Аналитический и компьютерный расчет аберраций высших порядков центрированных оптических систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ

С. Т. Бобров

АНАЛИТИЧЕСКИЙ И КОМПЬЮТЕРНЫЙ РАСЧЕТ АБЕРРАЦИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

' 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И АБЕРРАЦИИ ТОНКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Теория аберраций высших порядков имеет многолетнюю историю и включает в себя два основных направления. Одно из них состоит в получении аналитических формул, позволяющих проводить теоретический анализ оптических систем (насколько это возможно в силу громоздкости выражений). Первые попытки в этом направлении были основаны на использовании эйконала Шварцшильда [1], а позже появилась методика расчета лучевых аберраций [2]. Второе направление заключается в создании методик, ориентированных на численные расчеты. В подавляющем большинстве случаев рассматривались лучевые аберрации в плоскости изображения, а способы их вычисления варьировались от построения итерационной процедуры [3] до чисто компьютерной идеи операций над массивами без какой-либо детализации на промежуточных этапах [4]. Можно упомянуть также методики определения коэффициентов аберраций по результатам прогона реальных [5] или порядковых [6] лучей.

Представляется, что аналитический подход к расчету аберраций более Универсален. С одной стороны, он обеспечивает инструмент, позволяющий исследовать зависимость выходных характеристик оптических систем от вкладов отдельных компонентов и поверхностей. В каких-то более простых случаях удается даже найти новые коррекционные решения (например, для Дифракционных обьективов [7]), но и для сложных систем, когда пол^.й аналитический расчет невозможен из-за своей громоздкости уже в пятом порядке малости, исследование аберраций хотя бы локальных частей системы может оказаться чрезвычайно плодотворным. С другой стороны. наличие

_ пп „онковтных соотношений для аберрационных Расчетных формул, доведенных до конкретных

-«„ояти объем вычислений и полезно даже коэффициентов, позволяет минимизировать ооъем

пРи численных расчетах

Существующие аналитические методики в области аберраций высших порядков [1,2] обладают рядом недостатков. Во-первых, они ограничены пятым порядком малости. Во-вторых, и в том и в другом случае не совсем удачно выбрана основа аберрационной модели. Эйконал Шварцшильда представляет собой функцию без ясного физического истолкования. Он сконструирован таким образом, что аберрации оптической системы в различных порядках малости не зависят друг от друга при изменении положения зрачка, тогда как при сопряжении двух систем такая зависимость налицо [8]. Наличие второй системы как бы влияет на аберрации первой, что наглядно демонстрирует искусственность аберрационной функции. Что касается лучевых аберраций, то их использование не позволяет непосредственно переходить к дифракционному описанию формирована изображения, что также не очень удобно. В целом, по мнению автора, в сложившейся ситуации оправданы усилия, направленные на создание еще одно! аналитической методики расчета аберраций высших порядков оптических систем.

Предлагаемая модель основана на аберрационной функции, введенной и обоснованной в работах [9, 10]. Если внутри оптической системы задана какая-либо поверхность, то для любой ее точки может быть построена ломаная в общем случае линия, состоящая из реального светового луча, распространяющегося из предметной точки в данную точку поверхности, и реального светового луча, распространяющегося из данной точки поверхности в точку гауссова изображения, сопряженную с предметной. Волновая аберрация в точке поверхности определяется как разность оптического пути вдоль указанной ломаной линии и оптического пути вдоль аналогичной ломаной линии, построенной для какой-либо фиксированной точки поверхности, например, для лежащей на оси системы. Нетрудно видеть, что введенная функция может быть истолкована как разность фазового распределения, которое создается на поверхности оптической системой (или ее частью), и фазового распределения, которое должно быть создано на этой поверхности для формирования идеального изображения.

Выбор аберрационной функции предопределяет ряд существенных черт изложенной ниже модели. Во-первых, в отличие от других аналитических методик упрощаются выражения для аберрационных коэффициентов тонких оптических элементов (преломляющая или отражающая поверхность, дифракционная линза), составляющих основу любой оптической системы (протяженные элементы типа граданов в настоящей работе не рассматриваются). Это связано с тем, что в определении аберрационной функции не фигурируют реальные лучи, проходящие через всю систему от предмета до изображения. Во-вторых, предельно упрощается алгоритм сложения аберраций двух оптических систем: если аберрации известны на одной поверхности, то их необходимо просто сложить (элементарное доказательство этого очевидного положения содержится в [7]). В-третьих. поскольку

аберрационная функция основывается на реальном распределении фазы на поверхности, то главная аналитическая "тяжесть" вычисления аберраций концентрируется в алгоритме их пересчета с поверхности на поверхность, то есть при переносе зрачка. Представляется, что подобная расстановка акцентов в модели наилучшим образом соответствует физической сущности процесса распространения волнового фронта в оптической системе.

Введенная выше аберрационная функция применима для произвольной оптической системы с полным отсутствием симметрии, однако ниже будут рассматриваться аксиально симметричные элементы и системы, поскольку только в этом случае можно рассчитывать на более или менее удобоваримые формулы в высших порядках малости. Во всех выкладках используется аберрационное разложение в каноническом виде, то есть по степеням инвариантов вращения, составленных из координат точки изображения (предмета) и точки рассматриваемой поверхности. Конкретно для 3-го, 5-го и 7-го порядков указанное разложение имеет вид:

ФЗА= — Бзр4 + -±-Сзр2(р'%) + ±Аз(р-х)

8

+ о2х2 + —О (р-*)*2 ;

4 3 2 3

5 А

16

«.>"' + Тс5(1)р4(р'*) + трУ(рх)2 +

16

(2)Ру + А25(р.*)3 + -2- С5(2)Р2(Р-*)*2 +

+ -1-А (р.*>у + Го2*4 + — Э (р-*)*4 ;

4 5 16 5 8 5

7 А

..Л'*

16 16 4

♦ ^Р7(2)рг(р-*)У ♦ -5->,(,•*)4 ♦ ^„з," * ♦

д 7(2) 8 54

+ -5-ат( р-х)'ха * 77е,,3) 4 16

р2(рх)х4 +

15 - , _ ... 2. 4 . 5-26. 5

+ (Р'Х)-Х^ + — Г7рУ + -07(Р-Х)Х .

