О соотношениях типа свертки между полиномами Лежандра и Чебышева Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

1969

Том 191

О СООТНОШЕНИЯХ ТИПА СВЕРТКИ МЕЖДУ ПОЛИНОМАМИ ЛЕЖАНДРА И ЧЕБЫШЕВА

В. М. ОСИПОВ

(Представлена научно-методическим семинаром кафедры инженерной и

вычислительной математики).

Преобразование Лапласа экспоненциальных полиномов Лежандра и Чебышева («е»-1полиномов) [3] позволяет получить ряд интегральных соотношений, связывающих ¡как «е»-поли;но.мы одного индекса, так и обыкновенные полиномы Лежандра и Чебышева, определением на интервале (0,1) или (—1,1).

Рассмотрим прежде представление для «е»-пол'И!нома Чебышева I рода Тп*(*)-

Ранее [3] было получено соответствие

-тп*(0 w(p) • ТП(Р), (1)

где

Mi + т)

w(P) =-Li^—w(t) (2)

аГ (—) • . { )

P nnYjL_k) p "п(ка —p)

kn(^- + k) П(ка+р)

(3)

Согласно теореме об изображении свертки можем написать

at_ t

= /W(t — ^)cpn(x)dx,

о

откуда

_ t

T„*(t) - ! _ e_at JW(t - t)?n(^)dx. (4)

Займемся определением функции фпМ. Ее изображение по Лапласу (3) можно представить следующим образом:

ПЩка- р)

к —1

*п(р) = (-

П(ка+р)

- ( - ^"-^[р + (п + 1)а|-^Уп( )

а

к--= 1

или после раскрытия скобок

<р„(Р) = (-1)"-1

1

РгУ„(Р) + (п + 1)рУ„(р)

(5 ч

Если теперь иметь >в виду, что Уп(р) есть изображение по Лапла су интегрального «е»-тюлинома Лежандра Уп* (I) [4], т. е.

* п — 1

П(ка-р)

Vn(p) =

(6)

то легко найдем

П(ка+р) к-1

ру.(р, -

Р=уо(р) ^^

У„*'(0)8(0

Поскольку

У л*1 (о) = — а|Рп* (о) = а (— 1)п+1, последнее соответствие 'можно записать в виде

с12Уп*(1)

Р2УП(Р) ~

(И2

+ а(— 1)п+,3(0.

Дельта-функция 6(1) ¡возникает вследствие разрыва производной Уп*'(^) при 1 = 0, поскольку мы считаем, что Уп*(1;)=0 при КО. Таким образом, искомая функция <ри(1) имеет ¡вид

1 ад + (п + о^ЛЦ

?п(1) = (-1)"-1

сИ;

сИ

8(1).

(В)

Выражение в скобках можно представить через «е»-полином Лежандра Рп* (I) и его производную. Имеем '[4]

с1У„*а)

сИ

= - ае-а1рп*(1),

сИ2

Подстановка дает

а2е-а'Рп*(1) — ае

(И

= ( - 1)пе

паРп*(1) +

дРп*(0 (И

8(0-

Таким образом, формула (4) получает вид

Тп(1) = 1 + ( - 1)пеТ]/1_е-а1 ^(1 - т)е-«

паР„*(т)

с1Рп*(1)

(1т

(К 0)

Это и есть искомое соотношение.

Сделаем подстановки х = е~а1; и у = е~ат , тогда «е»~пол1ином Тп*(1;) преобразуется в смещенный полином Чебышева I рода Тп*(х), а «е»-по-ЛИ1Н0М хп (т) —в смещенный полином Лежандра Рп*(у) [1, 3]. Далее, имея в виду равенства

(1-т)

■I'

V:

W(t — х) = |А1_е-а(1-х) уё

ах_а, — ^

ЙРп *(*)

С1Рп*(У)

с1х

¿У

у. а; сЬ = —

с!у

у-а

сразу получим

Тп*(х) = 1 -(- 1)пУ 1

А /

]/У

пРп*(у) - у

¿РП*(У) ¿У'

¿У

или, поменяв местами пределы, можем калисать

1

Т„*(х) = 1 + (- 1 )пУ 1 - X

ПРП*(У) - У

Наконец, сделав замену [1, 3]

14-х 1 + У

х 2 И У ^ 2 '

получим соотношение для обыкновенных полиномов

(О < х < 1)

<ИУ(у) ¿у

ёу (И)

Т„(х)- = 1 +

(-1)"

ут

(У) - (1 - У)

^Рп(у)

¿У

<1у

Уу -х

(- 1 ч< х < 1) (12)

Установим аналогичную связь между полиномом Чебышева II рода и полиномом Лежандра.

Для «е»-полинома Чебышева II рода ип-1*(1), учитывая (10), .а также равенство [3]

ип-1 = -

2па

М

(1ТПЩ) сИ

сразу получим

С_ 1 \п-ы

(1 £1

сИ

е 2 у 1 — е-

I

^| - х>

(Ь

ёх

Для смещенных полиномов вместо (13) будем иметь

ип-.Пх) = ^ (0<хч<1).

(13)

паР„*(т) +

(14)

(15)

Таким образом, дифференцируя (11) по х и подставляя в (15), найдем

(У) - У

с1Рп*(у)

(— 1)П н _

V У

9. Заказ 907.

