ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СРЕДЫ В СЛУЧАЕ СЛАБОЙ МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

УДК 621.315.5:537.311/312

Эффективная проводимость поликристаллической среды в случае слабой макроскопической анизотропии

И.В. Лавров

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

В приближении эффективной среды получено аналитическое решение задачи вычисления тензора эффективной проводимости поликристаллической среды при наличии слабовыраженной одноосной текстуры. Среда считается состоящей из однотипных двуосных кристаллитов сферической формы. Для учета ориентаций кристаллитов использована теория представлений группы вращений. Получено обобщение решения на случай трехосных текстур.

Ключевые слова: приближение эффективной среды, тензор эффективной проводимости, кристаллит, текстура, поликристаллическая среда, группа вращений, ориентация, обобщенные сферические функции.

Задача вычисления эффективной проводимости поликристаллических сред при наличии одноосной текстуры решалась для двух специальных случаев: при слабоанизотропных кристаллитах и при малом разбросе в ориентациях кристаллитов [1, 2]. В [1] рассматривается среда, состоящая из одноосных кристаллитов, в [2] - из двуосных.

Цель настоящей работы - получение аналитического решения для случая слабой макроскопической анизотропии поликристалла, т.е. когда распределение ориентаций кристаллитов почти равномерное. Так же как и в [2], кристаллиты приняты двуосными. Текстура изначально считается одноосной, однако при слабой макроскопической анизотропии решение в линейном приближении по параметру, характеризующему степень неравномерности распределения ориентаций кристаллитов, допускает простое обобщение и на некоторый класс трехосных текстур, что имеет большое практическое значение. Для преодоления вычислительной сложности, связанной с необходимостью учета ориентаций кристаллитов, в настоящей работе, как и в [2, 3], используется теория представлений группы вращений (группы 80(3)) [4].

Постановка задачи. Пусть к границе £ образца объемом V проводящей поликристаллической среды приложено однородное электрическое поле Е0. Среда считается состоящей из однотипных сферических кристаллитов с двуосным тензором проводимости и матрицей в системе Е,цС, своих главных осей вида

(1)

0 0

N 0 ° 2 0

0 0

© И.В. Лавров, 2012

Кристаллиты имеют омические контакты друг с другом и могут различаться размерами и ориентациями главных осей своих тензоров проводимости.

Введем систему координат хуг, связанную с данным образцом, причем ось г направим по оси текстуры образца (ее считаем одноосной), а оси х, у - перпендикулярно оси г и друг другу. Тогда ориентация конкретного кристаллита в системе хуг будет задаваться поворотом от хуг к системе главных осей этого кристаллита. Здесь - углы Эйлера. Плотность распределения ориентаций кристаллитов в системе хуг будем принимать, как и в [2], в виде

ф) = (8л2)_1/(3), 0<у<2л,0<$<л,0<ф<2л, (2)

где / ($) - плотность распределения углов $ между осью 2 текстуры и осями ( кристаллитов, удовлетворяющая вследствие линейности среды соотношению /(л — = / ($) и имеющая условие нормировки

V 2

{ f = 1.

(3)

В составе f (&) учтен множитель sin инвариантной меры группы SO(3) [4].

Ставится задача вычислить тензор эффективной проводимости ae данного образца среды, определяющийся уравнением (j) = oe <E>, где j - средняя по образцу плотность электрического тока, (E) = E0. В случае одноосной текстуры ae в системе xyz имеет вид

(4)

Приближение эффективной среды приводит к уравнению для ае [5]:

<(1 — (о — ое)Г)—1(о — ое)> = 0, (5)

где I - единичный тензор 2-го ранга; Г - тензор, являющийся при условии (4) одноосным и в системе хуг диагональным с компонентами ( Г= Гуу ):

xx ae 0 0

О e = 0 xx ae 0

0 0 ae

Y^xx _

Y^xx _

л/s-s2 -arcsinVs zz _ л/Vs- 1 • arcsmVs-1

o L^xxzz Г~ 2 ae

VS2 -s -ln(v-s + yl 1 -s )

zz ae s

при s> 0, s = 1 -af / a

.zz .

>e ;

2 •Va

J-iZZ _

VT-Vs • ln (jS+-у/1-ё)-1

xx zz ^ ¡ ^ e ae ^V-s

_zz„ ae s

при s < 0.

