ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СРЕДЫ. ОДНООСНАЯ ТЕКСТУРА И ДВУОСНЫЕ КРИСТАЛЛИТЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

УДК 621.315.5:537.311/312

Эффективная проводимость поликристаллической среды. Одноосная текстура и двуосные кристаллиты

И.В.Лавров

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

На основе метода самосогласованного решения и теории представлений группы вращений вычислен тензор эффективной проводимости поликристаллической среды с текстурой. Среда состоит из однотипных двуос-ных кристаллитов сферической формы, ориентированных в пространстве по некоторому вероятностному закону, подразумевающему наличие одноосной текстуры. Получено аналитическое решение для двух случаев - при слабо анизотропных кристаллитах и при малом разбросе в ориентациях одной из осей кристаллитов относительно оси текстуры.

Ключевые слова: тензор эффективной проводимости, анизотропия, двуосный кристаллит, текстура, поликристаллическая среда, метод самосогласованного решения, группа вращений, обобщенные сферические функции.

Изучение влияния ориентаций составляющих неоднородной среды (включений в композиционном материале или кристаллитов в поликристалле) на ее эффективные электрические свойства сопряжено со значительной вычислительной сложностью, и во многих работах, посвященных исследованию таких сред, ориентации кристаллитов считаются либо детерминированными, либо абсолютно случайными, т.е. имеющими изотропное распределение [1, 2]. Между тем, исследования показывают, что в реальных материалах и текстурированность, и некоторая доля случайности в ориентации кристаллитов должны иметь место [3, 4]. В связи с этим представляется актуальным построение адекватных теорий для объяснения электрических и других свойств случайно-неоднородных сред с текстурой.

Среди попыток построения таких теорий можно отметить работы [2, 5-8]. В [2, 5, 6] в приближении Максвелла - Гарнетта вычисляется тензор эффективной диэлектрической проницаемости композиционного материала, состоящего из однородной изотропной матрицы и погруженных в нее кристаллитов одного типа (анизотропных одноосных сферических [2], изотропных эллипсоидальных [5] или анизотропных эллипсоидальных [6]). В [7] решается задача нахождения тензора эффективной проводимости поликристалла, состоящего из одноосных сферических кристаллитов. Кристаллиты считаются ориентированными в пространстве по некоторому вероятностному закону. В работе [8] рассмотрена поликристаллическая среда, состоящая из одноосных

© И.В.Лавров, 2010

сфероидных кристаллитов нескольких видов, ориентированных в одном направлении, и в приближении эффективной среды получено выражение для тензора эффективной проводимости такого поликристалла. Однако обобщить результат на случай, когда оси кристаллитов ориентированы по некоторому вероятностному закону, автору не удалось, в работе допущена грубая ошибка.

В настоящей работе теория, развитая в [7] на основе метода самосогласованного решения [1, 9], обобщается на случай поликристаллической среды, состоящей из дву-осных сферических кристаллитов, т.е. имеющих тензоры электропроводности с тремя различными главными значениями. Кристаллиты считаются ориентированными в пространстве по некоторому вероятностному закону, подразумевающему наличие выделенного направления - оси текстуры. Данный тип текстуры может встречаться при напылении тонких пленок или когда формирование материала происходит под действием внешнего однородного поля. Цель работы - нахождение компонент тензора эффективной проводимости среды как функций параметров, описывающих проводимость отдельных кристаллитов и распределение их ориентаций. Вычислительная сложность, связанная с учетом ориентаций кристаллитов, как и в [5, 6], преодолевается с помощью теории представлений группы вращений [10].