16 32 16

(1)

где

р2-^2

(р-*)-£х+т)у ; *2«х2+у2 ?

(2)

С, "О - координаты точки поверхности, на которой рассматриваются

аберрации (зрачковые координаты);

х, у - координаты точки предмета или изображения (полевые координаты).

в выражениях (1) Э- Б - коэффициенты сферической аберрации; С - С - комы; А - А - астигматизма; Е - Е, - кривизны поля; э - О -

3 7(3) 3 7 3 7 3 7

дисторсии; Р- Р - птеры; - сагитты; В? - бисагитты; М? -

моноптеры. Первый индекс указывает порядок малости аберрации, индекс в скобках - номер данного типа аберрации в пределах порядка (так, в 5-и порядке содержится две сферические аберрации, в 7-м - три и т. д. , индекс отсутствует, если аберрация данного типа в порядке малости одна). Названия аберраций соответствуют терминологии работы [11].

В качестве поверхностей в оптической системе будем рассматривать четные асферические поверхности вращения, характеризуемые уравнением:

£ ы

128 г7 ^ 70)

(3)

где

Аг - расстояние от точки поверхности с координатами у до

плоскости, перпендикулярной оси системы и проходящей через

вершину поверхности (точку пересечения с осью);

2 „2.2 Р - С + V ;

г - радиус кривизны в вершине поверхности.

Если в (3) положить <7^= <г5о = <т7о = 0, то получаем уравнение сферы (полусферы) с радиусом г. Таким образом, а- - сг - нормированные

30 70

коэффициенты асферичности поверхности. Введем также размерные, ненормированные коэффициенты

с а а

лг-30. _ 50 . _ 70 ... <т ■ - ; сг =- ; (т =-, (4)

з гз 5 г5 г

которые необходимы при описании планоида, то есть асферической поверхности с бесконечным радиусом кривизны в вершине. В этом случае при конечных сгз- ст7 1/г -> О и уравнение (3) приобретает вид:

Дг=-^(т 3Р4+ — сг о6+ сто8 . (5)

8 16 128 7

Четность поверхностей, то есть наличие только четных степеней р в (3) и (5), обеспечивает отсутствие в оптической системе аберраций 2-го, 4-го и других четных порядков, что существенно упрощает аберрационный анализ. Указанное ограничение в подавляющем большинстве случаев соблюдается на практике и является общепринятым.

В качестве первого шага построения методики аберрационного расчета оптических систем получим выражения для аберраций тонких оптических элементов, то есть преломляющей поверхности (в частном случае, отражающей) и дифракционной линзы. В случае сферических поверхностей коэффициенты с

3-го по 7-й порядки опубликованы в работах [7, 12], тогда как элементы с асферическими поверхностями пока не исследовались.

Аберрации тонкого оптического элемента естественно рассматривать на его собственной поверхности, что и обеспечивает сравнительную негромоздкость выражений. Если на элементе дана точка А(£, т») (рис. 1), то в соответствии с определением волновая аберрация в этой точке будет равна

ФГпЪ1+п'Ъ2-пЪ0-п^20+Ф0 , (6)

где

Ь , Ь2 - расстояния от предмета ■ изображения до точки А;

Ь , Ь - расстояния от предмета и изображения до вершины

10 20

поверхности (которая выбирается в качестве опорной точки); п, п' - показатели преломления до и после поверхности; $о - фазовая добавка, которую необходимо учитывать для дифракционной линзы (подробно см. в [7]).

Рис. 1. Волновая аберрация тонкого оптического элемента на асферической поверхности вращения:

Р - предмет; Р" - юобрвжение; О - вершина поверхности; г - радиус кривизны в вершине поверхности

В соответствии с правилом знаков, принятым в оптике, перечисленные расстояния можно представить в следующем виде:

1 ^ Б2 Б Б

2 ^ 3'2 3' 5'2

Ь =Б /1 10 V

2 2 X +у

ь

20 V _ / 2

(7)

где

э, э'

отрезки оптического элемента;

х, у и х',у' - координаты точек предмета и изображения соответственно;

Аг - расстояние от точки А до вершинной плоскости, определяемое

выражениями (3) или (5).

В случае преломляющей поверхности фазовая добавка Ф » О, а отрезки и координаты изображения предмета связаны соотношениями:

- Л = Л _ Л ; п' = п — ; (8)

Б' Г Б Г Б' Б Б' Б

Разлагая теперь выражение (6) с учетом (7) в ряд по степеням инвариантов вращения, исключая с помощью (8) координаты предмета и выделяя в полученном разложении отдельные типы аберраций в соответствии с (1), получаем следующие соотношения для коэффициентов аберраций до 7-го порядка включительно:

1 8' Г * I П'Б' ПБ ' г

С = — [ —И^ 1Г —1— _1 • а = -п'2 ( 1___к 1 .

