Эффективность измерителей параметров гармонического и полигармонического сигналов при негауссовских помехах Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАДИОТЕХНИКА^^

УДК 621.391

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ ПАРАМЕТРОВ ГАРМОНИЧЕСКОГО И ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛОВ ПРИ НЕГАУССОВСКИХ ПОМЕХАХ

ГАВРИШ А.С.______________________________

Обсуждаются точностные характеристики новых степенных измерителей параметров гармонического и полигармонического сигналов, принимаемых на фоне негауссовских помех. Показывается, что с увеличением нелинейности обработки выборочных данных дисперсии искомых оценок могут значительно уменьшаться вследствие учета и оптимального использования априорной информации о помехе в виде кумулянтных коэффициентов высших порядков.

1. Введение

Одним из важнейших направлений оптимальной обработки сигнала является теория оценок параметров принимаемых сигналов. К настоящему времени в этой области накоплен значительный опыт, который свидетельствует, в частности, об узконаправлен -ности исследований, а именно, сложилась гегемония гипотезы гауссовости принимаемых сигналов и помех. Данная модель приобрела широкое распространение благодаря своим замечательным свойствам и адекватности в различных технических приложениях.

Однако гауссовская модель помехи не всегда полно отражает реальные физические процессы, поэтому возникла необходимость учета более тонкой структуры помехи, т.е. негауссовских помех [1].

Растущий интерес к проблеме оценки параметров сигналов на фоне негауссовских помех стимулирует разработку новых конструктивных методов оптимального синтеза различных измерительных устройств, обеспечивающих более высокую эффективность обработки.

Среди всего многообразия сигналов, используемых в различных технических приложениях, особое место занимают гармонический и полигармонический сигналы. Задача измерения параметров этих сигналов при негауссовских помехах возникает в различных областях науки и техники [2].

В данной работе для синтеза соответствующих алгоритмов предлагается использовать метод максимизации полинома, основанный на использовании стохастических полиномов, когда для описания случайной величины применяется конечная последовательность моментов или кумулянтов [3].

Использование новых алгоритмов оценки параметров полезных сигналов, принимаемых на фоне помех, целесообразно только в том случае, когда происходит заметный выигрыш в эффективности обработки. Следовательно, вопрос о целесообразности использования новых оптимальных алгоритмов может быть решен только в результате анализа их эффективности.

2. Постановка задачи

В общем случае принимаемое сообщение представляет собой случайный процесс |(t). В данной работе, для упрощения расчетов, удобно представлять случайный процесс в виде совокупности случайных величин, т.е. рассматривается случай наблюдения сигнала с дискретным временем.

Пусть задана выборка n независимых неодинаково распределенных выборочных значений x = (xjxn } из генеральной совокупности значений случайной величины, представляющей собой аддитивную смесь полезного сигнала и негауссовской помехи:

xv _ Sv nv , V = 1, П . (1)

В выражении (1) в качестве полезного сигнала поочередно рассматриваются два сигнала: простое гармоническое колебание и полигармонический сигнал. Оба сигнала можно записать в виде тригонометрического полинома Фурье:

Г

Sv = Со + X (аpsinюpSv + bpcosap5v), (2)

p=1

при этом ®p = p®0 , p = 1,r, v = 1,n, где ap , bp -амплитуды p -й гармоники синусной и косинусной

составляющих сигнала; юо — частота основной гармоники; 5 — период дискретизации сигнала; v — отсчеты.

Если рассматривается гармонический сигнал, то полагают, что в выражении (2) постоянная составляющая сигнала Со равна нулю, а число гармоник Г = 1. Для полигармонического сигнала величины Со , г являются произвольными и зависят от конкретной задачи.

Цель работы — исследование точностных характеристик (дисперсий) оценок амплитуд изучаемых сигналов, найденных из решения системы уравнений максимизации полинома вида:

EEk(v)(S)[xv -Ш^(ЭД|gj = ! = , (3)

i=1v=1

где m.v(S) — начальные моменты i -го порядка случайной величины xv.

Число уравнений q в системе (3) зависит от размерности оцениваемого векторного параметра § . Так, при рассмотрении гармонического сигнала оценке подлежат два параметра {a,b} и, следовательно, q = 2 . В случае, когда оценивается векторный параметр полигармонического сигнала:

й = {c0,a1,... ar,bb... br}, то q = 2r +1.