Постановка задачи. Рассмотрим образец проводящей поликристаллической среды объема V, состоящей из двуосных кристаллитов одного типа, имеющих омические контакты друг с другом и различающихся между собой размерами и ориентациями в пространстве. Форму всех кристаллитов будем считать сферической, а их ориентации -связывать с направлениями главных осей тензоров электропроводности о. Обозначим систему главных осей конкретного кристаллита как , тогда в этой системе тензор о имеет матрицу

1 0 0

о' = ао 0 а 2 0

0 0 аз

Пусть в рассматриваемой поликристаллической среде имеется выделенное направление - ось текстуры. Возьмем систему координат xyz, связанную с текстурой: ось z направляется по оси текстуры, а оси x и y перпендикулярны оси z и друг другу. Тогда ориентация данного кристаллита в системе xyz будет задаваться поворотом g(у, &, ф), где у, &, ф - углы Эйлера. Объемная доля dV/V кристаллитов, ориентации которых принадлежат элементу объема угловых параметров d 3ш = [у; у + dy] [&; & + d&] [ф; ф + dф], равна

dV¡V = p(y, &, ф) dy d&dp,

где p(y, &, ф) - плотность распределения ориентаций кристаллитов с учетом множителя инвариантной меры sin & [10]. Допустим, как и в [6, 7], что распределение ориентаций кристаллитов обладает вращательными симметриями относительно осей z и £, т.е. его плотность имеет вид

p(y, &, ф) = (8л2)"1 f(&), 0 <у< 2л, 0 <&<л, 0 <ф< 2л, (1)

где /($) - плотность распределения углов $ между осью текстуры и осями £ кристаллитов. Так как рассматриваемая среда предполагается линейной, то она обладает инверсионной симметрией, вследствие чего / ($) удовлетворяет соотношению

V 2

/(V — $) = /($), а также условию нормировки в виде | /= 1. В дальнейшем

о

плотность распределения ориентаций кристаллитов будем считать имеющей вид (1).

Пусть к границе £ данного образца поликристаллической среды приложено однородное электрическое поле Е0. Тогда тензор эффективной проводимости ое среды определяется уравнением (Л} = ое (Е), где J - плотность тока, (Е) = Е0. В системе хуг текстуры тензор ое имеет вид

(2)

Метод самосогласованного решения приводит к уравнению для ое [7, 9]:

((I — (О — Ое)Г)—1(о — Ое)) = 0 , (3)

где I - единичный симметричный тензор, Г - тензор, являющийся в хуг диагональным, причем Г^ = Гуу, и его компоненты в случае сферических кристаллитов вычис-

хх ае 0 0

Ое = 0 хх ае 0

0 0 ае

ляются по формулам [7, 9]:

л/в —в 2 — агаш-УВ ш V1/8 —1 ■ агс81^л/б— 1 Г =-. -, Г = —- при в> 0, (4а)

2^аХхаег ■вУВ аГ8

гхх = л/81—^п^Щ г 22 = ^ ■ Ш 8 + 1 при 8< о, (46)

^аеххаГ ■вТ—В аГ8

где в = 1 — аехх / а^.

Усреднение в (3) проводится по всем ориентациям кристаллитов в системе хуг, а

/Л \ хх 22

поскольку ое при условии (1) имеет две независимых компоненты а и а , тензорное уравнение (3) сводится к двум скалярным уравнениям для компонент с индексами 11 и 33: ^(1 — (о — ое)Г)—1(о — ое= 0, к = 1,3. В некоторых случаях имеется возможность получить аналитическое решение задачи в линейном или квадратичном приближении по малым параметрам. Так, например, если компоненты тензора а0 1(о — ое) малы, т.е.

ао^ — (Ое )у )<< 1, I,] = 1,2,3, (5)

тогда (I — (о — ое )Г)—1 «I + (о — ое )Г и систему (3) можно переписать в виде

(о — Ое) кк + ((о — Ое )Г(о — Ое )) кк = 0, к = 1,3. (6)

В настоящей работе получено решение задачи для следующих двух случаев, в которых условие (5) выполняется:

- кристаллиты слабо анизотропные, т.е. |а2 — 1 <<1, |а3 — 1 «1;

- распределение углов $ между осью текстуры и осями £ кристаллитов имеет малый разброс, а также |а2 — 1 <<1, т.е. два из трех главных значений тензора а проводимости кристаллита мало отличаются друг от друга.