3 5' ^ Б' Г И п<3< ПБ ' 3 Б'2 I П'Б' ПБ '

З'2 I Б' Г И П'2 П2 ) 3 Б'3 '

Р =

3

э = Г л: _ )3 Г_1___?_)__и."'-пмгг 1

5<1) 1 з' г 1 ( п'гз'г „V I гг 1 1^7'"

»г гз и гЛт т] п>;

С --"'■( "'- "'Г Г 1__1 и 1 П'

3-й- г ^ ^ п'гз'г п2зг > Згг 7 *

[1.1 \ & | 30 Л' I г Л- 1 1

э' г I ^ П'Б' ПБ • )" Зг3 Б ' ^ Б' т)

s = íü-'-iL'] f_î_. 1 1. a n'2 In' n')

5(21 s'2 is' r J i n'V „'s J IP'T^IT'TJ *

U'2 n2 J ЗГ2 s'2 l n' n I ' p -JülfJL'-JL'lí_1___i_l . z . .Jlll f_1_ i ).

5 S'2 l s' r H n'V 2 nV J 5 s'3

С = - JILL ( i' - JL' H_L_ 1 1 . » - П'4 I 1 11

s-3 is- r il n'V l^rJ '

'•-fHí-fJl^-íl'v

s7d)=-(7,-7)

_ _] _ _L f _rV - JL' )2 í ___L ) - —

n2s2 ) r4 ^ s' r J l n's' ns ' 5r

í 1 1 ] 4(T30 f _n_' _n_M f 1 1 )

U's'2 ns2 i 5r4 le' r Jl s'2 s2 j

1 n's / 2

-If J.___

r H s'

4o / M

so í n

5r 6 1 S-

S' Г '

1er , ,

30 [ n 1 «<

2a

3 o

5r

í JL' _ JL ) + 4a50 Г _n_' _ _n_' H JL___1_

l s' s J 5r5 I s' r II s' s

n' П'1 I3í 1 -

S'l s' r J 1 l n'3s'3

1 1 1 1 1 n'

2 , 2 S' 2 2 n S j 5r4 s'

5r"

IL' f JL' _ JL' 1 s'l s' r I

3er

5r' a

50

5r'

JL' f JL' JL' I í 1 1 } + JL' í ___L] -

" s'i/rJl n's'2 ns2 J 5r4 s'l s'2 s2 J

c' ^ «=' « J

,/ 2

7(1)

• Л' r

,/2

s

Hl - JL' s' r

n'V3

n3s

M + —^í--

s3 i 5r2 S'2 l s'

г 1 _1} ^ n'2 í 1 - 1

I n'2s'2 " n2s2 J 5r3 s'2 l n's'2 ns

П'2 fn' JL' 1 3 í 1__1_ 1 + —2__—— f JL' -

S7(2," - 7T 1 s,- r J l n,V2 n4s2 J 5r2 s'2 U' r

f 1 1 1 1 nil í JlI-ülH-i___U-

X S'2 is' г П n'2 n2 J

3er , 2

30 n'

-U

s' г и

-M

n' n )

n'3

s'3 l S<

а , 2

50 П

_ 5 ,2

5r S'

f _п/ _nMf_L-J-lAil^f_i___L] +

Ms' r Hn'V n2s J 5r4 s'2 I n's' ns J

x ? c?(2,e T^it'tHir^'^b^ x

30

5r s

n'3 f_1___L_ 1 .

s'3 i n'2s' n2s )

(9)

8 = -JllLi JU-JU)* (-JL___M + -L- JSllfiL'-JL') x

S7<3) I 8I r J I n'ss' n5s I 5r2 s'4 Is' r J

f 1 1 ) a30 n'4 f 1___1_] .

* i n'4 ~ n4 J" 5Г3 S'4 I n'3 n3 ) '

п' (V _n_' 1 (_1_ _1_ ] . z _ n' { 1___L_ ) .

P7(2> " s,4 [s/ - r J 4s' 2 n4S2 J ' 7 S'5 In' V 2 nV J'

c - n'5 in' n') Г 1__L_1 . A = ___

7(3) s'Ms' rHn'V n5s J ' 7 s'6 I n'V n5SJ

F = - jH!_ijL'.iL']i_i___L) ; D ___4 .

s'6 1 S' Г H n'6 n6 J 7 s'7 I n'6 n6 J

Выражения (9) довольно существенно упрощаются, если положить равными нулю все коэффициенты асферичности (в этом виде формулы даны в [12]). Полагая в (9) 1/г - О, но сохраняя при этом <г , crg, о^ # 0 и используя для исключения отрезка s первое из соотношений (8), получаем аберрации планоида в следующем виде:

W^Mr-H-К^Р^Кс"'""»

5(1 s' 5 yn* n ' s' 2 ^n' n ' 5

5(1) 5(2, s/5 ln,4 n4j з s,2 J

P =~Z =-C =A =F =-D = —— i—---L.1 ;

5 5 5 ( 2) 5 5 5 g/ 5 ^,4 4J '

s = -Л11 fJL_ J_1 Jill iJL_ _ll

7(1) s'7 U'6 п6^ 5 s'4 in'3 n3J

4o-

Hi! a (n'-n) ,

S'2 ^n' П'

Можно отметить, что асферическая деформация поверхности какого-либо порядка влияет в этом порядке только на первую сферическую аберрацию, а в последующих порядках малости сказывается и на некоторых полевых аберрациях, содержащих инвариант р в не меньшей степени. Отметим также, что для отражающей поверхности достаточно положить в (9) или (10) п'--п.

Теперь рассмотрим дифракционную линзу на асферической поверхности. Конечно, такой случай вряд ли встретится на практике, но для полноты модели его следует учесть. Для дифракционной линзы п*п'=1 (подложка рассматривается как отдельный компонент, см. [7]), а фазовую добавку $о полагаем равной:

г, г' - отрезки записи дифракционной линзы;

Ьз-Ь? - коэффициенты асферической деформации структуры линзы; Ао - длина волны записи; Л - рабочая длина волны;

ш - рабочий порядок дифракции (подробное обоснование используемой Формы характеристической функции дифракционной линзы см. в [7]).

