Интегральные полиномы Лежандра и приближение функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 191

1969

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

В. М. ОСИПОВ

(Представлена научно-методическим семинаром кафедры инженерной и

вычислительной математики).

I. Интегральные полиномы Лежандра Обыкновенные полиномы Лежандра могут быть определены формулой Родрига

Рд(2) - ¿"п- & - (- 1 ^ 2 « 1). (1-1)

Заменой переменного г — \— 2х интервал (—1,1) преобразуется в интервал (0, 1), и мы получаем так называемые смещенные полиномы Лежандра [1]

Рп*(х) = ^ х"(1 - х)п. (1-2)

Явное выражение для Рп*(х) можно получить из представления через гипергеометричеакую функцию

Рп*(х) = Р(- п,п + 1; 1; х) = £ (- 1)к х*. (1-3)

Введем новую систему полиномов по формуле J__^

п! бхп

1

1^п*(х) = ^г х"(1 - х)" (п = 1, 2, 3, . . . ), (1-4)

т. е.

с1Уп*(х)

= РпПх) (1-5)

или

Уп*(х) = |Рп*(х)с1х. (1-6)

о

Эт,и полиномы мы будем называть интегральными смещенными полиномами Лежандра. Рассмотрим их основные свойства. Прежде найдем их представление через гипергеометрическую функцию. Известно следующее тождество:

Лхп+С"'(1 ~ х)ь"1] = (С)„хс-Ч1 - х)Ь"с"пР(— п, Ь; с; х). (1-7)

Заменяя п на п —1 и полагая с=2; Ь = п+2, получим

^^ хп(1 - х)п = п! х( 1 — х)И( - п + 1, п + 2; 2; х)

и, следовательно,

Уп*(х)=»(1-х)Р(-п+|1, ;П+2; 2; х), (1-8)

откуда непосредственно -видно, что

Уп*(0)=УпЧ1)=0. (1-9)

Если развернуть гипергеюметрический ряд в (1-8), то получим явное выражение для Уп*(х)

V *(х) = х(1 - X)"-' к _(п + к + 1)!хк_

Уп ^ п(п + 1)£/ 1) (п - к - 1)!(к + 1)! .! ' и ^

Для нескольких первых значений «п» будем иметь

VI* (х) = XI (1 —х),

У2*(х)=х(1-х) (|1 —¡2х),

у3*(х)=х(1-х) (1 —5х+бх2),

У4* (х) = х (1 - х) (1 - 9 х+;2,1 х2—.14 х3),

У5*(х)=х(!1-х) (1 — 14 х+-56 х2—84 х3+42 х4).

Продифференцируем (1-3)

^ = 4 - + «) ^ р(-п+.,+

+ 2; 2; х)

Поскольку

(- п), (п + 1),

(1)1

можно написать

1 арп*(Х)

- п(п + 1),

= Р( - п + 1, П + 2; 2;х)

п(п + 1) ёх

Подставляя полученное выражение в (1-8), будем иметь

п(п + 1)Уп*(х) = - х(1 - х) ^-Ш. (1-11)

Из (1-5) следует с учетом ¡(1-11)

_сРуп*(х) _ с!Рп*(х) _ _ п(п + 1) * бх2 " - ёх - х(1 - X) У"

или в другой форме

х(1 - х) ; + п(п + 1)УП*(Х1 = о, (1-1:)

т. е. полиномы Уп*(х) удовлетворяют дифференциальному уравнению (1-12). Они могут быть непосредственно выражены через смещенные полиномы Лежандра.

Известно следующее рекуррентное соотношение для обыкновенных полиномов Лежандра [2]:

йРа + 1(г) (№„-,(2). = + ^

йг йг

11. Заказ 907. 161

Сделав замену г=\— 2 х, получим аналогичное тождество для смещенных полиномов

_ ДР*п-1(х) + ¿р*г(х) = 2(2п + 1)рп*(Х). (мз)

ох ох

Если теперь проинтегрировать (¡1-13) в пределах от нуля до х и учесть (1-6), то будем иметь

2(2п+:1)Уп*(х) -Р¥п-1 (х)— Р*п+1 (х) (п=1, 2, 3, . . .), (1-14)

т. е. полиномы Уп*(х) представляются .в виде разности двух смежных полиномов Лежандра. Последние образуют .полную систему в пространстве Ь2(0, 1), следовательно, и система полиномов Уп*(х) (п=0, 1, 2, . . .) полна в том же пространстве. Более того, покажем, что она

1

является еще и ортогональной с весом ^^——

Будем исходить из ортогональности полиномов Лежандра

Л 0 п ф ш

Рп*(х)Рт*(х)(1х = _1_ = (1-15)

2п + 1

Имеем, учитывая (1-5) и ^(-1 -11),

1 I

|р*п(х)рт*(х)с1х = | РП*(Х) дУт^х(х) ёх = -

О и

О О

Таким образом,

^ V *(х)Ч* (х) ° Ш ф П

т}х) ёх = 1 , (Мб)

х0 — х) -1 1 ч/о—I—п т = п

п(п + 1)(2п + 1)

что и доказывает наше утверждение.

