CC BY
31
экономичный метод вычисления коэффициентов
поперечных аберраций третьего и высших порядков
А.В. Иванов
В статье описан метод расчета аберрационных коэффициентов центрированных оптических систем, основанный на интерполяции данных расчета поперечных аберраций различных порядков. Метод отличается высокой экономичностью, простотой, а также высокой точностью, позволяющей использовать степенной базис при аппроксимации.
В работе [1] предложен эффективный способ расчета составляющих поперечных аберраций различных порядков центрированных оптических систем, основанный на прогонке так называемых псевдолучей [2-4]. Однако для оценки качества коррекции часто требуются не сами значения аберраций, а коэффициенты их разложения в степенные ряды по относительным зрачковым и полевой координатам. Поэтому преимущества подхода с использованием псевдолучей в значительной степенью теряются.
С целью устранения отмеченного недостатка можно воспользоваться методом интерполяции по результатам расчета нескольких псевдолучей. Метод интерполяции, как известно, сводится к решению системы линейных уравнений [5]:
AX = F (1)
где А - конструкционная матрица, элементы которой зависят от базиса разложения аберраций и от выбора узловых точек на зрачке и поле (здесь и далее предполагается, что входной и выходной зрачки оптической системы определены в соответствии с [6]); F - значения аберраций в узловых точках; X - неизвестные коэффициенты интерполяции. Очевидно, что точность и трудоемкость нахождения X обусловлены принципами построения А. Как ни странно, анализ этих принципов не получил должного освещения в литературе. Лишь в работе [4] описан несложный, но трудоемкий прием определения неизвестных в (1). Он состоит в приведении системы (1) к простому, легко разрешаемому виду за счет прогонки избыточного числа псевдолучей со специально подобранными координатами.
Рациональный способ интерполяции, конечно, должен обеспечивать разбиение системы уравнений на несколько элементарных подсистем возможно меньшей размерности: это позволяет получить максимальную точность вычислений и упростить решение уравнений. Но в то же время повышение точности не должно осуществляться посредством увеличения числа рассчитываемых псевдолучей, т. е. за счет повышенной трудоемкости процесса.
Ниже мы приводим в некотором смысле оптимальную схему интерполяции, отвечающую обоим противоречивым требованиям.
Введем декартовы системы координат на зрачке и предмете подобно тому, как это сделано в работе [4].Обозначим через рх, ру - относительные зрачковые, а через H -
относительную предметную координаты. Рассмотрим разложение поперечных аберраций центрированной оптической системы по степенному базису при фиксированной длине волны [4]:
Sy = е? + sf + sf + е?> +...; е = ^ + sf + sf + sf +...;
47) = Tp6py + r2 h p6 + T h pv2 + t^ h V4 + T5 h 2рлру + T h 2p2pl +
+T H 3p4 + T8 H3p2p2y + T9 H3p2p2y + Tw H 3p; + Tu H 4p2py + T12 H 4pJ +
+Ti3 H 4p2py + T4 H 4py + T1S H 5p2 + Tl6 H 5p2y + TX1H 5p2y + T18 H 6py +
+T19 H 6py + T2, H1;
s^ = Gp; sf = Pip2px + P3HpxPy + PsH2px;
sf = SpApx + S3 H p2px py + Ss H 2p2px + S6 H 2px p2 + S9 H ърх py + S11H Apx; sf = TiP6Px + T3 H p*pxpy + ts H 2p*px + T6 H 2p2pxp2y + T9 H3p2pxpy +
+TW H3ppy + T13 H Wx + T14 H 4px p + Ti7 H 5px py + T19 H6 px где p2 = p2x + p2; sy, sx - меридиональная и сагиттальная составляющие поперечных аберраций; G1,G2,P1,...,P6,S1,...,S12,T1,...,T20 - коэффициенты аберраций. Из разложения (2) следует, что для интерполяции невыгодно использовать меридиональные лучи ( p% = 0), поскольку в этом случае sx = s(1 = s(x) = s(x)... = 0 и теряется часть уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов. Напротив, расчет нескольких сагиттальных лучей (H ф 0, py = 0 ) оказывается чрезвычайно полезным, так как позволяет определить ряд неизвестных из систем уравнений малой размерности. Например, для коэффициентов 7-го порядка имеем:
(px) (Tp6 + ts H pi + T13 H p2 + T19 H6) = sspx
H (T2p6 + T7 H pi + ts Hi p2 + T19 H6) = s )t
где i - индекс псевдолуча. Выразив часть переменных из уравнений типа (3), найдем оставшиеся коэффициенты сагиттальной составляющей аберраций. С этой целью осуществим расчет «косых» псевдолучей (py ф 0, px ф 0, H ф 0). Соотношения для s((7"> дают:
p )i (py \нг vp + T6 Hp2(py )i + T9 H2p2 + T10 H2(py )2 +
+T14Hp )i + T17Hi) = (sxpx
?(1) \ (T Л ^T u2 ^т и4 Л ^T u6 s
(4)
где = р ) ТР + Т5 Н2р4 + Т1з Н4Р2 + Т19 Н6) .
