CC BY
34
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА
Том 180 1971
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И РАЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ТИПОВЫХ СИГНАЛОВ
В. М. ОСИПОВ
(Представлена научным семинаром кафедр автоматики и телемеханики
и автоматических систем)
Как известно [3, 6, 8], собственные функции самосопряженного дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с самосопряженными краевыми условиями, образуют ортогональную относительно некоторого веса систему функций, полную в пространстве ¿2р(х), т. е.
ь
= 0 г Ф к
|Р(*) и1(х)ик(х)ах
О I = к
где р(х) —весовая функция, £/,-(*) и ик (л:) — собственные функции, соответствующие собственным значениям \ и \к. В частности, гипергеометрическая функция
оо
Р; т; (1)
/с =О
при определенном соотношении постоянных есть решение задачи Штурма-Лиувилля для дифферециального уравнения, самосопряженная форма которого имеет вид
- офхг-1 (1 - и = 0. (2)
с!х
хЦ1
Это уравнение, называемое гипергеометрическим, представляет весьма значительный интерес для приложений.
Если параметр а или р есть целое отрицательное число (или нуль), то ряд (1) обрывается и становится полиномом соответствующей степени. Это обстоятельство, если рассматривать интервал (0,1), приводит к самосопряженным граничным условиям при
Т>0;а + р-1-т>0. (3)
Если положить
то гипергеометрическая функция образует последовательность полиномов
Р1*(х) = Р(-п9п + т + 8-1; т; х) (п = 0, 1,2....), (4)
которые называются полиномами Якоби [4,6,8]. 196
При любых 7 и 8, удовлетворяющих условиям (3), полиномы Якоби ортогональны с весом
р (Х) = (1 - х) 0 < х < 1. (5)
Введем подстановку х — которая преобразует интервал (0,1) в интервал (0, оо) для новой переменной В результате последовательность (4) преобразуется в новую последовательность полиномов, но уже относительно е~а1. Это экспоненциальные полиномы Якоби или сокращенно — полиномы. Обозначим их прежним символом, но вместо аргумента л; будем ставить
рп(ь*)(е-«*) = рп№ = п, Л + т + 8-1; т; е-а{). (б)
Параметр «а» — вещественный и положительный. Легко проверить, что «е»-полиномы Якоби ортогональны на интервале (0, оо) относительно веса
У {I) = ег-ч** {\ — ег*'у-\ (7)
Наибольший интерес представляют следующие частные значения у и 8
1 а1 1
1. т = 5 = — ; №(1) =<ГТ(1--£-*<)-2,
Р(Ы) ф = (1) = л; 1. е-а1) (8)
Мы получаем „еи — полиномы Чебышева I рода.
2. т = 8 = 1; № (Ц = е~а<, Рп(ХЛ) (О = Рп* (*) = п, п + 1; 1; (9)
тот случай дает „еи-полиномы Лежандра.
3 3 1
3. т = о= —; = (1-е~а')Г
Ра(Ы)Ю = С/п*(0 = « + 2; е-«), (10)
В этом случае имеем «^»-полиномы Чебышева II рода
1. Разложение некоторых функций в ряды по «е»-полнномам
Лежандра
Экспоненциальные полиномы Лежандра удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению:
А
<И
ар* (п
п(п+\)а*ега*Р*(Ь) = 0. (1 = 1)
Их явное выражение сразу получается путем развертывания гипергеометрического ряда [1, 7]:
л
/£<*) = />(-я, п+ 1; 1; ^ (1_2)
р; (0 = 1; Р* (*) = 1 — 2ега*\ Р*2 (0=1- + бе-*"; р*з (О = 1 __ 12^ + 30е-*"' - 20е-3а/ и т. д.
Заметим, что значения коэффициентов ряда (1—2) совпадают с соответствующими значениями коэффициентов смещенных полиномов Лежандра, определенных на интервале (0,1).
