CC BY
53
ф
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
3-S. J'ucuh,
завкафедрой «^Математика и финансовые приложения»,
yLЪ. МЛа. повал,
доцент кафедры «Математика и финансовые приложения»
S..JI. Лунева,
аспирантка кафедры «УНатематика и финансовые приложения»
АГЕНТНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ ФОНДОВОГО РЫНКА1
Л| ш # радиционная экономическая теория описывает финансовые рынки как //1* состояние равновесия, возникшее у системы экономических агентов, действующих рационально, опираясь на одинаковую информацию [1, 2]. Однако этот подход сталкивается с трудностями при объяснении наблюдаемых достаточно общих статистических закономерностей (stylized facts).
Опишем их подробнее.
1. Для распределения логарифмической доходности характерны тяжелые хвосты [3]. Например, если рассмотреть крупные индексы фондового рынка, то вероятность больших по модулю значений логарифмической доходности убывает степенным образом.
2. Центральная часть распределения логарифмических доходностей близка к экспоненте.
3. Финансовые временные ряды демонстрируют фрактальные свойства
[4]. Речь здесь идет не только о фрактальной размерности самих рядов, но и о различных наблюдаемых закономерностях, выдерживающих степенное пе-ремасштабирование.
4. Финансовые временные ряды характеризуются долгой памятью, определяемой с помощью корреляционной функции (кластеризация волатильности).
5. Деятельность некоторых рыночных агентов носит спекулятивный характер. В результате образуются так называемые пузыри {bubbles).
Определенное несогласие между классической теорией и статистическими закономерностями привело к созданию альтернативных подходов к модели-
1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФП 08-06-00283-а
рованию финансовых рынков. Появились факторные и (или) регрессионные модели. В них априори предполагается зависимость текущих рыночных показателей от их предыдущих значений и от некоторых фиксированных факторов. Задача заключается в нахождении этой зависимости с приемлемой ошибкой. Существенное продвижение в этом направлении связано с GARCH -моделями
[5], в которых в качестве фактора используются значения волатильности исследуемого временного ряда.
При описании эволюции временного ряда возникает вопрос о моделировании случайных влияний. Естественное предположение — считать случайность винеровским процессом. В этом случае удается построить математическую теорию финансовых рынков [6], в определенной степени соответствующую статистическим закономерностям [7].
В концептуальной работе [8] указывается, что фондовый рынок можно рассматривать как сложную систему с большим числом степеней свободы, к которой применимы методы исследования динамических систем [9]. В этой системе рыночные цены устанавливаются в результате взаимодействия большого числа агентов, поведение которых различно и лишь ограниченно совершенно. Возникшие цены не являются равновесным в обычном экономическом понимании этого термина. В сложной системе возможно достижение динамического равновесия (например, шарик, покоящийся в яме, находится в состоянии равновесия, однако и движение шарика по кругу может быть равновесием динамической системы).
Модели, описывающие рынок с помощью большого числа агентов, называются агентно-ориентированными моделями (agent based models). Так как механизм финансовых рынков сложен и недостаточно изучен, можно говорить только об интерпретации систем, определяемых агентно-ориентированными моделями, в терминах финансовых рынков. Преимущества конкретной модели определяются не сходством их правил с реальным механизмом (который можно считать «черным ящиком»), а проявлением статистических закономерностей, описанных выше.
Не претендуя на полноту, остановимся на двух конкретных моделях (их общее число велико, обзор идей и приложений дан в статье [8]).
В ряде исследований обобщена известная в физике модель Изинга и показана применимость обобщений к социально-экономическим системам [10]. Обобщение модели Изинга определяет взаимодействие рыночных агентов. Каждый агент наделён стратегией, которая может быть ограниченно рациональной [11]. Решения агента (покупать или продавать и по какой цене) зависят от его собственных предыдущих решений и их результатов, а также от действий других агентов. Именно обучаемость агентов является основным фак-
тором, адаптирующим исходную физическую модель к коллективному поведению людей. Значительный случайный эффект во взаимном влиянии агентов обеспечивает «тяжелые хвосты» распределения логарифмических доходностей и кластеризацию волатильности [12]. Стратегии, определённые в статье [13], приводят к «пузырям» и внезапным кризисам.
