CC BY
92ф?иуигеасие исследования & $(саЯ<шшсе
ЭКОНОФИЗИКА, ИЛИ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ И АНАЛИЗЕ
Л.Н. РОМАНОВ,
доктор экономических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, ректор Всероссийского заочного финансово-экономического института (ВЗФЭИ)
И.Я. ЛУКА СЕ ВИЧ, доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой финансового менеджмента ВЗФЭИ
В.И. ГУСЕВ, кандидат технических наук, доцент ВЗФЭИ
1. ВВЕДЕНИЕ
Неологизм «эконофизика» был введен физиками для обозначения круга проблем, связанных с внедрением методов статистической физики в экономическую теорию. Формулирование фундаментальных принципов управления сложной системой, каковой является реальная экономика, далеко от завершения. Встает вопрос: могут ли методы современной физики помочь исследованиям и дать решение проблем, поставленных современной экономической теорией, которые не могут решить сами экономисты?
Один из возможных подходов - в духе экспериментальной физики - начать с эмпирических данных, которые можно анализировать в деталях, не прибегая к предварительному построению каких-либо моделей. В экономике мы обычно имеем дело с огромным количеством реальных данных. Если взять на вооружение инструменты статистической физики и современные вычислительные мощности, то это богатство данных может оказаться просто неоценимым. Таким образом, для физиков изучение экономики означает изучение множества данных в некой априори сложной системе. В последние десять лет все большее число физиков рассматривают проблемы, выдвинутые экономической теорией, и их работы отмечены немалыми достижениями.
Одно время считалось, что масштабно-инва-риантные явления могут наблюдаться только в некоторых физических контекстах. Однако диапазон систем, которые явно демонстрируют показательный закон в вероятностных распределениях и масштабно-инвариантные корреляции, в последнее время резко расширился, простершись от корреляций в ДНК, легочного дыхания и сердечного ритма у человека до сложных систем, состоящих из большого количества взаимодействующих элементов, которые демонстрируют «свободу воли», как это, например, отмечено в процессе роста городов или в поведении животных. В частности, временные ряды в экономике, например индексы фондовых рынков или обменные курсы валют, зависят от эволюции большого количества сильно взаимодействующих факторов и принадлежат к классу сложных развивающихся систем. По этой причине статистические свойства финансовых рынков в настоящее время привлекают интересы физиков (наиболее полные обзоры трудов по данной тематике можно найти в [1,2]).
2. НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ
Финансовые рынки демонстрируют ряд свойств, которые характеризуют сложные системы. Это открытые системы, в которых множество подсистем взаимодействуют при наличии обрат-
ных связей. Правила, регулирующие действие финансовых рынков, достаточно устойчивы, и временная эволюция этих систем подвергается непрерывному мониторингу. В настоящее время стало возможным развить модели и протестировать их точность и предсказательную мощь, ввиду того что созданы большие базы высокочастотных данных.
Одна из активно развивающихся областей теории финансов - это оценивание производных инструментов. В простейшем случае актив описывается стохастическим процессом, и производная ценная бумага оценивается на основе типа, величины и статистических свойств актива. Эта проблема может быть представлена по меньшей мере двумя различными аспектами: (1) «фундаментальными», то есть относящимися к природе случайного процесса, которому следует этот актив, и (2) «прикладными» или «техническими» аспектами, которые имеют отношение к решению проблемы цены опциона в предположении, что лежащий в основе актив следует именно этому случайному процессу.
В последнее время все большее число физиков пытаются анализировать и моделировать финансовые рынки и - шире - экономические системы. Интерес общества к финансовым и экономическим системам уходит корнями в 1936 год, когда Майоран написал свою пионерскую статью о сущностной аналогии между статистическими законами в физике и социальных науках . Эта неортодоксальная точка зрения рассматривалась до недавнего времени всего лишь как представляющая маргинальный интерес. И действительно, вплоть до 1990-х годов очень мало профессиональных физиков занимались исследованиями социальных или экономических систем. Исключение составляла, пожалуй, только группа ученых-физиков из Института Санта-Фе [3].