В [6] приведены эти коэффициенты для п— 14 включительно. Отметим также, что „е"-полиномы Лежандра можно получить из обычных полиномов, определенных на интервале (—1, 1), если сделать замену х -> 1 — 2е—а* и выполнить необходимые преобразования. Таким образом, все соотношения, выведенные для обычных полиномов, сохраняют силу и для „^"-полиномов, если сделать указанную подстановку. Следует, однако, иметь в виду, что
dPn(x) dPn(t) *
at
dx dt 2 a
Рекуррентное соотношение, связывающее три последовательных пеи-полинома, имеет вид [7]
(n+l)PUx(t)-(2n+l)(\-2e-°')Pl(t) + nPn-l(t) = 0. (1-3)
Далее можно получить
{t) - dP\xt {t) = (2n + 1)2ae~°>P;(t). (1-4)
Справедливы также соотношения
Pn(0) = (— 1)«; P;(oc)=l> (1-5
\P*n(t)\<l 0<^<oc. (1-6)
Рассмотрим вопрос о разложении произвольной функции, заданной на интервале (0, ос), в ряд по „¿"-полиномам Лежандра. Предположим, что имеет место разложение
со
f(t) = ^caPUt). (1-7)
п = 0
Сходимость этого ряда устанавливается следующей теоремой:
„Если /(£) — кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая условию
оо
^e-«t\f{t)Ydt<oc, (1-8)
0
то разложение (1—7) с коэффициентами
со
сп = а (2л + 1) J e~«f (t) Р*п (t) dt (1-9)
о
сходится к f(t) во всякой внутренней точке интервала (0, оо), являющейся точкой непрерывности этой функции». Эта теорема является аналогом известной теоремы о разложении произвольной функции, заданной на интервале (—1,1), в ряд по обыкновенным полиномам Лежандра [7]. Коэффициенты разложения (1—9) легко могут быть получены по заданному преобразованию Лапласа функции f(t). Пусть F(p) есть преобразование Лапласа функции f(i)t т. е.
00
Р (Р) — [ e~ptf{t)dt, б
тогда, учитывая (1—2), можем написать
со
= а (21, + 1) 2 (- 1)' ¿¡^ / ""/<*) л =
к-0 о
л
= а(2« + 1) 2(- + ^«Ь <М0>
где Т7 [(а: 4- I) а] — преобразование Лапласа функции /(/), в котором р заменено на {к-\-\)а. Это обстоятельство позволяет выполнить обращение преобразования Лапласа в виде ряда по „^"-полиномам Лежандра.
Отметим, что поскольку система „¿"-полиномов Лежандра полна в пространстве Ы,^) [№ (¿) = е~а*], то имеет место равенство Парсе-валя [8]
00
/ОО
п л = 0
оо
ег-«* \PlitWdt =---. (1-12)
(2п+1)а о
Найдем преобразование Лапласа „¿"-полинома Рл(0- Имеем
00 оо
Рп(р) = ¡е-Р*Р1^)(Н= п + 1; 1; (1-13)
о о
Если сделать подстановку х = то получим табличный инте-
грал [4]
х
1 Г £.
так как
Ря(Р) = —\ х*-1Р(-п,п+1-, \\х)йх
Т{ Р- .г 1+П--Р
а \ а
аТ ( 1--— | -Г /1 п —
Поскольку
а \ а
ГЦ +П-Р-] (п-РА(п-\-Р-
а \ а \ а
г(1+л+а) .....(1+
А Г(1-
а) \ а
Р_ иг/
а 1 а 1 а
окончательно будем иметь
1 л-1(к+\)а—р
А,'™0
Рассмотрим теперь разложение экспоненциальной функции
= (1-14)
(где р — комплексный параметр) в ряд по „¿"-полиномам Лежандра,
199
которое порождает большое число других полезных разложений. Условие (1-8) будет выполнено, если Кер>—С*~ . Найдем коэффи-
циенты Оп{р) ряда
°п(р)рпУ).
л=О
Согласно общей формуле (1-9) имеем
00
(р) = а {2п + 1) | е-а1е-Р1Р*п (О М.
(1-15)
Сравнивая с (1-13), убеждаемся, что
(2п + \ )а "-1
Бп{р) =а(2п + \)Рп(Р + а)= П
ка — р
р + а 11 (2 + к) а + р
К—U
Таким образом,
-Р1 _ V (2/г + 1)а п" ка-р 6 " р + а 1 42 + к)а+р
п = О а: = 0
(t).
