CC BY
9
радюф1зика
радиофизика _кабюриубтсб_
УДК 621.372.81
В.П. Бондарев, С.С. Самойлик
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО РЕЗОНАТОРА С НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ
Краевая задача для определения электромагнитного поля в резонансной системе, включающей цилиндрическую неоднородность с изменяющейся во времени диэлектрической проницаемостью и удельной проводимостью сведена к интегральному уравнению. Для малых амплитуд модуляции получено характеристическое уравнение для ТЕ колебаний, позволяющее определить поле вблизи и в области основного параметрического резонанса. При численном анализе решений найдены зоны неустойчивости и значения характеристического показателя в широкой области изменения частоты модуляции.
ВВЕДЕНИЕ
Большой интерес для возбуждения электромагнитных волн в резонансных системах представляют элементы, параметры которых могут изменяться во времени под действием волны накачки [1-3]. Строго говоря, эти явления происходят при взаимодействии электромагнитной волны с нелинейным элементом. Однако, когда распространяющаяся волна гораздо слабее мощной волны накачки, то допустима линеаризация задачи. На основе таких структур возможно создание эффективных параметрических усилителей и генераторов, а также преобразователей спектра электромагнитных волн.
В настоящее время отсутствуют электродинамические методы расчета подобных структур, а существующие аналоги используют для расчета только радиотехнические модели с сосредоточенными параметрами, не позволяющими учитывать геометрические размеры нестационарной неоднородности. Поэтому решение таких задач требует применения строгих методов решения и более подробного анализа и обоснования [4, 5].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В качестве математической модели параметрических устройств выбран резонатор, содержащий объемный
твердотельный элемент в виде стержня цилиндрической формы, диэлектрическая проницаемость и удельная проводимость которого изменяются во времени по гармоническому закону. При выполнении определенных соотношений между частотой накачки и одной из резонансных частот резонатора в устройстве возможно возникновение параметрического резонанса.
Рассмотрим прямоугольный резонатор (рис. 1). Предположим, что в отсутствии возмущения в резонаторе существовали свободные гармонические колебания типа Нтоп с частотой ютп. В момент времени Ь = 0 в резонатор помещают стержень с диэлектрической проницаемостью е(Ь) и удельной проводимостью о(Ь).
При Ь >0 электромагнитное поле в резонаторе удовлетворяет интегральному уравнению [4, 5]:
2 1
Е(Г, г) = Ео(Г, г) - £0ц0_[Лг|о(г, г, гг') х э'о К
д г
х [е(г') - е1 ] ■ Е(Г, г')Лг' - дц0|Лг'|о(г, г, Г, г') х
0 V
хо(г') ■ Е(Гг')Лг',
(1)
где Ео( г, г) - начальное поле в резонаторе, О (г, г, г', г') -скалярная функция Грина прямоугольного резонатора, £1 - диэлектрическая проницаемость свободного пространства.
Будем считать, что диэлектрическая проницаемость и удельная проводимость стержня изменяются по гармоническому закону:
£(г) = £ + Д£ ■ С08 (Ог + Фо) , о( г) = о + До ■ со8 (О г + Фо),
(2) (3)
где О - частота накачки, ф0 - начальная фаза, £ -диэлектрическая проницаемость стержня в отсутствии накачки, Д£ - амплитуда модуляции, о - начальная проводимость среды, До - амплитуда модуляции потерь.
Подставим выражения для напряженности электромагнитного поля (4) и функции Грина (5) в интегральное уравнение (1). Тогда получим следующее выражение:
Рисунок 1 — Резонатор, частично заполненный нестационарной средой
X Етп( t )ф тп( x, z) = Eo( t, x, z )■
i = 1
Э^Г 4
- í dt' í
X sin ( ГО ( t -1') ) x
ro.
9t 7e0u0e1a/ mn
0 V m, n = 1
ХФтп(X, Z)-фтп(X, z') ■ (e( f ) - Ei ) X E( f )X
t
ap = 1
X фар(x', z')dx'dz' - g-t^f dtíEo^oE^/ ;
~ sin (romn(t - t'))
X X -^-ГОГ-- Фтп(x, z)^mn(x', z')X
mn
m, n = 1
xo(t') X Eap(t')^Фар(x',z')dx ' dz', (6)
ap = 1
где введено обозначение ГО =
РЕШЕНИЕ
Будем считать, что диэлектрический стержень однороден вдоль оси y. Тогда возбуждаемое внутри резонатора поле можно выразить через y составляющую Еу=Е и представить в виде разложения по собственным функциям прямоугольного резонатора:
E(r, t) = X Eap(t) ■ sin(^x) ■ sin(Pfz) . (4)
ap = 1
Для рассматриваемой структуры функция Грина, в общем случае тензорная, имеет только диагональные элементы, которые должны удовлетворять граничным условиям на стенках резонатора, накладываемым на соответствующую компоненту поля. Поэтому функцию Грина G(r, t, r', t') с условием ортогональности и нормировки в области 0 < x < a, 0 < z < b можно представить в виде:
G( r, t, r , t ) =
X f^ (t - f)
После вычисления интегралов по пространственным координатам и некоторых преобразований получаем:
. (mn ) . (nn
X Emn( t) ■ sin I,—xJ ■ sin ^yzl =
m, n = 1
1Э
"e1 dt2
г (t, . (mon ) . (n0n7) = E0( t) ■ sin |-x| ■ sin I)—j~ -
sin(romn(t - f )).
