Л.А. Вайнштейн. - М.: Радио и связь, 1988.
- 442 с.
21. Сазонов, Д.М. Антенны и устройства СВЧ [Текст] / Д.М. Сазонов. - М.: Высш. шк., 1988. -432 с.
22. Simovski, C.R. Approaches to the homogeni-zation of periodical metamaterials [Text] / C.R. Simov-ski, I. Kolmakov, S.A. Tretyakov // Proc. of the 11th Intern. Conf. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. - Kharkiv, Ukraine, 2006. - P.41-44.
23. Belov, P.A. Dispersion and Reflection Properties of Artificial Media Formed By Regular Lattices of Ideally Conducting Wires [Text] / P.A. Belov, S.A. Tretyakov, A.J. Viitanen // J. of Electromagnetic Waves and Applications. - 2002. - Vol. 16, № 8. - P. 11531170.
24. Миллер, М.А. Использование понятия поверхностного импеданса в теории поверхностных электромагнитных волн [Текст] / М.А. Миллер, В.И. Таланов // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. - 1961. -Т.4, №5. - С. 795-830.
25. Банков, С. Е. Волноводы с нелокальными границами / С.Е. Банков // Журнал радиоэлектроники [Электронный ресурс], 2008. - № 6. - Режим доступа: http://jre.cplire.ru/iso/jun08/5/contents.html.
26. Сазонов, В.П. Замедляющие системы [Текст] / В.П. Сазонов, Р.А. Силин. - М.: Сов. радио, 1966. - 316 с.
27. Банков, С. Е. Повороты волноводов на разреженных двумерных PBG кристаллах [Текст] / С.Е. Банков // РЭ. - 2005. - Т.50, № 1. - C. 23-30.
28. Банков, С. Е. Математическое моделирование PBG фотонных кристаллов с дефектами методом компенсирующих источников [Текст] / С.Е. Банков // РЭ. - 2005. - Т. 50, № 9. - С. 1048-1060.
29. Банков, С. Е. Сверхвысокочастотные волноводы в EBG структурах на основе коаксиальных цилиндров [Текст] / С.Е. Банков // РЭ. - 2009. - Т. 54, № 6. - С. 671-680.
30. Туров, Е. А. Материальные уравнения электродинамики [Текст] / Е.А. Туров. - М.: Наука, 1983. - 158 с.
31. Belov, P. Boundary conditions for interfaces of electromagnetic crystals and the generalized Ewald-
Oseen extinction principle [Text] / P. Belov, C. Simov-ski // Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 73, № 4. - P. 045102-(1-14).
32. Strong spatial dispersion in wire media in the very large wavelength limit [Text] / P. Belov [et al.] // Phys. Rev. B. - 2003. - Vol. 67, № 11. - P. 113103.
33. Шевченко, В.В. Киральные электромагнитные объекты и среды [Текст] / В.В. Шевченко // Со-росовский образовательный журнал. - 1998. - №2. -С. 109-114.
34. Киральные электродинамические объекты [Текст] / Б.З. Каценеленбаум [и др.] // УФН. - 1997.
- Т. 167, № 11. - С. 1201-1212.
35. Костин, М.В. К теории киральной среды на основе сферических кирально проводящих частиц [Текст] / М.В. Костин, В.В. Шевченко // РЭ. - 1998.
- Т.43, № 8. - С. 921-926.
36. Electromagnetic waves in chiral and bi-isotropic media [Text] / I.V. Lindell [et al.] // Norwood. MA: Artech House, 1994. - 332 p.
37. Microwave Transmission Through a Two-Dimensional, Isotropic, Left-Handed Metamaterial [Text] / Shelby R. A. [et al.] // Appl. Phys. Lett. - 2001.
- Vol. 78, № 4. - P. 489-491.
38. Composite Medium with Simultaneously Negative Permeability and Permittivity [Text] / D.R. Smith [et al.] // Phys. Rev. Lett. - 2000. - Vol. 84, № 18. - P. 4184-4187.
39. Eleftheriades, G.V. Negative-Refraction Metamaterials: Fundamental Principles and Applications [Text] / G.V. Eleftheriades, K. Balmain // Wiley-IEEE Press, 2005. - 440 p.
40. Strong spatial dispersion in wire media in the very large wavelength limit [Text] / P.A. Belov [et al.] // Phys. Rev. B. - 2003. - Vol. 67, № 11. - P. 113103.
41. Гинзбург, В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме [Текст] / В.Л. Гинзбург. -М.: Наука, 1967. - 685 с.
42. Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena [Text] / J. Pendry [et al.] // IEEE Trans. MTT. - 1999. - Vol. 47, № 11. - P. 2075-2084
43. Шевченко, В.В. Об обратных плоских волнах в однородных изотропных средах [Текст] / В.В. Шевченко // РЭ. - 2003. - Т. 48, № 10. - С. 1202.
44. Shelby, R.A. Experimental verification of a negative index of refraction [Text] / R.A. Shelby, D.R. Smith, S. Schultz // Science. - 2001. - Vol. 292, № 6. -P. 77-79.
45. Kostin, M.V. A novel model of an artificial chiral electromagnetic medium [Text] / M.V. Kostin, V.V. Shevchenko // Proc. of Intern. Conf. «Chiral'95».
- Penn. State Univ., USA, 1995. - P.64.
46. Веселаго, В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными е и д [Текст] / В.Г. Веселаго // УФН. - 1967. - Т. 92, № 3. - С. 517-526.
47. Lagarkov, A.N. Near-Perfect Imaging in a Focusing System Based on a Left-Handed-Material Plate [Text] / A.N. Lagarkov, V.N. Kissel // Phys. Rev. Lett.
- 2004. - Vol. 92, № 7. - P. 774011-774014.
48. Pendry, I.B. Negative refraction makes a perfect lens [Text] / I.B. Pendry // Phys. Rev. Lett. - 2000.
- Vol. 85, № 18. - P. 3966-3969.
49. Борн, М. Основы оптики [Текст] / М. Борн, Э. Вольф. - М.: Наука, 1973. - 721 с.
50. Бреховских, Л.М. Волны в слоистых средах [Текст] / Л.М. Бреховских. - М.: Наука, 1973. - 343 с.
51. Фелсен, Л. Излучение и рассеяние волн [Текст] / Л. Фелсен, Н. Маркувиц. - М.: Мир, 1978. -Т.1. - 555 с.
52. Шатров, А. Д. О разрешимости задач возбуждения плоскослоистых сред из метаматериалов [Текст] / А.Д. Шатров // РЭ. - 2007. - Т. 52, № 8. -С.909-916.
53. Банков, С. Е. Аналитическое исследование фокусировки электромагнитного поля линзой Весе-лаго [Текст] / С.Е. Банков // РЭ. - 2009. - Т. 54, № 2.
- С. 133-143.
54. Шевченко, В.В. О сверхфокусировке плоской линзы из отрицательного материала / В.В, Шевченко // Журнал радиоэлектроники [Электронный ресурс]. - 2007. - №6. - Режим доступа: http://jre.cplire.ru/mac/jun07/5/text.html.
55. Шатров, А.Д. Разложение поля в открытом слоистом волноводе в случае вырождения направляемых волн [Текст] / А.Д. Шатров, В.В. Шевченко // Изв. вузов. Радиофизика. - 1974. - Т. 17, № 11. - С. 1692-1702.
56. Vinogradov, A.P. Destruction of the image of the Pendry lens during detection [Text] / A.P. Vinogradov, A.V. Dorofeenko // Optics Communications. -2005. - Vol. 256, № 6. - P. 333-336.
57. Belov, P.A. Canalization of subwavelength images by electromagnetic crystals [Text] / P.A. Belov, C.R. Simovski, P. Ikonen // Phys. Rev. B. - 2005. -Vol. 71, № 19. - P. 193105-1-193105-4.
58. Alu, A. Achieving transparency with plas-monic and metamaterial coatings [Text] / A. Alu, N. Engheta // Phys. Rev. E. - 2005. - Vol. 72, № 1. - P. 016623-1-016623-9.
59. Ziolkowsky, R.W. Wave propagation in media having negative permittivity and permeability [Text] / R.W. Ziolkowsky, E. Heyman // Phys. Rev. E. - 2001. -Vol. 64, № 5. - P. 056625-1-056625-15.
60. Mosallaei, H. Periodic bandgap and effective dielectric materials in electromagnetics: сharacterization and applications in nanocavities and waveguides [Text] / H. Mosallaei, Y. Rahmat-Samii // IEEE Trans. - 2003.
- Vol. AP-51, № 3. - P. 549.
61. Two-Dimensional Photonic Band-Gap Defect Mode Laser [Text] / O. Painter [et al.] // Science. -1999. - Vol. 284, № 6. - P. 1819-1821.
62. High Transmission through Sharp Bends in Photonic Crystal Waveguides [Text] / A. Mekis [at al.] // Phys. Rev. Lett. - Vol. 77, № 18. - P. 3787-3790.