(Мб)
(1-17)
Заметим, что ряд сходится равномерно, если Яер> ——. Предполо-
2
жим, что р — вещественная величина и, в частности, кратная „а", т. е. р — та (т = 1, 2 ....), тогда разложение (1-17) обрывается на (т + 1)-члене и получает вид
* 2п+ 1 к — т
»—mat
т
гП
Pn(t)
(1-18)
2 + к + т
Эта формула позволяет выразить степени е~а( в виде линейной ком-тинации конечного числа „¿"-полиномов. Для нескольких первых значений пти будем иметь
»—2at
>—3 at
2
J---L p*(t)+ — p;(t)
3 2 6 2
(1-19)
Пусть теперь p = a jb, тогда, учитывая, что
cos bt = Re e-^+w,
■at
e~at sin bt = — Ime-<a+JW,
получим
~ (2/t + 1) a (к - 1) a —jb *
cos bt^Re^ 0 , , П о , —Лг(0 A 2a+jb 1 ' 3 + K)a+jb v
e~ai sin bt =
л = 0 ' ' /c = 0
00 (2/г + 1)a J"1 (K—\)a—jb
Л=0
к—и
(1-20)
Эти разложения сходятся тем быстрее, чем меньше — . Из разло-
а
жени (1=5) можно получить разложение для функции /(¿) = Очевидно,
* = — (1-21) ар
и следовательно, учитывая равномерную сходимость ряда (1-15)
оо
Ь=-^Оп{р)Р*пу) (1-22)
л =О
Согласно (1-16) Оп(р) можно представить в виде
а
D0(p)
р + а
--(2п+1)аР_
(р + а)(р+2а)
где
п— 1 KCl —- D
к— 1
Производные будут равны
а
Do (Р) = -
(Р + а)
<,) — <2» + 1) а-—•/V. *) ~ Г^Г^Г^ ^
(/? + а)2 (/> + 2а)2 (р + а) (р + 2а)
Полагая /7 = 0, будем иметь [Л^(0) Ф оо];
а 2 а
к 1-2-3... (я —1) 2
лио) = П
к_2 + « 3-4.... (я — 1) я (я + 1) я(я+ 1) '
Окончательно получаем
(р) |Р=0=о: (о)=- ,
а/г (/г + 1)
Искомое разложение имеет вид
оо 2п + 1
^ = л(я + 1) (Ь23>
Аналогично можно получить разложение для так как
аР
Проще, однако, воспользоваться правилом умножения ряда на экспоненциальный множитель. Пусть
п=О
Найдем разложение для функции Имеем
00
л-О
Из основного рекуррентного соотношения (1-3) найдем
е-р^ - - ^^ р;-, т - к,,
Подставляя это выражение в ряд и выполнив преобразование индексов, получим
1 ( 1 \ 1 -4 7 /2=1
1
2/г + З ~
п
Сп-1
2п— 1
РпУ). (1-24)
Умножим (1-23) на е~а£ и воспользуемся формулой (1-24). В результате будем иметь искомое разложение
1 1 00 2п +1
^ = Т + <*> - 2 (,-1) я (я + 1)(д + 2) ^
Ряд сходится довольно быстро.
Рассмотрим разложение некоторых разрывных функций, которые широко используются в технических приложениях в качестве типовых воздействий.
Вернемся к разложению (1-15). Зафиксируем величину положив t = 1, тогда будем иметь
оо
е-р~- = 2°»(Р)рпМ- (1-26)
п—0
Если рассматривать (1-26) как результат преобразования по Лапласу некоторого временного соотношения, то последнее может быть найдено обращением обеих частей (1-26). Слева обращение дает дельта-функцию Дирака, т. е.
Учитывая (1-13) и (1-16), приходим к соответствию
Вп (р) = а (2п + 1) ег* Р* (*). (1 -27)
В силу единственности преобразования Лапласа получим
оо
8 у - т) = ае2(2п + \)Р\ СО (1 -28)
п=0
или, учитывая, что 8 — х) = 5 (т — ряд можно записать в виде
00
8(^-т) = ае-«2(2я+1)/>» (1-29)
П=0
Разложения (1-28) и (1-29) должны пониматься в смысле слабой сходимости [2]. При т = 0 получим, учитывая (1-5),
00 оо
§ (¿) = ае~«< 2 (2« + 1) (- 1)" Р*п (0 = а 2(2« + 1)(- 1 у р\ (*) (1-30)
п=0 л=0
или более точно
оо
8 (¿) = ае~° "I 2 (2« + 1) (- 1)" Р\ (¡¿¡), 0 -31)
п=О
так как 8 (¿) — функция четная. Заметим, что тот же результат можно получить непосредственно, определив коэффициенты по общей формуле (1-9).
