ЭКСТРАКЦИЯ ПАРАМЕТРОВ НАНОРАЗМЕРНЫХ МДП-СТРУКТУР ПУТЕМ РАСЧЕТА ВОЛЬТ-ФАРАДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.3.049.77

Экстракция параметров наноразмерных МДП-структур путем расчета вольт-фарадных характеристик

Д.В. Рязанцев, В.П. Грудцов

НПК {{Технологический центр»» (г. Москва)

Рассмотрено программное обеспечение для моделирования вольт-фарадных характеристик наноразмерных МДП-структур с использованием численных методов. Разработаны методика нахождения и алгоритм автоматической экстракции параметров наноразмерных МДП-структур. Проведено сравнение результатов моделирования вольт-фарадных характеристик МДП-структуры, полученных с помощью разработанных численно-аналитических моделей, с результатами аналогичных зарубежных симуля-торов. Методика позволяет производить набор статистики по пластине с выводом результатов в режиме реального времени.

Ключевые слова: вольт-фарадные характеристики; математическое моделирование; наноразмерные МДП-структуры; экстракция параметров.

Прогресс в развитии микроэлектроники связан с миниатюризацией интегральных схем. Уменьшение размеров элементов приводит к усилению влияния наноразмерных эффектов и к необходимости введения корректных физико-математических моделей расчета электрофизических параметров.

Существующие коммерческие средства расчета электрофизических параметров структур с учетом квантовых эффектов имеют закрытые модели, которые практически невозможно подстроить под свои требования. Например, в приборно-технологической среде SYNOPSYS TCAD [1] используется полуклассическая модель (Density Gradient Quantization Model - DGQM), которая вносит квантовую поправку к электростатическому потенциалу и не учитывает кристаллографической ориентации подложки.

В настоящей работе ставится задача разработки программного обеспечения (ПО) для расчета вольт-фарадных характеристик (ВФХ) и экстракции параметров МДП-структуры из экспериментальных данных с учетом мирового опыта в области расчета квантовых эффектов в наноразмерных структурах для получения максимальной корректности и точности результатов с минимальным временем расчета.

В программной среде MATLAB с использованием его базовых функций разработано программное обеспечение, в котором реализованы следующие возможности:

- совместное решение уравнения Пуассона

— (s(x)A V) = - *Х) - П(Х) + Nd (Х) - Na (x) (1)

dx dx sn

и Шредингера

2 dx

1 d

"Уг (X)

2m* ( x) dx

+ U (x)Wl (x) = E1 щ (x) (2)

© Д.В. Рязанцев, В.П. Грудцов, 2014

с использованием приближения эффективных масс плотности состояний ш* [2, 3] (огибающая - парабола) для расчета распределения пространственного заряда с учетом квантовых эффектов с кристаллографической ориентацией подложки <100>;

- расчет системы дифференциальных уравнений с использованием метода конечных разностей (переменная квадратная сетка);

- описание носителей заряда в полупроводнике с использованием статистики Ферми-Дирака

I (Е) =

-1-1

Е-Ег п 1

ехр(--) +1

квТ '

(3)

а также учет ионизации донорной или акцепторной примеси в подложке;

- использование модели, учитывающей зависимость ширины запрещенной зоны от температуры;

- использование метода Ньютона для решения нелинейной системы уравнений.

Проводилось сравнение результатов моделирования разработанного симулятора и

приборно-технологической среды SYNOPSYS TCAD с полностью одинаковыми МДП-структурами (рис.1). В классическом приближении без учета квантовых эффектов результаты совпадают (рис.1,а, кривые 1 и 2). При включении моделей учета квантовых эффектов наблюдалось некоторое отличие характеристик вблизи границы с диэлектриком (см. рис.1,а, кривые 3 и 4), которое связанно с различием квантовых моделей расчета (рис.1,б, кривые 2 и 3), но в целом результаты подчиняются общему закону.

Для экстракции параметров МДП-структур из ВФХ разработан итеративный алгоритм поиска параметров на основе сравнения экспериментальных данных с результатами расчета математической модели.

сй

0.9

0,8

ё о.б с

0.5 0,4

V \

\

• к А

V 3

4/ > К 1

1 1 2 ■ 1 [ 1 1 1 1

-МО

19 -

-2 10

19

н

к

о, га

п >Я л X

о, Й

и

-310 -410 -5 10

-6 10

19

19

19

19

-710

19

Л 1С**"

*

1 г 2

1 «

1 ■ •

Г -1

■ ■ ■ 1 ■ ■ — ■ —1—|

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Координата X, А а

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Координата X, А б

Рис.1. Распределение потенциалов в МДП-структуре в глубь подложки с толщиной диэлектрика 1,5 нм и концентрацией доноров в подложке 5-1017 см-3 при смещении на затворе относительно подложки 1 В:

1 - SYNOPSYS TCAD с учетом классического распределения концентраций; 2 - разработанное ПО с учетом классического приближения; 3 - разработанное ПО (совместное решение уравнений Шредингера и Пуассона); 4 - DGQM SYNOPSYS TCAD (а) и распределение суммарной концентрации носителей заряда в МДП-структуре в глубь подложки с толщиной диэлектрика 1,5 нм и подложкой п-типа с концентрацией доноров 5-1017 см-3 при смещении на затворе относительно подложки 1 В: 1 - классическое;

2 - DGQM SYNOPSYS TCAD; 3 - разработанное ПО (совместное решение уравнений Шредингера

и Пуассона) (б). Начало координат - контакт к границе диэлектрика

Алгоритм реализован следующим образом.

