Электромагнитные формфакторы тяжелых мезонов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.12.01

С. М. Герасюта, М. А. Дурнев

Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2003, вып. 4 (№28)

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ ТЯЖЕЛЫХ МЕЗОНОВ

Учет релятивистских эффектов в составных системах считается достаточно важным при исследовании кварковой структуры адронов. Формфакторы составных частиц были рассмотрены в лестничном приближении для уравнения Бете-Солпитера [1], с учетом конформной инвариантности [2]; ряд результатов получен в рамках трехмерных формализмов [3].

Удобным способом описания релятивистских эффектов в составных системах служит использование дисперсионных интегралов по массам составных частиц [4]. С одной стороны, техника дисперсионного интегрирования является релятивистски-инвариантной и не связана с изучением какой-либо выделенной системы координат [5], с другой — здесь нет проблемы возникновения дополнительных состояний, так как в дисперсионных соотношениях вклады промежуточных состояний контролируются.

Настоящая работа посвящена вычислениям формфакторов и зарядовых радиусов тяжелых мезонов, включающих с и Ь кварки. Были использованы двойные дисперсионные соотношения по массам составных частиц для формфакторов тяжелых мезонов.

Вычислим формфактор псевдоскалярного мезона Jp = О-. Пусть массы кварков, составляющих двукварковую систему, будут равны т\ и тг соответственно. Диаграмма для этого формфактора изображена на рис. 1.

Р

Определим соответствующую амплитуду Фейнмана:

Рис. 1. Диаграмма, определяющая форм-Р' факторы мезонов.

А(Я2) = {/

(¡Ак2 8р[(ш1 + к1)ум(тщ + к[)-уб(тп2 + ¿2)75] г(2тг)4 Х {тп\ - к\){тп\ - к'2)(тп2 - к2) *

х е, /а [Я2)в{к2, к2, Р2)в(к?, к\, Р'2)} + {1 ^ 2}.

(1)

Здесь е и е1,2 — заряды мезона и взаимодействующих кварков, /1,2(<?2)— формфакторы кварков 1 и 2, вычисленные в работе [6], б —вершинные функции. Импульсы удовлетворяют соотношениям Р = к\ + к2 и Р' = к[ 4- к'2. Слагаемое {1 ^ 2} в (1) соответствует диаграмме со взаимодействием фотона с кварком 2.

Вычислив шпур в (1) и используя выражения [4]

+ = а(Рд + ЯД) + ^ + (*!„ + к[11)±,

_ р'2 + р2 + 2 2_2тг_|;2

01 ~ 2(Р'2 + р2)_^/р'2_р2)2_92 >

Я

находим для амплитуды

© С. М. Герасюта, М. А. Дурнев, 2003

А(д2) = е^ + РреР(д2), (2)

где введен мезонный формфактор F(<г2) = / '

Скачок амплитуды (2) при «>(т1 + т2)2 и в'>(т 1 + шг)2, связанный с треугольной сингулярностью, определяется с учетом скачков кварковых пропагаторов:

1 - (—2т)3 в(кю)6(к2 — т2)х

{m2-k2)(m2-k'2)(m2-k2) 4V

хв(к[0)5(к[2 - т\) х в(к2о)&(к1 - ™¡)- (3)

Используя соотношение (3), получаем скачок двойного дисперсионного соотношения

F(s,s',q2) —» discsdisca/F(s,s',92).

Формфактор принимает вид

Al2

F{q2) = J

ds ds' disCsdíscyíXs, s', q2)

7Г 7Г (5 — т2(0-))(з' — ТП2(0~)) '

("Ч+"!)2

где т(0~) — массы тяжелых псевдоскалярных мезонов, вычисленные в работе [7]; Л12 —обрезание по энергии.

Перейдем в систему покоя налетающего мезона (Р = 0) и рассчитаем формфактор мезона

9 = / 7^з7- а/п-чи а/п->/(Л»-д 0Л"-а1 х

J (2-к)6 (в — т-!(0 ))(а1 — т-^О))

Х71(92)£>1(8,5'1,(72).