4

РИ, 1999, № 4

В каждом 1-м уравнении максимизации полинома (3) коэффициенты к<^<§) находим из решения системы линейных алгебраических уравнений:

= ^<5), i=п, (4)

J=1 слц

где Р<І;І)У<Й) = m<i+j)v<$) - miv<S)mjv<S).

Прямое нахождение дисперсий оценок, полученных при степени полинома s > 2 , является громоздкой процедурой и может вызвать трудности вычислительного характера, поэтому целесообразно воспользоваться выражениями для асимптотических дисперсий оценок.

Согласно методу максимизации полинома процедура нахождения асимптотических дисперсий оценок состоит в следующем. Используя оптимальные весовые коэффициенты, полученные из решения системы уравнений (4), находим матрицу количества извлекаемой информации о векторном параметре Jsn<§) с элементами:

J<nm)<3) = ZZk<>) m^S); im = П

i=1v=1 ^m

Нахождение матрицы J sn <й) является промежуточным результатом и не может напрямую использоваться для анализа свойств получаемых оценок параметров. Поэтому вычисляется матрица, обратная матрице количества извлекаемой информации Jsn <й):

VsnW = J-nj<9) .

Она будет асимптотически равна вариационной матрице оценок компонент векторного параметра, найденных методом максимизации полинома. Тогда асимптотические дисперсии оценок составляющих векторного параметра являются диагональными элементами матрицы Vsn <й).

Приведем результаты аналитических расчетов для степеней полинома s = j3 .

3. Точностные свойства линейных оценок

Рассмотрим асимптотические свойства оценок параметров полигармонического сигнала, найденных из решения системы уравнений максимизации полинома (3) при степени полинома s = 1.

Опуская промежуточные выкладки, приведем выражение вариационной матрицы оценок:

V1n

0,5 0 . 0

т-1 2%2 J1n - 0 1 . . 0

n

0 0 . 1

(5)

Из выражения (5) видно, что матрица Vjn диагональная, т.е. отличными от нуля являются только элементы, характеризующие дисперсии оценок соответствующих параметров. При этом все дисперсии оценок амплитуд косинусных и синусных гармоник усеченного ряда Фурье имеют одинаковое значение:

2 2 2Х 2

СТа = СТа = ------

ap bp n

q = 1, r

(6)

а величина дисперсии оценки cq вдвое меньше дисперсии оценки амплитуды любой гармоники.

Легко показать, что при оценке параметров гармонического сигнала вариационная матрица оценок равна произведению множителя (6) на единичную матрицу размером 2.

Анализируя выражения дисперсий оценок параметров гармонического и полигармонического сигналов при воздействии негауссовских помех, найденных методом максимизации полинома при s = 1, можно сделать вывод, что они совпадают с дисперсиями эффективных оценок соответствующих параметров в случае, когда помеха имеет гауссовский закон распределения. Выясним, в чем тут дело. Напомним, что при нахождении оценок параметров наблюдаемой случайной величины методом максимизации полинома для фиксированной степени полинома s используется частичная априорная информация об исследуемой случайной величине в виде конечной последовательности начальных моментов до 2s -го порядка. Таким образом, при s = 1 в описании негауссовской помехи рассматриваются только первые два кумулянта, т.е. те параметры, которые полностью характеризуют гауссовскую помеху. Тогда, даже если в описании помехи присутствуют кумулянтные коэффициенты высших порядков, они при s = 1 попросту не учитываются, и область исследования наблюдаемой случайной величины (1) сужается на случай гауссовской помехи.

4. Асимптотические свойства оценок при s=2

При s = 2 асимптотическая вариационная матрица оценок векторного параметра § равна:

V2n - g21V1n> (7)

где

g21 = <1

У 3

У 4 + 2

).

(8)

В дальнейшем, чтобы количественно определить уменьшение дисперсии оценки параметра, найденной методом максимизации полинома при степени полинома s по сравнению с дисперсией оценки при

степени полинома k , введем коэффициент эффективности этих оценок:

Сравнивая выражения (5) и (7), видим, что асимптотические дисперсии оценок параметров гармонического и полигармонического сигналов при s = 2 будут в g21 раз меньше дисперсий соответствующих оценок при s = 1. В общем случае, уменьшение дисперсии зависит от коэффициентов асимметрии Уз и эксцесса у4. Если распределение помехи симметричное, т.е. уз = 0 , то никакого уменьшения дисперсии не происходит. С другой стороны, коэф-

РИ, 1999, № 4

5

фициенты асимметрии и эксцесса не могут быть произвольными — для них существует неравенство [4]:

У4 + 2 > уз.