Отрезки и координаты изображения и предмета в рассматриваемом случае связаны соотношениями:

(11)

в' 5 \> Разлагая опять выражен; . . получаем для коэффициентов аберраций:

1 1 тЛ

- _ 1 , 1 _ mX f 1___Ll + lü___L + Jüi- U__

3 S'3 s3 Л L'3 z3J r U'2 s2 Л U'2 0 - °

—b3 • с -LU___il-

* ,J 3 s'U'2 s2) s'r L' s)

A =F ---— [L - L) ; D =0 ,

33 s'2 U' s J 3

S =-1___L+»LU___i.l_.L["_i---L +

6<1> S'5 s5 X U'5 zs > ris-' s4

0

+ JÜ.L1___+ U___---L]1 +

X U'4 z4 ¡1 r2 U-3 s3 л U'3 z3 JJ

о 0

[_1---L + Jü*_í_¿---L ]1_

l =<2 =2 ,2 JJ

+ [_i---L+»i. ---L . JîLb ;

r3 U'2 S2 л l z'2 Z2 JJ X s

о О

1 ( 1 1 ï

С

(1) " .Л s'4 " s4 s'r Í s'3 " s3 )" 3s' r2 ( s'2 " s2 ) "

fJL-JLÏ .. p= _L_ f ___L ___Li .

I s' s J ' 5 s'2 l s'3 s3 J s'M s'2 s2 J '

3s' r3

S Í _1___L1—L_ Í ___1 1, 2 f 1 - 1 1 .

5(2> s'2 l s'2 s3 i s'M S'2 s2 J 3s'2r2 U' s J '

(2) S'3 l с 2 J s'3rl s' s i '

с

5

s v s s ' s v s s J

= _ 1 + 1 _ f 1__1_ 1 _4_ Г 1__1_ + _mX_ Г 1 _

1) ,7 7 >1,7 7 ,6 6 .1,6

s' s л ^ s s ; r L S' s л V. z'

о о

- _L1"L_1L Г 1 _JL + JiL f 1 i n 2Шзо Г i

z6 JJ 5Г2 L s5 л i S zs JJ 5r3 L

0

S7(

-_L + JüL 1 ]~L 4(1+g30) Г 1 1 + ШЛ f 1

S4 Л l z'4 z4 JJ 5r4 L s'3 s3 Л U'3

о о

z3 JJ 5Г5 I- s'2 s2 X U'2 z2 JJ X 7

о о

с ---L1 + __L_ Í —— _L ] + _L2— í —1___Li.

7(1) s' l s'6 s6 J s'r l s'5 s5 J 5s' r2 l s'4 s4 J

1 + 3(7 , . .4 2(l+0\ ) f . , X l+<r

5s

_3_0_ Г __1_ _1_] MXT°30J Г 1 1 ) 5 0 ( 1 J_) .

'r3 l s'3 s3 J 5s'r4 i s'2 s2 J 5r5 i s'" s J '

s =. -L-f-A---— )+-— Í —---— )--i—X

7(2) S'2 U'5 s5 J s'r I s'4 s4 J 5s'2r2

:(-!___1 - Г ___Г 1 11

и-3 з3 I 5з<2г31з<2 з2 Г 5э' 2г4 '

>---Г_1___

З'2 I з'5 з5 ) з'2г I з<4

-к] 1- 4 ■ 1 [ 1 - 11 1+а зо [ 1 1 1

з41 ' 53'V 1 1 з<3 з3 ] 1 53'V 1

[ 1 1 1 1- 2 1 [ 1 11 !+ 4 1 [ 1 1 1

1з'4 З4 1 1 ,3 в' г' 1з-3 з3 ] 1 53-Зг2 1 и-2 З2 )

1+сг

(13)

+ -^М-А) ; ___к)__!_(__!___11

53'3Г3 I 8' з ) 7 з'3 I з'4 з4 ' з'3г ^ з'3 З3 i

Р = М_______к] ;

7(2) з'4 I з'3 з3 J 3'4Г I з'2 З2 )

5 - _ 1 [ 1___1.1+_2 [ 1 1 ) 4

7(зГ з'4 1 з'3 З3 ^ 3'4Г I з'2 " з2 Г 5З'4Г2 Х

; М - к-Г-А___Ч ;

I 3' 3 > 7 з'4 I з'3 З3 )

С 1 ( 1 1 ) 1 С 1 _1_ ]

7(3, в#5 I 3,2 - 52 )' 5,5г I 5, - 5 ] ;

---- ] ; А = Е =---— ( —----— ) ; 0=0.

7 1 «'2 «2 ) 7 7 «'6 I «< « ) 7

Нетрудно заметить, что влияние асферичности поверхности на аберрации дифракционной линзы слабее, чем в случае преломляющего оптического элемента. В частности, деформация поверхности не влияет на аберрации того же порядка малости, включая и сферическую. Полагая теперь в (13) 1/г»0, получаем выражения для аберраций линзы на планоидной поверхности:

1 + _1_ шЛ Г 1 1 ] тЛ ь .

1 ~ з'3 з3"ло I*'3 г3 > Хо 3 '

? Аз= Гз=

= ___L + ___с Г-Ц---4

<=<5 «5 > I г5 > П з'2 з2

; Эз= 0 ;

шх

-•л-

тЛ

, 2

'5 (

Г 1 1 1 1 --¿-1

1 з'4 З4 J Зв' 3- 3 1

Р = Б

5 5(2

А = Р

5 5

з'4 I 3' з ) 5

1 + 1 ______

7(1)" ~Т7Г + ТГ * { 7'7 г7 > 5 1-з'4 з4

шЛ

(_1___11 + \ —1___

[ 2,4 24 5 I- з'2 з2 Ло I 2'2 г2 >1 Хо

'7(1) 3' I З'6 з6 >1 53- I з'3 Б ' 5в'I в' з ^

_1 ( 1 1 ] _ Г_1___1_] .

