CC BY
15
УДК 621.396.96
А. К. Кирякмасов
Эквивалентность некоторых схем построения адаптивной пространственной фильтрации в фазированных антенных решетках
Доказано, что при адаптивной пространственной фильтрации в пространстве элементов в схеме с выделенным основным каналом результаты фильтрации не изменяются от того, включаются ли вспомогательные элементы в основной канал или нет. Доказано также, что в пространстве лучей однородная схема и схема с выделенным основным каналом эквивалентны.
Ключевые слова: адаптивная пространственная фильтрация, схема с выделенным основным каналом, пространство лучей.
Введение
Наиболее известным вариантом схемы адаптивной пространственной фильтрации (АПФ) является однородная схема в пространстве элементов (рис. 1), в которой в тракте каждого элемента имеется адаптивный регулируемый весовой коэффициент wi и выходной сигнал всей решетки у является весовой суммой входных сигналов [1]:
y = wH x,
(1)
w = R-1s;
где w - вектор весовых коэффициентов, w = (,..., wN), определяемый соотношением (без учета нормировки):
(2)
х - Ж-мерный (по числу элементов решетки) вектор сигналов с выходов элементов,
х = (Х1, ., " ., XN ) '
Здесь R = ххн - корреляционная матрица (КМ) входных сигналов;
s - опорный вектор, состоящий из единиц1; ( )н - знак эрмитова сопряжения; ( ) - знак статистического усреднения. При значительном числе элементов решетки N объем вычислений по (2), пропорциональный оказывается чрезмерно большим, так что возникает проблема уменьшения объема вычислений посредством снижения размерности задачи.
1 В общем случае опорный вектор определяется направлением приема полезного сигнала, длиной волны и геометрией решетки. Но если в фазированной антенной решетке (ФАР) имеется система предварительного фазирования, фокусирующая решетку в направлении ожидаемого полезного сигнала, то элементы вектора 5 равны 1, что не уменьшает общности результатов, но упрощает выкладки.
© Кирякмасов А. К., 2019
Рис. 1. Однородная схема АПФ в пространстве элементов
Возможными вариантами снижения размерности задачи являются переход к схеме с выделенным основным каналом или к АПФ в пространстве лучей. В обоих случаях возможны два варианта построения соответствующих схем АПФ. Целью настоящей работы является доказательство эквивалентности двух вариантов в каждом из этих случаев. АПФ в схеме с выделенным основным каналом
В схеме с выделенным основным каналом адаптивные весовые коэффициенты включены в тракты L элементов решетки ^ < N), ко -торые могут быть названы вспомогательными каналами. При этом возможны два варианта построения: в первом случае в ^элементной антенной решетке к основному каналу относятся N - L элементов (рис. 2, а), во втором случае к основному каналу относятся все N элементов решетки (рис. 2, б), при этом адаптивными остаются L из них.
В схеме с выделенным основным каналом весовой вектор определяется соотношением [2]:
w г = R Та,
(3)
где R- КМ сигналов с выходов L адаптивных элементов, R L = х L х н;
а - корреляционный вектор (КВ), а = у0х L;
та
X Ф
ч
та 0-
та
О О.
£ V
ц
(Ч
ф
о см
<
I
о га
г |
0 ^
со га
1
о.
<и
о
и <и со
см ■ч-ю о
I
см ■ч-ю см
(П (П
у0 - сигнал с выхода основного канала; ( ) - знак комплексного сопряжения; хЬ - Ь-мерный вектор сигналов с выходов адаптивных каналов.
Тогда результирующий весовой вектор для всей решетки при первом варианте построения схемы АПФ (см. рис. 2, а) выглядит следующим образом:
=( 0, - ^ (4)
при втором варианте (см. рис. 2, б):
=(wo, s£ - Wí^), (5)
где w 0 - фиксированный весовой вектор для N - Ь неадаптивных элементов;
- Ь -элементный опорный вектор, состоящий из единиц.