(ба)

(бб)

Усреднение в (5) проводится по всем ориентациям кристаллитов в системе хуг с плотностью (2).

Решение в случае слабой макроскопической анизотропии. Пусть о0 - тензор эффективной проводимости среды при равномерном распределении ориентаций кристаллитов. Тогда о0 = ст°!, где о° удовлетворяет уравнению [6]

^ = 0,

=1 2a 0 +a¿

(7а)

0

которое может быть приведено к виду

(а0 )3 - 0,25а0 (а1а2 + а2а3 + а1аз)- 0,25а1а2а3 = 0.

(7б)

Тензор Г при равномерном распределении равен Г0 =Г01, где согласно [5]

Го =-(3а0)-1.

При почти равномерном распределении ое = а°°1 + 5ое, Г = Г01 + 5Г, где с учетом (2)

5а 1 0 0 5Г х 0 0

5ое = 0 5а 1 0 , 5Г = 0 5Г х 0

0 0 5а е 0 0 5Г2

причем

5а к

<< 1,

5Гк

<< 1, к = х, г. Введем тензоры 2-го ранга

А0 = (I - (о - а01)Г0 )-1, В0 = А0 (о - а01) . Пренебрегая членами порядков малости выше первого по сравнению с 5ое, 5Г, имеем (I - (о - Ое)Г)-1 « (I - А0 (Г050е - (о - а01)5Г)К)

и уравнение (5) принимает вид

(А05°е)

причем А и В в системе равны:

(А05ое) + Г0( А0боеВ^ - ( В0бГВ^ = ( В„) ,

(8)

А0 = 3а0

(2а 0 +а1) 0 0

-1

В'п = 3а

(а1 -а0)(2а0 +а1)-1 0 0

0

(2а 0 +а2)" 0

0

0 0

(2а 0 +аз)-1

(а2 -а0)(2а0 +а2)-1 0

0 0

(аз -а0)(2а0 +аз)"

Следует отметить, что в силу (7) SpB0 = 0.

Обозначим компоненты тензора А0 в системах и ху2 как а'у и а^ соответственно. Аналогично обозначим Ъ'у и Ъгу. компоненты В в этих системах. Тогда, согласно формулам преобразования компонент симметричных тензоров 2-го ранга посредством неприводимых представлений группы БО(3) [3, 7], компоненты тензоров А 0 и В 0 в ху2 равны:

акк = 3ае

! Г Б/ 3 - 0,5(-1)к ]Т ~ [тД,; (ъ) + Т1 (g) + (-1)^7^3 Т*; (ъ)]1 , к = 1, 2,

;=-2

а33 = 3а°°

Б 3^ Т02, (ъ)

-2,;' Л

;=-2

3а

0 2

а12 = а21 = 1'

Е~'[Т22; (Ъ) - Т-2,; (Ъ)],

(9)

;=-2

2

е

2

3а

0 2

а13 = а31 = '

2

Е ~;Т-и (е)—Т2 (Е)],

а23 = а32 = • "

За

0 2

7 3 0 /

Ькк —

;=—2 2

2

ЕЕ~;'Н,; (Е) + Т12;(Е)],

;=—2

(—1)к+1 е ь;'т_22,; (е) + Т22; (е) + (—1)^723 т?* (е)], к = 1,2,

О 0 2 _ г -1

■ а Еж(Е) — т—22,;(Е)], (10)

;=—2

¿33 = 3а° Д3 Е ~ Т2; (Е) , ¿12 = ¿2 =•

3а

;=—2 02

2

;=—2

02

¿13 = ¿31 = ^ ЕЪ;'Н,;(Е) — Т12;(е)], ¿23 = ¿32 = —• ЕЪ;'Н,;(е) + Т1;(е)],

;=—2

;=—2

где Тт; (е), I = 0,1, 2, К ; т, ; = —2, К ,2 - обобщенные сферические функции [4];

£) _а11 + а22 + а33

3а:

1_а 2 —а1_ _ 1

а±2 = 2 (2а0 +а1)(2а0 +а2), а° = л/б

= Е (2а 0 +ак)—1;

к=1

(

2

1

(2а0 +а3) (2а0 +а1) ^ +а2)

(11)

, (12)

~±1 = 0, ¿1 = — 3а0~; , ; = —2,К ,2.