7(1) в,а I 35 ] 53'2 ^ з'2 з2 I

( _1___1_1 3<Тз ( 1___] .

I Я'5 «5 ) I 5'2 з2 ) '

7(2)

М7= З7(3) Р7(2)= -¡^(-¡Ь-ТГ) ? °7= 0 ?

Таким образом, получен полный набор формул для тонких оптических элементов на четных асферических поверхностях вращения, который обеспечивает возможность расчета аберраций 3-го, 5-го и 7-го порядков оптических систем, состоящих из указанных элементов.

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АБЕРРАЦИЙ ИЗ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ

В разд. 1 были рассмотрены основные положения методики расчета волновых аберраций третьего и высших порядков центрированных оптических систем и даны выражения для коэффициентов аберраций тонких оптических элементов на их собственной поверхности. Поскольку алгоритм сложения аберраций в предлагаемой методике крайне прост [7], то осталось только получить формулы преобразования аберраций при изменении поверхности, на которой они рассматриваются.

В рамках принятых ограничений (см. разд. 1) указанную задачу необходимо решать для перехода с одной четной асферической поверхности вращения на другую (подобно тому, как это сделано для сферических поверхностей и с точностью до пятого порядка в [7], однако рациональнее разбить ее на три этапа: переход с плоскости на плоскость, переход со сферы на касательную к ней плоскость и обратно и, наконец, переход со сферы на асферическую поверхность и обратно (при наличии общей вершины и одинаковых радиусов кривизны в вершине). Частные формулы преобразования аберраций не столь сложны, как общие, тогда как получить последние из первых не представляет затруднений.

Метод вывода формул преобразования аберраций подробно рассмотрен в [7], здесь ограничимся его кратким изложением. Если на поверхности заданы аберрации сферического волнового фронта, то это означает, что

распределение фазы волнового поля на этой поверхности можно представить в виде:

#--„« /и- Ц-*'2+П-у)2

2 2 г г г

+ пг /1+ х + У + ф (^,17, х. у), (15)

г2 А

где 7), Аг - координаты точки поверхности в системе координат, начало которой помещено в вершину, причем Аг определяется соотношениями (3) или (5) (разд. 1);

х, у, г - координаты центра кривизны фронта; Фд - волновая аберрация; п - показатель преломления среды.

Дифференцируя соотношение (15), находим направляющий косинус светового луча в точке (т)) в соответствии с формулой, полученной в [7]:

1 дФ _ V д* _ дФ Г

п п п 5т)

.± + , тУ/2 (16)

п2 ^ п2У п21 ? ее 4 ап> -I •

1

где /3^ , /3^ - направляющие косинусы нормали к поверхности в данной точке

(для а имеет место аналогичное соотношение со взаимной заменой £ и т?).

Л

Зная направляющие косинусы луча и пользуясь известными формулами, находим координаты точки его пересечения с другой поверхностью (предполагается, что между поверхностями располагается однородная среда, то есть все лучи прямолинейны):

е'-С+о^Д; ^'--п+а^Д, (17>

где А - расстояние между двумя рассматривающимися точками.

В зависимости от вида поверхностей для А существуют аналитические соотношения или итерационные методики вычисления [13].

Считая теперь волновые аберрации известными и на второй поверхности, получаем обратные зависимости 7) от Ч'«. рассматривая их совместно

с (17), находим волновые аберрации фронта на второй поверхности в виде

Функций от аберраций на первой, а также от кривизны волнового фронта,

Расстояния между поверхностями и т. п.

Наиболее просто описанный метод реализуется для перехода между двумя перпендикулярными оси 2 плоскостями М и М' (рис. 2). В этом случае Аг-О. а нормали во всех точках параллельны оси г. то есть - О. В итоге

направляющие косинусы луча в плоскости М выражаются простыми формулами:

V

* п

V"

С-х

гЛ+И2/г2

_тгх

2У1+Ъ2 /г2

+ С ; У

/2 2~ а - VI-а -а г £ V

(18)

где И2« (£ - х) 2+( ~п " у)2; С^- производные от волновой аберрации,

называемые угловыми аберрациями:

. 13*А

«"»"¡Г

, дФ

С

■ 71 п а-п

(19)

Расстояние между точками пересечения луча с двумя параллельными плоскостями, как легко показать, равно Ь/а , где Ь - расстояние между плоскостями вдоль оси г (рис. 2). Подставляя теперь (18) в (17) и разлагая в ряд с точностью до аберраций 7-го порядка, получаем координату точки пересечения луча с плоскостью М' в виде:

£ - 5~х) +tGc+

2г2

(И-С) _

8г

с _ КИ-О + t( £-х)И (И-О К £-х) ( С-О 4 С „ С

2г

(20)

2г

где (И-О « (£ - х)Се + (7) - ; (С-О

€ т?

+ С с; я С + С + С .

Т7 37) 57) 77)

Рис. 2. Преобразование аберраций при распространении волнового фронта межлу двумя параллельными плоскостями: АА' - реальный световой луч; С - центр кривизны волнового фронта

В выражении (20) учтены члены, обеспечивающие вычисление с точностью до 7-го порядка. Координата 7)' дается такой же формулой с заменой £ на 7).

Обратные зависимости (у) от (£', у') легко получить из (20),

заменив в этом выражении ^ на ^ (и наоборот), г на (г-1), 1 на С

Г» / I» »1 тг

на

С^' И Т. Д. :

2 t(r-x) (К'-С) +

1:Н

/ 4

_с,л t(R'^G')cl t(g'-x)R'2(R' -С) , 1(С/-Х) (С-С)

8(г-1:)4 ^ г-^ ^ 2(г--Ь) 4 2(г^)

(21)

Подставляя теперь (21) в (20), приходим к следующим соотношениям для угловых аберраций в плоскости М':

4 г-Ь 35I г-Ь г-Ь >

г-Ь г-Ь г-Ь >

* д /с ^С' -

в' -

2(г-Ь)

tR

/ 2

31? "57] 2(г^)2 °31?"

