Экспериментальная зависимость скорости массопереноса красителя в плоском горизонтальном слое воды от его толщины Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

УДК 53.082.53,532.72

Я.И. Красноперов, М.С. Скляренко

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СКОРОСТИ

МАССОПЕРЕНОСА КРАСИТЕЛЯ В ПЛОСКОМ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ ВОДЫ ОТ ЕГО ТОЛЩИНЫ

Процессы диффузии и вызванные градиентами концентрации конвективные явления в жидкостях играют основополагающую роль как в биологических [1 — 3], так и в технологических процессах [4, 5]. Эти процессы управляются геометрией задачи и площадью свободной поверхности, изменяя которые можно «включать» или «выключать» те или иные движения жидкости. В статье [6] нами описывается детальное исследование процесса диффузии окрашенных веществ в плоском горизонтальном слое жидкости фиксированной толщины, равной 1,6 мм. Эксперименты показали, что эффективный коэффициент диффузии более чем на порядок превосходит значение коэффициента молекулярной диффузии; последний был измерен с помощью разработанного нами способа [7] (под эффективным понимается коэффициент диффузии, вычисленный на основе экспериментальных данных по формулам молекулярной диффузии, следовательно, в нем учитываются диффузионный и конвективный типы массо-переноса). Нами была выдвинута гипотеза о том, что это отклонение вызвано конвективными потоками. Наличие конвекции мы подтвердили качественно, добавляя в жидкость алюминиевую пудру для визуализации конвективного движения. Частицы этой пудры могут служить трассерами конвективного потока, поскольку коэффициент диффузии некоторого ее количества, помещенного в жидкость, много меньше коэффициента молекулярной диффузии кра-

сителя D = 0,16 -10

-5 СМ

2

[6].

Действительно, согласно оценке по формуле для сферических частиц, взвешенных в жидкости, получаем [8]:

кТ

D =

1,38 -10"23 • 298 М 6%-3-10"5 • 8,94-10"4 с

= 0,8110

_8 см

где а = 3 -10_5м — характерный размер частиц алюминиевой пудры, R — универсальная газовая постоянная, Т — абсолютная температура, к — постоянная Больцмана, ^ — динамическая вязкость жидкости (взята вязкость воды при Т = 298 К ).

Путем анализа динамики собственных мод задачи в рамках линейной модели [6] было также выявлено наличие колебательных мод, соответствующих недиффузионному массопереносу.

Таким образом, с одной стороны, для исследования чистой молекулярной диффузии и измерения коэффициента диффузии в горизонтальной ячейке нельзя ограничиваться открытой ячейкой произвольно взятой толщины. С другой стороны, метод измерения коэффициента диффузии красителя в вертикальной ячейке [7] требует сложной настройки. Создать резкий перепад концентрации по вертикали (снизу раствор красителя, сверху растворитель) сложно, на проведение эксперимента необходимо в два раза больше времени в силу одномерности задачи (при уменьшении размерности пространства от двумерного до одномерного скорость роста средних размеров диффузионного пятна уменьшается в два раза [8]).

Однако интенсивность конвекции в плоском горизонтальном слое можно уменьшить путем использования закрытой ячейки, которая позволяет увеличить диссипацию конвективных потоков за счет дополнительного трения о верхнюю стенку ячейки. Кроме того, благодаря наличию верхней стенки сводятся на нет возможные поверхностные механизмы генерации конвективных потоков. Конвекцию можно также ослабить уменьшением толщины слоя жидкости.

Цель данной работы — выявить условия, при которых можно наблюдать процессы молекулярной диффузии в жидких средах в отсутствие других эффектов.

В связи с поставленной целью было необходимо экспериментально исследовать за-

с

висимость скорости массопереноса красителя в плоском горизонтальном слое жидкости от его толщины и найти пороговое значение толщины слоя, при котором конвективные процессы пренебрежимо малы.

Описание эксперимента

Для проведения опытов было изготовлено пять закрытых и одна открытая ячейка, все с горизонтальными размерами 5 х 5 см. Открытая ячейка была склеена эпоксидной смолой из стеклянного основания и стеклянной рамы толщиной 2,5 мм.