Вычисление компонент тензора а в системе хуг и некоторые вспомогательные соотношения. Поскольку в уравнениях (3) или (6) проводится усреднение в системе хуг, необходимо вычислить компоненты тензора а конкретного кристаллита в данной системе координат. Применяя метод разложения а на сумму двух тензоров [6], один из которых является изотропным (шаровая часть тензора) и не изменяется при поворотах системы координат, а другой - симметричным с нулевым следом (девиатор) и может быть преобразован посредством неприводимого представления веса 2 группы £0(3) трехмерных вращений [10], получим в итоге компоненты тензора а в системе хуг:

a kk = a0

D/3 - 0,5(—1)k Z g; [t_\s (g) + T22s (g) + (-1)к «Щъ Tol (g)]|, k = 1,2, (7а)

V s=—2

a33 =g0

f 2 Л 2 Г ■■

D/3 (g) , G12 =g2i = i Zg's fe (g) _ T—22,s (g)], (76)

V s=_2

°12 = °21 = К (g) _ T—22,s (

2 s=—2

®13 = °31 Z g's T—Is (g) _ Tj (g)], g23 =^32 =_i g0 Z g's TI (g) + T12s (g)], (7B)

2 s=—2 2 s=—2

где D = 1 + a2 +a3; T4ms (g), m, s = —/,..., / - обобщенные сферические функции [10]; a ' ( s = —2, .,2 ) вычисляются по формулам

a+2 =(1 — a2 )/ 2, a'±1 = 0, =(2a3 —1 — a2 )Д/б. Для дальнейших вычислений понадобятся следующие средние по группе £0(3) величины: (T2n(g^, (т2п(g)• (g)j (m,n,mi,n' = -2,.,2). При условии (1) имеем

(TL(g)) = 0, » + Ц * 0, (тЩ(g) • Tin(g)) = 0, \m + m'\ + |n + n'| * 0. (8) Для ненулевых значений этих средних имеем (аргумент g для краткости опущен):

(т0) = 0,5(3/1 _ 1), (fe)2) = 0,25(9/2 _ 6/1 +1), (т0лт0_-) = 1,5(/2 _/1),

-00/-0,5(3/1 _ 1), \(т00) /-0,25(9/ 2 _ 6/1 + ^ \т0,1т 0,-1'-' T22Т2-2> = 3(/2 _ 2/1 + 1), {Ч2T-V2) = (тТ22-2Т-22,2) = ^(/2 + 6/1 + 1), (9)

Т21Т_21,_Л = (Т-ТДд) = 0,25(4/2 - 3/1 +1), ^¿ТДЛ = T-iТ_21,Л = 0,25(/2 _ 1),

где

V 2 V 2

т Г___4 12

0 0

/ = | соб2 а / (ауа, /2 = | СОБ4 а /(ауа.

(10)

Аналитическое решение в случае слабо анизотропных кристаллитов. В этом слу-

" хх 22

чае ое находится из системы уравнений (6), причем ае и ае можно записать в виде

^хх

ае =а

= а0(1 — их\ аГ =а0(1 — и2) (\их\ << 1 , Ы << 1 ).

(11)

Для Гхх, Г22 достаточно ограничиться нулевым приближением

гх

«2 =»3 =1

= —(3а0 )—1.

(12)

Подставляя (2), (7а) - (7в), (11), (12) в (6) и учитывая (8), (9), получаем в итоге с квадратичной точностью по (а2 — 1), (а3 — 1) компоненты тензора ое:

ае -а 0

1 + 1(а 2 —1)(1 + /1) + 1(а 3 —1)(1 — /1) —

ае -а 0

1 9 1 2

— — (а 2 —1)2(1 + /1 )(3 — /1) — — (а 3 — 1)(а 3 —а 2)(1 — /12)

4о 12

1 19 2

1 + ^(а 2 —1)(1 — /1) + (а 3 — 1)/1 ——(а 2 —1)2(1 — /12) —

(13)

— 1(а 3 — 1)(а 3 — а 2 )/1 (1 — /1)

где определяется из (10). При равномерном распределении (/1 = 1/3 ) среда в целом получается изотропной со скалярной проводимостью

ае -а0

112 2

1 + ~ (а2 — 1) + ~ (а3 — 1) — — (а2 — 1)2 — — (а3 — 1)(а3 — а2)

Если все оси £ кристаллитов сонаправлены ( а = 0, ^ = 1), из (13) получаем

а -а.