Разложим 5Ге, 5Г2 из (6а), (6б) по 5а X, 5а 2 с точностью до линейных членов:

5Ге

1

3(а0)2

4 1

4 5а X +15а 2

5Г2

1

3(а0)2

2 3 2 5а X + 3 5а 2

(13)

В силу условия (2) тензорное уравнение (8) сводится к двум скалярным уравнениям для компонент с индексами 11 и 33. Вычисляя данные компоненты слагаемых уравнения (8) и собирая коэффициенты при 5а X , 5а 2, с учетом (13) получим два скалярных уравнения:

-115а е+с135а е=(¿11 х

^315а е + С335а е = (¿33^

(14)

где

сц = (ап) — (3а0)—1 ((а^) + (^¿12)) — [3(а0)2 ]—1 (Ц^2) + ( ¿,22))+ 0,4( ¿в2)):

% =-(3а0)-Чalз¿lз) — [3(а0)2 ] 1 (0,2[ V) + (Ь

Г И ¿11

'12

+ 0,6 ¿,

(¿132}),

С31 = —(3а0)—1 ((а^) + (а^п)) — [3(а0)2 ]—1 Ц ¿13^ + ( ¿и2) ]+ 0,4( ¿33"))

М).

(15)

С33 = ы — (3а0)"^¿33) — [3(а0)2 ]—1 (0,2[ ¿13^ + ( ¿23

+ 0,6 ¿.

Средние значения компонент тензоров А 0 и В0 и их произведений, как видно из (9) и (10), выражаются через средние значения обобщенных сферических функций Ттп (Е)) и их произведений Тп (Е) • Т^-(Е)), которые, в свою очередь, при распределении ориентаций вида (2) выражаются через интегралы [2]:

е

е

3

1

2

я/2 я/2

11 = |ео82 /, /2 = |ео84 /(дуд.

0 0

При почти равномерном распределении

¡1 = 13 + Д/1, /2 = 15 + А/2 ,

где Д¡| << 1, |Д12| << 1. Для (Ъп), (Ъ33) имеем

(16)

(17)

9 3

Ы - ^3(а0)2~0 А¡1, Ы --2^).

При вычислении остальных средних достаточно ограничиться «нулевым» приближением ¡! - 1/3, ¡2 - 1/5, поскольку в уравнениях (14) они умножаются на малые величины 5аX , 5а е . Таким образом, для ск (I, к = 1, 3) получим:

,1 -а0 Б - 201—

(а0)2 [(~0)2 + 2(~2)

С33 - а0Б -

50

51(а0)2 [(~0)2 + 2(~2)

С13 - С31

- 99(а0)2 [(~0)2 + 2(~2)2

где Б определяется из (11), а'0 и а2 - из (12), поэтому

(~0)2 + 2(~2)2 =

г\2

а1 -а3

- + -

а2 -а1

- + -

а3 -а2

(2а 0 +а3)2(2а0 +а1) (2а0 +а1)2(2а0 +а2) (2а0 +а2)2(2а0 +а3)

Решая систему (14), найдем окончательно выражения для 5а X, 5а 2:

5аX - 9 д/|а0~0 [Б - 6а0 ((~0)2 + 2(~2)2Ж, 5а'в - -25аX,

(18)

(19)

(20)

где

303

50

А = Б2 -303а0Б[(~0)2 + 2(~2)2]+ ^^^ (а0)2[(~0)2 + 2(~2)2]2; (21)

502

(а0)2 + 2(а2)2 вычисляется из (19); А11 - приращение интеграла 11 (см. (16), (17)) при почти равномерном распределении ориентаций кристаллитов.

Таким образом, при слабой макроскопической анизотропии с распределением ори-ентаций кристаллитов вида (2) тензор эффективной проводимости поликристалла в системе координат ху2 образца имеет вид (4) с компонентами

_XX „0 , — 22 — 0 | 2

ае -а° +5а е , ае - а" + 5а е,

(22)

где а0 - эффективная проводимость поликристалла при равномерном распределении ориентаций кристаллитов и является единственным положительным корнем уравнения (7б); 5а X , 5а е вычисляются из (20), (21).