Вторая модель интерпретационно близка к обобщенным моделям Изин-га. В статье [14] моделируется взаимодействие между агентами. В простейшем случае два агента — покупатель и продавец устанавливают цену покупки и продажи в соответствии со своими предпочтениями. Если установленная цена покупки больше цены продажи, то происходит сделка. В противном случае продавец понижает цену, а покупатель повышает ее до тех пор, пока сделка не состоится. Цена, по которой совершена сделка, объявляется рыночной ценой. Эта схема обобщена для большого числа агентов. Согласно статье [14], модельные лог-доходности обладают «тяжелыми хвостами». Кроме того, при большом числе агентов модельная динамика имеет общие черты с САКСН-процессами.
В разделе 1 настоящей статьи обсуждается обобщённая модель Изинга. Найдены значения параметров, при которых модельная цена и индекс РТС (Российской торговой системы) имеют близкий индекс вариации. В разделе 2 обобщена модель Сато-Такайясу [14]. Установлено, что построенная модель демонстрирует рыночные статистические закономерности.
1. ОБОБЩЁННАЯ МОДЕЛЬ ИЗИНГА И ИНДЕКС РТС
1.1. Правила эволюции
Следуя статье [12], опишем эволюцию системы из N агентов. В каждый момент / агент может быть либо покупателем, либо продавцом. Функция я;(/) равна 1, если агент I — продавец и —1 в противном случае. Предполагается, что выбор позиции в момент / + 1 зависит от следующих факторов:
• ожидание £;($.)(/), формируемое агентом 1 на основе предполагаемого решения агента /;
• влияние внешних новостей С(0;
• индивидуальная информация £;(/) агента I.
Динамика модели описывается уравнением
N
(0 =
Х^(0Я(^) + ?,С(0 + е,(0
у=1
Набор функций &(/), E;(s.)(t), K.r(t) определяет поведение агента i. Коэффициенты К;. отличны от нуля только для некоторого (малого) количества индексов /. Это ограничение появляется из-за того, что лишь небольшое число агентов непосредственно влияют на решение агента i. Коэффициенты g; описывают индивидуальное восприятие внешних новостей. Они предполагаются равномерно распределёнными на (0, (Ттах). Индивидуальную информацию £; также считают случайной величиной. Она имеет нормальное распределение с нулевым средним и среднеквадратичным отклонением сг = О0+М; , где значения и. равномерно распределены в промежутке (0; 0,1). Предполагается, что
(г-i)+/i0G(/-i)
Данная формула связана с обучаемостью и приспосабливаемостью человека и делит влияние агента j на агента i на три составляющие. Число Д показывает, насколько агент i подвержен влиянию; коэффициент > о ( предполагав мый для простоты одинаковым для всех агентов) выражает влияние предыдущего решения на будущее и соответствует сопротивляемости общества новым тенденциям; Рс отражает чувствительность к внешним новостям.
Рыночная цена р(/) определяется следующими формулами:
p(t) = p(t-\)exp(r(i)), где X является показателем ликвидности рынка.
Модельная динамика существенно зависит от параметров модели. В статье [12] указаны комбинации параметров, для которых модельное поведение согласуется с рыночным. В частности, распределение логарифмической доходности является унимодальным и обладает «тяжёлыми хвостами». Для логарифмической доходности типична краткосрочная корреляция, а для волатильности — долгосрочная. Наконец, корреляционная функция логарифмической доходности обладает мультифрактальными свойствами.
1.2. Индекс вариации
В рамках гипотезы о фрактальности финансовых рынков предпринимались многочисленные попытки оценить фрактальную размерность D, индекс Херста Н и другие фрактальные характеристики финансовых временных рядов [4]. Для этих оценок обычно требуется значительное количество данных из-за медленной сходимости вычислительных алгоритмов. В статье [15] определён индекс фрактальности /и, который удовлетворительно вычисляется по относительно небольшой выборке и равен D — 1 при естественных предположениях об исследуемом ряде.
Индекс вариации |а вводится для произвольной функции /(/), непрерывной на некотором интервале (а, Ь). Разделим исходный интервал (а, Ь) на т одинаковых подинтервалов длины: ё = (Ъ — а)/т. Положим
¥/ (8 ) = 2 Г рах ДО — Ш1ПДО \
;=1 у [?;-1 ] [?;-1 ] у
где /. = а + £8, I = 0, ..., т. Если 1^(5) ^ З11 при 3—>0, то р называется индексом вариации.