Из (1 -5) следует, что экстремумы 'полинома Уп* (х) располагаются в нулях полинома Рп*(х). В частности, полиномы Уп*(х) с нечетными

/ 1 *

индексами достигают экстремума в средине интервала (х= ), что непосредственно видно из представления (1-4), если иметь в виду, что двучлен хп(1—х)п имеет максимум при х—^-. Этот максимум является наибольшим по абсолютной величине. Что касается полиномов Уп*(х) с четными индексами, то при х = они обращаются в нуль, а их эк-

1

стремумы располагаются симметрично относительно прямой х= — Найдем для полиномов Уп*(х) с нечетными индексами наибольший по абсолютной величине экстремум, соответствующий х= — Заменим в (1-14) п на 2п—1, в результате получим

2(4п—1) У*2п—1 (х) ~ Р*2(п—1) (х) -Р2п*(х).

Если теперь иметь в виду, что [2]

Р */ гэ п

2 (п-1)

' 1

( ~ 1 )

п-1 ЬЗ-; ..-(2п - 3)

2п_1(п - 1)! * (АЛ = ( - ПП 1 '3-5- * - (2п - 1)

2п V 2 / 2"п!

то можем написать

откуда следует

V*.,

1

= I I ш

1 1- 3-5-•-(2п - 3)

шах 4п 2п-1(п _ !), (2п 3)!!

2п+1п! ■

Последнее выражение можно записать иначе, а именно: (2п — 3)!! Г(2п - 1) Г(2п - 1)

2п+1п! 2п_1(п - 1 )!2п+1п! 22пп[Г(п)]2 '

где Г(п) есть Гамма-функция. Таким образом, имеем оценку

IV '(Х)\ < г(2п ~~ 1} I V 2п —нх) I < 2-пп[Г(п)]2 *

При любых п>1 правая часть неравенства есть непрерывная функция.

о П + 1 *

Заменим п на —--' тогда будем иметь для люоого п

I I <

Г(п)

2п(п + 1)

п + 1

(п - 1)!

2п(п -Ь 1)

Г ( " + 1

2 '

(1-17

.Мы можем теперь ввести масштабный множитель и рассматривать по линомы

2

2п(п + 1)

*(х) -

г ( п + 1 \

Ч -2-)

(1-18)

(п - 1)!

для которых, очевидно, оценка имеет вид

/У„*(х)/<1. Для нескольких первых значений п (1-18) дает

V7;* (х) =4 VI*(х); V? (X) = 3 яУ2*(х); У3*(х) = 16 У3*(х);

У4*(х) = лУ4* (х); Уб* (х) = 32 Уб* (х).

Рассмотрим вопрос о разложении произвольной функции в ряд по полиномам Уп*(х).

И'

163

2. Разложение функций в ряды по полиномам Уп*(х) Пусть ср(х) — непрерывная функция, заданная на-интервале (0,1) и обращающаяся в нуль на концах интервала. Предположим, что имеет место разложение

со

ср(х) = V С„Уп*(х). (2-1)

п = 3

V* (х)

Поступая формально, умножим обе части (2-1) на —- и проин-

х( I )

тегрируем в пределах от 0 до 1. Учитывая (1 -16), будем иметь

Сп = п(л + 1 )(2п + 1)} ^х (2-2)

или, принимая во внимание (1-Ы) и интегрируя по частям,

С„ = - (2п + 1) ?(х)дРп"(И с1х = (2п + 1) ^ ®'(х)Рп*(х)с1х. (2-3) 6 их о

Если теперь учесть, что

бРп*(х) ^ _ п + 1)р(_ п + ^ п ^ 2. 2. х) =

с!х

V _ Пк (" + П'*к (о.4)

¿о ' (п - к - 1 )!(к + 1 )!к! ' ^ ;

то можем написать

с„ = (2п +1,|(-1)« (п_(кп+,К)!;ьК'^!|)!к, <*-»

Величина

Мк= }хК?(х)с1х. (2-6)

о

есть, очевидно, момент К-го порядка функции ф(х). Формула (2-5) получает следующий вид:

п~! (п + к 4- 1)* Мь

Сп - (2п + 1)У (- 1)К 1П + к ' . (2-7)

^о (п — к — 1)!(к + 1)!к!