Закрытые ячейки (рис. 1) были склеены из трех частей: стеклянного основания 1, рамы 2, стеклянной крышки 3, для чего использовался циноакрилатный клей («суперклей»). Ячейки отличались толщиной рам, изготовленных из нескольких слоев самоклеящейся полиэстеро-вой пленки ЮМОМБ 2800003 (толщина 100 мкм). Контроль толщины рамы осуществлялся микрометром. Таким образом, можно было изменять высоту слоя жидкости; она составляла в закрытых ячейках 0,5, 0,7, 1,0, 1,4 и 2,0 мм. В стеклянной крышке каждой ячейки было просверлено пять отверстий диаметром 2 мм: четыре по краям и одно в центре. Это необходимо для того, чтобы избежать неполного заполнения ячейки жидкостью вследствие возникновения капиллярных эффектов, препятствующих вытеснению воздуха. Жидкость постепенно вводилась в ячейку с помощью шприца сначала в отверстия по краям, а затем — в центральное.

Для наблюдения поля концентрации использовалась установка (рис. 2), состоящая из штатива 2 (установленного на лабораторном столе 1), на котором последовательно закреплялись источ-

Рис. 1. Составные части закрытой ячейки: 1 — основание, 2 — рама, 3 — крышка с отверстиями

Рис. 2. Экспериментальная установка для исследования массопереноса: 1 — лабораторный стол, 2 — штатив, 3 — светорассеива-ющий экран, 4 — измерительная ячейка, 5 — цифровой фотоаппарат, 6 — источник света

ник света 6, полупрозрачный светорассеивающий экран 3, ячейка 4, цифровой фотоаппарат 5.

В качестве источника света использовался сверхъяркий белый светодиод 3НРБ-3 со световым потоком 150 лм, в качестве экрана — два листа молочного светорассеивающего стекла толщиной 3 мм каждое.

Методика обработки экспериментальных данных

Способ измерения поля концентрации подробно описан в работах [6, 9] и основан на зависимости яркости окрашенного раствора от его массовой концентрации. В экспериментах в качестве диффузанта использовался алый тканевый краситель, в качестве растворителя — дистиллированная вода. На рис. 3 показаны зависимости относительной яркости 6Б раствора от концентрации с в координатах «с — ЬБ» для различных ячеек. Кривые для значений толщины 0,7 и 1,4 мм расположены в области более низких диапазонов яркости, так как при фотографировании данных ячеек помещался другой фоновый объект, относительно которого измерялась яркость раствора. Для открытой ячейки толщиной 2,5 мм была использована градуировочная кривая

деленные на среднюю концентрацию, равную 0,05 %, составили не более 12 %.

Для измерения скорости массопереноса капли красителя в плоском слое воды в центр ячейки помещались равные по площади капли 0,1 %-го раствора алого тканевого красителя, и процесс роста диффузионного пятна фотографировался в течение примерно 30 — 60 мин. С одной стороны, за время более 60 мин, при наличии конвекции, пятно успевает достичь границ ячейки и изменить свою форму, с другой, — в отсутствие конвекции данное время оказывается более чем достаточным для визуального и фотографического подтверждения диффузионного хода процесса (диффузия идет на порядки медленнее). Таким образом, съемка продолжительностью более часа не имела смысла.

Для количественной оценки скорости массопереноса нами применялась методика отслеживания эволюции размеров диффузионного пятна. В качестве характерного размера использовался средний радиус пятна г , определяемый путем усреднения по площади кадра с весами, равными значению концентрации в заданных точках:

ЕЕ 1

1

c • Г-

j j

Рис. 3. Зависимости концентрации от относительной яркости раствора красителя в открытой (а) и закрытых (б) ячейках. Толщина ячейки, мм: 0,5 (1), 0,7 (2), 1,0 (3), 1,4 (4), 2,0 (5); 2,5 (6)

с(5В) = 0,193 ехр(-5,172 • 5В) %,

где концентрация раствора представлена в процентах.

Для закрытых ячеек толщиной 0,5, 0,7, 1,0, 1,4, 2,0 мм были использованы следующие аппроксимирующие кривые соответственно:

с(5В) = -0,2831п(0,407 -5В) %,

с(5В) = -0,10Ш(0,972 -5В) %,

с(5В) = -0,1791п(0,429 -5В) %,

с(5В) = -0,068^(1,05-5В)%,

с(5В) = -0,1161п(0,443 -5В) %.

При этом ошибки, вычисленные как среднеквадратичные отклонения экспериментальных зависимостей от аппроксимирующих кривых,

r =-

ЕЕ c

(1)

где i = 1,2,..., N (N— размер ячейки в пикселях изображения), cij — массовая концентрация в точке (/, j), Гу — расстояние от центра пятна до точки (/, j).

