Анализ моделей учета размерных квантово-механических эффектов в современных TCAD системах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Лапин А.Е.1, Парменов Ю.А.2 ©

1 2 Аспирант; Профессор.

Кафедра интегральной электроники и микросистем НИУ МИЭТ

АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ УЧЕТА РАЗМЕРНЫХ КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ В СОВРЕМЕННЫХ TCAD СИСТЕМАХ

Аннотация

В статье проводится сравнение актуальные модели учета размерных квантовомеханических эффектов в современных системах технологического проектирования (TCAD), проводится анализ влияния размерных эффектов на основные параметры наноразмерных МОПТ, предлагаются критерии, при которых данные эффекты стоит учитывать, а также выделяются новые задачи в рамках данной проблематики.

Ключевые слова: квантовые эффекты, квантовый потенциал, TCAD, Density Gradient, квантование в поликремнии.

Keywords: quantum effects, quantum potential, TCAD, Density Gradient, polysilicon quantization.

Вступление

При электрофизическом моделировании современных наноразмерных МДПТ, выполненных по топологическим нормам <90 нм, где эффективная длина канала транзистора нередко вдвое меньше нормы производства, а толщины подзатворного диэлектрика варьируются от 1,5 до 3 нм, разработчики сталкиваются с целым классом новых эффектов. Чаще всего данные эффекты продиктованы законами квантовой физики, к таким эффектам можно отнести размерное квантование носителей в канале транзистора и эффект квантования в сильнолегированном поликремнии затвора.

В данной статье будут рассмотрены модели способные учитывать проявление размерных квантовых эффектов, а также будет проведен анализ их влияния на характеристики МОПТ. Забегая вперед можно отметить, что данные эффекты является паразитными в КМОП-технологии, так как приводят к изменению характеристик реального МОПТ транзистора, поэтому без понимания физики эффектов и в отсутствии модели, способной реалистично описывать данные явления, процесс создания реалистичных приборных моделей, прогнозирования и разработки новых приборов на основе существующей технологии невозможен [1,4; 2,4].

Размерные квантово-механические эффекты в наноразмерных МДПТ

Чаще всего под размерным квантованием понимают квантование носителей в канале транзистора, однако, помимо квантования носителей в области канала, необходимо учитывать квантование носителей в затворе, если он изготавливается из

сильнолегированного поликремния (концентрация примеси на уровне 2-10 см- и выше) [3,2]. Поликремний применяется вплоть до технологий с топологическими нормами равными 65 нм.

На рисунке 1 схематично представлено отличие классического случая от квантового, когда дело касается квантования носителей в канале транзистора, а также показано, что является причиной отличия в распределениях концентраций носителей заряда.

В современной микроэлектронной технологии, помимо утонения подзатворного диэлектрика, часто прибегают к увеличению концентрации легирующей примеси в канале (подложке) Nb для борьбы с короткоканальными эффектами, ослабления эффекта модуляции длины канала и увеличения напряжения смыкания сток-исток Vpinch. Однако толщина

© Лапин А.Е., Парменов Ю.А., 2015 г.

инверсионного слоя в канале транзистора ln находится в обратной квадратичной зависимости от NB [4,140], поэтому размеры потенциальной ямы (канала транзистора) становятся сравнимы с длиной волны де Бройля для электрона, и квантовыми эффектами пренебречь уже нельзя.

Рис. 1 - Отличие классического приближения от квантового при расчете концентрации носителей вблизи интерфейса Si/SiO2 и структура МДП в режиме сильной инверсии

Из решения уравнения Шредингера для подобной ямы могут быть найдены энергетические уровни, которые расположены чуть выше границы зоны проводимости (для n-МДПТ), тем самым уменьшая концентрацию носителей в канале, что отрицательным образом сказывается на характеристиках прибора.

При переключении МДПТ, сильнолегированный поликремний может находиться в режимах обогащения и истощения. Когда происходит аккумуляция, изгиб зон в поликристаллическом кремнии составляет порядка нескольких десятков милливольт, тогда как в режиме инверсии, носители отталкиваются от интерфейса и изгиб зон минимален. Ни в том, ни в другом случае глубокая квантовая яма не образуется. Именно по этой причине до сих пор использовалась классическая теория распределения заряда в поликремнии, независимо от того, учитывались ли квантовые эффекты в канале или нет. Тем не менее, как аккумуляция, так и обеднение носителями вблизи интерфейса PolySi\SiO2, происходит в пределах значений волны Де Бройля, поэтому квантовые эффекты должны быть все-таки учтены.