f X X Amn, aP ro
0 m, n = 1 a, P = 1
: sin(—x| ■ sin| —Пz) ■ (e(t') - E1) ■ Eap(t')dt' -
1 Э \ " " sin ( ГО mn(t - f)) X
-£0 E 1 dt J X X mn'aP ГО mn 0 m, n = 1 a, P = 1
X sin(mnxj ■ sin(—Пz| ■ o(t') ■ Eap(t')dt',
(7)
E ■ a ■ / ■ EnUn La Ю„„ I /£"
0 0m, n = 1 mn we1
X фи—(X, z)'$mn(^ z') , (5)
где а, l - размеры прямоугольного резонатора, imn =
(mn) 2 , (nn)2 ,,
= c ■ Л—| +| - резонансная частота, Фм =
. (mn ) . (nn ) = sin |— x| ■ sin x|.
где Атп ар - коэффициент, учитывающий геометрию неоднородности.
Учитывая ортогональность собственных функций резонатора по координатам х и г на соответствующих отрезках 0 < х < а, 0 <г < I, из (7) получим систему интегральных уравнений относительно неизвестных функций Етп(которые можно переписать в следующем виде:
Ер(г) = Ер0(г)8РР0- ^ I АРЧ рд = 1
Э г
— I (Ишя(г - г ))Х
Эг'
1 Э г
х(£(г') - £1) ■ Е?(г')Лг' -| эш(итп(г - г'))х
хц(г') ■ Ед(г')Лг'
(8)
Ер (г) = I I
и+(*^ е1га"' + и~{*е-ш„Ь, (9)
гр
гр
г * =
-1иРг , л
Для слагаемых пропорциональных е из (9) получаем:
где р = 1, 2, 3..., под индексами р, р0, д необходимо понимать совокупность индексов т, п; т , П0; а, Ь соответственно, 8 - символ Кронекера.
Линейно независимые решения системы (8) представим в виде ряда Флоке:
О*) ■ е 'тр х
I I
* = г, д = 1 ( £ - £ 1 )АрдИр _
2 £ 1( га„ + Ир ) 4£1((юг, * + 1 ) + Ир) 1 ■ оЛг
Д£АРдИРе
¡Ф0
Д£АрЧ Ире
Р' -!ф0
РЧ
4£1((юг,* - 1) + Ир) 2£0£1(Ю„ + го„)
1 ■ ДоАР?е
1Ф0
1 ■ ДоАр „е
Р' *Ф0
4£0£1(гаг, * + 1 + Ир) 4£0£1(гаг, * - 1 + Ир)
+ -(^(£ - £1 ) АрдИР _
Д£АрЧ Ир£
*Ф0
2£1(ю„ - Ир) 4£1((юг, * -1) - Ир)
Д£Арч ИРе
-*Ф0
1 ■ о А
рЧ
4£1((юг, * +1) - ИР) 2£0£1(ю„ - ИР)
1 ■ ДоАР д е
*Ф0
1 ■ ДоАР д е
Ф0
4£0£1(гаг, * - 1 - ИР) 4£0£1(гаг, * + 1 - ИР)
= 0. (11)
где гаг* = гаг + * О, * = 1, 2, 3... - частоты 5-х гармоник для каждого из г-типов колебаний, гаг - частота основной гармоники г-го типа колебаний, О - частота накачки, игд± - амплитуды соответствующих гармоник г-х типов колебаний, подлежащие определению.
Вычисляя интегралы, входящие в (8) и производя некоторые преобразования для слагаемых пропорциональных е Р получаем следующие соотношения:
Выражения (10) и (11) связывают амплитуды поля в невозмущенном резонаторе с амплитудами гармоник в возмущенном.
