CC BY
56
АБЕРРАЦИОННАЯ СТРУКТУРА ПЯТНА РАССЕЯНИЯ В ИЗОБРАЖЕНИИ ТОЧКИ ПРИ ДЕЦЕНТРИРОВКЕ ЭЛЕМЕНТОВ
ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В.А. Зверев, Е.В. Кривопустова, И.Н. Тимощук
Показано, что при децентрировке элементов оптической системы в изображении полевых точек наряду с известными аберрациями (кома, астигматизм, дисторсия) появляется новая аберрация, которая образует пятно рассеяния в виде круга.
В результате децентрировки поверхностей, неизбежной в процессе изготовления оптической системы, нарушается ее осевая симметрия, что вызывает появление специфических аберраций в образованном реальной оптической системой изображении. Знание величин этих аберраций позволит определить допуски на децентрировку поверхностей.
В общем случае меридиональная и сагиттальная составляющие поперечной аберрации могут быть представлены разложением в степенной ряд по переменным I, т и М, где I - координата точки предмета в меридиональной плоскости, а т и М -координаты точки в плоскости входного зрачка. Число возможных членов третьего порядка равно десяти. Они могут содержать следующие произведения переменных I, т и М [1]:
3 2 2 3
т т М тМ М3
т21 тМ1 М21
т12 М11
13
Заметим, что если в разложении функций Ъи ЪО', определяющих составляющие поперечной аберрации в меридиональной и в сагиттальной плоскостях соответственно, переменить знак у переменной М , то значение меридиональной составляющей аберрации Ъg' не изменится, а, следовательно, разложение в ряд функции Ъg' не должно содержать переменной М в нечетной степени. Поскольку сагиттальная составляющая аберрации при перемене знака переменной М должна также изменить знак, сохраняя абсолютную величину неизменной, то представление функции ЪО' степенным рядом не может содержать членов с четными степенями переменной М , в том случае и в нулевой степени.
В 1856 году мюнхенский астроном Ф. Зейдель получил выражения для коэффициентов степенного ряда третьего порядка относительно переменных I, т и М в разложении в ряд функций 8^ и ЪО', содержащие конструктивные параметры осесиммет-ричной оптической системы в общем случае. Ф. Зейдель показал, что коэффициенты десяти возможных членов третьего порядка степенного ряда не независимы друг от друга, вследствие чего число различных коэффициентов сводится к пяти. При этом выражения, определяющие аберрации Ъg' и ЪО' и содержащие лишь члены третьего порядка, в общем случае можно представить в виде
Ъg' = Ат(т2 + М2 )+ В1 (3т2 + М2 )+ С12т + Е13 , (1)
ЪО' = АМ(т2 + М2 )+ 2В1тМ + В12М . (2)
При децентрировке элементов оптической системы ее осевая симметрия нарушается. Поэтому для анализа влияния децентрировки элементов оптической системы на аберрации изображения удобно точку пересечения луча с плоскостью предмета опре-
делить координатами l и L в меридиональной и сагиттальной плоскостях, соответственно. Для этого повернем координатные оси в плоскостях предмета, изображения и входного зрачка вокруг оптической оси на угол ф и обозначим новые координаты в
плоскости предмета буквами l и L , а новые координаты точки пересечения луча с плоскостью входного зрачка - буквами Ш и M . Для перехода от старых координат к новым имеем следующие формулы:
l = l cosф + L sin ф, (3)
ш = Ш cos ф+M sin ф, (4)
M =-Шsin ф+ M cosф . (5)
Кроме того,
l sin ф = L cos ф. (6)
Составляющие 8g' и 80' поперечной аберрации в новой системе координат связаны с прежними составляющими 8g' и 80' формулами
8g ' = 8g' cos ф-80' sin ф, (7)
80 ' = 8g' sin ф + 50' cos ф . (8)
Заменим в формулах (1) и (2) переменные l, ш и M их значениями, определяемыми формулами (3), (4) и (5). Используя при этом формулу (6), получаем: Sg ' = а(ш 2 + M2 )m cos ф+ M sin ф) +
+ cosф + L sin ф)э(ш2 + M2)-2(m2 sin2 ф- 2mM sin фcosф+ (9)
+M2 cos2 ф]+
+ C(2 + L2)cosф+ Msinф)+ e((2 + L2)cosф + L sinф). 80' = а(ш2 + M 2 )м cos ф- Ш sin ф)+
+ 2в(( cos ф + L sin ф)(м2 sin ф cos ф + ШМ cos2 ф- ШМ sin2 ф- (10)
- Ш2 sin ф cos ф)+ d(( 2 + L2 )м cos ф - Ш sin ф).