1 1 9

1 + -(а 2 — 1) — — (а 2 — 1)2

22

ае «аа„

■

(14)

В случае одноосных кристаллитов с осью £ (а2 = 1, а3 =а ) формулы (13) совпадают с результатом, ранее полученным в [7].

Решение задачи в случае малого разброса в ориентациях осей £ кристаллитов

при условии, что |а2 — 1 << 1. Как и в предыдущем случае, задача сводится к решению

двух уравнений (6). Пусть я2 (я2 <<1) - половина начального момента второго порядка случайной величины [7]. Запишем ахх, а22 в виде

хх хх _ X —22 „22 _ с ае =ае0 — а0°х , ае = ае0 — а0°2 ,

(15)

<

где 5х и 52 - такого же порядка малости, как и тах(я2,|а2 -1); , о^ - значения

компонент оехх, о^2 при я2 = 0. В первом приближении по (а2 — 1) (Приложение (П.5) и (П.6))

«Оо[1 + (а2 —1)/2], о20-Ооаз. (16)

Для 11 справедлива оценка [7]

11 «1 — 2я2, я2 < 0,04. (17)

Чтобы найти компоненты о , о ¡Т в линейном приближении по (а — 1), я2, доста-

Г XX Т^хх Т^н Т^И Т^хх Т~хх т^22 1 2 г\

«Г0 , Г «Г0 , где Г0 , Г0 - значения Г , Г при а2 = 1, я = 0.

Вычисляя Гохх и r0zz из (4а), (4б), имеем: s = 1 а^ «1 -1/а3

rxx_ Уаз -1 -аз arcsin Л/1 - уаз _ arcsin д/1 - Vаз -1

Го - ^ ; ' Го _ ; , (18а)

2ао(аз -1)3/2 ао(аз -1)3/2

при а3

-1 >(а2 -1)/2, а2 > 1;

rxx_ аз1п^/УаТ + УУаз -1 )-У1 -аз rzz_ л!1 аз - ln^/УаТ + УVаз -1) л«^

Г о ---—--732-' Г о ----732-, (18б)

2а о (1 -аз)32 ао(1 ^f2

при 1 -а3 >(1 -а2)/2, а2 < 1.

В итоге, решая (6) с учетом (2), (7.1) - (7.3), (8), (9), (15), (16), (17), получаем

[аХх «ао (о,5(а2 +1) + s2^ -1)[1 + аоГ» (аз -1)]),

[аГ «ао(аз --1)[1 -аоГоХХ(аз -1)]),

(19)

где ГХ и Гд2 вычисляются из (18а) или (18б). В частном случае одноосных кристаллитов с осью £ (а2 -1, а3 =а) формулы (19) совпадают с результатами, ранее полученными в [7]. Очевидно, что применимость формул (19) ограничена условием

(а2 -1)2 << s2 < о,о4.

Полученные результаты легко могут быть перенесены на задачи нахождения тензоров эффективных диэлектрической и магнитной проницаемости или теплопроводности неоднородной текстурированной среды при условии ее линейности.

Результаты численного моделирования. В среде MATLAB были проведены вычисления для некоторых поликристаллических сред: найдены значения компонент тензора се эффективной проводимости путем решения системы уравнений (3) методом Ньютона, плотность распределения углов & между осью текстуры и осями £ кристаллитов принималась в виде

f(&) - s~2 cos-2 & tg& ехр[-о,5^~2 tg2 &], о <&<л/ 2, (20)

соответствующем нормальному распределению с дисперсией 5 координат Бельтрами осей £ кристаллитов [7]; параметр 52 характеризует величину разброса в ориентациях осей £ кристаллитов по отношению к оси текстуры. Также было проведено сравнение значений компонент тензора ое поликристаллов, полученных путем численного решения системы (3), с аналогичными значениями в квадратичном аналитическом приближении (13).

