CC BY
58
СВОЙСТВА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ДЕЦЕНТРИРОВАННЫЕ ПЛАНОИДНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ОБЛАСТИ АБЕРРАЦИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
С.А. Чупраков (Институт солнечно-земной физики СО РАН) Научный руководитель - д.т.н., профессор М.Н. Сокольский
Конечная децентрировка центрально-симметричных планоидных элементов возникает в оптических системах, являющихся чисто зеркальными аналогами систем, содержащих преломляющие корректоры Шмидта. Нулевая и близкая к нулевой оптическая сила планоидных поверхностей позволяет применить при расчете таких систем теорию аберраций третьего порядка. Показано, что соответствующая модификация зрачковых координат при основном коррекционном параметре планоидной поверхности в выражениях для меридиональной и сагиттальной составляющих позволяет количественно и качественно оценить геометрические аберрации. Приведены примеры расчетов систем с зеркальным планоидным элементом во входном зрачке и вблизи фокальной плоскости. Рассмотренный метод позволяет рассчитать величину основного коррекционного параметра планоидной поверхности для минимизации специфических аберраций в центре поля зрения в системах с децентрированным планоидным зеркалом во входном зрачке, а также практически полностью исправить аберрации децентри-ровки в центре поля зрения с помощью второго планоидного зеркала.
Существующие внеосевые оптические системы можно разделить на несколько разновидностей по степени децентрировки, типам применяемых оптических поверхностей и геометрической компоновке. Эти ключевые свойства обусловливают характер аберраций и методику расчета децентрированных систем. Оптические системы с конечными децентрировками элементов отличаются от систем с малыми децентрировка-ми и систем с децентрировкой входного зрачка значительной величиной и особым характером аберраций. Расчет таких систем производится с помощью коэффициентов аберраций четных порядков - второго, а в некоторых случаях и четвертого.
Особым случаем среди систем с большой децентрировкой являются системы, в которых децентрированы оптические поверхности малой оптической силы. Примером являются коррекционные поверхности Шмидта - преломляющие и отражающие, часто называемые планоидными поверхностями или планоидами. Случай конечной децентри-ровки (как правило - разворота планоидной поверхности вокруг вершины) возникает для зеркальных планоидов, установленных в произвольном месте оптической системы.
Учитывая малую оптическую силу планоидной поверхности, наиболее удобным методом таких исследований является использование коэффициентов аберраций третьего порядка. Следуя общепринятой терминологии [2], коэффициенты третьего порядка поверхности могут быть выражены через параметры Р, W, п и Ь. Планоидная поверхность отличается тем, что может иметь произвольные значения параметра Рр -«коррекционной силы».
Рр * 0, Жр = 0, Пр = 0, Ьр = 0. (1)
Существует также подход к заданию планоидной поверхности с помощью конечного радиуса кривизны при вершине г0р и коэффициента асферичности Ьр. Значение радиуса кривизны при вершине планоидной поверхности зависит от положения «нейтральной зоны» [2] планоидной поверхности. Однако такое представление менее удобно, так как сильная зависимость коррекционного параметра Рр одновременно и от оптической силы, и от «асферичности» планоидной поверхности значительно усложняет расчеты. Рассмотренная особенность выражений для коэффициентов третьего по-
рядка систем с зеркальными планоидными элементами позволяет описывать аберрации, не прибегая к введению новых коэффициентов, которые бы зависели от параметров ориентации зеркальной планоидной поверхности относительно оси системы - положения центра поверхности и угла поворота нормали к вершине поверхности.