Найдем разложение единичной функции со смещенным аргументом, т. е. функции
1т со.
Для коэффициентов имеем
00
сп = а (2л + 1) 11 (* - т) е-а* Р*п (О сИ = а (2п + 1) £ ег* Р*п (*) М.
о 1
Учитывая (1-4), получим
= ; ся---(X) — (X) ] (л-1,2...).
£
Искомое разложение имеет вид
со
!(*_,) = _ ± 2 [р;+1 (,) - Р1_х (т)] р;^). (1-9)
2 п=1
Ряд сходится в среднем.
До сих пор мы совершенно не касались вопроса о величине параметра „а". Можно утверждать, что разложение произвольной функции по „е"-полиномам Лежандра будет сходиться независимо от величины параметра „а", если выполнено условие (1-8). Однако, если ограничиться конечным числом членов, то точность аппроксимации будет уже существенно зависеть от величины параметра „а", причем тем сильнее, чем меньше взятый отрезок ряда. Параметр „а" может быть выбран из условия минимума квадратичной ошибки приближения отрезком ряда. Практически, однако, такой путь приводит к весьма громоздким выражениям и оказывается непригодным. Весовой множитель е~~аЬ обеспечивает максимальную точность приближения на начальном участке, поэтому, если параметр „а" находить из условия точного равенства отрезка ряда значению /(¿) при ¿ = со, то, как показывают расчеты, это значение параметра „ац будет близко к оптимальному.
Таким образом, задача сведется к решению уравнения
т т
2СпР*п (оо) = = /(со) Ф оо
п=0 п = О
— зависит от „а"). Это уравнение может быть решено хотя бы приближенно.
2. полиномы Чебышева I рода
Экспоненциальные полиномы Чебышева 1 рода являются частным решением дифференциального уравнения
а/
Уеа£( \ - е-«*) аТп (11
е = 0
с11
Так же, как и в случае „¿"-полиномов Лежандра, эти полиномы могут быть получены из обычных полиномов Чебышева 1 рода путем замены *) х->2е~а*—1. Все формулы, выведенные для обычных полиномов, сохраняют силу. В частности,
*) Возможна замена х 1 — 2е~аК В этом случае Т*(/) нужно умножить на
Tn(t) = cos n arc cos (2e~at — 1), t;+, (0 - 2 {2e-at - 1)t; (t) - t;., (t) Введем подстановку
т. е.
а = arc cos (2e~at — 1), 1 + cos а
e-at =
сов'
(2-2) (2-3)
(2-4)
(2-4)
Тогда, как это следует из (2-2), последовательность „е"-полиномов Тл (¿) (п = О, 1, 2,...) преобразуется в последовательность косинусов соэпа. Из (2-2) следует также, что
Тя(0)=1; Тп(оо) = (—1)"; |Т^)|<1. (2-5)
Явное выражение для полиномов Тп (¿) можно получить путем развертывания соответствующего гипергеометрического ряда
Тя(0 = с— !)"/=■ Г —Я, п■ =(_!)» л х
Х2
V
(— \)к2к(п + к — \)\e~Kat
То (t) =
~о (п — к)\ {2к — \)\\к\ Для нескольких первых значений п будем иметь
Т* (*) = - 1+2е-"< Т* (£) = 1 — 8е~а< + 8е~*а' Т* (*) = — 1 + 18е~а{ — А8е~2а* + 32е~3а1 т; (Г) = 1 — 32 е~а< + 160 е~2а' — 252 е-3а< + 128 е~ш Т*5 (*) = - 1 + 50 - 400 е~2а( + 1120 е~3а( - 1280 е~ш + + 512-5й<
(2-6)
(2-7)
Заметим, что коэффициенты полиномов Тп(1) совпадают с коэффициентами смещенных полиномов Чебышева 1 рода, определенных на интервале (0,1) [6,9].