Начиная с 1990 года активность физических исследований в этой области стала менее эпизодической, а круг исследователей расширился. Стали издаваться новые междисциплинарные журналы, организовываться конференции, и, на первый взгляд, обнаружилось множество научных проблем, легко поддающихся разработке. Исследовательская активность этой группы физиков дополняет наиболее традиционные подходы в теории финансов и финансовой математике. Характерное отличие состоит в том, что физики кладут в основу эмпирический анализ экономических данных и используют теорию и методы, развитые в области статистической физики за последние 30 лет. Концепции скейлинга, универсальности, неупорядоченности, фрустрированных
и самоорганизующихся систем могут оказаться полезными в анализе и моделировании финансовых и экономических систем. Бытует мнение, что эмпирический анализ, выполненный с финансовыми или экономическими данными, неэквивалентен обычному экспериментальному исследованию, которое имеет место в физических науках. Другими словами, невозможно выполнить крупномасштабный эксперимент в экономической теории и финансах, который мог бы опровергнуть некую заданную концепцию.
Заметим, что это ограничение специфично не только для экономических и финансовых систем, но также имеет место в таких хорошо развитых областях физики, как астрофизика, физика атмосферы и геофизика. По аналогии с деятельностью в этих более определившихся областях физики считают, что способны проверить и опровергнуть какую-либо теорию, связанную с постоянно доступными множествами финансовых или экономических данных, которые существуют в виде записанных файлов.
Одно из важных направлений физических исследований, имеющих дело с финансовыми и экономическими реалиями, сосредоточено на всестороннем описании стохастических процессов изменения цен финансовых активов. Выполнен ряд исследований по различным аспектам анализа стохастических процессов, в том числе относительно формы распределения ценовых изменений, временной памяти и статистических свойств высоких порядков. Эта область продолжает активно разрабатываться с целью создания наиболее удовлетворительной стохастической модели, описывающей все черты, обнаруженные в эмпирическом анализе. Важным достижением в этой области является почти полное согласие относительно конечности второго момента ценовых изменений. Это давняя проблема в финансах, и ее решение стало следствием возродившегося интереса к эмпирическому изучению финансовых систем.
Вторым направлением исследований является развитие теоретической модели, которая способна заключить в себе все сущностные черты реальных финансовых рынков. Предложены различные модели, в которых отражены некоторые основные черты стохастической динамики фондовых цен, например, лептоэксиессная «толстохвостость» не-гауссов-ской формы распределения ценовых разностей. Одновременно были предприняты попытки такого моделирования со стороны экономистов.
Другая интенсивно разрабатываемая область исследований относится к рациональному оцениванию производных ценных бумаг, когда некоторые канонические предположения модели Блэка
и Шоулса ослаблены, а также к аспектам выбора портфеля и его динамической оптимизации. Кроме того, отдельной областью исследований может рассматриваться изучение сходства и различия между финансовым рынком и таким физическим процессом, как турбулентность, или экологическими системами.
Одной общей темой в этих исследовательских областях является временная корреляция в финансовых рядах. Обнаружение высокопорядковых корреляций в ценовых изменениях побуждает к пересмотру некоторых положений так называемого «технического анализа».
В дополнение к этим исследованиям, связанным с анализом и моделированием финансовых систем, имеются исследования распределения доходов фирм и статистических свойств скорости их роста. Исследуются также статистические свойства экономической активности сложных организаций, таких как университеты или целые страны.
Вышеизложенное краткое описание некоторых направлений и работ в этой молодой дисциплине иллюстрирует только цели и не может быть исчерпывающим. Более полную информацию об эконофизике можно почерпнуть, например, в [1,2].
3. КОРРЕЛЯЦИИ И ВОЛАТИЛЫЮСТЬ
Недавно ставшие доступными «высокочастотные» данные позволяют изучать экономические временные ряды в широком диапазоне временных масштабов - от нескольких секунд до нескольких лет. Как следствие, появилась возможность применить методы статистической физики для исследования временной эволюции рыночных цен и обменных курсов валют.
Предварительные исследования доказывают, что стохастические процессы ценовых изменений характеризуются определенными особенностями. Вероятностные распределения ценовых изменений имеют вытянутые толстые «хвосты» - в противоположность распределению гауссовскому. Автокорреляционная функция ценовых изменений спадает экспоненциально с характеристическим временем ~ 4 минуты. Однако недавние исследования показали, что амплитуда ценовых изменений, измеренная по абсолютной величине или квадратично, демонстрирует корреляции по показательному закону с большим временем персистентности (устойчивой тенденции изменения) - вплоть до нескольких месяцев.