(г-Ь) z-t

Ь(Г-у) (Н' , (Сз'Сз}

2

(г-Ь)

П ' -

2z(z-t;

(22)

где Д, {С (...)} означает те члены к-го порядка малости. которые к ш

возникают при подстановке в С указанного аргумента.

Формулы (22) в общем виде могут быть проинтегрированы только в 3-м порядке малости, когда они полностью определяются проективным преобразованием координат из одной плоскости в другую (см. [7]). Для того чтобы найти связь между аберрационными коэффициентами в двух плоскостях в 3-м и последующих порядках, подставим в (22) те выражения для угловых аберраций, которые получаются при дифференцировании канонической формы волновых (см. (1) в разд. 1). В 3-м порядке малости в результате указанной подстановки получаем следующие зависимости аберрационных коэффициентов в плоскости М' (со штрихами) от коэффициентов в плоскости М (без штрихов):

Б' = з

А' = з

Е' = з

0' = з

(2-1:) 22

(2-1)

2

2

(2-1) 2

Б

4 3

С' =

3

(2-1)

- С -

3 3

о .

г 1

(2-1)

4 3

~ 2. 2.2 — А --25-ЁС + — Б

2 3 3 3 , ^» 4 3

(2-1)

(2-1)

_ 2. 2.2 _г .21Л. с +

2 3 3 4

(г-1) гЬ

(2-1)

2-1

(2-1)

- (Г +2А ) +

2 х 3 3 '

321 (2-1)

-С -

з з

2Г

(г-1)

4 3

Характерной чертой соотношений (23) является зависимость каждого аберрационного коэффициента от коэффициентов старших аберраций (то есть содержащих в больших степенях зрачковые координаты) того же порядка, причем по форме эта зависимость соответствует биному Ньютона. Действительно, нетрудно убедиться, что численные коэффициенты в выражениях для А^и ^ совпадают с коэффициентами в квадрате бинома, а в выражении

для Э в кубе (если сложить коэффициенты при А^

Е'.). Степень бинома

з

равна при этом степени полевых координат в данном типе аберрации (в коме эта степень равна 1, в астигматизме и кривизне поля - 2, в дисторсии - 3).

В 5-м порядке малости формулы перехода усложняются и помимо линейной зависимости от коэффициентов 5-го порядка содержат квадратичные по коэффициентам 3-го порядка поправки:

Б'

5(1)

С'

5(1)

21(2-1)„ 2

(2-1)

5

б 5(1)

П2

(2-1) 4

— С

5 5(1)

5 .

г Ъ

(2-1) 21(2-1) ЗП2

— Р -

4 5

2гЧ

(г-1)

(2-1) - С

6 (1)

4.2 2 1

21(г-1) , с,

3 3 '

П2

(Б'А'+гС 2) ;

х 3 3 3 '

5(1) (2-1)6

Б'

5(2)

5(1) 4

4 5(2)

с

5 5(1)

(2-1)

(2-1)

(г-1)

5 21(2-1)(23'Е'+С/2);

5(1) х 33 3

Зпг

г -

Зг31

3 5

З2312

4 5

(2-1)" - (г-1)' - (г-1)

8 . 21(2-1)

5(1) 3 3 '

5 5(1)

2313

(2-1)

пг

С'

з. 2 1

5(2)

2313 (2-1)

3 5(2)

(2Р + Б ) + (2-1)^ (2-1) 4 5 5 ( 2)' (2-1)

•35(1,- ^^ 2сзАз+ зс;р;>:

3 2 1

5 5(1)

Зпг

А' =

5

(2-1)

2А5-

2 2 21 (2-1)

{г +с ) +

3х 5 5(2)

22!2 (2-1)

-(5Р + Б ) -

4 х 5 5(2)

* 2.3 42 1 с ,2^4

(2-1)5 5(1> (2-1)6

22 Г 4221

5 (2-1)2 (2-1)3

42213 с + 2^4

(2>1)5 5<1) (2-1)6

2 Б - 21

5 2-1 5 (2-1)2

С +

5(2)

Зпг 22212

") 3 3"'

- (2Р + Б ) -

4 5 5 ( 2 )'

, (2С0' +Е' 2) ;

5(1) * 3 3 3 7

Зпг

<Г5*2А5> +

Я2^- (4Р -Б )+ 52* с

4 у 5 5 ( 2 ) ' ~

2г1 (2-1)

^225+ЗС5(2)) "

гЬ'

(я-Ь)

Зпг

— Б

6 5(1)

3 3 3 3

где п - показатель преломления среды между двумя плоскостями.

Внутри порядка сохраняется биноминальная форма преобразования

коэффициентов, а что касается квадратичной зависимости от 3-го порядка, то нетрудно установить, что каждая аберрация 5-го порядка зависит от таких комбинаций аберраций 3-го порядка, которые в сумме содержат полевые координаты в той же степени. Так, например, вторая кома (С ) содержит полевые координаты в степени 3 и зависит от следующих сочетаний аберраций 3-го порядка:сферическая аберрация и дисторсия (0+3-3), кома и астигматизм (1+2-3), кома и кривизна поля (1+2-3).