Автоматизированное приложение по обработке фотографий с целью получения зависимости среднего радиуса от времени было реализовано на языке программирования C++ с применением параллельной обработки данных. Среднее время обработки кадра размером порядка 1 млн. кв. пикселей на персональном компьютере с характеристиками RAM: 2ГБ DDR2-800, CPU: DualCore Intel Pentium E5200, 2500 МГц составляло около 3 с.

В нашей работе [6] для описания процесса диффузии от капли красителя использовалась модель с точечными начальными условиями в безграничной плоской области. В этом случае средний радиус плоского диффузионного пятна зависел от времени следующим образом:

r = J r ra(r ,t )dr =

C/Cn,

œ r 2

(2)

= j exp (-r 2/4Dt ) dr = 4bDt.

r =

yJrf+KDt

(3)

При r0 ^ 0 формула (3) переходит в (2). Из выражения (3) получаем:

0,S

04

При сравнении теоретического среднего радиуса, выраженного формулой (2), и экспериментального, рассчитанного по формуле (1), в нашей работе было обнаружено значительное отклонение от диффузионного хода процесса. Ввиду недиффузионных эффектов оценочное значение коэффициента диффузии превысило более чем на порядок истинное, измеренное с помощью разработанного нами способа [7].

В реальных экспериментах, даже при использовании шприцев с объемом менее 1 мл, очень сложно создать точечные начальные условия. Реальный начальный размер капли составлял примерно 1/10 от характерного линейного размера ячейки. В связи с этим более точным было бы использование теоретической модели, учитывающей конечность начальных размеров диффузионного пятна. При введении капли она неизбежно размывается, и, согласно нашей модели, мы будем ее аппроксимировать Гауссовым пятном. Для проверки адекватности данного приближения был получен профиль концентрации в начальный момент времени (рис. 4) для ячейки толщиной 2 мм. Точность аппроксимации составила 16 %.

При этом поле концентрации является решением следующей граничной задачи:

г 2п

— = ЛДе, е{т,1 = 0) = е0е г°4 ,

# 0

е(г ) = 0 ,

где г0 , с0 — начальный средний радиус пятна и концентрация красителя в центре пятна.

За время наблюдения около одного часа пятно не успевает достичь границ ячейки, поэтому можно не учитывать границы ячейки и задавать граничные условия на бесконечности. В работе [10] нами показано, что в данном случае

J

0 0,02 0,04 0,06 г, см Рис. 4. Начальный профиль концентрации красителя в ячейке толщиной 2 мм: 1 — экспериментальный, 2 — аппроксимированный функцией Гаусса

r 2 - r02 =%Dt

(4)

Путем сравнения экспериментальной зависимости разницы квадратов среднего радиуса и начального среднего радиуса с линейной теоретической зависимостью (4) можно по сходимости/расходимости кривых судить о наличии недиффузионных эффектов, а также оценить эффективный коэффициент диффузии, который будет описывать скорость массопереноса.

Анализ и обсуждение экспериментальных результатов

В работе [6] нами было доказано наличие конвективных эффектов при массопереносе капли красителя в плоской открытой ячейке. Наличие верхней крышки ячейки и уменьшение толщины слоя должно неизбежно привести к более быстрому затуханию конвективных потоков. Верхняя граница также приводит к блокировке механизма генерации конвекции Марангони [11] ввиду отсутствия у жидкости свободной поверхности.

Заметим, что в нашей задаче возможна тепловая естественная конвекция, которая возникает за счет вертикального перепада температур на верхней и нижней крышках ячейки при освещении ее снизу сверхъярким светодиодом. Тепловую конвекцию можно охарактеризовать числом Рэлея [8]:

R =

g-p-AT • h3

vx

где g — ускорение свободного падения, ДТ — характерный перепад температуры, к — тол-

0

щина плоского слоя жидкости, v — кинематическая вязкость жидкости, х — температуропроводность жидкости.

В работе [12] показано, что в плоском слое жидкости конвекция возникнет при числе Рэлея, большем критического значения Ra = 1708.

Определим значение Ra для нашего случая. В ходе эксперимента нижняя часть ячейки нагрелась по сравнению с начальным моментом на 0,25 °С (измерения проводились алюмель-хромелевой термопарой, холодный спай которой помещался в термостат с температурой 0 °С). Оценим по этому максимальному перепаду температуры число Рэлея при температуре 20 °С в закрытой ячейке с толщиной слоя 2 мм:

ß = 0,182•10"3K"1, AT = 0,25 K , h = 2-10"3м ,

2 2

v = 1,0019-10"6 —, x = 1,43-10"7— [13]. с с

Число Рэлея оказалось равным 25. Это значение много меньше порогового, необходимого для возникновения тепловой конвекции в ячейке, поэтому в условиях нашей задачи тепловую конвекцию можно не учитывать и основным механизмом генерации конвекции останется концентрационная конвекция, вызванная силой плавучести, возникающей в поле тяжести вследствие неоднородности концентрации по вертикали.