63. Rahmat-Samii, Y. Electromagnetic bandgap structures: Classification, characterization and applications [Text] / Y. Rahmat-Samii, H. Mosallaei // Proc. of the 11th Intern. Conf. «Antennas and Propagation». -Manchester, UK, 2001. - P. 560-564.
64. Справочник по расчету и конструированию СВЧ полосковых устройств [Текст] / под. ред. В.И. Вольмана - М.: Радио и связь, 1982. - 326 с.
65. Computational and experimental study of a microwave electromagnetic bandgap structure with waveguide defect for potential use as a bandpass wireless interconnect [Text] / J.J. Simpson [et al.] // IEEE Microwave and Wireless components letters. - 2004. -Vol. 14, № 7. - P. 343-345.
66. Гупта, К. Машинное проектирование СВЧ устройств [Текст] / К. Гупта, Р. Гардж, Р. Чадха. -М.: Радио и связь, 1987. - 435 с.
67. Bankov, S.E. Waveguide power divider [Text] / S.E. Bankov // J. of Radioelectronics [Электронный ресурс]. - 1999. - № 11. - Режим доступа: http ://j re.cplire. ru/koi/nov99/3/text. html.
68. Банков, С.Е. Проектирование и экспериментальное исследование решетки щелевых излучателей [Текст] / С.Е. Банков // РЭ. - 2004. - Т. 49, № 6. - С. 701-706.
69. Гвоздев, В.И. Объемные интегральные схемы СВЧ [Текст] / В.И. Гвоздев, Е.И. Нефёдов. -М.: Наука, 1985. - 256 с.
70. Kelly, J.R. Modelling and Design of Sub-wavelength Metamaterial Resonant Cavity Antennas [Text] / J.R. Kelly, T. Kokkinos, A.P. Feresidis // Proc. on the First Intern. Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics. - Rome, 2007. - P. 231.
71. Проектирование фазированных антенных решеток [Текст] / под ред. Д.И. Воскресенского -М.: Радиотехника, 2003. - 744 с.
72. Шевченко, В.В. Плавные переходы в открытых волноводах [Текст] / В.В. Шевченко. - М.: Наука, 1969. - 192 с.
73. Банков, С.Е. Анализ и оптимизация трехмерных СВЧ структур с помощью HFSS [Текст] / С.Е. Банков, А.А. Курушин, В.Д. Разевиг. - М.: Со-лон-Пресс, 2005. - 216 с.
74. Адамс, М. Введение в теорию оптических волноводов [Текст] / М. Адамс. - М.: Мир, 1984. -512 с.
75. Корн, Г. Справочник по математике [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1984. - 823 с.
76. Bankov, S.E. Analysis of a Millimeter Wave Integrated Beamforming Network for Quasioptical Multibeam Antennas [Text] / S.E. Bankov, T.I. Bugrova // Microwave and Optical Technology Letters. - 1993. -Vol. 6. - P. 782.
77. Фрадин, А.З. Антенны сверхвысоких частот [Текст] / А.З. Фразин. - М.: Сов. радио, 1957. -648 с.
78. Миттра, Р. Аналитические методы теории волноводов [Текст] / Р. Миттра, С. Ли. - М.: Мир, 1974. - 327 с.
79. Filtering properties of periodic and fractal 1-D EBG multilayers [Text] / F. Chiadini [et al.] // Proc. on the First Intern. Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics. - Rome, 2007. -P.677.
80. Nemec, H. Thermally tunable filter for terahertz range based on a one-dimensional photonic crystal with a defect [Text] / H. Nemec, L. Duvillaret, F. Garet // J. Appl. Phys. - 2004. - Vol. 96, № 8. - P. 4065-4072.
81. Альтман, Дж. Устройства СВЧ [Текст] / Дж. Альтман - М.: Мир, 1968. - 487 с.
82. Савельев, И.В. Курс общей физики [Текст] / И.В. Савельев. - М.: Наука, 1979. - Т. 3. - 432 с.
83. Капилевич, Б.Ю. Волноводные диэлектрические фильтры [Текст] / Б.Ю. Капилевич. - М.: Связь, 1980. - 136 с.
84. Шестопалов, В.П. Резонансное рассеяние волн. Т.1: Дифракционные решетки [Текст] / В.П. Шестопалов, А.А. Кириленко, Ю.К. Сиренко. - Киев: Наук. думка, 1986. - 232 с.
85. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций [Текст] / Г.Н. Ватсон. - Иностр. лит., 1949. - Т. 1. -798 с.
86. Гуревич, А. Г. Ферриты на СВЧ [Текст] /
A.Г. Гуревич. - М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1960. -408 с.