На рис.1 представлены зависимо-

XX

е

е

О _| _|

ла галлия (ста = 62,5 -10 Ом см ,

стЬ = 133,3-103 Ом-1 см-1, стс = 19,88-103 Ом- см- , а, Ь, с - оси кристаллографической системы координат [11]) от параметра 52 для двух вариантов распределения осей кристаллитов галлия в пространстве. При первом варианте в качестве оси £ принималась ось с, в качестве осей ^ - оси а, Ь соответ-

XI ж Ом"^ СМ"1

120 110 100 90 80 70 60 50 40, 30 20

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5

2

ственно, распределение ориентаций

кристаллитов считалось не зависящим Рис.1. Зависимости компонент ст^ и стполикри-

от угла вращения ф кристаллита во- сталла галлия от параметра 52 для двух вариантов

круг кристаллографической оси с; в распределения ориентаций кристаллитов: светлые

,0 ^ „3 „ -1 -1 кривые соответствуют случаю вращательной сим-

этом случае ст0 =62,5 -I0 Ом см , Метрии относительно кристаллографической оси с

а2 = 2,133, а3 = 0,318. Данные зависимо- (_0- ст¡Xх; -Д- ст); темные - относительно оси Ь сти представлены двумя светлыми кри- ст хх. ст гг)

выми на рис.1. Темные кривые соответствуют второму варианту распределения,

когда в качестве оси £ принималась ось Ь , в качестве осей ^ - оси а, с соответст-

-1 -1

венно; ст0 = 62,5-10 Ом см , а2 = 0,318, а3 = 2,133. Все четыре кривые пересекают-

2 2 ся в одной точке при 5 « 2,02, т.е. при данном значении 5 поликристаллическая среда

получается в целом изотропной.

На рис.2 сравниваются зависимости компонент вХх и г2е2 тензора эффективной диэлектрической проницаемости поликристалла сульфата бария (ва = 7,65, гЬ = 12,2, вс = 7,7 ) от параметра 52, полученные численным решением системы (3), с их аналитическим приближением по формулам (13); в качестве оси £ принималась ось с, т.е. в данном случае в0 = 7,65, а2 = 1,595, а3 = 1,0065 (все компоненты проводимости в формулах должны быть заменены на соответствующие диэлектрические проницаемости). На рис.3 изображена область на плоскости параметров а2, а3, внутри которой от-

носительная ошибка 5сте = тах(

бст

бст

) вычисления компонент ст Xх, стгег по форму-

лам (13) в сравнении с численным решением системы (3) не превышает 1% при различных величинах разброса в ориентациях осей £ кристаллитов (вычисления проводились

0123456789 5

хх

2

Рис.2. Сравнение зависимостей компонент ее"' и е тензора эффективной диэлектрической проницаемости поликристалла сульфата бария от параметра 5 2 , полученных численным решением (-о- еХх; -□- е|2 ); системы (3), с их аналитическим приближением (---еХх;-е2^ )по формулам (13)

«3

2

1,8

1,6 1,4 1,2

1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

8ае=1,28%

......'■!' И»"* *

V

0,95 %

I

I ■

I

0,74 %

< 1 %

■4 ■■■

1 »

1

.....Г.