Как уже отмечалось, система полиномов Тп(() полна в пространстве где весовая функция № (Ь) имеет вид
at 1
W(t) = e 2 (1
at
(2-8)
Из общей теории ортогональных разложений следует [8], что если /(¿) удовлетворяет условию
то ряд
\w(t) [/(¿)]2dt<cx>,
о
00
п=О
(2-9)
(2-Ю)
будет сходится к f{t) во всякой внутренней точке, в которой f{t) непрерывна, если коэффициенты Ап определить формулой
at
oo--
(2-11)
* J Vi-
e~
•at
0
Если учесть, что = —, то ряд (2-10) можно записать в виде
2
со
/О = 4-+ 2 АяГп(1). (2-12)
2 п=1
Если же выполнить замену (2-4), то получим
со
/(0-^/*(--1ПСО524 ) =42- + 2Л«С08/га- (2-13)
V а 2/2 п=\
А
1С
„ = — у /* ^--—In cos2 -^-j cos ласк. (2-14)
Таким образом, мы имеем разложение некоторой периодической функции /* (—— In cos2—) в обычный ряд Фурье, которая на ин-
V а 2 J
тервале (0, я) совпадает с нашей функцией /(--In cos2— ], при-
\ а 2 1
чем ее аналитическое продолжение в отрицательную область значений а выполнено так, что /*( — —lncos2—] становится четной функ-
\ а 2} w
цией. Это обстоятельство позволяет сразу получать разложение по „¿"-полиномам Чебышева 1 рода по соответствующим тригонометрическим рядам Фурье, а также распространить известные из теории рядов Фурье различные преобразования и тождества на эти ряды. В частности, отметим равенство Парсеваля
at
оо — —
2 Г fit)]*.. «
dt =
V/
/ л = 1
(2-15)
VI —е-^ 2 а
V
*
так как квадрат нормы Тп (¿) в рассматриваемом пространстве равен
at
оо —-—-
/
dt = — ■ (2-i6) j/l - е-«' 2а V
Отметим также правило умножения ряда (2-12) на полином T*m(t). Если имеет место разложение (2-12), то
л 00
/ it)■ т; (t)=+2 +AJK-ml) т; (t). (2-i7)
2 2 ¡Я
Формула следует из правила умножения ряда (2-13) на cos шт. [5]. Рассмотрим разложения некоторых функций в ряд по „¿"-полиномам Чебышева 1 рода. Нанем с разложения экспоненциальной функцил с комплексным параметром. Имеем
Л I \ 00
e-pt = AM. + 2 Ап{р) т; (0. (2-18)
2 п=1
Ряд будет сходиться равномерно для любого вещественного значения
а
„а", .если Яер>--. Согласно (2-11) и (2-14) можно написать
2
СОЯ
СО 5 Па (1 а =
2р
— _ ( (СОБЛ:)0 соз2л(1х.
Последний интеграл является табличным [4]
4
2
2х" '\ а ' 2 / \ а Бета-функция имеет представление
В| + п +
а
п
В I — + я + 1,
1 - я =
а
Г [ 2 — \ «
После ряда преобразований будем иметь
Р ■ 1
А„(р) =
2Г |--1--| „_1
а 2 п Р-ка
п
причем при п = 0,1
/2—1
Г—Г /7 - Л*/7
Р| Р ~К(Х
Р + ка
Искомое разложение получает вид
п-^+т
\ а 2
V а !
Из (2-19) следует, что
а
+ 2 V-
Р ^Р
+ п
И— I
у р — ка р + ка
а
Ап(р) =
2 а
У 1-е~
а£
2 су
т„(0 =— \Х'Ц)т1{1),
я/
т.е. Л„(/>) есть преобразование Лапласа функции — И7/ (¿) (£). Соответственно
(2-19)
(2-20)
(2-21)
(2-22)
(2-2 о;
л0(р) = — 1Х> (О.
(2-24)
Пусть х — фиксированное значение тогда
со
е-*" = + 2 А* (Р) Т" (*)• (2-25)
Учитывая, что = х), а также (2-24) и (2-25), получим разложение дельта-функции в ряд по „^"-полиномам Т*п(I).