±(1'ю„г)
Из (8) для коэффициентах при е ' получаем следующую систему алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд иг д±(^:
ЕР8РР0 е
1ИР г
Р0
■ I I
* = г, д = 1
и,
+(*)
гд
(£ - £1)АрдИр Д£Ард«ре
ех
*Ф0
рд р
2£1(ю„ - Ир) 4£1((юг, * +1) - Ир) * ■ оА„
Д£Ард«р е
Р'
Ф0
рд
4£1((гаг, * - 1) - Ир ) 2£0£1(юг* - Ир )
1 ■ ДоАрде
*Ф0
1 ■ Д оА рде
-*Ф0
4£0£1(юг, * + 1 - Ир ) 4£0£1(юг, * - 1 - Ир )
1Ф0
+ и * ■ е «V£ - £ 1АрдИР, Д£АР д«Р£ гд 2£Ю„ + И 4£Ю „ ,- И
Д£АрдИре
1 г* ~р ¡Ф0
г, * - 1 -
- 1 ■ оА Р д 4£1Юг, * + 1 + Ир 2£0£1Юг* + Ир
1 ■ ДоА рде
1Ф0
1 ■ ДоАрде
"1Ф0
4£0£1Юг,*- 1 + Ир 4£0£1Юг,*+ 1 + Ир
= 0.
I
д = 1
АР д( £ - £1) £1
22 (га - И )
к г, * Р '
£0£1 (га 2 - И 2)
^ г, * Р >
+[
(®г. *)
г, * 2
+ 8 I и +
2, Рд\ г, д
(га г, *)
2£1 (га )2 - И 2
к г, Р
.АрдДО.
2£0£1 (га )2 - И 2)
^ г, ^ Р
х( иг, д±(* - 1)е1ф0 + иг, д±(* + 1) е- ф0) = 0.
(12)
(10)
где р = 1, 2, 3... ; * = 0,±1,±2... .
Рассмотрим случай, малого заполнения резонатора, когда радиус стержня К«а и К«I (рис. 1) и будем считать, что для значений амплитуд модуляции выполняются условия Д£ « £, До « о.
Индекс г в (12) не влияет на вид матричных коэффициентов и поэтому при решении системы его можно опустить. Для колебания типа квази ТЕ 101 система (12) принимает вид:
0
0
х
2
1 и г
х-
А"Ю-1 2 г(£ - £1 )®-1 - ¿£°1 + фи<-1) +
|-Д£Щ-1 -г-До]. и0)е-!ф0 = 0,
2£1(й-12 - йц2^ ' £0-1
[(£ - £1)®0 - *£°] + ^0)
а11ю0
ч£1(ю02 - й12)
А11ю,
22 2£1(Ю0 - йц )
0—— Гд£юп - I —1:
(13)
£oj
х( и(-1)еф0+и(+1) е-ф0) = 0,
А^Г (£ - £1)®1 - < £1]+ 1|-и(
о/ - й112^ £0-!
АцЮ1
22 2£1(Ю1 - йц )
г л .До тЛ0) !'Ф0 п Д£ю1 - I — ■ и е = 0.
1_ £oj
Нетривиальные решения (13) получим при равенстве нулю определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных (см. (14) в конце страницы).
ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Для резонатора сантиметрового диапазона, геометрические размеры (а, Ь, I) которого 23х 10х25 мм, с расположенным в центре резонатора цилиндрическим стержнем, найдем решение уравнения (14) относительно ю.
На рисунке 2 и 3 показана зависимость частоты основной гармоники колебания #101 от частоты модуляции для резонатора заполненного средой с параметрами Д£
£ =0,9; £1 = 1; — =0,01; 0,02; 0,04 без учета удельной проводимости с К =1 мм.
На рисунках 2 и 3 частота основной гармоники нормирована к соответствующей собственной частоте резонатора в отсутствии модуляции.
Из графика на рисунке 2, видно, что модуляция диэлектрической проницаемости стержня приводит к изменению частоты основной гармоники. Причем, в области О > 2йр наблюдается сдвиг частоты в сторону увеличения. Максимальное значение ю достигает на границе зоны неустойчивости и затем с дальнейшим
0.48 0.485 1149 0.495 0.5 0.505 0.51 0.515
Рисунок 2 — Зависимость реальной части характеристического показателя от частоты модуляции
Рисунок 3 — Зависимость мнимой части характеристического показателя от частоты модуляции
уменьшением О также уменьшается, достигая минимума на другой границе зоны, но уже при О < 2йр. График на рисунке 3, где изображена мнимая часть частоты основной гармоники позволяет более наглядно определить границы зоны неустойчивости, так как именно по появлению комплексной составляющей, можно судить о том что наступает явление параметрического резонанса.
+
а11 ю-1
-ф0
22 £1 (ю_1 - йц )
Г/ ч -О!, , а11ю-1е г .До-1
(£ - £1 )ю1 - г + 1 --- д£ю1 - г^
1 £0-1 2£1(ю-12 - йц)1 £0-1
. ' Ф0 а11 ю0е гл
-21-г д£ю0"
2£1(Ю0 - йц )|-0
а11 ю0
.До!