»

« I

071 . %

к

8ае = 1,4%

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

а2

Рис.3. Область на плоскости параметров а,2, аз , в которой относительная ошибка 8а е вычисления

компонент стХх, а^ по формулам (13) в сравнении с численным решением системы (3) не превышает 1% . В граничных точках указаны максимальные значения относительной ошибки 8а е вычисления коэффициента анизотропии поликристалла

при шести значениях параметра 52 из разных диапазонов: 0,1; 0,6; 1,3; 2,0; 4,0; 20,0). Также в некоторых граничных точках указаны максимальные значения относительной

ошибки 8а е вычисления коэффициента анизотропии ае =оГ/°еХ поликристалла. Как

следует из рис.3, аналитическое приближение (13), выведенное при условии слабой анизотропии кристаллитов, обеспечивает приемлемую точность вычисления компонент

ХХ 22

ае , а и для значительного количества поликристаллов, состоящих из умеренно анизотропных кристаллитов.

Основным результатом работы является полученная в явном виде аналитическая зависимость компонент тензора се эффективной проводимости поликристаллической

среды (в системе координат хуг, связанной с текстурой) от параметров а0,а2,а3, описывающих проводящие свойства отдельного кристаллита, а также от распределения ориентаций кристаллитов - посредством интеграла (10) или параметра 52, характеризующего разброс ориентаций одной из осей кристаллита (оси £ ) относительно оси текстуры. Данная зависимость выражена для рассмотренных выше двух случаев формулами (13) и (19), которые обобщают аналогичные результаты, полученные в [7], на поликристаллическую среду, состоящую из двуосных кристаллитов. Путем численного моделирования установлено, что применение формул (13) не ограничивается случаем слабо анизотропных кристаллитов, а распространяется и на значительное количество поликристаллов, состоящих из умеренно анизотропных кристаллитов (рис.3). Аналитические зависимости, полученные в настоящей работе, могут быть использованы, например, для исследования оптических свойств тонких пленок в дальнем инфракрасном диапазоне.

Следует отметить, что при отсутствии разброса в ориентациях осей £ кристаллитов эффективная проводимость в плоскости, перпендикулярной оси текстуры, зависит от проводимости кристаллитов вдоль этой оси, причем эта зависимость начинает про-

XX

е

е'

9,6

9,35

9,1

8,85

8,6

8,35

8,1

7,85

7,6

являться при решении с квадратичной точностью по (а2 — 1) (Приложение (П6)), хотя из физических соображений она должна отсутствовать. Данный факт, по-видимому, объясняется особенностями используемых метода и модели. Тем не менее, результаты, полученные в настоящей работе, можно считать справедливыми, поскольку проявившаяся погрешность метода имеет более высокий порядок малости, чем точность, с которой были проведены вычисления.

Приложение

Вычисление тензора эффективной проводимости поликристаллической среды при отсутствии разброса в ориентациях осей £ кристаллитов

В этом случае угол 9 между осями £ иг равен 0, а ориентацию произвольного кристаллита можно задавать углом ф между осями х и ^ . Если направления осей Е, и ^ кристаллитов распределены равномерно в плоскости ху, что подразумевает условие (1), то плотность распределения углов ф имеет вид р(ф) = , 0<ф<2л.

Матрица С(ф) поворота от хуг к и тензор о кристаллита в системе хуг :

С(ф) =

008 ф — БШ ф 0 БШ ф С0Б ф 0 0 0 1

о = ст0

2 2 соб ф + а2Б1п ф (1 — а2)Б1пфСОБ ф 0

22 (1 — а2)Б1ПфС0Бф Б1п ф + а2С0Б ф 0

0 0 а3

Введем обозначения:

л хх I л 22 / / т^ххч — 1 / т^ггч —1

их = 1 — сте/ст0, и2 = 1 — сте/ст0, Ух = ^ — («^Г ) , = Ы2 — («^Г ) ,

У = Ггг/Гхх, р2 = (а2 —1)/2, р3 = (а —1)/2 ,

(П1)

тогда с учетом (2) имеем

(о — °е ) = ст0

р2(1 — С0Б2ф) + их -Р2Б1п2ф — Р2БШ2ф Р2(1 + С0Б2ф) + их

0

0

0 0

и г + 2Р3

(П2)

(I — (О — Ое )Г)—1 = —

2 2Р2 008 ф + Ух Р2Б1п2ф

Ух (2Р2 + Ух ) Ух (2Р2+Ух)