2

Зависимость компонент эффективной проводимости среды от распределения ори-ентаций кристаллитов выражена посредством величины A/j, которая зависит от параметра, определяющего степень неравномерности распределения ориентаций кристаллитов. Например, если взять в качестве модели почти равномерного распределения с параметром Р, определяющим степень неравномерности распределения,

/р = р(еР -1)"1 • epcos3 • sin ^, 0 < 3 < я/2,

(23)

то А^ « Р/12. Плотность / ($) распределения углов $ по физическому смыслу соответствует распределению Больцмана диполей в однородном электрическом поле, а разность между наибольшей и наименьшей плотностями распределения ориентаций на

единицу объема группы БО(3) примерно равна р/(4л2) .

Частный случай поликристалла, состоящего из одноосных кристаллитов. В этом случае тензор проводимости кристаллита в системе ^^ его главных осей имеет вид (о0 = ^)

(24)

где а - коэффициент анизотропии кристаллита.

Ориентация одноосного тензора задается двумя скалярными параметрами, например сферическими углами $,ф. При этом плотность распределения ориентаций кристаллитов, соответствующая одноосной текстуре, в системе ху2 образца всегда имеет форму

1 0 0

о' = а0 0 1 0

0 0 а

p(3,ф) = (2я)-1 /(3), 0<Э<я/2, 0<ф<2я,

(25)

с условием нормировки (3) для /($) . Тензор эффективной проводимости в системе ху2 имеет вид (4), а его компоненты вычисляются из выражений [7]

1), < =°0 (l

af = ап (1 - и« - k"А/, ), аf = ап (1 - ^ + 2k0А/,

/1).

где

мп = 0,25(3-у/ 9 + 8(а-1) ),

h0 = (а-1)

1 - (а-1)-

3 - 0,04м0 + 2,64(а -1)

27 + 24(а -1) - 18и0 - 12,04(а - 1)и0 + 2,64(а -1)2

(26)

(27)

(28)

Коэффициент анизотропии эффективной проводимости ае = af /аХ ■

1 9. 9 - 6щ + 4(а -1)

ае = 1 + -(а-1)-0------ а/1

2 27 + 24(а -1) - 18и0 - 12,04(а - 1)и0 + 2,64(а -1)2

А/.

(29)

Приведем асимптотические оценки для м0, к , ае для случаев слабоанизотропных и сильноанизотропных кристаллитов.

При малых значениях (а-1), т.е. кристаллиты слабоанизотропные, м0 « — (а —1)/3, поэтому (28), (29) сводятся к выражениям

k 0 «1

1 9

(а-1) - 1(а-1)2

а.

1 +

3 27

-(а-1) --(а-1)2 23

А /

2

2

При (а-1)>>1, т.е. при сильноанизотропных кристаллитах с Стц >>ст±, где Стц и ст± - проводимости вдоль и поперек оси кристаллита соответственно, имеем

та^г+3, к0

л/2 '

25л/2

а.

4

а+^ и

г -

22 ЮГ/2

л/а -1

1 -

16^2 1 132 та—1

1

Л

А/1.

66 л/а-1

V * У

В пределе очень больших а можно считать, что

75

а ~ 1 +—А/,. е 11 1

При 0 < а << 1 (при сильноанизотропных кристаллитах с Стц << ст±)

450

щ «1(1 - 2а + 4а2), к0 «-— 0 2 133

В пределе при очень малых а имеем

, 135

1--а

133

а„

Л--

133

, 401

1--а

133

А/,

а.

1 450

: 1--А/, .

133 1

Результаты численного моделирования. В пакете МЛТЬЛВ был написан комплекс программ и проведены вычисления для некоторых поликристаллических сред с одноосными кристаллитами. Значения компонент тензора Сте эффективной проводимости определялись путем решения системы уравнений (5) методом Ньютона, затем проводилось их сравнение с аналогичными значениями, полученными аналитическим приближением (26)-(28). Плотность распределения ориентаций кристаллитов принималась в форме (25) с плотностью распределения / ($) углов $ между осью текстуры и осями

кристаллитов вида (23) при различных значениях параметра р. При распределении данного вида все ориентации кристаллитов распределены по поверхности единичной полусферы, причем разность между плотностью распределения ориентаций на единицу площади сферы на полюсе ($ = 0) и на экваторе ($ = л/ 2) примерно равна р/(2 л).

Шч хх гг

рис.1 сопоставляются зависимости компонент сте , сте поликристалла магния

(ст = 2,37 -105 Ом-1-см-1, а=1,21 [8]) от степени неравномерности распределения ори-ентаций кристаллитов, полученные численным решением системы (5) и с помощью аналитического приближения по формулам (26)-(28). На рис.2 представлены аналогичные зависимости для поликристалла графита искусственного, кристаллиты которого

сильноанизотропные ( ст0 = 2,26 -104 Ом-1-см-1, а = 2,6 -10-4 ).