Эти долговременные зависимости, иногда называемые «вторичными», часто соотносят в эконо-
мической литературе с волатильностъю. Волатиль-ность ценовых изменений акций есть мера того, насколько рынок подвержен флуктуациям. Первым шагом в такого рода оценках является конструирование оценочного показателя волатильности. Им, например, может быть локальное среднее абсолютных ценовых изменений.
Понимание статистических свойств волатильности имеет важное практическое значение. Во-латильность - предмет пристального интереса трейдеров, поскольку она квантифицирует риск и потому определяет ценность моделей, включая классические модели Блэка и Шоулса или биномиальные модели Кокса, Росса и Рубинштейна, которые основаны на оценке волатильности активов в продолжение оставшегося времени жизни опциона. Без эффективной оценки волатильности трейдерам трудно идентифицировать ситуации, когда опционы могут быть недооценены или переоценены .В литературе предложено много различных количественных определений волатильности.
Многие недавние работы основаны на анализе индекса S&P 500 - индексе Нью-Йоркской фондовой биржи (NYSE), который охватывает 500 американских наиболее представительных и крупных по объему выпуска акций компаний и составляется как средневзвешенный курс по этим объемам. S&P 500 является одной из наиболее широко используемых баз статистики американских ценных бумаг и одним из самых широко используемых банками США индексов для оценки волатильности ценных бумаг.
Проанализированные данные покрывают большие периоды (до 13 лет, январь 1984 - декабрь 1996 годов) с частотой записи в 1 минуту или короче (рис. 1). Общее количество точек данных в 13-летнем периоде превышает 4 миллиона [6]. В этом периоде индекс S&P 500 имеет общую тенденцию к возрастанию, приблизительно линейную, прерываемую резкими событиями октября 1987-го и мая 1990 года.
В этом исследовании в качестве волатильности бралась локальная средняя величина изменения абсолютной цены в определенном интервале, который выбирается в качестве подгоночного параметра. На рис. 1а индекс S&P 500, - на оси ординат в логарифмической шкале он обозначен как Z(T), - в период с 1984 по 1997 год. Изменение цены G(T) определяется как изменение логарифмов индексов
G(T) = lnZ(t+8t) - lnZ(t), где 5t — некоторый временной интервал.
Абсолютная величина G(t) описывает амплитуды флуктуаций, как показано на рис. 16. В проти-
вополжность рис. 1а здесь не видно глобального тренда. Большая абсолютная величина соответствует большему падению или взлету.
Волатильность определяется в данном случае как среднее абсолютных величин G(t) во временном окне T=n8t, п - осредняющий параметр. На рис. 1в показана рассчитанная осредненная волатильность V(t) для временного окна Т=8190 мин (около 1 месяца). Эта волатильность сильно флуктуирует во время краха 1987 года. Здесь также заметна кластеризация волатильности. Колебания перед крахом могут рассматриваться как возможный предсказатель. Это явление легло в основу так называемых осцилляторных моделей [7]. Кластеризация также наблюдается в других периодах, где волатильность остается на достаточно низком уровне, например во второй половине 1990-х годов. Существуют также длительные периоды низкой волатильности, например 1985 и 1993 годы.
В расчет принималось только чистое время работы фондового рынка, без учета ночей, выходных дней и каникул, при этом закрытие и следующее открытие рынка не считалось за разрыв непрерывности. Оказалось, что распределения приращений в экономических временных рядах (как индекса фондового рынка, так и обменных курсов валют) почти симметричны и имеют очень толстые «хвосты» - они «лептоэкс-цессны». Смещение как функция времени демонстрирует экспоненциальное уменьшение корреля-
1984 1988 1992 1996
Рис. 1. Долговременный анализ индекса S&P 500 [2]
ции, которая падает до уровня шума после нескольких минут, - и это делает его фундаментально разнящимся от многих хорошо изученных примеров, являемых сложными динамическими системами. Например, в физическом турбулентном потоке показательный закон долговременных корреляций наблюдаем повсеместно.
Ситуация отлична для волатильности, как было показано, рассчитанной осреднением рыночных флуктуаций в некотором временном интервале, где она демонстрирует долговременную персистентность - намного большую, чем время корреляции в ценовых изменениях. Являясь основой достоверности всех моделей цен опционов, волатильность должна оставаться неизменной в продолжение жизни опциона.
Используя два известных спектральных метода, а также новый метод, известный под названием детрендированнного флуктуационного анализа (БРА), Ли и др. [6] обнаружили долговременные корреляции волатильности, возникающие в нестационарных временных рядах, отделив их от видимых долговременных корреляций, которые являются обыкновенным следствием нестационарности. Для проверки этого предположения использовался метод перемешивания данных.