Описанная конструкция легко адаптируется к дискретным данным. Установлено, что для индекса РТС МОе [0,30; 0,37] на интервале 09.12.1996 г. -27.10.2006 г. (1024 рабочих дня).
Индекс вариации может быть использован как дополнительный критерий соответствия модели Изинга реальному рынку. В таблице указаны значения параметра О0, при которых модель реализует индекс вариации, близкий к значению, найденному для РТС.
Таблица Значения а0, порождающие индекс вариации РТС; /Зтах = 0.3; отах = 0.03
О» К*)
нижняя верхняя
0,53 0,30 0,37
0,50 0,27 0,36
0,55 0,35 0,40
2. ОБОБЩЁННАЯ МОДЕЛЬ САТО-ТАКАЙЯСУ
2.1. Определение
Предположения модели. Примитивная схема взаимоотношений между покупателем и продавцом обобщается на случай произвольного числа агентов, обозначаемого N. Перечислим основные предположения о поведении агентов:
— В каждый момент агент является либо покупателем, либо продавцом.
— Агенты торгуют единицу актива.
— Агент сохраняет позицию (покупателя или продавца) до совершения сделки.
— Торги происходят по принципу двойного аукциона.
— Рыночная цена устанавливается как среднее между максимальным предложением цены покупки и минимальным предложением цены продажи.
— Если агент не совершает сделку, то он изменяет свою цену в направлении рыночной цены в соответствии со своей стратегией.
— Стратегии агентов детерминированы.
— После совершения сделки агент определяет новую позицию, ориентируясь на долгосрочные изменения цены торгуемого актива.
Рыночный механизм. Перейдем к формальному изложению правил эволюции, начиная с определения рыночного механизма. Итак, пусть на рынке представлены N агентов, из которых Ы8 продавцов и Ыь покупателей: л.+ + Ыь = N. Значения М5 и Ыь зависят от времени, которое предполагается дискретным. Агентов удобно пронумеровать, полагая первых (]У.) агентов продавцами, а следующих (Л^) — покупателями. Без ограничения общности можно считать, что цены р;, выставленные агентами обеих групп, упорядочены в порядке возрастания:
Р\ - ••• - Ры,,
Если наибольшая цена покупки меньше наименьшей цены продажи —
Ры < Рх, (1)
то сделка в данный момент не происходит. Рыночная цена Р(/) предполагается неизменной: Р(/) = Р(/ — 1).
Если условие (1) не выполняется, то сделку совершают те и только те пары агентов для которых
Р] ^ Ры-} .
Процесс сделок удобно представлять последовательно. В первую очередь удовлетворяются заявки продавца с наименьшей ценой и покупателя — с наибольшей. Затем рассматривается следующая пара агентов (2, N — 2). Сделка осуществляется, если цена продавца не больше цены покупателя: р2 < р;_2 , и т.д. При наличии сделки в момент Ь рыночная цена Р = Р(1) определяется по формуле
Р(1)=^(Р1+Ры)-
Рыночный механизм полностью определен.
Стратегии агентов. Пусть функция 5.(/) в момент / равна 1, если 1-й агент — продавец, и —1, если он покупатель (нумерация агентов, введенная выше, происходит на каждой итерации. Поэтому номер одного агента I, вообще говоря, зависит от времени: I = г(/). Однако в последующих построениях эта зависимость несущественна). В момент Ь агент либо совершает, либо не совершает сделку. Предполагается, что если он не совершил сделку, то он сохраняет
свою позицию (покупателя или продавца): 5(/ + 1) — 5(/) — и изменяет свою цену по направлению к рыночной:
Рг (* + !)= Рг (0 “ а,- 0)^ (0 • (2)
Функция 0Сг (/) количественно отражает согласие агента идти навстречу рынку. Можно было бы полагать, что значение ОС.(О зависит от всей истории изменения рыночной цены Р(/). Однако для простоты предполагается, что 0Сг (/) зависит только от изменения цены в последний момент и имеет вид
«г(0 = |1 + сгАР|аг, (3)
где а. — некоторая положительная константа, ас;- вещественная константа.