1. Получение экспериментальных ВФХ.

2. Предварительный расчет параметров МДП-структуры по методике, основанной на классических моделях [4, 5]. Эти данные используются в дальнейшем в качестве предварительной оценки значений параметров (т.е. в качестве первого приближения).

3. Корректировка значения толщины подзатворного диэлектрика ¿от путем сравнения экспериментальных характеристик структуры в режиме обогащения с результатами расчета математической модели. Корректировка вносится до совпадения экспериментального графика и кривой, рассчитанной по математической модели, вплоть до их совпадения в пределах некоторого заданного диапазона ошибок.

Влияние параметра гот на ВФХ показано на рис.2.

С, Ф/см2

,6-10"6-

1,4-10"6

1,2-10 1,0-10"'

!,0-10"7-

6,010" 4,010" 2,0-10"7-

0

1 /

\ \ \ \ \\ \\ I '

\\ 1

1

1 5

\\ 1 '5 4

. / >

т 1 ' 1 ' I о —,—|—.—|—.—|—.

-3 -2-10 1 2 3 У, В

Рис.2. Результаты моделирования МДП-структуры при расчете в классическом приближении (сплошные линии) и в квантовом приближении (пунктирные линии) с разной толщиной диэлектрика: 2 нм (1, 2), 5 нм (3, 4), 8 нм (5, 6)

4. Итеративный поиск значений концентрации примеси в подложке и концентрации поверхностных состояний на границе 81-БЮ2 . В зависимости от типа применяемых характеристик поиск может быть выполнен двумя способами:

- используются только низкочастотные характеристики. На первом этапе выполняется поиск значения в предположении, что = 0 . Это реализуется путем нахождения такого значения , что минимумы экспериментальной и рассчитанной кривых совпадут. Далее выполняется итеративное изменение М и М до достижения заданной точности. Критерием точности найденных значений является совпадение в некотором заданном диапазоне ошибок экспериментальной и рассчитанной кривых в режимах обеднения и слабой инверсии;

- используются высокочастотные и низкочастотные характеристики. В таком случае значение М рассчитывается из высокочастотных характеристик, а поиск значения выполняется на основе низкочастотных кривых. Условием использования высокочастотной характеристики в данном случае является достаточно высокая частота, при которой влиянием поверхностных состояний можно пренебречь. Влияние параметров и на ВФХ представлено на рис.3.

Рис. 3. Результаты моделирования МДП-структуры в квантовом приближении с разными значениями параметра ЫшЪ (а) и М33 (б)

5. Расчет дополнительных параметров структуры (напряжения плоских зон , порогового напряжения , фиксированного заряда в окисле 2ОТ ) на основе аналитических выражений и скорректированных параметров. Блок-схема работы алгоритма представлена на рис.4.

Рис.4. Блок-схема алгоритма автоматической экстракции параметров МДП-структур

Расчет ВФХ для сверхтонкого подзатворного диэлектрика основан на самосогласованном решении уравнения Шредингера-Пуассона по конечно-разностной сетке в одномерном приближении. Для получения оптимального соотношения точности результата и скорости расчета, обеспечивающего возможность измерения в реальном времени, используются следующие численно-аналитические модели.

Аппроксимация интеграла Ферми-Дирака. Для расчета концентрации носителей в глубине полупроводника применимо выражение

п = Мзв^/2(Цр ), (4)

где Мо - эффективная плотность состояний:

мзп = 2 • (—^ )3/2; к

Р\/2 (Л^ ) - интеграл Ферми-Дирака порядка 1/2:

2 ? в1/2 ds

F1/2 СП f ) |т

+ exp(s - n F )

Для поиска сходимости при использовании метода Ньютона необходимо рассчитывать производные на каждом шаге. Производная от интеграла Ферми-Дирака подчиняется следующему закону:

dF

d-ц

j = f = f j -1.

f

Данные интегралы возможно рассчитать только численно. Прямой численный расчет интеграла приводит к точному результату, однако требует значительных затрат времени.

В работах [6, 7] предложено несколько аналитических выражений, основанных на разложении интеграла Ферми-Дирака в ряд. Для —1/2 <] < 7/2 ошибка оценки интеграла составляет не больше 10-5. Данная аппроксимация позволяет значительно сократить время расчета интеграла с пренебрежимо малой ошибкой.