Рис. 2 - Распределение электронов в сильнолегированном PolySi затворе

На рисунке 2 показаны концентрации электронов в поликремниевым затворе МДПТ, легированном донорной примесью с концентрацией 10 см и толщинок оксида 2 нм. Распределения концентраций получены двумя различными методами: классическим

моделированием и моделированием самосогласованным методом Пуассона-Шредингера. Результаты продемонстрированы в режимах аккумуляции (Vgs = -1.8 В), в пороговом режиме (Vgs = 0.3 В) и в режиме сильной инверсии (Vgs = 1.8 В).

Вследствие наличия резкого энергетического барьера происходит интерференция волновых функций носителей заряда, и заряд отталкивается от интерфейса. Таким образом, создается так называемое “темное пространство”, где концентрация носителей уменьшается по отношению к концентрации легирующей примеси. Размер “темного пространства” может быть примерно вычислен при напряжении плоских зон следующим образом:

d =

pH

2^2rn‘En ’

(1)

где En - это энергия носителей выше края зоны проводимости. В невырожденном приближении En » kBT, в то время как в вырожденном полупроводнике En » EF — EC, где Ef - это уровень Ферми. В кремнии, “темное пространство” обычно порядка 2 - 3 нм для

электронов и дырок. “Темное пространство” является следствием резкого потенциального барьера, и, следовательно, существует во всех режимах, в том числе в режиме плоских зон [3,2].

Как показано на рисунке 2, при всех режимах, за исключением режима сильной аккумуляции, вблизи интерфейса существует минимальная область порядка 1 нм, где концентрация основных носителей меньше, чем концентрация активной примеси. Для поликремния с концентрацией примеси 10 см это соответствует существованию поверхностного фиксированного положительного заряда величиной примерно 10 см- . При пороговом напряжении зарядом электронов в канале можно пренебречь, в то время как общий отрицательный заряд обеднения типично составляет порядка нескольких 10 см- . Для достижения электронейтральности всей системы необходим избыточный заряд электронов в поликремнии, чтобы обеспечить необходимый отрицательный

компенсирующий заряд.

Это распределение демонстрирует выпуклость в распределении электронов на глубине примерно 2нм. Присутствие двух реально существующих зарядовых плоскостей, одной положительной и одной отрицательной, разделенных расстоянием примерно 1нм, создает электрический диполь. На области, заключенной между этими двумя плоскостями, падает конечное напряжение, которое проявляется как сдвиг порогового напряжения на величину порядка нескольких десятков милливольт.

Влияние диполя на электрическое поле и электростатический потенциал продемонстрировано на рисунке 3. В то время, как классическое решение даёт результат, в котором электрическое поле плавно возрастает к интерфейсу с оксидом, квантовое решение прогнозирует сначала отрицательный пик из-за дополнительных электронов, а затем быстрое повышение к положительному значению на интерфейсе, соответствующее заряду обедненной области “темного пространства”.

Рис. 3 - Распределение электрического поля и потенциала в оксиде и поликремнии при различных вариантах учета квантизации в приборе

Отрицательный пик электрического поля вызывает “излом” в электростатическом потенциале, что приводит к возрастанию поля в оксиде, поскольку общее падение напряжения между нейтральной областью поликремния и кремнием одинаково в обоих случая. Следовательно, все больший инверсионный заряд собирается на стороне подложки при данном смещении на затворе. Квантование поликремния определяет отрицательный сдвиг (уменьшение) порогового напряжения, в отличие от квантования носителей в канале, которое приводит к положительному сдвигу порогового напряжения [3,5]. Из приведенного выше обсуждения можно ожидать, что интенсивность диполя и величина сдвига порогового напряжения сильно зависят от уровня легирования поликремния.

Моделирование размерных квантово-механических эффектов

При моделировании полупроводниковых приборов в системах TCAD учет квантования носителей заряда производится через изменение локальной концентрации носителей и внесение поправок в уравнения переноса носителей заряда, что в свою очередь влияет на результат решения уравнений в рамках будь то диффузионно-дрейфовой модели, либо гидродинамической или какой-либо другой [1,5; 2,5; 10,2; 11,2].