В 7-м порядке формулы перехода еще более усложняются и содержат поправки уже трех видов:

Б'

7(1)

г8 241(2-1) , 24^(г-Ь) з _

/ 4.Ч8 7(1) 5(1) 3 —— 2 _ 2 э

(2-1) 5пг

с г г 5п г

_24^_5, 2

3

5пг (г-1)

С' = _?-с--2

7(1) (г-1)7 7(1) (г-1)

+ 5С' Б') - 2АЬ2[г-Ь)23,2с, _ 5(1) 3 5п222 3 3

7

-31: (ЗБ' С' +

, . 8 7(1) ___ 4 5(1)3

5пг

8Ь

5пг(г-Ь)

(ЗБ;С;-Б;2);

2г6Ь

7(1)

21(г-5пг

(2-1)

6 7(1)

(2-1)

7 7(1)

6.2 + —^— Б

(2-1)

8 7(1)

V (б7 А' + 7С С' + 4Р'Б'] - [7Б;2А; +

I 5(1) 3 5(1) 3 5 3] 15п г 1

+ 29Б

3' , 7(2)

'С'2)-з з ]

21

15пг(г-1)

К2-

16Б'С' + 6Б'А' + 13С зз зз з

/ 2

6 (2)

2г6Ь

61(2-1) 5пг

(2-1)

¡Б' Е' I 5(1) 3

(2-1)

6.2 г X. „ _г + —-—--Б

7 7 ( 1 ) - * 8 7(1)

+ С' С' + 2Б

3 5(1)3

(2-1) Б' ] -

5(2) ЗJ

212(г-1)2

Г 2 2

5п 2

(7б;

Г' +

з з

+ 5S'C,21--—- is'2 - 4S'C'+ 6S'F'+ С'2] ?

3 3 J 5nz(z-t) l 3 33 33 3 >

M' =-——M--—p + 3z5t2 . z5t3 s

7 (z-t)5 7 (z-t)6 7(1) (z-t)7 7(1) (z-t)8 7(1)

3t(z-t) ' 4 —2'" 2

¡2C' A' + 5P'C'+ Z'S')- 2t (2"t)— Í7S'C'A' + 5(1)3 53 5 3 ,-22 I 333

____ v 1 5n z v

+ 5C'3l--—- is 'С'- 2S ' А' - 5C'2+ 4CA') ;

3 ^ / Х.ч1з3 33 3 33J

J 5nz(z-t)v '

5 5, f _ 5.2

С =—2- С - z * S + 2P -f 3Z С

7(2) (z_t)5 7(2) (z_t)6 ( 7(2) 7(1) (z_t)7 7(1)

5.3

--—--S - t(z~t) iSz D/+ 5C F'+ 2 С' A' + 6S' C' +

. ..8 7(1) „ I 5(1) 3 5 ( 1 ) 3 5(1) 3 5(2 ) 3

(z-t) 5nz v

+ 4P'C'+ б С' S'l- 2t — Í3S' 2D' +8S'C'A'+ 18S'C'F'+ 7C

5 3 5(2 ) 3l .- 2 2 33 333 333

' 15n z v

, 3

2t

15nz(z-t)

Í5S'C- 4S ' A' - 6S'F'+ 3S'D'-7C'2 + 2C'A' + 9C F' | ;

[ 3 3 33 33 33 3 33 33j

B- . в . 4«Ч M + 6z4t2 . 4Z"t3

7 (z-t)4 7 (z-t)5 7 (z-t)6 7i" (z-t)7 7<"

+ S - »t(«-t) (p.A,+ z,c,]_ 4t2(z-t)2 Г

8 I 5 3 5 3J Sn2*2 l 3 3

(z-t) 5nz v ' 5n z

1--- ÍC'2- 4C-A-+ A' 2] ;

I Snz(z-t) l 3 33 3 >

+ SC;2A;I-

(Z-t) (Z-t) (Z-t)

4243 с л+ 244 S - 2t(z-t) r (z-t)7 7(1> (z-t)8 7(1) 5nz l 5(1) 3 5 3

2P'F'+S' A'+ Z'C'+ 4C' C'+ A'S'l- 2t — fôS'C'D'

5 3 5(2) 3 5 3 5(2) 3 53J ._22 I 333

' 15n Z 4

+

3

+ 3 S'A'2+5S'A'F'+12C'2A'+10C 2F'1--—- [3S'A' +

33 333 3 3 3 31.-.. . I 3 3

' 15nz (z-t)

+ S'F'- 3S'D'+ 4C'2- IOC' A' - 8C'F'+ 4C'D'+ А'2+ ЗА' F' 1 ?

33 33 3 33 33 33 3 3 3 J

s:...--isiî-c + 2гЧг is + 2P -

------------6^7(2) 7(1)

(z-t)' (z-tr ' (z-t)

4.3 4,4

(z-t)7 7(1) (z-t)8 7(1) 5nz I 5(1) 3 5(2) 3

2c;(2,c;+ f;s;)- 4[1{ТУ2 (es;c;p;+ 5s;f;2+ 2c;2a;+

+ 5С' 2F' I-

3 3

I--—- |2S'F'- 4S'D'+ 3C 2 - 4C'F' + 2C'D'+ 3F'2] ?

J 15nz(z-t)V 33 33 3 33 33 3 J

Z' =-—-Z- z3t , Í3P , + 2B U Гзс +

7 (z-t)3 7 (z-t)4 1 7(2) 7) (z-t)5 1 7(2)

„3, 3 3.4 3,5

+ 7M )--^—(S , + 9P U 5Z t С -S

7) (z-t)6 1 7(2) 7(1)j (z-t)7 7(1) (z-t)8 7(1)

- 3^(z"t} (p;°;+ 2z;a;+ z;f;+ 2c;(2,a;+ 2a;c;)-5nz

- 2t — (S' A' D' + 2C/2D'+ 5C'A/2+ 4C' A' F' ) -

_ 2 2 v 3 3 3 33 33 3 3 3'

5n z

f 3C' A' + C'F'- 2C'D'- ЗА'2- 2A'F' + A'D') ;

V 3 3 33 33 3 33 3 3'

5nz(z-t)

3 3.