При слабой макроскопической анизотропии поликристалла значения ст близки друг к другу, и для оценки точности их аналитического приближения СТ по формулам (26)-(28) использовалась относительная погрешность в виде

хх е ,

хх _

8 ге1 =

— хх хх — гг гг

— е СТе 8 22 = , 8 ге1 = — е СТ е

гг хх гг хх

СТе СТе СТе СТе

и

0

е

хКЯОм^-см"1

2,62

2,6

2,58

2,56

2,54

2,52'

2,5

2,48

2,46

0,5

1,5

XX 'в ,

2,5

22 'в

кристалла магния от параметра р: сплошные кривые - аналитическое приближение (1 - авХх, 2 - ст в); условные обозначения - численное решение (•••□••• стXх, "-о-" ств )

Рис.2. Зависимости компонент сте , ст в поликристалла графита искусственного от параметра р: сплошные кривые - аналитическое приближение

(1 - ст Xх, 2 - ст в); условные обозначения -

(XX _ 22 \

•••□••• ств , —о— ств )

РьР2

2,15 1,9 1,65 1,4 1,15 0,9 0,65 0,4 0,15 -0,1 -0,35 -0,6

Р2

10"4 10":

10"- Ю-1 10" 10' 10г 10

по

Вычисления показывают, что sXX^, £221 зависят как от степени неравномерности распределения ориентаций, задаваемой параметром р, так и от коэффициента анизотропии кристаллитов а. На рис.3 приведена зависимость от а границ для р, когда относительная погрешность аналитического приближения (26)-(28) в сравнении с численными расчетами не превышает 1%.

Обобщение на случай трехосных текстур. Пусть имеется образец макроскопически изотропного поликристалла, подвергающийся п внешним воздействиям, мерой которых являются параметры q2,К , qn.

Предположим, что в результате каждого из этих воздействий по отдельности образец приобретает одноосную текстуру со своей осью. Например, это может быть механическое напряжение вдоль некоторой оси, приводящее к соответствующей деформации образца. Если внешние воздействия малы, то любое макроскопическое свойство образца можно разложить в окрестности изотропного состояния по величинам этих воздействий, ограничившись линейным приближением. В частности, для тензора эффективной проводимости образца имеем

Рис.3. Зависимость границ рь р2 интервала с погрешностью меньше 1% от коэффициента анизотропии кристаллитов а

ое К , цп ) - - (0,К ,0) + Х ^ т-*-(0,К ,0).

(30)

к=1 д9к

Результат влияния каждого из воздействий удобно рассматривать в системе координат, связанной с ним. Поэтому введем системы x^,укгк, к = 1,К , п, следующим образом: ось 2к направим по оси текстуры, образующейся при к-м воздействии на образец, а оси xk, ук - перпендикулярно оси 2к и друг другу. Ориентация кристаллита в систе-

п

ме xkykzk задается поворотом gk(yk, , ф^), где уk, , ф^ - его углы Эйлера. Пусть pk (у k, , фk ) = (8л2)"1 fk (&k ) - плотность распределения ориентаций кристаллитов в системе xkykzk, получившаяся вследствие к-го воздействия. Введем также лабораторную систему XYZ. Пусть Ск, k = 1,К , n - матрицы поворотов от XYZ к xkykZk ■

В качестве мер внешних воздействий можно рассматривать параметры РЬК, Pn, описывающие степени неравномерности распределений ориентаций кристаллитов в результате каждого из воздействий, а также величины АД1, К , АIП, где AIf - прираще-

л/ 2

ние интеграла I1k = J cos2 Sk • fk (Sk )d&k (см. (16), (17)) при к-м воздействии, т.е. (30)

можно записать в виде ( ое (0,К ,0) = a°I)

°e «a0l + Е AI1

Из (4), (20), (31) видно, что тензоры хкУк2к имеют один и тот же вид:

до! „ч 9 /3

k=1 1 д(А Ik ) до

(0,К ,0).

(31)

д(А Ik)

(0,К ,0), k = 1,К , n в своих системах

-(0,К ,0) =

д(АIk )4' ' ' ^ 8

а0 ~0

D - ба1

!((50 )2 + 2(~ )2 )]

1 0 0

0 1 0 к ,К, =1

0 0 -2

При переходе к системе ХУХ от хкукгк эти тензоры преобразуются по формуле

да.