Если 1-й агент совершил сделку в момент /, то он должен определить новую позицию и цену, значения 5 (/+1) и р;(/+1). Согласно статье [14] агент принимает решения, опираясь на информацию о предыдущем моменте. Стремясь построить более реалистичный механизм, по нашему предположению, агент выбирает позицию, сравнивая долгосрочные и краткосрочные тренды. Если в краткосрочной перспективе рынок ведет себя пессимистичнее, чем в долгосрочной (например, спад после долгого подъема), то агенты стремятся продавать, и наоборот. Формально вводятся два временных интервала ё и Д, на которых вычисляются линейные тренды (методом наименьших квадратов). Найденные наклоны обозначаются к и К соответственно. Тогда
^ Г-1, если к > К {1-ый агент станет покупателем)
[ 1, если к<К {\-ый агент станет продавцом). (4)
Новые цены р;(/ + 1) предполагаются равными:
Л(/ + 1) = Р(/ + 1) + Л,5,(Г + 1), (5)
где Л; > 0 — некоторая константа.
Таким образом, стратегия 1-го агента определяется числами а;, с;, Л; и детерминированными уравнениями (2) —(5). Для простоты все Л; предполагаются одинаковыми: Л; = Л, а значения а! и с! порождаются случайными величинами, равномерно распределенными на отрезках [0,а] и [-с, с] соответственно, где Л, а и с — положительные параметры.
Начальные граничные условия. Чтобы определить начальные условия, фиксируется некоторое начальное значение Р(0). В нулевой момент АР ИЗ формулы (3) полагают равным 0. Формула (4) применима, начиная с момен-
та Д. Естественно считать, что в первые моменты выбор позиции (значения 5;(/) происходит наугад с равной вероятностью. Ценовая заявка после выбора позиции формируется по формуле (5).
Переход модельной системы от момента / к следующему моменту полностью определен при условии, что среди агентов есть как продавцы, так и покупатели: Ns > О, Ыь> 0. Если это условие нарушается, то модель вырождается и эволюция останавливается.
Параметры. Для проведения численного эксперимента необходимо зафиксировать следующие параметры: количество агентов Ы, начальное значение рыночной цены Р(0), длину краткосрочных и долгосрочных трендов ё и Д, числа Л, а и с, определяющие стратегии агентов. Естественно, число агентов следует брать большим, ограничение сверху появится чисто техническое, чтобы компьютерный эксперимент не оказался слишком длинным. Долгосрочный тренд может оказаться на полпорядка или на порядок длиннее краткосрочного. Например, ё можно понимать как несколько недель, а Д — месяцев. Числа, определяющие индивидуальные стратегии агентов трудно интерпретировать, поскольку реальный механизм принятия решения сложен. Однако «хорошая» модель должна оказаться близка к рынку (в смысле статистических закономерностей) при большом числе параметров. При получении последующих результатов использовано: N = 200; Л = 0,02; а = 0,015; с = 100; ё = 40; Д = 100; Р(0) = 520. Эти результаты являются типичными для значительного числа параметров.
2.2. Модель и индекс О]
Перейдем к построению распределений модельных и реальных доходностей. В качестве рыночных данных использован индекс Доу Джонс (О]). Ежедневные значения индекса взяты в Интернете (www.yahoo.com).
Для построения модельного распределения и его последующего сравнения с индексом О] необходимо определить рабочий день в модельной динамике. Предположим, что ъ единиц модельного времени образуют рабочий день. Тогда значения цен Р(г), Р(2£), Р(3г)... интерпретируются как цены закрытия и обозначаются р( 1), р(2), р(3)... Логарифмическая доходность в день п определяется формулой
г(п) =1о§
/ Р(п) р(п-1)
(6)
По данной формуле также вычисляется логарифмическая доходность индекса щ.
На рис. 1 дана гистограмма — центральная часть распределения логарифмических доходностей для модели (с г = 20) и для три) — это доля дней, за которые логарифмическая доходность гб — Ах, х + Ах); число Ах фиксировано равным 0,002. В соответствии со статье [7], функция р(х) на рис. 1 для О] близка к экспоненте. Следовательно, при логарифмическом масштабе вертикальной оси точки на графике должны лежать вокруг прямых линий. Это утверждение справедливо как для индекса О], так и для модельных данных.
