Электромагнитные формфакторы 5-волновых очарованных барионов мультиплета Jp=1+/2 Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 4. 2008. Вып. 2

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 539.12.01

С. М. Герасюта, Е. Е. Мацкевич

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ 5-ВОЛНОВЫХ ОЧАРОВАННЫХ БАРИОНОВ МУЛЬТИПЛЕТА .!>' = |+

Учет релятивистских эффектов в составных системах является важным при исследовании кварковой структуры адронов. Формфакторы составных частиц были рассмотрены в лестничном приближении для уравнения Вете^Солпитера [1], с учетом конформной инвариантности [2]; ряд результатов был получен в рамках трехадронных формализмов [3].

Удобным способом описания релятивистских эффектов в составных системах служит использование дисперсионных интегралов по массам составных частиц [4]. Техника дисперсионного интегрирования является, с одной стороны, релятивистски-инвариантной и не связана с рассмотрением какой-либо выделенной системы координат. С другой стороны, здесь нет проблемы возникновения дополнительных состояний, так как в дисперсионных соотношениях вклады промежуточных состояний контролируются. Дисперсионная техника дает возможность определять формфакторы составных частиц.

В работе [5] было построено релятивистское обобщение уравнений Фаддеева в форме дисперсионных соотношений по парной энергии двух взаимодействующих частиц и получены интегральные уравнения для трехчастичных амплитуд «^-волновых барионов октета ,]р = | + и декуплета | + . Получено приближенное решение релятивистской трехчастичной задачи, основанное на методе выделения главных сингулярностей амплитуд рассеяния в окрестности

= 4. Трехкварковые амплитуды, приведенные в работах [5, 6], можно было использовать для вычисления электрических формфакторов нуклонов при малых и промежуточных переданных импульсах [7].

В настоящей работе рассчитываются формфакторы и зарядовые радиусы «^-волновых очарованных барионов мультиплета ,]р = | + . В работах [4, 5, 8] вычислены формфакторы барионов в технике дисперсионного интегрирования. Используя эти результаты, определим поведение электрических формфакторов барионов, переходя в систему бесконечного импульса. Рассмотрим электрический формфактор трехчастичной системы, показанной на рис. 1-а.

Пусть массы составляющих систему кварков равны тщ, шг и тпз, соответственно. Будем считать импульс бариона большим: —¥ оо. Импульсы Р = Тц + к-2 + кз и Р' = Р + д

отвечают начальному и конечному импульсам системы, причем Р = в, Р' = в и в' -

квадрат начальной и конечной энергии системы. Предположим, что Р = (Ро,Р± = 0,Рг) и Р' = (Р(), Р^, Р'г)- Тогда имеем несколько законов сохранения для входящих импульсов:

ки_ + к • + к., = 0,

Рх - ки - к -. - кзх = Рг(1 - XI - х-2 - хз) = о,

Ро ~ *10 - к-20 ~ кзо = Рг{I - XI - Х2 - Хз) + —^ (в - - !?!злЛ _ д

2V XI Х2 Хз )

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования Российской Федерации (грант № 2.1.1.68.26).

© С. М. Герасюта, Е. Е. Мацкевич, 2008

Рис, 1. Треугольные диаграммы, определяющие формфакторы бариопов

— — I 1 * /; - ч л о

пц± = т; + к:±, х; = —, г = 1, 2, 3. Аналогично для выходящих импульсов:

1^1 ± + кг± + к:-ц_ — Ч± = О,

Р' ^ к[, - к>г ~ кхг = Р;(г - х[ - Х-> - Хз) = О, Р' *' + л — д2

I &1;

Х1 = рГ! г Р

2.ч

Ро - «10

,2 ,„,'2 ,„,2

/л -Г I

2Р; \ г XI ха

Р{2 = р/г’ - р± - р?.

Формфактор для системы трех кварков может быть получен при помощи двойного дисперсионного интеграла

Ла

*» - *» = Р, « - «) + ^ _ !0к - !гк) = О,

/2 2 . * / т-)/ /

т1± = т; + &и_, () I = Ри, *

П<г)

1

(пц+шз + ш з )2

где скачок двойного дисперсионного интеграла

сЬсЬ' Швс^Цвс*/ Р(.ч. </“)

4тг2 (*-Л/->)(*'-Л/->) !