I — 2 2
£0-! £1(ю0 - й1 )
а 11 ю1
2£1(ю1 - й11 )
[(£ - £1 )ю0-1 О] +1 /
' Ф0
АцЮ0е
-!ф0
2- |"Д£Ю0 - I —
= 0. (14)
2 гд£ю1 ' £ i 2 2
0-1 £1 (ю1 - йц )
2£1(Ю02 - йц2 )1 " £0-1
1__-Г(£ - £1 )Ю1 - IО] + 1
а 11 ю
0
На рисунке 4 показана зависимость частоты основной гармоники колебания Н101 от частоты модуляции для резонатора с параметрами стержня £ = 10,9; £1=1; Д£
— = 0,05 с учетом удельной проводимости для о= 0,4;
0,5; 0,6 см/м. Частота основной гармоники нормирована к соответствующей собственной частоте резонатора в отсутствии модуляции.
показателя, позволяющий исследовать свойства такой структуры.
Результаты численного анализа показали, что поле в резонаторе, частично заполненном нестационарной средой, в диапазоне частот накачки близкой к удвоенной частоте стационарного резонатора нарастает во времени (характеристический показатель га является комплексным). При изменении параметров цилиндрического стержня определены его значения, представленные в виде графиков.
Рассмотренный алгоритм решения задачи позволяет численно исследовать зоны неустойчивости основного резонанса более высокого порядка в широкой области изменения частоты модуляции.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1.
Рисунок 4 — Зависимость реальной части характеристического показателя от частоты модуляции
Графики рисунка 4 показывают, что изменение удельной проводимости стержня приводит к сдвигу частоты основной гармоники. Причем сдвиг происходит в область более высоких значений отношения Ир/О.
ВЫВОДЫ
Краевая задача для определения электромагнитных полей в резонаторных системах, заполненных средой с изменяющейся во времени диэлектрической проницаемостью и проводимостью сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода позволяющему произвести алгебраизацию задачи.
В предположении малого заполнения резонатора, когда радиус стержня К« а и К« I. При выполнении условий Д£ « £, До « о получен определитель третьего порядка относительно квадрата характеристического
2
3
4.
5.
Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов: В5-ИТ. -М.: Изд-во АН СССР, 1955. - Т. 3.
Люиссел У. Связанные и параметрические колебания в электронике. - М.: ИЛ, 1963. - 351 с. Ярив А. Квантовая электроника и нелинейная оптика. -М.: Сов. радио, 1973. - 241 с.
Хижняк Н.А. Инжинерные уравнения макроскапической электродинамики. - К.: Наукова думка, 1986. - 279 с. Бондарев В.П. К устойчивости электромагнитных колебаний в резонаторе, заполненном нестационарной средой // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. - 1986. - Т. 29. - № 4, с. 470-476.
Надшшла 02.04.2004 Шсля доробки 29.10.2004
Крайова задача для визначення електромагнгтного поля у резонанснгй системг, котра включае цилгндричну неод-норгднгстъ з змгнною у часг дгелектричною проникнгстю г питомою провгднгстю зведена до гнтегралъного ргвняння. Для малих амплгтуд модуляцИ отримане характеристичне ргвняння для ТЕ коливанъ, з котрого можливо визначити поле поблизу й в областг основного параметричного резонансу. При чиселъному аналгзг ргшенъ знайденг зони нестгйкостг та значення характеристичного показнику для резонансу в широких межах змгни частоти модуляцИ.
The boundary problem level for determination of electromagnetic field in resonance system that includes cylinder in-homogeneity with the changing in time dielectric permitivity and specific conductivity is reduced to an integral equation. For small amplitudes of modulation the characteristic equation for TE oscillations was received and it enables to determine the field near and in the zone of the main parametric resonance. At numerical analysis of solutions the zones of instability and values of characteristic indexes in the wide zone of the modulation frequency alteration were found.
УДК 621.396.96
И.И. Зиненко, В.П. Пьянков, В.П. Чумаченко
СОГЛАСОВАНИЕ ПЯТИПЛЕЧЕГ0 Е-ПЛ0СК0СТН0Г0 СОЕДИНЕНИЯ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ В0ЛН0В0Д0В
Представлены результаты исследования возможности согласования пятиплечего соединения прямоугольных волноводов путем увеличения расстояния между волноводами, а также внесением кругового цилиндра в область связи.
Для нахождения элементов матрицы рассеяния применен модифицированный метод произведения областей. Приведены и проанализированы графики для коэффициентов матрицы рассеяния рассматриваемого устройства.