Покажем, что w1 = w 2. Очевидно, что КМ RЬ и ей обратная RЬ1 будут одинаковыми для обоих вариантов, и в случае воздействия одного источника помехи они имеют вид:
R
R Ь
=^2х ьх Н 01,
1 т о2 хЧ х°
(6)
о0 о 0 ((2 +о2) при воздействии М источников:
М
R ЬМ = Е°2 х Ь х Н + о 01,
i=1
R-1 = R
-1
R-1
-1
ь((-1) ■
Ь о; хь хь R/
Ь(1-1) ■ ' Ч Ь(
(7)
(-1)
1 + о2 хН RЧ хЧ
1 у
("О
Елг-ь
Уо
< +
1 2
Ы-Ь N-1+1 N
1 N-¿+1 N
Щ-
Е N
Уо
_ У»
Рис. 2. Два варианта построения схемы АПФ с выделенным основным каналом:
а - Ы-Ь элементов в основном канале; б - N элементов в основном канале
рованности собственных шумов в основном и вспомогательном каналах. Для случая воздействия одного источника помехи КВ равен для первого и второго вариантов соответственно:
а1 - °1х 01Х0 х ч ;
а 2 — ©2 х 0^0 х Ь1 2S Ь;
а1 - Х°2х Н х0х Ч;
М
i=1
а 2 =Е°2х 0 s0 х Ч + ° 0s Ь, (■=1
где о2 - мощность собственных шумов в эле- при воздействии М источников:
менте решетки; М
2
01 - мощность I-го источника помехи в элементе решетки;
хЬ - сигнальный вектор с адаптивных элементов, соответствующий (-му источнику помехи;
I - единичная матрица.
Последнее равенство в формуле (7) представляет собой рекуррентный алгоритм для нахождения обратной КМ.
Для двух вариантов схем КВ будет разный в силу коррелированности или некоррели-
(8) (9)
(10) (11)
где х 0( - сигнальный вектор с неадаптивных элементов, соответствующий У-му источнику помехи;
s0 - (Ы-Ь)-элементный опорный вектор, состоящий из единиц.
Подставляя формулы (6), (8), (9) в уравнение (3), получим для первого варианта
„2
_ а1 - н -
wL _ 2 x0is0xL1 O0
1 --
o? L
o2 L + o
oix 01s0x l Lo? + o0
для второго варианта
o? -
w L? = s L +02 x L1
0
-H„
o 2 T x H s
1 L 01 0 o? L + o 0
H
o2 x HsL
o?L + o0
(12)
(13)
2
_ н -
wL2 _ SL + 2 x01s0xт
_ ^ x 01S0 x L
Sl + lü2+O0 ,
1 -
o2 L
q\L + O2
0
(14)
w
1 (M - 1) = (w 0, - w L (M -1)
w 2
a1(M) - a2(M) RL(M)sL.
(17)
Из выражений (7), (10), (11) следует, что
(18)
a1(M) _ a1(M-1) + °Mx0MS0xLM;
a2(M) _ a2(M-1) + GMx0MS0xLM;
(19)
R¡(М)SL - (К¡(М-1) + °Мх¡Мх 1м) SL• (20)
Подставляя формулы (18)-(20) в (17), получаем
° м х ОМ s0 х ¡м = ° м х ОМ s 0 х ¡м — °м х ¡м х нМ s L • В последнем выражении в левой части векторы х^ и s0 являются (- ¡)-элементными, в правой - ^элементными, что и доказывает справедливость соотношения (17). Пространство лучей
При АПФ в пространстве лучей проводится переход от пространства элементов в пространство лучей с помощью матрицы преобразования В, столбцами которой являются ортонормированные векторы амплитудно-фазового распределения по раскрыву антенны для формирования соответствующих лучей. Другими словами, Ь-элементный вектор сигналов с выходов лучей х л, КМ R л и опорный вектор s л в пространстве лучей формируются следующим образом:
x 0 M I s т
в первом случае векторы х01 и s0 являются (Ж-Ь)-элементными, а во втором - Ж-элемент-ными. Преобразуя выражение в скобках и приводя подобные члены, соотношение (13) можно представить в виде
причем х ш и s0 в выражении (14) являются уже (Ж-Ь)-элементными векторами.
Подставляя формулы (12) и (14) соответственно в уравнения (4) и (5), получаем одинаковые выражения для w1 и w 2.
Для случая воздействия М источников доказательство равенства векторов w1 и w 2 проведем методом математической индукции. Для М-1 помех весовой вектор при первом и втором вариантах построения схемы будет равен соответственно
,2 (М -1) = (0,^ - WL2 (М - 1)
Будем исходить из того, что w1 (М -1) = = w2 (М -1) .Тогда
w L (М -1) = wÍ2 (М -1)-SL • (15)
Перепишем выражение (15) с учетом формулы (3) в виде
R¡(М-1)а1(М-1) = R¡(М-1)а 2(М-1) - s ¡,
или, умножая обе части на RL (М -1),
а1(М-1) = а 2(М-1) - R¡(М-1) L • (16)
Остается показать, что в случае М помех соотношение (16) также справедливо, т. е. что
хл = Внх, Rл = хлхН = ВнКБ, sл = Внs,
где х - Ж-мерный вектор сигналов с выходов элементов;
R - КМ входных сигналов; s - опорный вектор в пространстве элементов.