(0<Х<1). (16) 129

Для обыкновенных полиномов соотношение имеет вид

'П0„(у) - (1 + у)

ип_,(х)

(- 1)" <1

с!х

ут

/

с!у

(Зу

У у - X

(— 1 < х < 1) (17)

Полученные интегральные формулы можно записать более компактно. Введем систему «е»-полиномов

0„*(1)

[Рп*а)-Р*п-.(1)] (п=1, 2, ...),

(18)

где РП*(1)—«е»-лолинам Лежандра. Эта система является, очевидно, полной в том же гильбертовом пространстве, в каком полна система «е»-полиномов Лежандра Ри*(0 (п = 0, 1, 2, . . .) [3]. Отметим также оавеиства

О„*(0) =1 и О„*(оо) =0.

Покажем теперь, что

.-а!

паРп*а)

с!1

<ЗРП*(1) сН

(19)

Имеет место следующее рекуррентное соотношение для «е»-полиномо} Лежандра:

(20)

Оно получается из соотношения для обыкновенных полиномов Лежандра, определенных на интервале ( — 1,1) [2], если сделать замену х-+\-2е~аК Из (20) найдем

(И 2

или в другой форме

(к

сИ (11

пае-а1Рп*(1)

(11

пае "Чуй!

откуда непосредственно следует тождество (19). Для смещенных полиномов будем иметь (х = е~а{)

пРЛх) _ хет^ад 0<х<1. (21)

(1х

(1х

Сделав замену х^-

14-х

9

, получим для обыкновенных полиномов

Вместо соотношений (10), (11) и (12) теперь можем написать:

— 1 < х « 1. (22) 1

Г нп *м

тп*(1)=1+( —1)пе~ I (1 -- к) I.: )

а-

1

тп*(х) = [у== ■ ^т^У (0 \< х Ч< 1).[

Тп(х) = 1 +(- 1)П/Т^"

Ку —х <^у (1Вп(у)

_1_

У'у^х

(IV

(1у (- 1 х < 1).

Аналогично могут быть записаны формулы (14), (16) и (17). Решим теперь обратную задачу, т. е. выразим полином Лежандра через полином Чебышева.

Прежде найдем преобразование Лапласа «е»-полино'ма Оп* (¿). Имеем [3]

Рп*М - П и Рп-г*(1) ++П кЭ " 1

к=1 ка + р к=1ка + Р '

Таким образом,

ПП (ка - р)

Оп*(0 - - Рп-1 *«] ^ -Ц1- - Оп(р). (24)

П (ка + р) к= 1

В в еде м об азначен ие

е 2

-Тп*(0 ~ Ф„(Р) - ^(р)-<рп(р). (25;

}/1 -е"а'

Учитывая (2), (3) и (24), можем написать

п—1

П(ка-р)

'Ыр) = (- I)"-1-Ц--И. . ^--

Г(-Н-) кП(ка + р)

, п.^(¿з!

= (- -/ р *-- о„(р).

г '

Откуда

Г

0П(р) = (-1)"-"7 --^утФп(р) (26)

У*Ц-г +

2

Пусть

Г ' р

/■— I V I 1

У*г — +

- Ш)-

а ' 2

По теореме смещения будем иметь

е

аГ ( Р

Сравнивая с (2), приходим к выводу, что

а

■У 1-е

ад = ^ __аГ • (27)

Таким образом, переходя к оригиналам в операторном равенстве (26), получим согласно теореме шертки

I

ВаЦ1) = (~1)п Г ^ - т) е 2 -Тп*(т)с1т, (28)

J У 1 — е~ат

о

или в развернутом виде

Оп*а) = . (29)

у 1 _ e-a(t--) У1 - е-1

О

Если учесть, что [4]

£>п* (t) +iDn+i* (t) = [Pn+i* (t) -Рп-Г (t) ] — — (2n+il) Vn* (t), (30)

легко найдем

t ат

V - (- Р"*1» Г е~Т[Тп+1*(т) - ТЛО] Нт пп

У"(1)-Ц2п + 1)]|/1 — е~а('"т> VI -е- д (31)

О

Наконец, из тождества

^ - - ае-РЛ1).

Следует соотношение для «е»-поли;номов

1 ах

Рп ^ ~ тг(2п + 1) (И 3 у 1 _ У\ - е~ат ( '

0

Для смещенных полиномов, выполнив замену и у = е~а~ , будем

иметь

Р..,,) _ * Г Т.„'(у) - Т.'(у) х

тг(2п + 1) dx }]/(у- х)( 1 - у) ^ v ^ \\ ; v ;

1

Для обыкновенных полиномов соотношение получает вид

п +1) dx J У(у _ Х)(1 _ у) х хч ^ V ;

1

В заключение отметим, что все полученные соотношения легко могут быть проверены непосредственным интегрированием.

ЛИТЕРАТУРА

1. К. Ланцош. «Практические методы прикладного анализа» Физматгиз, М., 1961.

2. Н. Н. Лебедев. «Специальные функции и их приложения» Физматгиз, М.-Л., 1963.

3. В. М. Осипов. «Экспоненциальные полиномы и разложение некоторых типовых сигналов», Изв. ТПИ, том ,180, Томск, ;1969.

4. В. М. Осипов. «К вопросу о приближенном обращении преобразования Лапласа». (Настоящий том).