Подставим полученные соотношения в выражения (7) и (8). Используя формулу (6), преобразуем последние к виду:
8g' = Am (ш2 + M2) + B [(3Ш2 + M2) 1 + 2mML ]+ (11)
+C7 (m + ML ) + DL (m - MT) + El (m2 + L ),
80' = am (m2 + m 2)+в[(ш2 + 3M2 )l + 2mML ]+ (12)
+ CL (ml + ML )+ Dl( - ШГ)+EL (( 2 + L2 ).
Ненужные теперь черточки над буквами можно отбросить. Дифференцируя выражения (11) и (12) и заменяя дифференциалы конечными разностями, с учетом этого замечания получаем:
A8g' = а[(3ш 2 + M 2 )аш + 2mMAM ]+ в[(3ш 2 + M 2 )а1-
' +
+ 2(3ml+ML )Аш + 2(Ml + mL)AM + 2mMAL]+ + c[ 2 Ада + (ml+ML)+MlAL + lLAM + (13)
+ D[ Am + (2mL - Ml)AL - ML Al - lLAM + e[ 2 + L2 )aI + 2lLAL
+
A5G' = л\ш2 + 3M2 + 2mMAm]+ в\ш2 + 3M2 )\L + + 2(mL + Ml )Am + 2(3ML + ml )AM + 2mMAl ] +
+ С [l2AM + (2ML + ml )AL + lLAm + mLAl + (14)
+ d[2AM + (2M - mL)Al - mlAL - lLAm
+ e[(2 + 3L2 )AL + 2lLAl . Для анализа изменений аберрационной структуры пятна рассеяния в изображении точки удобно перейти к полярной системе координат: m = ар cos а, l = г cos в, M = ар sin а; L = г sin р.
Пусть 5 - смещение главной точки оптического элемента (центра кривизны сферической поверхности) в направлении, перпендикулярном к оптической оси системы. При этом
Am = Al = -5 cos у,
AM = AL = -5 sin y.
Тогда выражения (13) и (14) можно преобразовать к виду: A5g' = -а2р25(Л + B)[2 cos у + cos(2a - у)]- арг5[(4В + С + D) cos( - у) cos а + (2B + С - D) cos(a - р - у)] -- (15)
- г25[С cos р cos(p - y)+D sin р sin(p - у)+2E cos у + E cos(2P - у)], A5G' = -а2р25(Л + В)[2 sin у + sin(2a - у)]- арг5[(4В + С + D)cos(p - y)sin а - (2В + С - D)sin(а - р - у))- (16)
- г25[С sin р cos( - у) - D cos р sin(p - у)+2E sin у + E sin^ - у)].
Рассмотрим отдельно каждую из аберраций, вносимых в изображение поперечным смещением любого элемента оптической системы.
Пусть аберрации A5g' и A5G' определяются первыми членами выражений (15) и (16). При этом имеем:
A5g' + 2(Л + В)а2р25 cos у = -(Л + В)2р25 cos(2a - у), A5G' + 2(Л + В)а2р25 sin у = -(Л + В)а2р25 sin(2а - у).
Возведя в квадрат левую и правую части этих выражений и сложив их, получаем:
[A5g' + 2(Л + В)а2р25 cos у]2 + [A5G' + 2(Л + В)а2р25 sin у] 2= (17)
= (Л + В f а 4р452.
Заметим, что величина угла у имеет практический смысл лишь при суммировании аберраций, вносимых в изображение при произвольном поперечном смещении ряда элементов оптической системы. Поэтому в рассматриваемом конкретном случае, не нарушая общности вывода, вполне можно положить у = 0. При этом выражение (17) принимает вид
[A5g' + 2(Л + В)2р25]2+ (A5G') 2= (Л + В)2а4р452 . (18)
Отсюда следует, что при поперечном смещении любого элемента оптической системы в изображение каждой точки предмета вносится равная и одинаково направленная кома.
Пусть аберрации A5g' и A5G' определяются вторыми членами выражений (15) и (16). При этом имеем:
A5g' = -[В + С + D)cos( - у) cos а + (2В + С - D)cos^ - р - у)]арг5 ,(19)
A5G ' = -[(4B + С + D)cos( - y)sin a -(2B + С - D)sin(a -p- y)]5 .(20)
Но ap = sina = nl_v sina', где R - расстояние от осевой точки элемента оптиче-R n
n '
ской системы до осевой точки предмета. Отсюда находим, что ap =— VR sin a R 'a '.
n
Заметим, что m = R'a| = R'a ' cos a, а M = R'a = R'a ' sin a.