= С,,

д< _с -1

д(АЦ) k д(АIk)

(33)

Подставив (32), (33) в (31), окончательно получим выражение для тензора ае в системе ХУХ при наличии п внешних осевых воздействий:

о„

a0l+ 9 ifa0 ~0 [D " ба0 ((~0 )2 + 2(~ )2 )]]Г А Ik С

1 0 0

0 1 0 С 1 ck

0 0 - 2

(34)

где В определяется из (11), ^ и ~ - из (12), А - из (21).

Рассмотрим частный случай, когда имеются три осевых воздействия на образец среды со взаимно-перпендикулярными осями. Выберем систему ХУХ так, что ось первого воздействия ^ совпадает с осью X, оси второго г2 и третьего г3 - с осями У и Z соответственно. Тогда матрицы поворотов от ХУХ к х^у^к, к =1, 2, 3, имеют вид

0 0 1 0 1 0 1 0 0

С1 = 1 0 0 , С2 = 0 0 1 , Сз = 0 1 0

0 1 0 1 0 0 0 0 1

В итоге тензор о e в системе XYZ будет диагональным с компонентами

0

n

I

сk + 9Üc0"6с0^)2+2(~2)2)(£А//"ЗА/1

9 I3 +о/"~'\2\]( л Ti TAii^

k = 1,2,3, (35)

12 3

где величины AI1, Ali , А/i определяются степенью каждого из воздействий.

Полученные выражения (35) могут применяться для оценки величин внешних воздействий, поскольку, измерив компоненты тензора проводимости образца, можно найти его главные зна-

_11 _22 _33 . Т1 . т2 а тЗ

чения аe , аe , ае и из системы (35) вычислить величины AIb AI1 , AI1 , которые напрямую связаны с внешними воздействиями.

Таким образом, показана принципиальная возможность использования поликристаллических макроскопических изотропных материалов при создании тензодатчиков, поскольку параметры текстуры, приобретаемой при механических напряжениях, можно оценить посредством измерения электрических характеристик материала.

Основным результатом работы является полученная аналитическая зависимость компонент тензора ае эффективной проводимости поликристаллической среды при наличии слабовыраженной одноосной текстуры от параметров, описывающих проводящие свойства кристаллитов, а также от распределения ориентаций кристаллитов. Данная зависимость выражена формулами (20)-(22), а в частном случае одноосных кристаллитов - формулами (26)-(28).

Обобщение аналитической зависимости на случай трехосной текстуры, представленное выражением (34), имеет практическое значение, поскольку в большинстве случаев текстуры материалов являются трехосными.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (ГК № 16.740.11.0491) и грантов Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-08-01232-а и № 10-08-01163-а).

Литература

1. Лавров И.В. Теория электропроводности неоднородных материалов с текстурой // Изв. вузов. Электроника. - 2008. - № 1. - С. 3-9.

2. Лавров И.В. Эффективная проводимость поликристаллической среды. Одноосная текстура и дву-осные кристаллиты // Изв. вузов. Электроника. - 2010. - № 3. - С. 3-12.

3. Лавров И.В. Диэлектрическая проницаемость композиционных материалов с текстурой: эллипсоидальные анизотропные кристаллиты // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2009. - № 1. - С. 52-58.

4. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. -М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1958. - 294 с.

5. Stroud D. Generalized effective-medium approach to the conductivity of an ingomogeneous material // Phys. Rev. B. - 1975. - Vol.12, N 8. - P. 3368-3373.

6. Heising J., Helte A. Effective conductivity of aggregates of anisotropic grains // J. Appl. Phys. - 1991. -Vol.69, N 6. - P.3583-3588.

7. Лавров И. Диэлектрические и проводящие свойства неоднородных сред с текстурой. -Saarbrücken: LAP Lambert Academic Publishing, 2011. - 168 c.

8. Физические величины. Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З.Мейлихова. - М.: Энерго-атомиздат, 1991. - 1232 с.

Статья поступила 14 сентября 2011 г.

Лавров Игорь Викторович - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры высшей математики № 2 МИЭТ. Область научных интересов: теоретические методы исследования физических свойств неоднородных сред. E-mail: iglavr@mail.ru