В системе TCAD Sentaurus Device реализованы четыре различных модели учета размерных квантовых эффектов. В случаи модели 1D-Schrodinger (одномерное уравнение Шредингера) непосредственно решается уравнение Шредингера, из которого и вычисляется локальная плотность носителей заряда, тогда как в случае моделей Van Dort, Modified Local

Density Approximation (MLDA) и Density Gradient (DG) локальная плотность вычисляется на основе рассчитанного потенциало-подобного параметра Лп (для электронов) и Лр (для

дырок), данные потенциалы также называют квантовыми потенциалами. В случае использования статистики Больцмана для расчета концентрации носителей выражения для уточненной локальной плотности выглядит следующим образом:

EFn — F, — Лп EFn — EC — Лп

п = п exp( Fn ------n) = NC exp( Fn i ------n),

kT

kT

Fi E F p ^Л p Ev Ef p ^Л p

p = n, exp( p) = Nv exp( E—kTL-p ).

(2)

19 3

При концентрациях носителей выше 1-10 см вместо статистики Больцмана

используется статистика Ферми-Дирака, которая дает более точный результат:

E — F — Л

П = niFvl( n) = NcF/2(

kF

EF,n EC Лn );

T ;

F:—EFn — Л Ev —Ef — Л

p = n,F,/2( f!—T-----p) = NrFm( —v---kFp-----p),

kTp kTp

(3)

где F - уровень Ферми в собственном полупроводнике, EF,n и EF p - квазиуровни Ферми

для электронов и дырок, n, - собственная концентрация носителей, NC и Nv - плотности квантовых состояний в зоне проводимости и валентной зоне полупроводника, а F1/2 -интеграл Ферми индекса Vi.

Рис. 4 - Физический смысл квантового потенциала

Квантовый потенциал имеет следующий физический смысл. Например, для случая n-МДПТ он показывает насколько первый энергетический уровень отдален от дна зоны проводимости (энергетическая диаграмма на рисунке 4). Данные потенциалы вводятся при рассмотрении квантования носителей вблизи интерфейса Si\Si02 и\или PolySi\Si02, либо любой другой комбинации полупроводниковых материалов и диэлектриков, при применении соответствующих моделей.

Что касается моделей переноса заряда, то они модифицируются следующим образом: член, ответственный за дрейф носителей под действием электрического поля модифицируется посредством введения эффективного электрического поля согласно выражениям:

En = - V ( Ec + A n ) = - VEc + - VA n;

J “ 4 4 (4)

r 1 1 1

Ep = - V (Ev — Ap) = - VEv- - VA p.

I q q q

Первой доступной моделью является модель Van Dort, в которой квантовый потенциал вычисляется как функция электрического поля, перпендикулярного интерфейсу полупроводник/изолятор [5,2; 2,6]:

Л

n

— • kfit • G(r) • (—-) • 9 ft 4kT

П • F

- E,

cnt

2/3

(5)

где kfit и Ecrit являются подгоночными (калибровочными) параметрами. Функция G (r) задана следующим образом:

G (г)

2 • exp( -2a 2(r))

(6)

1 + exp(-2a (r))

Здесь a(r) = l(r)/ Xref и l (r ) есть расстояние от точки до интерфейса [1]. Параметра

Xref определяет расстояние до интерфейса, на котором квантовая коррекция имеет смысл [2,6].

Далее следует модель изменения локальной плотности (MLDA), метод вычисления основан на аппроксимации локальной плотности. При использовании статистики Ферми-Дирака выражения для локальной плотности выглядит следующим образом [6,5]:

nMLDA (Пп) = NC (-^> J dn, + ^-Гl1 - j0 (2/ Xn)),

>Jn J 1 + exp(n-n )v '

(7)

где Пп

EF ,n EC

kT

и n =

ef ec kT

, а jo является функцией Бесселя нулевого и

п =4Н2 /2mqnkTn есть тепловая длина волны электрона, которая зависит от квантовой

массы mqn. Тогда как при использовании статистики Больцмана для электронов имеем следующее выражение [7,2]:

nMLDA(nn) = NC exP(nn)[1 - exP(-(Z / Xn)2)] = n • exP(-

qL n(z)

kBT

).

(8)

Выражение для дырок отличается от выражения для электронов только учетом масс легких и тяжелых дырок [7,3].