1 Р2Б1п2ф 2 2Р2 81п ф + Ух

ст0Г хх Ух (2Р2 + Ух ) Ух (2Р2+Ух)

0 0

0

(уУ + 2Р3))-

—1

(П3)

После подстановки (П2), (П3) в (3) и усреднения по всем значениям угла ф с плотностью р(ф)

(П4)

приходим к уравнениям для определения компонент стхх, ст^ :

Р2(их + Ух) + ихУх = 0, и2 + 2Рэ = 0 . Из второго уравнения (П4) сразу же получим с учетом (П.1)

сте =астп

д'3и0 .

(П5)

Решение первого уравнения (П4) в случае |а2 — 1 << 1 будем искать в виде ряда по степеням (а2 — 1), ограничиваясь квадратичной точностью, что в итоге приводит к выражению

стхх « ст01 + 0,5(а2 — 1) + 0,25ст0ГТ(а2 — 1)2 ], (П6)

0

___ i ' XX i 1 xx

где Гп = Г

определяется из (18а) или (18б).

а7=1

Таким образом, (П6) и (П5) являются искомыми выражениями для компонент ст", ст^2 тензора эффективной электропроводности поликристаллической среды при отсутствии разброса в ориентациях осей Q кристаллитов и условии |а2 -1 << 1. Следует заметить, что в предельном случае при = 1 ,

сто ГГ = -1/3 формулы (П6) и (П5) совпадают с (14), порченными в предположении а3 -1 << 1.

аз =1

Литература

1. Фокин А.Г. Макроскопическая проводимость случайно-неоднородных сред. Методы расчета // УФН. - 1996. - Т. 166, № 10. - С. 1069-1093.

2. Levy O., StroudD. Maxwell Gamett theory for mixtures of anisotropic inclusions: Application to conducting polymers // Phys. Rev. B. - 1997. - Vol. 56, N 13. - P. 8035-8046.

3. Энергетический подход при моделировании формирования текстуры в поликристаллах под влиянием внешних напряжений / В.И.Колесников, И.И. Чекасина, В.В.Бардушкин и др. // Вестник Южного научного центра РАН. - 2008. - Т. 4, № 3. - С. 3-8.

4. Максимов С.К., Максимов К.С. Проблемы текстурированности в нанотехнологии. Контроль текстур // Изв. вузов. Электроника. - 2008. - № 1. - С. 49-55.

5. Иванов Е.Н., Лавров И.В. Теория диэлектрической проницаемости композиционных материалов с текстурой. Ч. 1 // Оборонный комплекс - науч.-техн. прогрессу России. - 2007. - № 1. - С. 73-78.

6. Лавров И.В. Диэлектрическая проницаемость композиционных материалов с текстурой: эллипсоидальные анизотропные кристаллиты // Экол. вестник науч. центров Черномор. эконом. сотрудничества (ЧЭС). - 2009. - № 1. - С. 52-58.

7. Лавров И.В. Теория электропроводности неоднородных материалов с текстурой // Изв. вузов. Электроника. - 2008. - № 1. - С. 3-9.

8. Genchev Z.D. Anisotropic electrical conductivity tensor of granular high-^ superconductors in an effective-medium theory // Supercond. Sci. Technol. - 1993. - Vol. 6. - P. 532-536.

9. Stroud D. Generalized effective-medium approach to the conductivity of an ingomogeneous material // Phys. Rev. B. - 1975. - Vol. 12, N 8. - P. 3368-3373.

10. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. - М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958. - 294 с.

11. Landolt-Bornstein. Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology. New Series // Ed. K.-H.Hellwege. - Group III. - Vol. 15a. - Berlin. - Heidelberg. - N.Y. - 1982. - 396 с.

Статья поступила после доработки 25 января 2010 г.

Лавров Игорь Викторович - старший преподаватель кафедры высшей математики № 2 МИЭТ. Область научных интересов: теоретические методы исследования электрических и оптических свойств неоднородной среды. E-mail: iglavr@mail.ru