Аналогичную процедуру проводим для

Интегрирование производится по импульсу кварка; интегрирование по « и (в и для случая ^2(д2)) снимается с помощью 5-функций:

s = (^Jт2 + к2 + tJгп2 + к2)2, ci=mi + k2(l-y2), с2 = Ci(l <-> 2), dx = — [^J{m\ + k2){m2 + B) + k2y2l d2 = di(l ~ 2),

Cl

ky ci

\=s-dlq2+'^J-q2s(ACi-q2), s'2 = sí (1 +-+ 2), r*i v

, ; 2ч (sí+s-92 - 2(mi-m2)2)(sí+s+ 2(m2-ш2)) 2

a(s,s¡,q ) = -- , 2-- +q ,

2(s + sí)-g2 + b-íi-

a(s, s2, <72) = a(s, s'x, <?2)(1 2). Здесь y = eos (k, q). Функцию D1 находим по формуле

£>l(s,sí,<?2) :

1ci^jm\ + fc2

i kysf^q*

x/(m2 + fc2)(4ci - g2)

При расчетах мезонных формфакторов предполагалось, следуя работе [8], что вершинные функции G(s) слабо меняются от s в рассматриваемой области (s ~ (т\ + тп2)2):

G(s) = const; /i(g2) = eieT42, h{q2) = ^e12"2 (ei, e2 — заряды кварков). Параметры 71 и 72 вычислены в работе [6]. В результате получаем

fcmax 1 / / 2\

F(q2) — —-—— [ k2dk [ dy-^Г-—a(s'si'g > n1 +

(2тг)2 J J s — rn2(0_) s, — ш2 (0~)

0 -1

тяжелых мезонов.

где обрезание по импульсу /стах определяется с учетом обрезания по энергии Л12 , вычисленного в [7]:

Ьж-у 4 + 2(т1+т2).

Определение формфакторов мезонов производилось по формуле (4) численным интегрированием с помощью метода Коробова. По результатам численных расчетов формфакторов находили зарядовые

радиусы мезонов: V < г2 > = у-б1*^^2^ <?2 = — ц2 ■

В настоящей работе в рамках дисперсионного интегрирования изучалось поведение электрических формфакторов тяжелых мезонов, содержащих си Ь кварки, при малых и промежуточных переданных импульсах С}2(С}2 — —д2) < 1 ГэВ2. Были вычислены значения зарядовых радиусов всех соответствующих частиц. При расчетах не использовались новые параметры, кроме полученных в работе [7]. При этом в выражении (4) проводилась нормировка формфактора Р(0) = 1 для заряженных тяжелых мезонов. На рис. 2 показано поведение формфакторов тяжелых мезонов при С}2 < 1 ГэВ2. Зарядовые радиусы псевдоскалярных тяжелых мезонов с открытым чармом и боттомом приведены в таблице.

Зарядовые радиусы тяжелых мезонов

Мезоны Масса, ГэВ ^maxi ГэВ V< г2 >, фм < г2 >, фм2

D~ 1,867 0,865 0,37 0,14

DT 2,010 1,012 0,32 0,10

В+ 5,270 1,140 0,64 0,41

Be 6,085 1,590 0,16 0,03

D° 1,867 0,865 0,40 0,16

В° 5,270 1,140 - -0,15

5,375 1,325 - -0,10

Примечание. Масса кварков mu = mj — 0,385 ГэВ, ms = 0,510 ГэВ, тс = 1,645 ГэВ, ть = 4,94 ГэВ; параметры кварковых формфакторов ~fU:d = 0,33 ГэВ-2, 7s =0,20ГэВ-2,7с = 7ь = 0 [7].

В результате были получены соотношения между зарядовыми радиусами заряженных тяжелых мезонов ________________

< \l<rD7> < < \/<гЪ+>-

Большое значение зарядового радиуса мезона В+ может быть связано с влиянием большого заряда легкого кварка и в системе ub. Аналогичная ситуация могла бы быть в состоянии ис, но этот мезон нейтрален.

Summary

Gerasyuta S. М., Dumev М. A. Electromagnetic form factors of heavy mesons.

In the framework of relativistic quark model the behaviour of electromagnetic form factor of heavy mesons with Jp = 0- at small and intermediate momentum transfer Q2 < 1 GeV2 is determined. The charge radii of these mesons are calculated.

Литература

1. Faustov R. N. // Ann. Phys. 1973. Vol. 78, N 1. P. 176-189. 2. Migdal A. A. // Phys. Lett. 1971. Vol. B.37, N 1. P. 98-100. 3. Фаустов P. H. // Теор. мат. физика. 1970. Т. 3, №2. С. 240-254. 4. Анисович В. В., Саранцев А. В. // Ядерная физика. 1987. Т. 45, №5. С. 1479-1490. Ь.Герасютпа С. М., Иванов Д. В. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1997. Вып. 4(№25). С. 113-115. 6. Анисович В. В., Гера-сютпа С. М. // Ядерная физика. 1986. Т. 44. С. 174-185. 7. Герасютпа С. М., Саранцев А. В. // Ядерная физика. 1990. Т. 52, №5(11). С. 1483-1490. 8. Anisovich V. V., Gerasyuta S. М., Sarantsev А. V. // Intern. J. Mod. Phys. 1991. Vol. A6. P. 625-666.

Статья поступила в редакцию 27 марта 2003 г.