(9)

Поэтому при у 2 ^ у 4 + 2 дисперсия оценок параметров исследуемого сигнала может как угодно близко приближаться к нулю при постоянном объеме выборки.

На рис. 1 приведены графики зависимости величины §21 от Уз при различных фиксированных значениях у4. Функция g2i(y3) является четной, поэтому достаточно рассмотреть ее поведение для положительных значений у з . Из графиков видно, что при s = 2 для помех, незначительно отличающихся от гауссовских, уменьшение дисперсии оценки может быть существенным.

Рис.1. Зависимость эффективности оценок g21 от

коэффициента асимметрии помехи уз

5. Свойства дисперсий оценок при s=3

Исследуем асимптотические свойства искомых оценок, найденных методом максимизации полинома при s = 3 , а также проведем сравнительный анализ с результатами, полученными при использовании стохастических полиномов низших степеней. Легко показать, что при s = 3 вариационная матрица оценок имеет вид

V3n - g31V1n>

Выражение для g31 является громоздким и труднообозримым и в общем случае зависит от значений кумулянтных коэффициентов у3 ^ у 6. Поэтому представляет интерес исследовать поведение дисперсии оценок параметров гармонического и полигармони -ческого сигналов при s = 3 для некоторых частных случаев.

Выше было показано, что при у 3 = 0 никакого уменьшения дисперсии оценок рассматриваемых параметров, найденных из решения системы уравнений максимизации полинома при s = 2 , не происходит по сравнению со случаем s = 1. При у 3 = у 5 = 0 (т.е. распределение наблюдаемой случайной величины симметрично) коэффициент эффективности оценок равен:

g31 |у3 =У5 =0 1

у 4

У3 =У5 =° у 6 + 9у 4 + 6

(10)

т.е. дисперсия оценок при s = 3 будет меньше, чем дисперсии оценок при s = 1 и s = 2 . Величина уменьшения дисперсии зависит от значений у4 и у 6, причем когда коэффициент эксцесса у 4 = 0, то никакого уменьшения дисперсии не происходит.

Как отмечалось выше, кумулянтные коэффициенты не могут выбираться совершенно независимо друг от друга, между ними существует взаимозависимость. Для установления взаимосвязи между кумулянтны-ми коэффициентами пользуются неравенством Коши-Буняковского [4]. При использовании метода максимизации полинома соотношение, связывающее кумулянтные коэффициенты, накладывает на них более строгие ограничения и определяется из условия положительной полуопределенности главной матрицы системы для нахождения коэффициентов уравнения максимизации полинома [3]. Легко показать, что кумулянтные коэффициенты у 4, у 6 , входящие в выражение (10), связаны соотношением

У6 ^У2 - 9У4 - 5 6 * * .

На рис .2 приведены графики зависимости величины g31 |Y3 =Y5 =0 от у4 при различных значениях у6 .

Функция g311У3 =У5 =0(у4) не является четной, поэтому ее поведение исследуется на всем интервале допустимых значений у4 . Из графиков видно, что при постоянном объеме выборки n дисперсия при s = 3 и при некоторых значениях У4 и У6 может быть значительно меньше, чем при s = 1 и s = 2 . Более того, при некоторых значениях у 4 и у 6 она как угодно близко может приближаться к нулю.

Представляет интерес другой частный случай, когда У 5 =У 6 = 0 и дисперсия при s = 3 зависит от тех же параметров у 3 и у 4, что и дисперсия оценок при s = 2 . В этом случае коэффициент эффективности оценок принимает вид:

Рис.2. Зависимость эффективности оценок g31 от коэффициента эксцесса симметричной помехи

6

РИ, 1999, № 4

g і _ 1 _ 3Yз(3уз + 2 -у4) + Y4(у4 + 2)

31ІУ5 =У6 =0 9у2(у4 _ 2) + 3(У4 + 2)(3у4 + 2)' (11)

Из выражения (11) видно, что в отличие от случая s = 2 , при S = 3 и У 5 =У 6 = 0 дисперсия оценки равноценно зависит и от у3 , и от у 4, и только если У3 = У4 = 0 , дисперсия оценок при s = 3 равна дисперсии оценок при s = 1. Если же у3 = 0 , а у4 ф 0 или У3 ф 0 , а у 4 = 0, то дисперсия оценок при s = 3 будет меньше, чем при s = 1 и s = 2 .