а
—Щ*)
1+2 т*(*)
/2=1
(2-26)
или в другой Форме, если иметь в виду, что — х) = 8(х —¿),
а
тс
1 + г2т;(т).т;(о
/2=1
(2-27)
Отметим частный случай, когда р = та (т = 1, 2...). Разложение (2-22) в этом случае автоматически обрывается при п — т и получает вид
/тс Г (и)
/те
+ 22
1 п^т;(т)
(2-28)
~ т + п К=1 т + к а Эта формула дает представление степеней (е~м)т в виде линейной комбинации конечного числа полиномов Чебышева Т„(0-Для нескольких первых значений т будем иметь:
е-аг = 1 + 1 т« (¿) 2 2
)
е-ш =
3 +
8
8
■за« = А + т*,(^)4-—т*,(о
16 32 16 Л 32
ш
ос; 7 7 1 1
— + — Г, (0 + — т;(0 + — Т*з (О + — т: (¿)
128 16 32 16 3 128
(2-29)
Из разложения (2-22), используя формулу (1-21), можно получить разложение для однако проще воспользоваться тригонометрическим тождеством [5]
а
° (-1)«
соэка.
к
Если выполнить подстановку (2-4), то получим
~ (-1)"
а^=21п2+2 V
к
Формула (2-17) дает
1
«¿•Т* (¿) = — 1 + ( тг + 2 1п 2 | Т*^) — 2
2 I _ о К- — 1
Тк(0 0<г<°о.
(2-30) ТИ^). (2-31)
к —2
Имея в виду, что
1
а1е~а1 = ~ \а1 -{- аЬ Т* (¿)], 2
легко найдем разложение для ate~at 1
ate-at = In 2
1п 2 - ТН0 - 2 -ТТ^Гчт: >' (2_32) 4/ ^2/с(/С2-1)
Отметим еще некоторые разложения, непосредственно следующие из соответствующих тригонометрических тождеств. В частности, можем написать следующее представление целых положительных степеней „¿"-полинома Тт (¿):
22п
г п-1
ГМО]2л =
2/i — 1
L. /С=0 V К / п-1
/с==0
К
Т
т(2л—2/r-l)
(0.
(2-33)
Формулы получаются из разложения (cos/па)2" и (cos /гаа)2"-1 в ряды Фурье путем перехода к переменной t по формуле (2-4) [4]. Символом (—] обозначен биноминальный коэффициент. \ к 1
Известно следующее представление обыкновенных полиномов Ле-жандра [4].
Рп (cos а) =
+
(2а — 1)11
2"~'л! 1-3 л(л — 1)
1
cos Ла -|--
Л
1-2 (2л - 1) (2n-3)
1 2 л-1
cos (л — 4) а +
cos (л — 2) а +
= (2л- 1)1! ~~ 2"-1 л!
л — к
у (2т — 1)!! pj
cos (/г — 2//г)а.
Осуществляя подстановку (2-4), получим
2"-1л! А
(2т- 1)!!
т—1
Л — К
лг!
Д 2л — (2ft: + 1)
m —1
Тл—2m (¿)>
(2-34)
ричем П-1 ПРИ т = а
А'=0
означает целую часть. Форму-
ла (2-34) дает представление „¿"-полинома Лежандра в виде линейной комбинации „¿"-полиномов Чебышева 1 рода.
3. полиномы Чебышева II рода
Эти полиномы могут быть определены соотношением
Un(t) =
1 d _* ... sin (п -f 1) arc cos (2e~at — 1)
- --- 1/2 + 1 (И = -
2(л + 1) d(e~at) _
2e 2 V\ ~ e~at
(3-1)
Подстановка (2-4) даст выражение
sin (n + 1) a
Unit)
(3-2)
Полиномы и*п{() удовлетворяют дифференциальному уравнению
+ п(п + 2)а2е 2 * (1 - е~а1)2 £/«(/) - 0.
к7
сИ
(1 _ е-а1) 2
(11
Основная рекуррентная формула имеет вид
и*п,л (*) = 2 (2е-в< - 1) ¿/„(¿) - 1Л-1 (*)•
(3-3)
(3-4)
Ранее мы определили и'п(Ь) как частный случай „е"-полиномов Яко-ои, однако, чтобы было соответствие с предыдущими формулами, необходимо положить
(3-5)
(3-5")
¿/„(¿) = (- !)"(«+ 1)^1-л, я+ 2; ^ ;
или в развернутой форме
и: и) =
л(о = (- 1)л2
'0(2к + 1)(я —/г)!/е! (2ж—1)!!