В экспериментах будем измерять скорость массопереноса в зависимости от толщины слоя. Однако на скорость массопереноса влияет не только толщина ячейки, но и вязкость жидкости, коэффициент диффузии и другие факторы. Поэтому удобнее в данном случае оперировать безразмерным параметром, который зависит от толщины слоя и характеристик среды. Можно провести прямую аналогию между тепловой конвекцией в плоском слое, которая вызывается вертикальным градиентом температуры, и концентрационной конвекцией.

На рис. 5 показана зависимость плотности водного раствора красителя от его концентрации. Плотность измерялась с помощью пикнометра и электронных весов. По аналогии с коэффициентом теплового расширения [8] можно ввести коэффициент концентрационного сжатия

Р = ^В. 1.

8c р

Концентрация основного объема плоского слоя жидкости близка к нулю, поэтому для нашей задачи

= 0,039-!.

8с р(с = 0) %

Сама среда будет характеризоваться числом Шмидта (оно определяет относительную интенсивность процесса переноса импульса и массопереноса) [14]:

0,0!

9 ---sc - - -

= 6250,

(6)

В 0,!6-!0"5 где V — кинематическая вязкость жидкости (в нашем случае воды); коэффициент диффузии был определен ранее в работе [6]).

Концентрационная конвекция характеризуется диффузионным аналогом числа Рэлея [8]:

g-р-Дс • И3

Rd

vD

(7)

где Дс — характерный перепад концентраций.

Здесь мы пренебрегаем зависимостью вязкости раствора от концентрации красителя, поскольку использованный нами краситель не является поверхностно активным веществом и были использованы малые (менее 0,1 %) концентрации раствора. В отличие от стационарной тепловой конвекции, которая поддерживается за счет внешних источников тепла, конвекция в нашей ячейке будет иметь диссипативный характер, так как вертикальный градиент концентрации не будет постоянным. Это связано с отсутствием постоянных источников концентрации, поэтому использование числа Рэлея в

рл.'О'.Г" 1,004

1,002

1,001

® 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 с, %

Рис. 5. Экспериментальная зависимость плотности раствора красителя от его концентрации

Рис. 7. Зависимость эффективного коэффициента диффузии от диффузионного числа Рэлея в закрытой ячейке: точки — эксперимент (см. таблицу), пунктир — линейная аппроксимация

Рис. 6. Эволюция средних размеров окрашенного пятна в открытой (а) и закрытых (б) ячейках; сплош-

Рис. 8. «Стоп-кадры» процесса массопереноса

ные линии — эксперимент, пунктиры — теоретические в ячейке с водой от капли красителя: а, б — началь-

зависимости, учитывающие только диффузию. Нумерация кривых соответствует данной на рис. 3

ный этап; в, г — через 45 минут; толщина закрытой ячейки, мм: 2 (а, в), 1 (б, г)

данном случае несколько условно. При значении числа Рэлея, меньшем некоторого критического, в ячейке не будет возникать конвекция.

Нами был исследован массоперенос капли красителя в открытой ячейке с толщиной слоя 2,5 мм и в закрытых ячейках толщиной 2,0, 1,4, 1,0, 0,7, 0,5 мм. Начальная концентрация капли составляла 0,1 %. На рис. 6 представлены _2 2

зависимости г - г0 от времени. Данные экспериментальные кривые были аппроксимированы зависимостью (4) с помощью метода наименьших квадратов. В ходе аппроксимации были определены эффективные коэффициенты диффузии (см. таблицу).

Приведенные данные позволяют утверждать, что с течением времени все зависимости стремятся к линейной (см. формулу (4)), харак-

терной для молекулярной диффузии, так как конвекция в ячейке носит затухающий характер ввиду отсутствия источников, поддерживающих перепад концентрации.

На рис. 7 представлен эффективный коэффициент диффузии как функция от кубического корня из числа Рэлея. Видно, что данная зависимость линейна (точность линейной аппроксимации экспериментальных результатов составляет 5 %). Отметим, что на практике не будет наблюдаться бесконечный рост эффективного коэффициента диффузии, так как при увеличении толщины слоя перестает быть справедливой двумерная модель, использованная для описания процесса. На рис. 8 наглядно продемонстрировано убывание скорости массопереноса с уменьшением толщины слоя жидкости (видно, что пятно красителя растет медленнее в более тонкой ячейке).