Как известно, выражения для геометрических аберраций третьего порядка оптической системы при а/=0, а= 1, ^=-1 (предмет находится в «бесконечности», входной зрачок совпадает с первой поверхностью), согласно [1], можно представить в следующем виде:
т1 (т12 + М2) Эт2tgа + М12tgа + 2т1М^О — 2ое _---о +--С +
I2 I
+ (т^ 2 а + т^2 О + 2 М 1tgаtg о)) + + (т^2 а + m1tg2 о) + 2 а + tg2 о)
М2 (т2 + М2 ) о 3М2tgО + т2tgО + 2т2М^а
(2)
- 2SO' = "^ 1 vj ' ^ 1 'S + ' 16 с + f2 f
+ (зм ¿g2 Q + M jtg2 rn + 2 mjtgatg Q )a + + (м jtg 2 a + M jtg2 q) + ftg q((2 a + tg2 q)) В выражениях (2) ш и Q - углы предметного луча соответственно в меридиональной и сагиттальной плоскостях. Воспользовавшись выражениями (4) и представляя коэффициенты аберраций третьего порядка как суммы коэффициентов элементов системы, не содержащих планоидных поверхностей, и соответствующие коэффициенты пла-ноидных поверхностей, можно переписать выражения для зрачковых координат, учитывая параметры децентрировки. В интересующем нас случае поворота планоидной поверхности на угол 9 в меридиональной плоскости и угол 0 в сагиттальной плоскости m, = m, cos 9+ M, cos 0 sin 9
1 1 ~ 1 . (3)
Mj = M, cos 0
В случае смещения центра планоидной поверхности в меридиональном и сагиттальном направлении соответственно на величины Ax и Ay m, = m, + Ax
— 1 . (4) M1 = M1 + Ay w
В случае поворота одной планоидной поверхности в меридиональной плоскости выражения (2) примут следующий вид:
- 2Sg '= m 1(m 1 + M1)S0 + k m1(m1 + M1)Sp +
f 0 f P
+ 3mj2tga + Mj2tga + 2mjM jtgQ + 3mjtga + M 2tga + 2mjM jtgQ + + f 0 + f P + + (зm^g 2a + mjtg 2Q + 2M jtgatgq)ao + k((3mjtg 2a + mjtg 2Q + 2M jtgatgQ)Ap +
+ (mjtg 2a + m1tg 2Q ) + ftg a (tg 2a + tg 2q)d0 + kD p )
- ж ■ = M&L+Mñ S о + kM ■ f M■') 0 p +
3M2tga + m.2tga + 2mjMJga ^ , 3M2tga + mjtga + 2mjMJga ^ ...
+-—-—-1——— C0 + k-—-—-1——— Cp + (5)
f f P
(3M jtg2 a + M jtg2 a + 2mjtgatgO)A0 + k (3M jtg2 a + M jtg2 a + 2m1tgatgQ)Ap (M jtg2 a + M jtg2 Q)A + ftg q( 2a + tg2 q)(D о + kDp )
+
Значения £р, Ср, Ар и Бр вычисляются для каждой планоидной поверхности. Например, в системе «зеркальный Райт» [3] с главным зеркалом с квадратом эксцентри-
ситета е2:
о V1 "г е /
8р =. (6)
(2) 4
Коэффициент к в выражении (5) выбирается для минимизации разностей: Дтх = тх - Шх
~ . (7)
ДМх = мх - мх '
Если планоид наклонен в одной плоскости, например в меридиональной (9^1, 0=1^, для минимизации Дт1 необходимо, чтобы коэффициент к удовлетворял условию Дт1=ДМ1. Учитывая (3), можно показать, что
к = 2
соб0( + собЯ) (8)
Точность представления аберраций будет проиллюстрирована ниже для трех оптических систем, зеркальные планоиды в которых наклонены на конечные углы. К сожалению, ограниченный объем публикации не позволяет привести здесь результаты аналогичных численных экспериментов для смещенной планоидной поверхности.
Первая система представляет собой зеркальный аналог системы Райта с главным зеркалом е2<-1 и наклонным зеркальным планоидом, установленным во входном зрачке. При расчетах приняты следующие параметры системы: Б=155 мм, /=720 мм, е2=-1.3, расстояние между зеркалами ^=-610 мм, поле зрения 2ш = 1°. Точечные диаграммы системы показаны на рис. 2. Здесь, как и на последующих аналогичных рисунках в двух (на рис. 6 - трех) верхних рядах показаны аберрационные кривые, рассчитанные по формулам (5) с учетом (3) и (8), а в двух (на рис. 6 - трех) нижних рядах -точечные диаграммы, рассчитанные методами аналитической геометрии. На всех рис. 2, 4 и 6 масштабы согласованы (длина стороны квадрата равна длине вертикальной масштабной линии).
Рис. 1. Система «зеркальный Райт» с наклонным планоидом во входном зрачке
В качестве второго примера рассмотрим систему Ричи-Кретьена (см. рис. 3), в которой наклонный центральносимметричный зеркальный планоид, установленный вблизи фокальной плоскости, используется для коррекции астигматизма. Диаметр входного зрачка 155 мм,/=1317 мм (относительное отверстие А=1:8.5). Планоидное зеркало наклонено на 16 ° к оси двухзеркальной системы и установлено на расстоянии 55 мм //23.9) от фокальной плоскости. Точечные диаграммы системы показаны на рис. 4.
Г)
ж)
Уч.,.. .-.-V
к)
д)_
з)
л)
е)
и)
^йнйИгО
5?
у
м)
Рис. 2. Точечные диаграммы системы «зеркальный Райт», рассчитанные по формулам (5) (два верхних ряда), и методами аналитической геометрии (два нижних ряда). а,ж) ю=0.5°, 0=0° ; б,з) ю=0.35°, 0=0.35° ; в,и) ю=0°, 0=0.5° ; г,к) ю=-0.35°, 0=0.35° ;
д,л) ю=-0.5°, 0=0° ; е,м) ю=0°, 0=0°
Рис. 3. Ричи-Кретьен с предфокальным корректором астигматизма
Как можно видеть из рис. 4, предлагаемый метод применим в случае произвольного расположения децентрированной планоидной поверхности в системе.