4. ГИСТОГРАММЫ ЦЕНОВЫХ ИЗМЕНЕНИЙ
Ввиду того, что экономические системы слагаются из большого количества взаимодействующих элементов, разумно предположить, что они могут обнаружить некие закономерности при скейлинговом анализе. В 1963 году Б.Мандельб-рот нашел, что гистограмма флуктуаций хлопковых цен подчиняется скейлинговому распределению - распределению Леви. Предпринятое позже изучение показало, что высокочастотные флуктуации индекса 8&Р500 также демонстрируют скейлинговое поведение. Проанализировав почти миллион записей с одноминутным интервалом, сделанных на протяжении 6 лет, Мантенья и Стенли нашли, что флуктуации в одноминутных интервалах отражались в 10-, 100- и 1 000-минутных интервалах. В свою очередь индекс прибылей соответствует распределению Леви с резким падением на хвостах. Эти скейлинговые свойства означают, что картина рыночных прибылей в одноминутных интервалах может пролить свет на аналогичную картину в интервалах 1 000-минутных.
Таким образом, «Леви-участок» распределения Б&Р500 согласуется с результатами Мандельбро-
та, однако не совпадает хвостовой срез, - возможно, потому, что хвостовая статистика в низкочастотных измерениях не превышает уровня шума.
Был поставлен вопрос о том, действительно ли это расхождение может возникнуть вследствие того факта, что S&P500 является осреднением по многим фирмам. Чтобы выяснить это, были проанализированы данные по трем ведущим фондовым рынкам США: Нью-Йоркской фондовой бирже (NYSE), Американской фондовой бирже (АМЕХ) и Системе автоматической котировки Национальной ассоциации биржевых дилеров (NASDAQ) - за двухлетний период, с января 1994 по декабрь 1995 года. [2]. Была сделана выборка приблизительно в 40 миллионов точек, то есть намного большая, чем выборки в работах Ли (4 миллиона) и Мандельброта (2 тысячи). Замечательным результатом этой работы явилось обнаружение того факта, что за пределами участка Леви ( О < а < 2) распределение хорошо аппроксимируется показательным законом с а=3. Похожие величины а были найдены для изменений индекса S&P500 (а - индекс распределения Леви, характеризующий степень островершинности функции плотности вероятности; в нормальном распределении а=2; в случаях фрактальных распределений а находится между 1 и 2.)
Гистограмма волатильности может быть проанализирована таким же способом, как и гистограмма ценовых изменений, при этом результаты оказываются похожими. Небезынтересно отметить, что гистограмму волатильности первоначально принимали за логнормальное распределение.
Итак, первоначальные предположения о гистограмме индексных изменений были следующими:
а) гауссовское распределение (Башелье);
б) распределение Леви;
в) усеченное распределение Леви, где хвосты «приблизительно показательные».
Найденный гиперболический закон с а=3 отличается от всех трех упомянутых выше предположений. В отличие от а) и в) он имеет расходящиеся высшие моменты; в отличие от а) и б) не является устойчивым распределением.
5. МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Обсудим гипотезу, состоящую в том, что все агенты экономической системы могут взаимодействовать, подобно тому, как это имеет место в спиновом стекле [7], где каждый спин взаимодействует со всеми другими спинами.
Если продажи фирмы А уменьшаются, например на 10%, не исключено, что это будет иметь последствия для всей экономической системы. Некоторые из этих последствий будут благоприятными: фирма В, которая конкурирует с фирмой А, может получить преимущества на рынке. Другие последствия могут стать отрицательными -обслуживающие отрасли, которые обеспечивают персоналом фирму А, могут ощутить падение в продаже рабочей силы, так как зарплата будет снижаться. Другими словами, существуют как положительные, так и отрицательные корреляции, возможно, всех экономических перемен. Можем ли мы в таком случае рассматривать экономику как спиновое стекло?