откуда следует
£Л,(0) = я+1 и ¿7„(ос) = (- 1)"(я + 1).
(3-6)
Полиномы и*п(Ь) можно выразить через „¿"-полиномы Тл(0- Имеют место тождества [4]
8Ё2!»=2Усо8(2К-1)«,
эта
А: = 1
БШ (2п + 1) а а
2 У соэ 2к<х — 1.
к=О
Учитывая (2-4), а также, что = получим
¿Л/7—!
'2Я-1«)=22 (/1 = 1,2,...)
п
г/2п(0= 2 2^(0 (/г ™ 0, 1 .. .).
АГ = О
(3-7)
Отметим еще следующие соотношения, вытекающие из соответствующих тригонометрических тождеств:
с/; (о • т; (о = ^1 + £/#я",п
т;.и (о • и*т_х (о = -1 ,и (о - (*>].
Полагая в последней формуле т
1
получим
т„;.(0= (/¿ = 1, 2...)
или
т:(о
1
|г;г(/) ¿/я2(./)| (я = 2,3....)
(3-8)
(3-9)
Как уже отмечалось, „¿"-полиномы образуют полную систему,
-2 а/
ортогональную на интервале (0, эо) с весом е 2 \ \ — е~
14. Заказ 7324.
■аЬ
т. е.
209
- -- at --О т Ф п
{е 2 |/1 ^3~atUn{t).Um{t)á[^ ^ (з_10)
<'> — гп ^ п.
8 а
Вся кая кусочно-непрерывная функция, удов,'¡створяющая условию
оо 3
---at
— Ul___
е 2 ]Л -e-a~<[f(t)]2dt< ос,
о
может быть разложена в ряд по полиномам Un(t)
00
f(t)=^Dnu:(t), (з-и)
п=0
где
со з
8а Л - - at
о
£>„= — \е 2 У\ ~~e~atf(t) Un{t) (it (3-12)
или в другой форме, если сделать подстановку (2-4),
X
Д, — — \ f\--- In cos2 — \ sin a-sin (п + l)ada. (3-13)
* J V * 2/
о
Если иметь в виду тождество
sin in -f 1) а- sin а = — cos т —~ cosí« 4- 2) а
2 2
и учесть (2-14), то получим
Dn =±iAn~An-2) (л = О, 1,2....). (3-14)
Таким образом, коэффициенты разложения f(t) по «^»-полиномам и: (t) связаны с коэффициентами разложения той же функции по «е»-полиномам Чебышева I рода, элементарной формулой (3 — 14).
4. Экспоненциальные функции Чебышева ¡II рода
Если в уравнении (2-1) произвести преобразование независимой переменной согласно (2-4), то оно получает вид
d-Z + п*у = о . о'< а < ТТ.
do? У
Два линейно независимых решения этого уравнения будут равны
Ух = cos /га, уп — sin т.
Если вернуться к прежней переменной, то первое частное решение преобразуется в последовательность «¿»-полиномов Чебышева I рода--Т*п (О, а второе — в последовательность функций вида
at
5л(*) = 2г (0, (4-1)
которые мы будем называть экспоненциальными функциями Чебышева III рода. Эти функции уже не будут полиномами, как это имело место для Т„(£) и Vп(¿). Основное их свойство состоит в том, что они, являясь собственными функциями дифференциального операто-
ра Штурма-Лиувилля, образуют на интервале (0, ос) систему, полную и ортогональную с весом
__ <Н 1
№(0 = * * (1— В самом деле, учитывая (4-1) и (3-10), будем иметь
оо а1 со
. ------— - - — 1 * ^ — п — 1 \ ^ / Ш — / —
о V\ -e-at о —
т=п. 2а
Основные функциональные соотношения для Sn (t) так же, как и
для Тn(t), непосредственно получаются из известных тригонометрических тождеств. В частности, имеем
s„±m(t) = sn(t)■ т;(t) ± rn(t).sm(t),
i*n±m{t) = Tl{t)-rm{t) + sn{t).sm{t),
Sn (t).sm (t) = j- [T:_m (t) - rn+m (í)], (4-2)
Sn (0- (0 = ~ [Sn-m {t) — Sn + m (*)].