Модель, подразумевающая под собой решение одномерного уравнения Шредингера для электронов или дырок, носит название 1D Schrodinger. Уравнение Шредингера используется в основном для проверки и калибровки других моделей квантования. В данном случае квантовый потенциал задается в терминах волновых функций и собственных энергий. Одномерное уравнение Шредингера в модели 1D Schrodinger выглядит следующим образом:

л н2 л

(-aZ 2mT(7) ZZ + Ec (z) + DEv) Yj ,v (z) = E, Yj (z), (9)

где z - это направление квантования (обычно это направление, перпендикулярное интерфейсу кремний/оксид в МОПТ), V - номер уровня, DEV - энергия смещения, зависимая

уровня энергии, mz,v - эффективная компонента массы в направлении квантования, Y j ,v

собственная нормированная функция и Ej v есть собственная энергия. С помощью решения

данного уравнения, плотность носителей может быть записана следующим образом [1,5; 2,7; 9,2]:

n( z) = pr S |Y j ,V (zf dvmxy ,v (z)

pH

j,v

■Fo(-

EFn (z) - Em

kT (z)

r,EF,n (z) - EjЛ

Fo( kT{z) )-

L) + S ncl ,v ,

(10)

где m v - компонента массы в направлении, перпендикулярном направлению квантизации и dv - степень вырождение уровня V, а Emaxv в данном уравнении есть наивысшая энергия, рассчитанная для субзоны для уровня V, или же оценкой наименьшей невычисленной субзоны. nci v есть классический вклад в плотность для уровня V для энергий выше Emax v .

Уравнение Шредингера решается в конечной области [z, z+ ], граничными условиями для него служит следующее выражение:

Yj,v _ _у!2mz,v[Ej,v - EC ]

j,v

H

(11)

где за верхнюю функцию берется функция на z+, а за нижнюю на z [1,6; 2,7].

Последней моделью является модель Density Gradient (DG). Первоначально, уравнение для определения квантового потенциала электронов и дырок выглядело следующим образом [10,2; 11,2]:

Лn _-£* JV2E n

n 12m Л _-g£

p

Ф

n 2

kBTn

+t(V Ef n

2

Ф

kBTn

12m

Ф - EF , p 1 Ф - EF , p

V2_____^+ - (V_____F^ )2

2

kBTp

kBTp

(12)

В этих уравнениях вводится так называемый “смягчающий” потенциал Ф _ Ф + Лп ,

где Ф _ Ec для полупроводников n-типа и Ф _ Ф — Лp , где Ф _ Ev для полупроводников

p-типа. Подставляя в выражения 12 формулы для концентрации носителей, они могут быть свернуты в следующие выражения:

Л„_-Уn— {V 2ln n + 1(V ln n)2} _-gH- .

12m 2 6m vn

n n

Для дырок в данном случае имеем следующее аналогичное выражение:

‘2 ,2,_ , 1 ,V,_ ,2, _ УрН2 V%/p

_— Гр •

У H2 1

Лр _ —7Т {V2lnр + T(Vlnр)2} _--

12mp 2 6m р

(13)

(14)

Данная форма уравнений часто встречается в литературе [1,2; 10,3; 11,2]. В уравнениях (13), (14) уп р есть подгоночные коэффициенты, с помощью которых модель

Density Gradient может быть откалибрована для приведения к соответствию результатам модели 1D Schrodinger. В системе Sentaurus TCAD, для обеспечения непрерывности решения, вышеприведенные выражения преобразуются следующим образом:

-2

Л _-

Г— {V. a(i;VpEF,n - VPФ + (п -1)qVp j) + J(^VPEf n -VpФ +

12mn ’ ’ (15)

+ (П - 1)qVPj) • a(^VPEf n - VpФ + (n - 1)qVp j)2.

Аналогично, с учетом перестановки местами и замены зоны проводимости и квазиуровня Ферми для электронов на валентную зону и квази-уровень Ферми для дырок

v

записывается выражение для квантового потенциала дырок [1,7; 2,11]. По умолчанию, параметры в уравнении задаются следующим образом: £, = п = 1, J = 1/2, а является а симметричной единичной матрицей. В изоляторах, Sentaurus Device не рассчитывает энергию Ферми, таким образом, £ = п = 0 [11,4].