12)0(«',«12) I <//-(/'•/''./.-и А:).

Интеграл по инвариантному фазовому объему, входящему в двойной дисперсионный интеграл. в случае диаграммы рис. 1-а имеет следующий вид:

I с1р(Р, Р', Й1, /с,) = I(2тг)1д-1(Р - /С! - /с, - /сз) х (2тг)1д'1(Р' - - /Й - /с!,)

С^1

(2пУл2ки, (2п)'л2км (2п)л2км) '

-X

(27г)32*10 (2тг)32^20 (2тг)32Дг^о '

X (2&2о)(2тг)а^а(к2 - к'2)(2/сзо)(2тг)3^(кз - к!,).

А в случае наличия дикварка (рис. 1-6)

і4-23

Jdp(PyP'yk1) = J J (27r)V(fc23 ^ fe ^ fca)-

d3fc2 d3fc3

(27r)32fc2o (2Tr)32fc3o

(т2+тоз)2

.WO j 7 ч rf3fc23 ч4г4/С)/ ,/ ,/ Ч d3fc'l d3fc23

X (27t) d {P-kl- k-23) , ----(27Г) 8 {P — ki — fc23)

(2тт)32кіо (27г)32&230 ' У (2тт)32к'10 {2'к)Пк'Ті0

х (2&2з0)(27г)3£3(к2з - к^з).

В результате, после соответствующих преобразований, учета законов сохранения для входящих и выходящих импульсов и снятии ^-функций, для электрического формфактора бари-она получается выражение

^2)Ч(2^('7з + '7в)’ (1)

где ^ и ^ — вклады диаграмм рис. 1-6 и рис. 1-а, соответственно:

ах ьх + 1 (с(в)с(в'))з0(лв - «)0(л5 - в')

27Г 1

J3 = /23 J dkІ J d<p J

x(l^x)b + Xf (s - M2){s' - M2)

о 0

(2)

Лі - Aj.

Je = Idt 1± Idk 2a. J dipt J dipt J dxі J dx2

b\ + 1

x

X\X2{1 - Xl)(l - X2) 6+ Л/

w (G(s)G(s’))6e(As - 5)0(AS - S')

X (5 — M2)(s' — M2) ' 1 j

Здесь /2з характеризует фазовый объем дикварка. В выражениях (2), (3) введены обозначения:

5 = ]_ та?~та23 . £ _ 12 _ 4?г2 сое2 у» , . _ -6+-^/(Ь2-/)( 1-(»/д)2/) ,

.5 5 ^ .5 5 / 5

гап і +£

(т2Я ml).

™і;; S' = S + g(l+2A);

h = X1 + mi і ■ f = I2 — 4ki 1 cos2 ^ ■ A = ~eW(b2-/l(i-(s/g)27).

1 ІЇ1 5 ^ s 5 / 5

г _ ml-L і m2_L і mi + kl±+k2±+2(kl±k2±) СОв(^2-уі) , _/ _ - 2q , 2\-) Ї1 ЇО fl-Tilfl-Xo) 5 '4 V ' /•

й-2 /г2 ')1/2-

___ _______ __________________в11_ К2± )

Я1 "Г Ж2 "Г (1-х1)(1-хг)

Массы кварков и двухчастичное обрезание возьмем как в [9]: тпи<а = 0,495 ГэВ2, ш5 =

0,770 ГэВ2, тс = 1,655 ГэВ2; А = 10,7. Размерные двухчастичные обрезания Агз для различных дикварков получаем как А0ь = д1нь»±!2а)-: дцс = 12,4 ГэВ2, Л5С = 15,7 ГэВ2, Асс = 29,3 ГэВ2. Поперечные обрезания находятся исходя из формулы в = ти-+^(™2з~т1)

X (^1 X)

считая А 11± = тах&5_, Агз = тахв и находя экстремум Ак± как функции х. Получается А 11± = А2зж(1 — х) — Т1%1 — х(тН23 — т!): где X = Л23~ ■ Для Д^+, , А+ имеем А 11± =1,04;

для Ак± = 1,37; для П++, П+ д Ак± = 2, 70 и для П+5 Ак± = 2, 47.