Откуда, в частности, легко найдем: С,=6М0,

С2 =30 (М0 — 2 М]), Сз=84(М0-5М1+5М2), С4 180 (¡Мо - 9 М! + 21 М2 - 14 М3), С5=ЗЭа(Мо-;14М1+|56М2-84Мз + 42М4).

Выясним условия сходимости разложения (2-1). Если продифференцировать ряд (2-1) и учесть (1-5), то получим разложение производной ф'(х) в ряд по смещенным полиномам Лежандра

оо

ср'(х) = 2 СпРп*(х). (2-9)

П -= 1

Коэффициенты этого ряда определяются формулой (2-3). Он будет сходиться к ф'(х) во всякой внутренней точке интервала (0, 1), являющейся точкой непрерывности, если выполнены следующие условия [2): 1. ф'(х) есть кусочно-непрерывная функция.

2. Интеграл j [(p'(x)]2dx имеет конечное значение, о

Из сходимости ряда (2-9) следует безусловная сходимость разложения (2-1).

Вместо разложения (2-1) практически удобней пользоваться разложением по полиномам Vn*(x)

оо

Ф) = 2 AnV„*(x), (2-Ю)

Ь = =1

где

(п - 1)!

Ап

2п(п + 1)

п + 1

■Сп. (2-11)

2

Если в (2-10) ограничиться конечным числом членов, то максимальная абсолютная ошибка будет приблизительно равна первому из отброшенных коэффициентов. Заметим, что если функция f(x) не обращается в нуль на концах интервала (0, 1), а принимает конечные значения f(0) и f(l), то разложение получает вид

оо

f(x) = f(0)(l - х) + f(l)x + 2 AnVn*(x). (2-12)

11-1

где An — коэффициенты разложения для функции

<p(x)=f(x)-f(0) (il-X)-f.(:l)X. В качестве примера рассмотрим приближение функции <p(y)=sinv на интервале (0,2 я) отрезком ряда (2-ilQ). Подстановкой у = 2ях указанный интервал преобразуется в (0,1). Имеем

1

л k = j' xKsin 2кхйх о

Вычисления дают

М0 = 0; Mt =--- ; М2 - - ; М3 = - + ;

2тг ' ^ 2^ * 2тг 1 (2ic);

1 . 12 хд 1 , 20 120 м4 = — -тг- + ТТ^Х ; М:

2тг 1 (2тг)3 1 2- 1 (2*)3 (2п)ь

По формулам (2-7) и (2-11) найдем

Аг = 0; А, = ~ «1,01321; А3 - 0; А,- —- 21)« 0,15532

ТС- 7Г

А5 = 0; А, = (п4 - 60те2 + 4Л5) « 0,01007.

Если ограничиться всего двумя членами разложения, т. е. считать,

что

10 _ 12

у2*(х) + -^г (2-- - 21)У3*(х),

то абсолютная максимальная ошибка будет порядка 0,01, причем на концах интерзала и в его середине (х= ошибка равна нулю. До-

бавление еще одного члена уменьшит максимальную абсолютную ошибку на порядок.

В заключение сравним разложение по полиномам Уп*(х) некоторой функции ф(х), определенной на интервале (0,1), с разложением

этой же функции ио полиномам Лежандра Рп*(х). Предположим, что функция ф(х) задана своими значениями на концах интервала и несколькими первыми моментами Mk (k=0, 1, 2, .v). Требуется восстановить функцию ф(х) по этим данным с наибольшей точностью. Отрезок ряда по полиномам Рп*(х) будет содержать v+1 член (начиная с нулевого), причем информация о значениях функции ф(х) на концах интервала использована не будет. Разложение по полиномам Vn*(x) будет содержать такое же количество членов (начиная с первого), причем полностью будет использована дополнительная информация о краевых условиях. Последнее обстоятельство и обеспечит значительно более высокую точность аппроксимации функции ф(х) отрезком ряда по Vn*(x). Так, в нашем примере, если использовать первые 6 моментов, будем иметь

sin 2 лх«.А2 V2*(x) +A4V4*(x) +Ae V6*(x). Применение полиномов Рп*(х) дает выражение

sin 2 яхжС/Pi* (х) +|Сз'Рз* (х) -НС5Ф5* (х),

где-

С, = ~ 0,95493; С'3 - -^г(п2 - 15) ^ — 1,15824;

С:, = —

105(^2 — 9)

0,21929.

Абсолютная максимальная ошибка первого из этих приближений на порядок меньше, чем ошибка второго.

Таким образом, интегральные полиномы Лежандра Уп* (х), в указанном смысле, являются значительно более эффективным средством приближения функций, чем обычные полиномы Рп*(х).

ЛИТЕРАТУРА

1. К. Ландош. «Практические методы прикладного анализа», Физматгиз, М, 1961.

2. Н. Н. Лебедев. «Специальные функции и их приложения». Физматгиз, М.-Л., 1963.