Следует отметить, что ограничение на кумулянтные коэффициенты у3 и у4, налагаемое неравенством (9), справедливо только в тех случаях, когда на кумулянтные коэффициенты у 5 и у 6 не накладывается никаких ограничений, т.е. они могут принимать произвольные значения. В данном случае соотношение между коэффициентами асимметрии и эксцесса определяется из условия неотрицательности главного определителя Д 3 и при условии, что кумулянтные коэффициенты у5 = у6 = 0 (т. е. являются фиксированными), а кумулянтные коэффициенты у 7, у 8 и высших порядков могут принимать произвольные значения. Тогда искомое неравенство имеет вид:

(“У4 + 9у4 + 6)(у4 + 2) +12у3(у4 - 2) - 9У34 > 0 . (12)

На рис.3 приведены области допустимых значений у3 и у 4, определяемые неравенствами (9) и (12). Область определения коэффициентов асимметрии и эксцесса при фиксированных (равных нулю) кумулянтных коэффициентах у 5 и у 6 является замкнутой и напоминает собой кардиоиду; при этом она полностью включается в область определения у 3 и у4, получаемую при произвольных значениях у 5 и у 6 .

На рис.4 приведен график зависимости величины g31 |у5 =у6=0 от у 3 при различных значениях у 4, откуда видно, что дисперсия оценок параметров может быть значительно меньше соответствующих дисперсий оценок вида (5). При этом уменьшение дисперсии при у 3 = 0 происходит как при у 4 < 0, так и при у 4 > 0 .

Рис.З. Области допустимых значений кумулянтных коэффициентов У3 и у4 при s = 2,3

§3і|у5=уб=0

-74 = 2

Т—\

1 U=| II

-4— 74 = -Ы4 = -0,5 ' -0,6 , \ \ , Ї4 = М

U Уз

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 5

Рис.4. Зависимость эффективности оценок g31 от коэффициента асимметрии помехи у 3 при фиксированных значениях у 4 и при условии у 5 =у 6 = 0

6. Выводы

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы.

1. При нелинейной обработке выборочных данных удается более точно измерять параметры гармонического и полигармонического сигналов при известных параметрах негауссовских помех.

2. При s = 2 синтез высокоточных измерителей возможен только в том случае, когда помеха имеет несимметричный закон распределения (т.е. коэффициент асимметрии у 3 ф 0 ).

3. Эффективность измерения параметров исследуемых сигналов при s = 3 выше, чем для соответствующих оценок при s = 2 , и в общем случае зависит от кумулянтных коэффициентов У 3 ^У 6 и может иметь место даже при воздействии симметричной негауссовской помехи.

4. Установлено, что максимальное уменьшение дисперсии оценок достигается в крайних точках области определения соответствующих кумулянтных коэффициентов.

Литература: 1. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.: Сов. радио, 1978. 320с. 2. Zhou G, Giannakis G.B. Polyspectral Analysis of Mixed Processes and Coupled Harmonics. // IEEE Trans. Inform. Theory. 1996. Vol. 42, № 3. P. 943-958. 3. Купченко Ю.П., Лега Ю.Г. Оценка параметров случайных величин методом максимизации полинома. К.: Наук. думка, 1992. 180 с. 4. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. 376с.

Поступила в редколлегию 26.11.99

Рецензент: д-р техн. наук Кочкарев Ю.А.

Гавриш Александр Степанович, аспирант Черкасского инженерно-технологического института по специальности “Теоретическая радиотехника”. Научные интересы: теория статистической обработки сигналов, в частности, оценки параметров сигналов на фоне негауссовских помех. Увлечения: нумизматика, настольный теннис. Адрес: Украина, 18000, Черкассы, ул. Серж. Смирнова, 2, кв.131, тел.: (0472) 42-56-85, (0472) 43-51-71.

РИ, 1999, № 4

7