Функции (С(в)С(в/))3 и (С(в)С(в/))в определяются сверткой волновых функций соответствующих барионов. При этом необходимо учесть собственный формфактор одетых кварков: для и, й-кварков /д(д2) = ехр(адд2), ая = 0,33 ГэВ2, для странных кварков /5(<|2) = ехр(а5д2),

а., = 0, 20 ГэВ2 и для очарованных кварков /с(<?2) = 1.

Выражение (1) использовалось при проведении численного расчета электрических формфакторов очарованных «^-волновых барионов октета ,]р = |+ при малых и промежуточных

тг)

т)

1,0

0,5

0,0

0,5

7 2

1,0 б^эВ2

1,0

0,5

0,0

0,5

7 2

1,0 б^эв2

Рис, 2. Электрические формфакторы Е++, Е+ при малых и промежуточных передаппых импульсах С}2 < 1 ГэВ~ (С}2 = —д2)

передаш1ых импульсах С)2 < 1 ГэВ~ с учетом нормировки Р(0) = 1 для заряженных частиц. Поведение электрических формфакторов очарованных бариопов в зависимости от переданного импульса С)2 = — д2 па примере Е++ и Е+ показано па рис. 2.

Зарядовые радиусы бариопов находятся согласно формуле

р(сЯ) = Р(0?) - I (05 - О?).

Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1

Зарядовые радиусы очарованных 5-волновых барионов мультиплета Jp = ^ +

Частица Масса, ГэВ Зарядовый радиус, Фм

л+ 2.284 0,34

2,458 0,39

2,458 0,41

~+л “с 2,467 0,34

“с 2,565 0,35

П + + 3,527 0,32

о+ 3,527 0,35

3,598 0,25

Зарядовые радиусы нейтральных частиц оказались равными пулю в рассмотренной схеме вычислений. Для зарядовых радиусов очарованных ^-волновых бариопов оказались справедливыми соотношения

Дп+ < Дп++ < Лд+ < Дп+ , Лн+.‘- < Дт'++ < Лт,+ .

Авторы благодарят Д. В. Иванова за помощь в расчетах.

Summary

Gerasyuta S. М., Matskevich E. E. Electromagnetic form factors of S-wave charmed baryon multiplet Jp = § + .

Electric form factors of charmed S-wave baryons are calculated within the relativistic quark model in the region of low and intermediate momentum transfers, Q2 ^ 1 GeV2. The charge radii of low-lying charmed baryons are determined.

Литература

1. Faustov R. N. Relativistic wavefunction and form factors of the bound system // Ann. Phys. 1973. V. 78, N 1. P. 176-189.

2. Migdal A. A. On hadronic interactions at small distances // Phys. Lett. (B). 1971. V. 37, N 1. P. 98-100.

3. Фаустов P. И. Квазипотенциальный метод в задаче о связанных состояниях // Теор. мат. физика. 1970. Т. 3, № 2. С. 240-254.

4. Анисович В. В., Саранцев А. В. Формфакторы и процессы глубоконеупругого рассеяния при описании составных систем в технике дисперсионного интегрирования // Ядерн. физика. 1987. Т. 45, № 5. С. 1479-1490.

5. Герасюта С. М. Релятивистские барионы в бутстрапной кварковой модели // Ядерн. физика. 1992. Т. 55. С. 3030-3044.

6. Gerasyuta S. М. Relativistic three-quark equations and low-lying baryon spectroscopy // Z. Phys. 1993. Bd. C. 60. S. 683-688.

7. Gerasyuta S. M. Bootstrap quark model and electromagnetic nucleon form-factors // Nuovo. Cim. (A). 1993. V. 106. P. 37-44.

8. Герасюта С. М., Иванов Д. В. Вутстрапная кварковая модель и электромагнитные формфакторы гиперонов // Вестн. С.-Петерб. ун-та, Сер. 4: Физика, химия. 1996. Вып. 2 С. 3-11.

9. Герасюта С. М., Иванов Д. В, Релятивистские трехчастичные кварковые уравнения и спектроскопия очарованных бариопов // Ядерн. физика. 1999. Т. 62. С. 1693-1704.

Принято к публикации 18 декабря 2007 г.