Ввиду ортогональности вспомогательных лучей опорный вектор в пространстве лучей примет вид (для определенности элемент, относящийся к сигнальному лучу, расположен на первом месте):
sл = (( •••,0,0)Т• (21)
Сформированные лучи соответствуют Ь каналам обработки - их число меньше, чем число элементов N в решетке (Ь < N1). Обычно один из каналов называют сигнальным, остальные Ь-1 каналов - компенсационными или вспомогательными. Такую схему называют также многоканальным
та
X Ф
ч
та Q.
та
О О.
£ ф
ц
(Ч
ф
автокомпенсатором [3, 4]. В пространстве лучей также возможны два варианта построения схемы АПФ: однородная схема (адаптивными являются все лучи на рис. 3, а) и схема с выделенным основным каналом, где основным (неадаптивным) каналом считается один выбранный луч (луч 1 на рис. 3, б).
Оптимальное решение в однородной схеме в пространстве лучей выглядит следующим образом [5]:
w л = R-1* л. (22)
В схеме с выделенным основным каналом в пространстве лучей по аналогии с АПФ в пространстве элементов весовой вектор можно записать в виде
w Ь =-R Ь*а Ь, (23)
где RЬ - корреляционная матрица сигналов с Ь адаптивных лучей;
аЬ - корреляционный вектор, аЬ = у0хЬ;
Луч 1 Луч 2 Луч!
у0 - сигнал с выхода основного луча; хЬ - вектор сигналов с выходов Ь адаптивных лучей.
Общий (составной) весовой вектор в этом случае будет равен
w л =(1, w Ь). (24)
Покажем эквивалентность выражений (22) и (24). В пространстве лучей в случае схемы с выделенным основным каналом число адаптивных весовых коэффициентов равно Ь-1, т. е. на единицу меньше общего числа лучей Ь. Поэтому матрицу R-1 можно найти методом окаймления матрицы RЬ [6]. Матрицу R запишем в виде
R„
а
а = Уо Уо.
R
Тогда обратная матрица имеет вид
R+ Rf*aLaL Rf
-i
-R La l
-a L RL1
(25)
P = a- a f R ¿a
Подставляя формулу (25) в (22) и учитывая выражения (21) и (23), получим
о см
<
I
(0 га
s |
о ^
со га г о. ф
о
и
V
со
см ■ci-io о
I
см ■ci-io см
(П (П
\у
Луч 1
а
Луч 2
Луч/.
S2 —
'У
Рис. 3. Два варианта построения схемы АПФ в пространстве лучей: а - однородная схема; б - схема с выделенным основным каналом
wJ1 = R-4 =(1, -R f*a f f ^ = (1, w f)ff, (26)
в
в
что с точностью до нормировки совпадает с (24). Заключение
Таким образом, доказана эквивалентность двух вариантов построения схемы АПФ в пространстве лучей и эквивалентность двух вариантов схемы АПФ с выделенным основным каналом. Это определяет возможность проводить исследование только для одного из вариантов, а именно того, для которого это оказывается проще и удобнее в заданной ситуации.
Список литературы
1. Ратынский М. В. Адаптация и сверхразрешение в антенных решетках. М.: Радио и связь, 2003. 200 с.
2. Nitzberg R. Adaptive Signal Processing for Radar. Artech House, 1992. 313 p.
3. Mervin C., Budge Jr., Shawn R German, Basic Radar Analysis. Artech House, 2015. 784 p.
1
4. Trees V., Harry L. Optimum Array Processing. Part 4 of Detection, Estimation, and Modulation Theory. New York: John Willey & Sons, Inc., 2002.1433 p.
5. Кирякмасов А. К. Система когерентной компенсации помех в пространстве лучей //
Успехи современной радиоэлектроники. 2019. № 1. С. 70-79.
6. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Энциклопедия линейной алгебры. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 544 с. Поступила 13.03.19
Кирякмасов Александр Константинович - ведущий инженер Акционерного общества «Всероссийский научно-исследовательский институт радиотехники», Москва. Область научных интересов: обработка сигналов.
Equivalence of some schemes for constructing adaptive spatial filtering in phased antenna arrays
The study proves that with adaptive spatial filtering in the space of elements in the scheme with a dedicated main channel, the filtering results do not change depending on whether auxiliary elements are included in the main channel or not. It is also proved that in the ray space a homogeneous scheme and a scheme with a dedicated main channel are equivalent.
Keywords: adaptive spatial filtering, scheme with a dedicated main channel, ray space.
Kiryakmasov Aleksandr Konstantinovich - Lead Engineer, Joint stock company VNIIRT - All-Russian Scientific Research Institute of Radio Engineering, Moscow. Science research interests: signal processing.