Чтобы изучить эту интересную проблему, Ю. Стенли создал базу данных под названием COMPSTAT, куда записываются ежегодные размеры каждой фирмы США. Используя накопленную информацию, он рассчитал гистограммы, показывающие, как размеры фирм изменяются от года к году. Были построены 15 гистограмм -каждая для одной из 15 размерных градаций фирм. В интервале наибольших размеров имеет место очень узкое распределение скоростей роста, -возможная причина состоит в том, что процентное изменение размеров от года к году для этой подгруппы не может быть большим. С другой стороны, крошечные или только народившиеся фирмы могут резко увеличиваться или уменьшаться в размерах от года к году. Таким образом, каждая из этих гистограмм имеет ширину, зависящую от размеров фирм. Если эту ширину нанести на ось Y в двойной логарифмической шкале как функцию размеров фирм (ось X), полученная зависимость оказывается почти линейной в диапазоне, где наибольшая и наименьшая величины отличаются на восемь порядков. Эта ширина обратно пропорциональна размеру фирмы с коэ-фициентом 6, то есть log (у) = - 6 log (х). Посредством нормализации этой скорости роста можно показать, что данные лежат на одной прямой, тем самым демонстрируя скейлинг этой меры.
Почему так происходит? Окончательного ответа на этот вопрос пока нет. Амарал и др. [9] предложили имитационную модель роста и развития фирм (клеточный автомат), которая дает результаты, совпадающие с реальностью, в том числе вероятностное распределение логарифмов размеров фирм, стандартные отклонения скоростей роста фирм в сопоставлении с их размерами и т.п. Такаяси и Окаяма [10] распространили эти эмпирические результаты на широкий диапазон стран и развили другую модель.
Можно допустить, что существуют некие общие принципы самоорганизации, которые лежат в основе обнаруживаемых гиперболических законов - в системах, на первый взгляд, между собой абсолютно не схожих. Например, вместо изучения скорости роста фирм можно подвергнуть изучению скорости роста стран посредством анализа годовых приростов внутреннего валового продукта (ВВП). Такое рассмотрение показывает, что гистограммы ВВП ведут себя подобно гистограммам размеров фирм и даже с одинаковым коэффициентом пропорциональности, равным -6 [11]. Плерой и др. проанализировали таким способом базу данных исследовательских бюджетов 719 американских универ-систетов и нашли аналогичную зависимость, но с коэффициентом, равным -4 [12].
Эти эмпирические результаты интересны тем, что являют собой отклонения от традиционных моделей экономических (и популяционных) систем, в которых полное множество данных всегда подразделяется на сильно взаимодействующее и слабо взаимодействующее подмножества. При этом неизбежно упрощаются или вовсе игнорируются слабые взаимодействия.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, целый ряд вопросов, естественным образом возникающих в экономической теории, может быть исследован количественно путем использования эмпирических методов анализа, применяемых в физике для изучения критических явлений. Количественные аспекты поведения сложных экономических систем, состоящих из множества одушевленных единиц, аналогичны тем, какие наблюдаются в интерактивных системах неодушевленных. В чем здесь причина? Концептуальная схема критических явлений находит все большее применение в различных областях - физике, химии, биологии, экономике.
Возможный ответ состоит в том, что корреляции распространяются в системах, состоящих из элементов, где «каждый зависит от каждого другого». Здесь заключен парадокс. Интуиция говорит нам, что корреляция С(г) между элементами системы, отстоящими на расстояние г, должна уменьшаться экспоненциально с увеличением г. Можно ожидать, что С(г)~е"г/Т, где у- корреляционная длина, характеризующая масштаб длин, больше которых эта функция корреляции пренебрежимо мала. Эксперименты и математическое моделирование подтверждают, что корреляции обычно спадают экспоненциально, но, если система находится в критической точке, то скорость этого спада экспоненциально уменьшается, непостижимо приводя к ги-
перболическому закону долговременного убывания: у стремится к бесконечности!
Каким же образом корреляции могут в действительности распространяться на бесконечное расстояние бе? каких-либо «усилительных станций» вдоль своего пути? Можно понять такое «бесконечное распространение» как возникающее из огромного умножения связующих два спина путей. Эта корреляция между двумя спинами вдоль каждого из путей взаимодействия уменьшается экспоненциально с длиной пути. С другой стороны, количество таких путей взаимодействия увеличивается экспоненциально с характеристической длиной, которая зависит только от размерности системы. Это экспоненциальное увеличение представляет собой скорректированный «мягким угасанием» показательный закон, который является всего лишь исключением для одного специального условия - критической точки.
В критической точке этот фактор коррекции показательного закона мягкого угасания на множестве путей взаимодействия, обычно незначительный, становится победителем в противостоянии между двумя противоположными экспоненциальными эффектами. Как результат, два спина коррелируют даже на произвольно большом отдалении.