87. Левин, Л. Теория волноводов [Текст] / Л. Левин. - М.: Радио и связь, 1981. - 311 с.
88. Федоров, Н.Н. Основы электродинамики [Текст] / Н.Н. Федоров. - М.: Высшая школа, 1965. -399 с.
89. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн [Текст] / В.В. Никольский.
- М.: Наука, 1973. - 607 с.
90. Банков, С.Е. Двумерно-периодическая решетка щелевых излучателей [Текст] / С.Е. Банков // РЭ. - 2000. - Т. 46. № 4. - С. 441-447.
91. Банков, С.Е. Численное исследование двумерно-периодической решетки щелевых излучателей [Текст] / С.Е. Банков, М.Д. Дупленкова // РЭ. -2003. - Т. 48, № 3. - С. 268-275.
92. Никольский, В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики [Текст] /
B.В. Никольский. - М.: Наука, 1967. - 460 с.
93. Wu, T.K. Frequency Selective Surface and Grid Array [Text] / T.K. Wu. - New York: Wiley, 1995. - 475 p.
94. High-impedance electromagnetic surfaces with a forbidden frequency band [Text] / D. Sievenpiper [et al.] // IEEE Trans. MTT. - 1999. - Vol. 47, № 11. - P. 2059-2047.
95. Artificial Magnetic Conductor Surfaces and Their Application to Low-Profile High-Gain Planar Antennas [Text] / A.P. Feresidis [et al.] // IEEE Trans. AP.
- 2005. - Vol. 53. № 1. - P. 209-215.
96. Нефедов, Е.И. Электродинамика периодических структур [Текст] / Е.И. Нефедов, А.Н. Сивов.
- М.: Наука. 1977. - 105 с.
97. Банков, С.Е. Планарные диэлектрические волновoды с нагруженными границами [Текст] /
C.Е. Банков, С.А. Жаров // Пути повышения технологичности: межвуз. сб. тр. - М.: МЭИ, 1984. - № 48.- C.91.
98. Bankov, S.E. Planar Lens for Millimeter Wave Integrated Antennas [Text] / S.E. Bankov, T.I. Bugrova, I.V. Levchenko // 24-th European Microwave Conf. Proc. - Nice, France, 1994. - P. 76-80.
99. Корнблит, С. СВЧ-оптика. Оптические принципы в приложении к конструированию СВЧ-антенн [Текст] / С. Корнблит. - М.: Связь, 1980. -360 с.
100. Унгер, Г.Г. Оптическая связь [Текст] / Г.Г. Унгер. - М.: Связь, 1979. - 264 с.
101. Уолтер, К. Антенны бегущей волны [Текст] / К. Уолтер. - М.: Энергия, 1970. - 448 с.
102. Нефедов, Е.И. Полосковые линии передачи [Текст] / Е.И. Нефедов, А.Т. Фиалковский. - М.: Наука, 1980. - 312 с.
103. Банков, С.Е. Щелевые интегральные схемы миллиметрового диапазона [Текст] / С.Е. Банков // РЭ. - 2007. - Т. 51, № 9. - С. 1066-1086.
104. Вашковский, А.В. Магнитостатические волны в электронике сверхвысоких частот [Текст] / А.В. Вашковский, В.С. Стальмахов, Ю.П. Шараев-
ский. - Саратов.: Изд-во Саратовск. ун-та, 1993. -311 с.
105. Гуляев, Ю.В. Спинволновая электроника [Текст] / Ю.В. Гуляев, П.Е. Зильберман. - М.: Знание, 1988. - 63 с.
106. Банков, С.Е. Рассеяние объемных магни-тостатических волн на щелевых периодических решетках [Текст] / С.Е. Банков, С.А. Никитов // РЭ. -2007. - Т. 52, № 11. - С. 1301-1311.
107. Nikitov, S.A. Magnetostatic bandgap structures based on periodic arrays of slots and strips [Text] / S.A. Nikitov, S.E. Bankov // First Intern. Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics. - Rome, 2007. - P.685.
ЗАО «ИРКОС», г. Воронеж
Воронежский государственный технический университет
ELECTROMAGNETIC CRYSTALS, CHARACTERISTICS AND APPLICATIONS
A.S. Avdyushin, M.Yu. Vlasov, Yu.G. Pasternak, A.P. Yarygin
The article provides an overview of information and scientific papers on electromagnetic crystals. A brief description of electromagnetic waves in them is given
Key words: electromagnetic crystals, metamaterials, negative materials, chiral materials