Параболическая аппроксимация потенциала. При решении уравнения Пуассона (1) в первом приближении используется параболическая аппроксимация потенциала:

Ф, (х) = — ^ • (2 — х 2),

28 8 о

где Жаер - глубина слоя обеднения:

I28 г8 0 Ф ,

Wdep =

eN.

sub

Данная аппроксимация позволяет более точно в первом приближении оценить распределение потенциала в полупроводнике, что сокращает количество итераций и в итоге - общее время моделирования.

Возможности среды MATLAB. Для решения уравнения Шредингера (2) используются возможности среды MATLAB. В частности, для нахождения собственных значений и собственных функций применяется функция eig. Найденные значения используются для расчета концентрации носителей в квантовой системе:

п = ] % (Е)/ (Е)ёЕ,

(5)

Р =

(Е)(1 - / (Е))аЕ,

где Ес - дно зоны проводимости; Еу - потолок валентной зоны; I(Е) - функция распределения Ферми-Дирака (3); %(Е) - функция плотности состояний. Для электронов в глубине подложки

% (Е) = - Ес),

к п

(6)

где т * - эффективная масса плотности состояний.

Учитывая (6), выражение (5) преобразовывается в формулу (4). При расчете одномерной потенциальной ямы необходимо использовать выражение для двумерной плотности состояний:

т

% 2в ( Е) = —2

кП 2

и (2) преобразовывается к виду

т кТт-,

п( х) = Ъ1п кП2 ,

1 + ехр( ^Е—^) кТ

Щ (х)\

где (х)| - вероятность нахождения носителей в точке х, соответствующая энергетическому уровню Е .

Выражения для дырок выводятся аналогично.

Общая блок-схема расчета теоретических ВФХ с учетом данных моделей показана на рис.5.

Рис.5. Блок-схема расчета ВФХ с учетом численно-аналитических моделей

Проведено сравнение теоретических ВФХ, рассчитанных с помощью разработанных численно-аналитических моделей и с использованием существующих симулято-ров. Результаты сравнения представлены на рис.6. Видно, что теоретические ВФХ достаточно хорошо согласуются между собой во всех режимах.

е

С, мкФ/см2

0,8 -0,6 0,4 0,2 0

Рис.6. Сравнение результатов расчета ВФХ МДП-структуры (толщина диэлектрика 3 нм, подложка р-типа с концентрацией акцепторов 3-1017 см3, поликремниевый затвор n-типа с концентрацией доноров 5-1017 см 3) по разработанным моделям с результатами расчета других квантово-механических симуляторов

В результате проделанной работы создано ПО для расчета ВФХ. ПО использовано для автоматизированной экстракции параметров МДП-структур при помощи измерительного комплекса, в состав которого входят анализатор полупроводниковых приборов Agilent B1500A и полуавтоматическая зондовая станция SUSS PA 300. С помощью данного комплекса проводится экспресс-контроль параметров МДП-структур и набор статистики по пластине с выводом результатов в реальном времени. В дальнейшем планируется введение новых моделей, в том числе модель электролита, и усовершенствование существующих.

Литература

1. http://www.synopsys.com/tools/tcad/Pages/default.aspx (дата обращения: 16.05.2014).

2. Питер Ю., Кардона М. Основы физики полупроводников. - М.: Физматлит, 2002. - 560 с.

3. Validity of the parabolic effective mass approximation in silicon and germanium n-MOSFETs with different crystal orientations / Van J.L.P.J. der Steen, D. Esseni, P. Palestri et al. // IEEE Transactions on Electron Devices. - 2007. - 54(8). - Р. 1843-1851.

4. Зи С. Физика полупроводниковых приборов. Т.1. - М.: Мир, 1984. - 456 с.

5. Nicollian E.H., Brews J.R. MOS (Metal Oxide Semiconductor) physics and technology. -N. Y.: Wiley-Interscience, 1982. - 920 p.

6. Halen P.V., Pulfrey D.L. Accurate, short series approximations to Fermi-Dirac integrals of order -1/2, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3 and 7/2 // J. Appl. Phys. - 1985. - Vol. 57. - № 12. - Р. 5271-5274.

7. Van Halen P., Pulfrey D.L. Erratum: «Accurate, short series approximation to Fermi-Dirac integrals of order -1/2, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, and 7/2» [J. Appl. Phys. - 1985. - Vol. 57. - P. 5271] // J. Appl. Phys. - 1986. -Vol. 59. - №. 6. - P. 2264.

8. Jianxin Z. Quantum mechanical simulation of a metal-oxide-semiconductor system, 2003. -URL: http://scholarbank.nus.sg/handle/10635/13550 (дата обращения: 16.05.2014).

Статья поступила 10 апреля 2014 г.

Рязанцев Дмитрий Владимирович - инженер НПК «Технологический центр» (г. Москва). Область научных интересов: технология микро- и наноэлектроники, математическое моделирование полупроводниковых устройств. E-mail: D.Ryazancev@tcen.ru

Грудцов Виталий Павлович - инженер НПК «Технологический центр» (г. Москва). Область научных интересов: технология микро- и наноэлектроники, математическое моделирование полупроводниковых устройств.