Рис. 5 - ВФХ n- и p-канальных МДПТ

На рисунке 5 слева и справа изображены ВФХ n- и p-канальных МДПТ с Tox = 2 нм и Nsub = 5-10 см , Npoiy = 10 см рассчитанных с применением пяти различных моделей и учетом квантования только в подложке. Отчетливо виден сдвиг в области сильной инверсии, когда емкость затвора резко растет с увеличением напряжения затвора, который происходит при более высоком напряжении, когда квантовые эффекты имеют место, чем, когда их нет, а также уменьшение емкости в областях сильной инверсии и аккумуляции. Среди всех моделей, наиболее близкий результат к 1D Schrodinger демонстрирует модель Density Gradient. Это же подтверждается графиками распределений концентрации носителей в канале транзистора, изображенных на рисунке 6.

Классический случай дает пик концентрации носителей на интерфейсе Si/SiO2, так же, как и модель Van Dort, которая лишь незначительно снижает величину данного пика, однако, модели MLDA, DG и 1D Schrodinger демонстрируют физически верное распределение, со смещенным пиком концентрации вглубь подложки, что равносильно увеличению эффективной толщины подзатворного диэлектрика. Из всех моделей с 1D Schrodinger, как для случая n-МДПТ, так и p-МДПТ, отлично согласуется только модель Density Gradient с подгоночными коэффициентами, которые равны 3,6 для электронов и 5,6 для дырок.

Рис. 6 - Распределение носителей заряда в каналах n- и р- МДПТ при VG = 2 В и -2 В

соответственно

Исходя из вышесказанного, при моделировании проходных ВАХ транзисторов имеет смысл рассматривать только сравнение моделей Density Gradient и 1D Schrodinger с классическим случаем, так как остальные модели демонстрируют отличные от наиболее физически точной

Рис. 7 - Проходные ВАХ характеристики n- и р- МДПТ

На рисунке 7 представлены проходные ВАХ транзисторов с Tox = 2 нм и Nsub = 5-10 см , Npoiy = 10 см . В таблице 1 приведены пороговые напряжения,

экстрагированные двумя различными способами - VTgm и VTi, и рассчитанные пятью различными способами: классическим вариантом, когда квантовые эффекты не учитывались ни в подложке, ни в затворе; моделью Density Gradient или 1D Schrodinger с учетом квантования только в подложке (QM вариант); моделью Density Gradient или 1D Schrodinger с учетом квантования как в подложке, так и в поликремниевом затворе (FQM вариант).

Таблица 1

Пороговые напряжения n- и р-канальных МДПТ с различными уровнями легирования

поликремниевого затвора

Модель Npoiy = 1019 см-3 Npoly 5 ’ 1019 см'3 Npoiy = 1020 см-3

VTgm;> В VTi, В VTgm;> В VTi, В VTgm;> В VTi, В

n-МД ПТ, Tox = 2 нм, Nsub = 5-101 17 см-3

Классическая 0,434 0,324 0,338 0,229 0,316 0,208

DG, QM 0,519 0,402 0,419 0,303 0,396 0,281

1D Schr., QM 0,523 0,404 0,421 0,307 0,397 0,285

DG, FQM 0,517 0,399 0,383 0,266 0,333 0,216

1D Schr., FQM 0,522 0,402 0,386 0,270 0,336 0,220

р-МД ПТ, Tox = 2 нм, Nsub = 5-101 17 см-3

Классическая -0,420 -0,371 -0,329 -0,275 -0,306 -0,251

DG, QM -0,525 -0,471 -0,425 -0,367 -0,401 -0,343

1D Schr., QM -0,526 -0,473 -0,424 -0,367 -0,401 -0,344

DG, FQM -0,522 -0,466 -0,375 -0,318 -0,315 -0,257

1D Schr., FQM -0,524 -0,469 -0,378 -0,321 -0,318 -0,259

Из таблицы видно, что модели Density Gradient и 1D Schrodinger дают практически одинаковые значения пороговых напряжений как в QM случае, так и FQM, что в очередной раз позволяет говорить о том, что Density Gradient является прекрасной альтернативой

модели, основанной на уравнении Шредингера при решении разработчиком инженерных задач, требующих высокой точности моделирования эффектов.

Как было сказано выше, квантование в подложке увеличивает значение порогового напряжения, тогда как квантование в сильнолегированном затворе уменьшает его. При этом

19 3

эффект становится заметным уже при Npoiy = 5 10 см" .

Заключение

В статье было продемонстрировано, что такие эффекты как размерное квантование оказывают выраженное отрицательное воздействие (изменяют пороговое напряжение и ток транзистора, влияют на точность экстракции определенных параметров структуры), поэтому данные проявления должны быть в полной мере учтены при проведении приборно" технологического моделирования и экстракции параметров транзисторов.