Систему типа (4) можно разбить во всех порядках на две подсистемы за счет прогонки симметричных относительно сагиттальной плоскости «косых» псевдолучей. Например, для 7-го порядка имеем:
2(Ру )2 (Рх X Н2 (Т6р2 + Т14 Н2) = (еХР ) + Х)+1 - 2^(1) (5)
причем (ру х = -(ру (Рх х = (Рх Х^ Нг = Нг+1.
С учетом (5) коэффициенты Т3, Т9, Т10, Т17 находятся из (4) путем решения системы 4 уравнений с 4 неизвестными:
(Рх ) (Ру )Н (ТзР4 + Т9 Н2 р2 + То Н2(ру )2 + Т17Н) = (еп\ -^г(2) (6)
где = (Ру )2(Рх )1Н2(Т6р2 + Т1АН2).
Последний способ разбиения систем уравнений, на который мы обратим внимание, характерен для аберраций 9-го и более высоких порядков. Здесь возникает ситуация, когда пары неизвестных имеют постоянные коэффициенты, отличающиеся только степенью координаты Н. Положив Н = 1, мы можем сначала найти значения сумм этих неизвестных из систем уравнений уменьшенной размерности, а затем определить и значения самих слагаемых с помощью оставшейся части уравнений с измененной величиной Н.
Получив все коэффициенты, описывающие сагиттальные составляющие аберраций, можно перейти к отысканию оставшейся части X по выражениям для s(y \ Sy5\ s(p,.... Набор псевдолучей, выделенный ниже, позволяет и в этом случае произвести значительные упрощения систем уравнений. Максимальный размер обращаемых при интерполяции матриц равен: 3 - при нахождении коэффициентов 5-го порядка, 4 - при нахождении коэффициентов 7-го порядка, 5 - при нахождении коэффициентов 9-го порядка. Это гарантирует хорошую обусловленность матриц [7], а, следовательно, высокую точность метода при минимально допустимом количестве рассчитываемых псевдолучей, которое определяется уже самой задачей.
Представляет интерес выбор ненулевых узловых значений координат псевдолучей. Рассмотрим его на примере отыскания коэффициентов аберраций до 9-го порядка включительно. Оказывается, что все матрицы, подлежащие обращению при интерполяции, могут быть приведены либо к диагональному, либо к универсальному виду:
C = {(ег)j}j j = 0,1,...,n (7)
где n < 4, а под символом Cj понимается координата рр . Матрица С обладает спецификой [8] и может быть обращена аналитически, что дает возможность добиться еще более высокой точности нахождения коэффициентов.
Набор псевдолучей, позволяющий привести конструкционные матрицы интерполяции к виду (7), описан в таблице 1. В этой таблице cos 0 = 1 - (рх / р)2 .
Координата Порядок аберраций
3 5 7 9 1 1 ' 1 ^ 5, 7, 9 7, 9 9
H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C1 C2
р2 C1 C2 C1 C3 C1 C2 C4 C2 C3 C4 C5 C3 C4 C1 C2
cos0 0 0 C1 0 -C1 C2 0 -C2 C3 C4 0 -C3 -C4 C1 C2
Таблица 1. Входные координаты псевдолучей, используемых при вычислении коэффициентов аберраций: Н - предметная координата; р2, cos0 - зрачковые
координаты
Что касается выбора самих значений С1 , то для улучшения свойств матрицы С целесообразно положить их равными корням ортогональных полиномов [5], скажем, полиномов Лежандра или Чебышева, на отрезке [0; 1].
Описанный способ нахождения коэффициентов поперечных аберраций обладает низкой трудоемкостью по количеству рассчитываемых псевдолучей, высокой точностью (эта точность позволяет использовать степенной базис интерполяции как наиболее экономичный с точки зрения «восстановления» аберраций) и удобством использования на компьютере.
Немаловажным фактором является и то, что его очень просто обобщить на случай вычисления хроматических аберраций. Пусть (ах )Л., (ау )Л., . = 0,1, 2 - составляющие
поперечных аберраций на длине волны Л.. Тогда для расчета коэффициентов первичного хроматизма нужно при интерполяции вместо ех, еу использовать разности (ех )Л2 - (ех )Л1, (8У )Л2 - (£у )Л1, а для расчета коэффициентов вторичного хроматизма -
использовать °,5[0х )Л2 + (ах )Л1] - (ах )Л0 и 0,5[Оу )Л2 + )Л1] - )Л0. В остальном схема интерполяции полностью сохраняется.
Литература
1. Иванов А.В. Применение метода «псевдолучей» при автоматизированном синтезе оптических систем // Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1986. № 3. С. 79--83.
2. Cox A. A system of the optical design. London: Focal, 1964. P. 175-181, 231-233.
3. Hopkins G.W. Proximate ray tracing and optical aberration coefficients // J. Opt. Soc. Am. V.66. №5. P. 405-410.
4. Hopkins G.W. Proximate ray tracing and wave aberration coefficients // J. Opt. Soc. Am. V.66. №9. P. 942-949
5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.
6. Вычислительная оптика: Справочник / Русинов М.М., Грамматин А.П., Иванов П.Д. и др. / Под общ. ред. Русинова М.М. Л.: Машиностроение, 1984. 423 с.
7. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. 304 с.
8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. 432 с.