Рассмотренные свойства выражений для коэффициентов аберраций третьего порядка планоидных поверхностей позволяют подтвердить интуитивное предположение о возможности компенсации аберраций децентрировки на оси системы, содержащей наклонное планоидное зеркало, с помощью второго наклонного планоидного зеркала с тем же параметром Pp, плоскость наклона которого перпендикулярна. Параметр Pj/2 каждого из планоидов должен быть при этом равен половине параметра Pp эквивалентного планоида, исправляющего сферическую аберрацию последующей оптической системы:
Р Pp
Р1/2 = у. (9)
Углы наклона обоих зеркал в перпендикулярных плоскостях также одинаковы:
9 = 0 = i, (10)
где 9 - угол наклона первого планоида в меридиональной плоскости, а 0 - угол наклона второго планоида в сагиттальной плоскости. Согласно (9) и (10), функции зрачковых координат при коэффициенте сферической аберрации в этом случае будут иметь вид
/ 2 2 2 \ I 2 2 2 \
„ „ , , m, cosilm, cos i + M, I „ , m, lm, + M, cos
— 2Sg ' = --^ SpI — к -2-SpII =
2 f p 2 f2 p
m, (( + cos3 i) + cos i( + cos i M\M
= —k-^-S ,
2f2 pI , (H)
- 25G' = к M'( cos2 i + M2)s — kM, cos2+ M2 cos2 i)s =
= 2 f2 pI 2 f2 pI1 =
M, (cos i( + cos i + (l + cos3 i)M 2 M
— к---S ,
2f p
где i — угол наклона каждого зеркального планоида.
Как можно заметить из выражений (П), при SpI=SpII аберрационные кривые слабо отличаются от окружностей. Этот результат можно проиллюстрировать на примере двухзеркальной анастигматической системы Шмидта-Кассегрена с плоским полем с двумя сферическими зеркалами, внутренним расположением фокальной плоскости и двумя наклонными планоидными зеркалами, плоскости наклона которых перпендикулярны. Диаметр входного зрачка 200 мм, эквивалентный фокус Ю00 мм, фокусное расстояние главного зеркала 600 мм, расстояние между главным и вторичным зеркалами 390 мм. Оба зеркала сферические, фокальная поверхность плоская, расположена между зеркалами. Угол наклона каждого из планоидов 8°, плоскости углов наклона планоидов перпендикулярны. Система и и ход лучей, показаны на рис. 5, точечные диаграммы - на рис. 6.
г)
д
ШН« ( ""г'иг
ж
3)
и
к) л) м)
Рис. 4. Точечные диаграммы системы Ричи-Кретьена с предфокальным корректором астигматизма, рассчитанные по формулам (5) (два верхних ряда) и методами аналитической геометрии (два нижних ряда). а,ж) <=0.35°, 0=0° ; б,з) <=0.248°, 0=0.248°; в,и) <=0°, 0=0.35° ; г,к) <=-0.248°, 0=0.248°; д,л) <=-0.35°, 0=0° ; е,м) <=0°, 0=0°
р) с) т)
Рис. 6. Точечные диаграммы системы Шмидта-Кассегрена с двумя зеркальными пла-ноидами, наклоненными в перпендикулярных плоскостях, показанной на рисунке 6. Три верхних ряда - расчет по формулам (5), три нижних ряда - аналитический расчет. а,к) <=1°, 0=0 ; б,л) <=0.707°, 0=0.707°; в,м), <=0°, 0=1°; г,н) <=0.707°, 0=0.707°; д,о) <=1°, 0=0°; е,п) <=0.707°, 0=0.707°; ж,р), <=0°, 0=1°; з,с) <=0.707°, 0=0.707°;
и,т) , <=0°, 0=0°
Результаты исследований показали возможность использования теории аберраций третьего порядка для описания аберрационных свойств не только систем, в которых наклонный центральносимметричный планоид расположен во входном зрачке, но систем, в которых такой планоид расположен на значительном расстоянии от входного зрачка и даже перед фокальной плоскостью. Рассмотренная методика позволила предсказать возможность полной компенсации специфических аберраций наклонного пла-ноида для центра поля зрения.
Литература
1. Чуриловский В.Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. Л.: Машиностроение, 1968.
2. Слюсарев Г.Г. Расчет оптических систем. Л.: Машиностроение, 1975.
3. Чупраков С.А., Бородин А.Н. Широкоугольный зеркальный объектив телескопа. / Патент России № 2215314, 2001.
4. Михельсон Н.Н. Оптика астрономических телескопов и методы ее расчета. М.: Наука, 1995.