С' =---С --—- is + 4P ] +

7(3) (Z-t) 3 7(3) (Z-t)4 1 7(3) ?(2)j

+ 6C' , ,F' + 4A' С' +3F' С' + D'S')- 4t (2S'A'D' +

5(2) 3 5(2) 3 53 53 5 3' ,-22^333

15n Z

+ 2S'F'D'+ 5C/2D'+ 2C'A/2+ 4C'A'F' + 3C'F'2)--—- (3S'D'+

333 3 3 33 333 33' ,<r/4.4V33

15nz(z-t)

+ 6C'A'+ 5C' F' - 10CD'- 4A'F' + 2A' D' - 3F'2 + SF'D'I ;

33 33 33 33 33 3 3 3'

2 2 2 2 A' =-?-A--2z_t_ , - fS +

7 (z-t)2 7 (2-t)3 1 7,3> ^ (z-t)4 1 7'3'

2. 3 72i-4

+ 10P , + 4B ]--4z z Í2C , + 3M ) + +

7(2) ?J (z-t)5 1 7(2) 7i (z-t)6 ^ 7(2)

7(1,j (z—t)7 7(1) (Z-t)8 7(1> 5nz k 5 3

2 2

+ 2c;(2,d;+ 2a;f3+ W рвсЗ)- 2t:¿TV (s3d;2+

ion z

+ 16C'A'D'+ 6C' F' D' + 4A'3+ 6A' 2F' + 3A'F'2)--—- (6Сэ°э

+

15nz(z-t)

+ 6A^2+ F^2- 12A^D^- D^2) ;

F' Z2 6z2t 0 i 3z2t2 /g + 4p л

7--2~ 7--3~~ 7 ( 3 ) T ^7(3) **7<2>'

(z-t)2 (z—t) (Z-t)

(z-t)7 7<1> (Z-t)8 5nz

+ F'F'+ D'C')- 2t'(z"t)2 (S;D;2+ 4C;A;D;+ 6C;F;D;+ F;3)-

5 3 5 3' _22 3 3 333 3 3 J J

5n Z

--iË-(6C;D;+ F;2- 4F;D;+ D;2) ;

5nz(z-t)

D; (P7+ 6A7) + -^!_ (3C7(3)+ 4Z7)-

z-t (Z-t) (Z-t)

z-t

+ 4A;2D;+ 4A3F3D3+ n2p;)- - Г - (2a;d;+ d;2) .

5nz(Z-t)

6t

Первые два вида поправок в выражениях (25) (произведения коэффициентов 5-го и 3-го порядков и тройные произведения коэффициентов 3-го порядка) подчиняются закономерности, установленной для поправок в 5-м порядке, то есть суммарная степень полевых координат в аберрациях, образующих комбинацию, совпадает со степенью полевых координат в соответствующей аберрации 7-го порядка..

Третья поправка (квадратичная по коэффициентам Б^) подчиняется

несколько другим правилам. В выражение для данной аберрации входят комбинации, которые содержат полевые координаты в той же степени или в меньшей, но не более, чем на два. Например, вторая кома в 7-м порядке (с7(2)) содержит полевые координаты в степени 3 и зависит от следующих квадратичных комбинаций аберраций третьего порядка: сферическая аберрация и кома (0+1-1), сферическая аберрация и астигматизм или кривизна поля (0+2-2), сферическая аберрация и дисторсия (0+3-3), квадрат комы (1+1-2), кома и астигматизм или кривизна поля (1+2-3). В квадратичной поправке имеет место и чередование знака комбинации в зависимости от четности

суммарной степени полевых координат.

Необходимо также отметить, что не все из возможных комбинаций

аберраций низших порядков фигурируют в поправках. Так, например, поправки для кривизны поля не содержат практически комбинаций, включающих астигматизм. В целом отмеченные закономерности построения формул перехода позволяют только с определенной степенью достоверности представить качественный вид аналогичных соотношений для 9-го и последующих порядков, но не дают возможности получить их точную форму.

1. Kohlschutter А., 1908, Diss., Gottingen.

2. Герцбергер М. Современная геометрическая оптика / Пер. с англ. М. : Изд. -во иностр. лит-ры, 1962, 487 с.

3. Buchdahl Н.А. Optical Aberration Coefficients. London, Oxford Univ. Press, 1954.

Литература

4. Andersen Т. В. Automatic Computation of Optical Aberration Coefficients//Appl. Optics, 1980, v.19, N 22, p. 3800-3816.

5. Tatian B. Aberration balancing in Rotationally Symmetric Lenses//JOSA, 1974, v.64, p.1083-1091.

6. Hopkins G.W. Proximate Ray Tracing and Optical Aberration Coefficients//JOSA, 1976, v.66, N 5, p.405-410.

7. Бобров С.Т., Грейсух Г.и. , Туркевич Ю. Г. Оптика дифракционных элементов и систем. JI. : Машиностроение, 1986,

223 с.

8. Focke J. Higher Order Aberration Theory//Progress in Optics, 1965, v. 4, p.1-36.

9. Родионов С. А. Об изопланатизме в произвольных оптических системах//0птика и спектроскопия, 1979, т.46, вып. 3, с.566-573.

10. Родионов С.А. Автоматизация проектирования оптических систем. JI. : Машиностроение, 1982, 270 с.

11. Чуриловский В.Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. JI. : Машиностроение, 1968, 312 с.

12. Kovatchev М. , Ilieva R. Aberration Characteristics of Optical Elements//Proc. SPIE, 1989, v.1183, p.138.

13. Spencer G. N. , Murty M. V.R. K. General Raytracing Procedure//J. of Opt. Soc.Am., 1962, v.52, N 6, p.672-678.