Пусть угол a = 0. Тогда выражения (19) и (20) принимают вид: A5g ' = -[(4B + С + D) cos(P - у) + (2B + С - D) cos(p + y)]mr8, (21)
A8G ' = -(2B + С - D) sin(P + y)mr5. (22)
И в этом случае из тех же соображений удобно положить угол у = 0. Тогда A5g ' = -3(2B + С) lm5, (23)
A8G ' = -(2B + С - D)Lm5. (24)
m
Кроме того, при a = 0: — = a ' = a ' а a ' = 0 При этом меридиональная состав-
R' " ;
ляющая искривления поверхности изображения
' A5g ' A5g '
2'
= ^ = = -3R ' (2 b + с )is. (25)
a a
Заметим, что вид поперечной аберрации, сагиттальная составляющая которой определяется соотношением (24), пока не очевиден.
п
Пусть угол a = —. Тогда выражения (19) и (20) принимают вид:
A5g ' = -(2B + С - D) sin(P + у)Mr5,
A5G' = -[(4B + С + D) cos (( - y) - (2B + С - D) cos (p + y)]Mr6.
Полагая угол y = 0 получаем
A5g ' = -(2B + С - D)LM5, (26)
A8G' = -2( B + D )lM 5. (27)
При a = — : a ' = 0, a 's = a ' = M. При этом 2 R
zS =A5G = A5G = -2R' (B + D )l5. (28)
aS a '
Вид поперечной аберрации, меридиональная составляющая которой определяется соотношением (26), пока не очевиден.
Из выражений (25) и (28) следует, что поперечное смещение элемента оптической системы приводит к наклону поверхностей изображений, образованных узкими пучками лучей в меридиональной и сагиттальной плоскостях, на углы, равные, соответственно:
е; = 4=-2 nR(3B+С), (29)
l n
s; = ¿ = -2 nR(B + D)5. (30)
l n
Пусть аберрации A5g' и A5G ' определяются третьими членами выражений (15) и (16). При этом при y = 0 имеем:
A5g' = -[с cos2 р + D sin2 р + 2E + E cos 2p]r25 , (31)
A5G' = -[С sin р cos р- D sin р cos р + E sin 2p]r25 . (32)
Выражения (31) и (32) легко преобразовать к виду:
A5g' = -[(С + 3E )cos2 р + (D + E )sm2 pjr 25 = (33)
= -[( + 3E)2 +(D + E )L2 js,
A5G' = -(С - D + E )sin p cos pr 25 = -(C - D + E )/L5. (34)
Легко видеть, что уравнение (33) для любого выбранного ряда значений отрезка / описывает семейство парабол, ориентация которых не зависит от знака /; уравнение (34) для любого выбранного ряда значений L описывает семейство прямых, знак и величина угла наклона которых определяется знаком и величиной отрезка L .
При анализе аберраций, определяемых вторыми членами выражений (15) и (16), были получены соотношения (24) и (26), из которых следует, что сагиттальная составляющая и 5G' поперечной аберрации определяется меридиональной координатой m , а меридиональная составляющая Sg' определяется сагиттальной координатой M . Возведя эти соотношения в квадрат и сложив, получаем: (A5g ')2 + (A5G ')2 = (2B + C - D )2 L2 (m 2 + M 2 )s 2 =
= (2B + C - D)2 52L2a2р2.
Аберрационное пятно, описываемое выражением (35), имеет вид круга, радиус которого определяется не только координатой ар на зрачке оптической системы, но и координатой L при децентрировке 5 в направлении /.
Известно, что волновая аберрация определяется выражением [2]:
W = -—J(5g 'dm + 5G'dM), (36)
где Ro - радиус сферы сравнения. Подставив в это выражение соотношения (24) и (26), получаем:
W = - ^— (2B + C - D))5 Г (dm + mdM ) = KLmM , (3 7)
ro
где K = -—(2B + C - D)5. Ro
Полученное выражение для фиксированного значения координаты L определяет деформацию волнового фронта в виде одновременного скручивания вокруг осей m и M на одну и ту же величину, но в разные стороны при разных знаках координат m и M.
Таким образом, соотношения (24) и (26) определяют аберрацию, которая не характерна для осесимметричной системы и не входит в число известных первичных аберраций.
Литература
1. Тудоровский А.И. Теория оптических приборов. Т.1. М. - Л.: АН СССР, 1948. 662 с.
2. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с.