1D Schrodinger на данный момент является наиболее точной и физически обоснованной моделью учета размерных квантовых эффектов. Из всех предложенных на данный момент моделей моделирования стоит выделить Density Gradient, результаты которой согласуются с результатами наиболее физически обоснованной модели 1D Schrodinger. При этом Density Gradient является мультиразмерной, более стабильной и не ограниченной по режимам работы прибора моделью, в отличии от моделей 1D Schrodinger и MLDA, у которых в силу используемых приближений возникают проблемы со сходимостью тогда, когда прибор начинает работать в режиме насыщения. Так же Density Gradient может применяться для расчета как МДПТ выполненных на объемной кремнии, так и по технологии КНИ, тогда как модель Van Dort не обладает такой гибкостью. Несмотря на сказанное выше, модели 1D Schrodinger и MLDA прекрасно подходят для работы с квантовыми ямами и приборами, выполненными на полупроводниках, имеющих зонную структуру, отличную от зонной структуры кремния. Это становится возможным благодаря более гибкой и точной настройке параметров долин валентной зоны и зоны проводимости в рамках данных моделей.

Что касается дальнейших работ, то в первую очередь на основе имеющихся данных должны быть предложены методы достоверной экстракции параметров структуры, на точность экстракции которых влияют квантовые эффекты, к таким параметрам можно отнести физическую и эффективную подзатворного диэлектрика, электрическую длину канала, степень легирования поликремниевого затвора и так далее.

Литература

1. Schenk A. Simulation of Quantum Effects in Nanoscale Devices / A. Schenk, M. Luisier, M. Frey, A. Esposito // 3rd SINANO Summer School. - Bertinoro, Italy, 2008. - 61p.

2. Schenk A. Physical Modeling of Deep-Submicron Devices / A. Schenk // 31st European Solid-State Device Research Conference. - Venice, Italy, 2001. - 33p.

3. Spinelli A.S Polysilicon Quantization Effects on the Electrical Properties of MOS Transistors / A.S. Spinelli, A. Pacelli, A. Lacaita // IEEE Transactions on Eelectron Devices. - 2000. -- Vol. 47, № 12. -P. 2366-2371.

4. Старосельский В.И. Физика полупроводниковых приборов микроэлектроники / В.И. Старосельский. - Москва : Юрайт, 2009. - 465.

5. Van Dort M.J A simple model for quantization effects in heavily doped silicon MOSFETs at inversion conditions / M.J. Van Dort, P.H. Woerlee, A.J. Walker // Solid-State Electronics. - Vol. 37, №. 2. -1993. - P. 411-414.

6. Paasch G. Carrier Density near the Semiconductor-Insulator Interface Local Density Approximation for Non-Isotropic Effective Mass / G. Paasch, H. Ubensee // Phys.Stat.Sol. - Vol. 118. - 1983. - P. 255266.

7. Jungemann C. Improved Modified Local Density Approximation for Modeling of Size Quantization in nMOSFETs / C. Jungemann, C.D. Nguyen, B. Neinhus, S. Decker, B. Meinerzhagen // Institute of Electrodynamics and Microelectronics. - Bremen, Germany, 2001. - 4p.

8. Jungemann C. Improved Modified Local Density Approximation for Modeling of Size Quantization in pMOSFETs / C. Jungemann, C.D. Nguyen, B. Neinhus, S. Decker, B. Meinerzhagen // Institute of Electrodynamics and Microelectronics. - Bremen, Germany, 2001. - 4p.

9. Cutatola G. Detailed Modeling of Sub-100-nm MOSFETs Based on Schrodinger DD per Subband and Experiments and Evaluation of the Performance Gap to Ballistic Transport / G. Cutatola, G. Doorndos,

J. Loo, Y.V. Ponomarev, G. Iannaccone // IEEE Transactions on electron devices. - Vol. 52, №. 8. -2005.- P. 1851-1857.

10. Schenk A. Quantum Device-Simulation with the Density-Gradient Model on Unstructured Grids / A. Schenk, A. Wettstein, W. Fitcher // IEEE Transactions on Electron Devices. - Vol. 48, №. 2. - 2001. -P. 279-284.

11. Wettstein A. Integration of the Density Gradient Model into a General Purpose Device Simulator / A. Wettstein, O. Penzin, E. Lyumkis // VLSI Design, Vol. 15, №44. - 2002. - P. 751-759.