Полагая в последнем соотношении т — 1 и учитывая, что
T\{t) = 2e-~at
получим основную рекуррентную формулу для рассматриваемых функций
2 {2e~ai - 1 )Sn (t) - (t) + Sn.n (i). (4-3)
Из (4-1) следует: Sn (0) = Sn (oo) = 0. Имеют место следующие тождества [5]:
• /о . n 2 4(2п+ 1) " eos 2/пх
sin (2я--1 )а==------------>--(л=0, 1,2...),
~ [2п 1) * (2т)'1 - (2п-\-\)~
8 л« eos (2m -1) а sin 2пх = - - — >-----(п — 1, 2,
Они представляют собой разложения синусоидальных „пакетов", заданных на интервале (0, -), в ряд по косинусам. Преобразование (2-4) дает
2 4(2я+ 1) у, t2m(í) /w = ni9 )
i
i
с (0_ /л==1 2 3 1 !
(4-4)
т. е. функции Sn(t) {n = 1, 2, 3...) разлагаются в бесконечные ряды по „¿"-полиномам Чебышева I рода.
Рассмотрим вопрос о разложении произвольной функции в ряд по функциям Sn (t).
Условие (2-9) оказывается достаточным для сходимости разложения
со
/(0= vb,s,(0 (4-5)
к= 1
И*. 211
во всякой точке, являющейся точкой непрерывности / (/), если ксэф фициенты В* определить формулой
оо at ~
в» - 2fI ^даа Л . 2 J, (_ ± ,„ «0..Л) sin ^ (,Г))
В точках разрыва I рода ряд (4-5) сходится к значению ^[/(¿/ + 0) —
Zd
— fifi ~~ 0)1- Если произвести замену переменной согласно (2-4), то (4-5) преобразуется к виду
' i \ 00 /(--In COS2— =^BKSinK(X 0<а<т:. (4-7)
\ Я 2/
Ряд (4-7) можно рассматривать как разложение некоторой периодической функции /* (--In cos3 — ) , которая на интервале (0, тс)
V а 2/
совпадает с заданной функцией и которую мы сконструировали та" ким образом, что она стала нечетной.
В качестве примера рассмотрим разложение единичной ступенчатой функции 1(£ —т). Коэффициенты разложения будут равны
оо at г.
в, = ^ Г е1±Ш<Н = -2 f Sin ««/« = 2[т;(,)-(-!)*]
п J у i _ e-at J -к >
так как cos ка- — I к
(т). Разложение имеет вид
Ti (,)-(-1Г
1 = -~Sh.{t).- (4-9)
" к 1
В частном случае, когда - —0, получим после преобразований
А 00 I
г—(4-Ю)
т: ......1
Многочисленные разложения можно получить из соответствующих тригонометрических рядов и тождеств, путем преобразования переменной.
Заключение
Свойства рассмотренных ортогональных функций и различные примеры, имеющие самостоятельное значение и иллюстрирующие технику разложения разнообразны^ функций в рбобщенные'ряды Фурье, показывают, что предлагаемый аналитический аппарат может быть эффективно использован не только для целей приближения функций, но и для решения других задач теоретического и прикладного характера.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г. Бейтмен, А. Эрдейн. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. Изд. «Наука», М., 1965.
2. Б. М. Будак, С. В. Фомин. Кратные интегралы и ряды. Изд. «Наука» М„ 1965.
3. Б. 3. В у л и х. Введение в функциональный анализ. Физматгиз, М., 1958.
4. И. С. Град штейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Физматгиз, М., 1962.
5. А. М. Заездный. Гармонический синтез в радиотехнике и электросвязи. Госэнергоиздат, М., 1961.
6. К. Ланцош. Практические методы прикладного анализа. Физматгиз, М., 1961.
7. Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения. Физматгиз, М.—Л. 1963.
8. И. П. Натансон. Конструктивная теория функций ГИТТЛ, М.—Л., 1949.
9. Таблицы полиномов Чебышева 5п(х) и Сп(х). Выпуск 19. Вычислительный центр АН СССР, М., 1963.