Рис. 1. Гистограмма (центральная часть) лог-доходностей для модели (М) и индекса О]
Рис. 2. Гистограмма («хвосты» распределения) для модели (М) и индекса Доу (О]). Горизонтальная ось получается из оси х рис. 1 преобразованием 4± = 1о8(±х)-(± МО,03)), число 0,03 разделяет центральную часть и «хвосты»
На рис. 2 дана гистограмма — «хвосты» распределений в двойном логарифмическом масштабе. Прямые участки свидетельствуют о степенном убывании функциир(х). Таким образом, модельное (как и реальное) распределение лог-доходностей обладает тяжелыми «хвостами».
Из обоих рисунков видно, что р(х) > р(—х) для «средних» положительных значений х (|х|е[0,2; 0,3], |^±| < 0,5). Это наблюдение согласуется с известным фактом, что экономика чаще находится в фазе роста, чем спада. Интересно, что модельная гистограмма демонстрирует ту же асимметрию. По-видимому, асимметрия модельного графика р{х) является следствием формулы (3), которая по-разному определяет увеличение и уменьшение цен, выставляемых агентами. Однако появление асимметриир{х), согласующейся с реальностью, априори не следует из формулы (3), а, скорее, является аргументом в пользу ее обоснованности (и, конечно, модели в целом).
Подчеркнем, что правила эволюции модели полностью детерминированы. Случайность имеет место только при начальном определении параметров, задающих индивидуальные стратегии агентов. Найденное сходство модели с рыночным индексом показывает, что наша детерминированная система проявляет хаотические свойства. Это типичная ситуация для систем с большим числом степеней свободы (в данном случае — агентов).
Таким образом, нами были рассмотрены две агентно-ориентированные модели финансового рынка. Согласно статье [12], обобщённая модель Изин-га демонстрирует известные статистические закономерности, имеющие место в реальности. Мы использовали индекс вариации [15] как дополнительный критерий соответствия модели и реального рынка и привели значения параметров, для которых модель близка к поведению РТС.
В модель Сато-Такайясу мы ввели долговременную память, так как стратегия агентов зависит от долгосрочных и краткосрочных трендов. Построенная модель близка к реальным финансовым рынкам в терминах распределения логарифмических доходностей. Центральная часть распределения является экспоненциальной, а «хвосты» распределений — степенными.
ЛИТЕРАТУРА
1. Campbell J.Y., Lo A.W., MacKinlay А.С. The economectrics of financial markets: Princeton: Princeton University Press, 1997.
2. Farmer J.D. Physicists attempt to scale the ivory towers of finance // Computing science and engineering. №1.1999.
3. Gop'ikrishnan P., Plerou V., Amaral L.N., Meyer М., Stanley H.E. Scaling of the distribution of fluctuations of financial market indices // Physical
Review E. №5.1999.
4. Mandelbrot В.В. Fractals and scaling in finance: discontinuity, concentration, risk: New York: Springer Verlag, 1997.
5. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // Journal of Econometrics. № 3. 1986.
6. Шир яев A.H. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,2. М.:
ФАЗИС, 1998.
7. Silva А.С., Prange R.E. and Yakovenko V.M. Exponential distribution of financial returns at mesoscopic time lags: a new s tyl ized fact / / Physica A.
№ 1-2. 2004.
8. Mantegna R.N., Stanley H.E. An introduction to econophysics: correlations and complexity in finance: Cambridge: Cambridge University Press, 1999.
9.Aoki M. New approaches to macroeconomic modelling — evolutionary stochastic dynamics, multiple, equilibria, and externalities of field effects: Cambridge: Cambridge University Press, 1996.
10. Montroll E.W., Badger W.W. Introduction to quantitative aspects of social phenomena: New York: Gordon and Breach, 1974.
11. Roehner B.M., Sornette D. «Thermometers» of Speculative Frenzy // European Physical Journal B. №2. 2000.
12. Zhou W.X., Sornette D. Self-organizing Ising model of financial markets // Europe Physics Journal B. №2. 2007.
13.Joha nsen A., Ledoit O., Sornette D. Crashes as critical points // International Journal of Theoretical and Applied Finance. № 3. 2000.
14. Sato A.H., Takayasu H. Dynamic numerical models of stock market price: from microscopic determinism to macroscopic randomness // Physica A. № 1 —
4,1998.
15. Dubovikov M.M., Starchenko N.V., Dubovikov M.S. Dimension of the minimal cover and fractal analysis of natural time series // Physica A. № 3—4.
2004.