В некотором смысле проблема интерпретации корреляций между изменениями рыночных цен похожа на трудности, которые испытывали физики в 1950-х годах при интерпретации спектра сложных ядер. Тогда стало доступным большое количество спектроскопических данных относительно энергетических уровней, но оно было слишком сложно для объяснения посредством модельных расчетов, поскольку точная природа внутриядерных взаимодействий оставалась неясна. В этом контексте была развита теория случайных матриц, призванная обработать эту статистику энергетических уровней сложных систем. [13].
Недавно методы теории случайных матриц были применены к похожим проблемам в финансах. Плерой и др. [14] проанализировали корреляционную матрицу ценовых изменений акций тысячи наибольших американских компаний, с тридцатиминутными интервалами на протяжении двух лет - 1994-1995 годов. В такой сильно интерактивной системе, как экономика, можно было ожидать заметных корреляций между составляющими частями. Однако они с удивлением нашли, что хотя статистика наибольшего количества собственных значений в спектре согласуется с универсальными свойствами, предсказанными теорией случайных матриц, тем не менее существуют
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ж£бт>ъя -к ърлхжъы 2 - 2002 (сентябрь-октябрь)
отклонения для небольшого количества наибольших собственных значений. Эти отклонения отражают корреляции между акциями, не объяснимые лишь посредством случайностей.
Одно из новых направлений в эконофизике — применение метода фазовых траекторий для анализа временных рядов (котировок акций, значений фондовых индексов и т.п.), предложенного Батуниным и др. [15]. Авторы новой методики получили нетривиальные результаты в подтверждение гипотезы о реализации сценария Фейген-баума — от порядка к хаосу через цепь бифуркаций - на рынке ценных бумаг. При исследовании анализировались данные по российскому рынку ваучеров и данные по фондовому индексу S&P 500.
Цель эконофизиков - получить результаты, которые будут признаны экономическим сообществом. Приложение методов статистической физики в экономике может оказаться весьма значимым, а результаты впечатляющими.
ЛИТЕРАТУРА
1. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М. Мир, 2000.
2. R.N. Mantegna, Н.Е. Stanley. «An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance». Cambridge University Press. Cambridge, 2000.
3. P.V. Anderson, J.K. Arrow, D. Pines (Eds.) The Economy as an Evolving Complex System. (Addison-Wesley, Redwood City, 1988)
4. J. Kertesz, I. Kondor (Eds). Econophysics: Proceedings of the Budapest Workshop. Kluwer Academic Press. Dordrecht, 1999.
5. R.N. Mantegna (ed.) Proceedings of the International Workshop on Econophysics and Statistical Finance. Physica A (special issue) 269, 1999.
6. Liu Y., Gopikrishnan P., Cizeau P., Meyer M., Peng C.-K., Stanley H.E. «Statistical properties of the volatility of price fluctuations», Physical Rewiew E, vol.60 N2, 1999).
7. D. Sornette, A.Johansen. «А hierarchial model of fxnansial crashes». Physica A 261 p.5481 1998.
8. A.A. Ежов, C.A. Шумский, Нейрокомпьютинг и его приложения в экономике и бизнесе. М.
9. Y. Lee, L.A.N. Amaral, D. Canning, M. Meyer, H.E. Stanley. «Universal Features in the Dynamics of
10. H. Takauasu, K. Okuyama. «Country Dependence on Company Sise Distributions and a Numerical Model Based on Competition and Cooperation». Fractals 6, p. 67, 1998.
И. V. Plerou, L.A.N. Amaral, P. Gopikrishnan, M. Meyer,Stanley H.E. «Research at Universities: Ivory Tower or Competitive Enterprise?». Nature 400, 1999.
12. V. Plerou, L.A.N. Amaral, P. Gopikrishnan, M. Meyer,Stanley H.E. «Research at Universities: Ivory Tower or Competitive Enterprise?». Nature 400, 1999.
13. M.L. Mehta, Random Matrices. Acad. Press, Boston, 1991.
14. V. Plerou, P. Gopikrihsnan, B. Rosenow, L.A.N. Amaral, H.E Stanley. «Universal and Non-Universal Properties of Cross-Correlations in Financial Time Series». Phys. Rev. Lett. 83p.!471. 1999.
15. Батунин A.B., Килячков А.А., Чаадаева JI.A. «Фазовые траектории динамических систем на рынке ценных бумаг».//Финансы и кредит. 2001. № 17(89). С. 2.