Результаты определения эффективного коэффициента диффузии красителя в горизонтальном слое воды

Ячейка R» 104 De, 10-5 см2/с

Тип Толщина, мм

Открытая 2,5 37 11,2

Закрытая 2,0 19 11,6

1,4 6,6 8,2

1,0 2,4 5,5

0,7 0,8 2,8

0,5 0,3 1,8

О б о з н а ч е н и е: RD — диффузионный аналог числа Рэлея (см. формулу (7)).

Из данных на рнс. 7 и таблицы видно, что с уменьшением диффузионного аналога числа Рэлея интенсивность массопереноса капли раствора красителя в плоском слое жидкости падает. При значении числа Рэлея, меньшем 3000, конвективные эффекты практически отсутствуют, что подтверждается линейностью зависимости квадрата среднего радиуса от времени (см. рис. 6,6). Дальнейшее уменьшение

числа Рэлея приведет к полной блокировке конвекции. Таким образом, при малых значениях числа Рэлея можно успешно проводить исследование процессов молекулярной диффузии в горизонтальной ячейке.

Авторы выражают благодарность доктору физ.-мат. наук, профессору М.А. Марценюкуза ценные консультации и помощь в подготовке статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dix, J.A. Crowding effects on diflusion in solutions and cells [Text] / J.A. Dix, A.S. Verkman / Annu. Rev. Biophys. - 2008. - Vol. 37. -P. 247 - 263.

2. Verkman, A.S. Solute and macromolecule diflusion in cellular aqueous compartments [Text] / A.S. Verkman // Trends Biochem. Sci. - 2002. -Vol. 27. -P. 27 - 33.

3. Лобанов, А.И. Математические модели биологических систем, описываемые уравнениями «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-конвекция» [Текст] : дис. ... докт. физ.-мат. наук / Лобанов Алексей Иванович. - М.: МФТИ, 2001. -236 с.

4. Burghardt, A. Mass transfer by diflusion [Text] / A. Burghardt. - Oxford, UK: Eolls - Elsevier Publishers, 2008. - P. 1 - 74.

5. Овчинников, A .A. Кинетика диффузионно-контролируемых химических процессов [Текст] / А.А. Овчинников, С.Ф. Тимашев, А.А. Белый. - М.: Химия, 1986. - 288 с.

6. Марценюк, М.А. Анализ процесса диффузии окрашенных веществ в плоском слое жидкости по данным цифровой фотосъемки [Текст] / М.А. Марценюк, М.С. Скляренко // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. -2010.- № 3 (104).- С. 125-133.

7. Пат. RU 2398214 C1 Российская Федерация, G 01 N 13/00 G 01 N 15/10 G 01 N 21/59. Способ определения коэффициента диффузии окрашенных растворов и установка для его осуществления [Текст] / М.С. Скляренко, М.А. Марценюк; заявитель

и патентообладатель ГОУ ВПО Пермский гос. ун-т. № 2009119299/28; заявл. 21.05.2009, опубл. 27.08.2010, Бюл. № 24. - 10 е.: ил.

8. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика [Текст]: Учеб. пос. для вузов. В 10 тт. Т. 6. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — М.: Физматлит, 2006.-736 с.

9. Скляренко, М.С. Методы компьютерного видения в физическом эксперименте [Текст] / М.С. Скляренко // Вестн. Перм. ун-та. —2007.— Вып. 10(15). Информационные системы и технологии. — С. 85 — 93.

10. Красноперое, Я.И. Исследование зависимости скорости массопереноса красителя в плоском слое жидкости от толщины слоя методом цифровой фотосъемки [Текст] / Я.И. Красноперов, М.С. Скляренко // Вестн. Перм. ун-та.—2011.—Вып. 10(15). Информационные системы и технологии. — С. 29 — 34.

11. Зуев, А.Л. Особенности концентрационно-ка-пиллярной конвекции [Текст] / АЛ. Зуев, КГ Коста-рев // УФН.—2008.—Т. 178.— Вып. 10.— C. 1065 — 1085.

12. Гершуни, Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости [Текст] / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. —М.: Наука, 1972. —392 с.

13. Таблицы физических величин [Текст]: Справочник / Под ред. акад. И.К. Кикоина. — М.: Атомиз-дат, 1976. — 1008 с.

14. Лыков, A.B. Теория тепло- и массопереноса [Текст] / A.B. Лыков, Ю.А. Михайлов. — М.,Л.: Госэнергоиздат, 1963. —536 с.