CC BY
29
Исследования физической природы фрагментации материалов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 5 (2), с. 95-97
УДК 539.4
ЭФФЕКТ ЭКРАНИРОВАНИЯ УПРУГОГО ПОЛЯ ДИСКЛИНАЦИИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ ПЛАСТИЧЕСКИ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ПОЛУПРОСТРАНСТВ
© 2010 г. Г.Ф. Сарафанов1 2, Ю.Г. ШондиН
1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН
Поступила в редакцию 14.05.2010
Рассмотрена самосогласованная динамика дислокационного ансамбля в поле дисклинации, расположенной на границе двух пластически деформированных полупространств с разной плотностью подвижных дислокаций. Рассчитана упругая энергия Ж экранированной дисклинации в пластической
зоне, имеющей форму прямоугольника. Показано, что упругая энергия увеличивается как -\[я (Я -поперечный размер пластической зоны) и слабо зависит от ее длины. Это говорит о том, что имеет место сильное экранирование упругого поля системы дефектов в направлении скольжения дислокаций.
Ключевые слова: дислокация, дисклинация, экранирование, упругая энергия.
Как показано в работах [1-4] в процессе пластического течения в границах и стыках зерен образуются дефекты ротационного типа - дисклинации, играющие важнейшую роль в дальнейшей эволюции структуры деформируемых поликристаллов. Своими дальнодействующими полями напряжений они возмущают ламинарный поток решеточных дислокаций, вызывая расслоение их однородного распределения и порождая в прилегающих объемах зерен оборванные дислокационные субграницы и более сложные дислокационные образования (мезо-дефекты ротационного типа) [3].
Важно подчеркнуть, что как зарождение, так и движение оборванных субграниц (частичных дисклинаций) вглубь зерна происходит в результате коллективного движения дислокаций. Поэтому при расчете упругих полей и энергии дисклинационных конфигураций необходимо учитывать вклад окружающих дислокаций, перераспределение которых в упругом поле дис-клинаций способно, как было показано в [5], существенно понизить общую упругую энергию системы. В [5] исходная краевая задача была сформулирована для функции напряжений Эйри у(г), определенной во всем пространстве, которая удовлетворяет бигармоническому уравнению
2 - 2 д2
А у(г) = -4г(1 —- у(г) + 4лВю8 (г) . (1)
ду
Первое слагаемое в правой части (1) является распределенным в пространстве дислокацион-
ным источником упругого поля, самосогласованно связанным с функцией у(г), а второе -дисклинационным источником. При этом дислокации, формирующие пластическую зону, характеризуются плотностью ра (г, ?), вектором Бюргерса Ьа = ±Ь в направлении скольжения дислокаций (ось х) и обладают нулевым суммарным вектором Бюргерса '^аЪара = 0 .
Проведенный в [5] анализ экранировки упругого поля клиновой дисклинации системой дислокаций в случае бесконечно протяженного пластически деформируемого кристалла, показал, что упругая энергия такой системы в области размера Я определяется выражением
ж = ^ПВю2г2 Iя, (2)
4 \га
где га - радиус экранирования упругого поля [5, 6], В = О/2п(1 -V), ю - мощность дисклинации, О - модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона.
Настоящая работа посвящена обобщению работы [5] на случай, когда дисклинация расположена на границе двух пластически деформированных полупространств, с разной плотностью подвижных дислокаций (рис. 1).
Этот случай моделирует более реальную ситуацию, имеющую место в поликристаллах. Различная плотность дислокаций в смежных областях приводит и к различным значениям радиуса экранирования [6, 7].
У
х I 1 т + т х±т
т ±± X ±
4
я
т
т 1. ±
± ± -1 х _
\± ± ±
Т ± ±
± ±
±
±
±
±
т
со
т
т
т
_|_
а
т
_|_
_|_
_|_
т т _|_
т т
т т
т
±
±
±
т
Рис.1. Две смежные области с границей вдоль оси Ох с разными радиусами экранирования г1 и г2 (соответственно для верхнего и нижнего полупространства). Дислокации движутся вдоль оси Ох, а дислокация мощности СО помещена в центре. Энергия упругого поля системы дефектов расчитывается для прямоугольной области П = П+ + П - со сторонами 2а и 2Я
Рассматриваемая граничная задача сопряжения определяется уравнением (1)
2 2 д2 А V У) = 4Р! у+ (х, у) + y6(x)6(y), у >°,
ду
(3)
АУ- (Х, у)=(Х, у)
ду2
У <0
4- - *2
дУ2
4 - *2
ду2
2
2 д2
X- (х у)=4Р2—2 х-(х’ У); ду2
у <0.
Определим числа Xі и ці (і = 1,2) по форму-
у± (х, у) и ее производных при больших значениях аргументов. Такое поведение вполне определяется поведением фурье-компонент Х± (к, у) при к ^ 0.
В этом случае выражения для %± можно представить как
х+(к, у) = у+(к)е "1у + у + (к)ех 2у, у >0, (6)
X-(к, у) = ф-(к)е^ + Ф!(к)еи2у, у <0. (7)
где
^(*) %2 , У+(*) = 0(1), (8)
2(ві +р 2)*
т.е. функция (*) сингулярна, а у+(*) регулярна в точке * = 0 . В выражении (7) сингулярной при * = 0 будет функция ф- (*), а ф- (*) - регулярной:
ф- (*) = О(1), ф- (*)■
7
2(Рі +в 2) *2
(9)
Вычислим теперь энергию упругого поля по известной формуле [8]
W = ^ Я (с2ХУ - аХХСуу )^У + 20 а
1 УЦ (ст ХХ уу )2
А4}
(10)
и граничными условиями сшивки на границе у = 0 (см. рис. 1)
д д
—V+(x,У)ly=o^^7V-(x,У)ly=o, 7 = 0,1,2,3. (4)
ду ду
Здесь введены обозначения: в =1/гг (г = 1,2), у = 4пВю . Решаем задачу (3)-(4) методом преобразования Фурье по х:
Х± (к, у )= | е ~!кху± (х, у)&, тогда (3) преобразуется к виду
Л2 . . д2 . . .
>
а
рем прямоугольные области а = <
Х+ (Ху)=4Рі —7Х+(x,у) +7^-у0)> у>0, ду2
(5)
в заданной области пластической зоны. Выбе-
- а < х < а 1 -Я < у < Я и а+ = а |у>0, П- = а |у<0 (см. рис. 1).
После подстановки в формулу (10) выражений ахх = V уу, а уу = V хх, аху = -¥ ху первое
слагаемое с помощью интегрирования по частям приводится к сумме интегралов по сторонам прямоугольной области. В результате формула для энергии принимает следующий вид
ж=жгр+(А^( х, у ))2 dxdy. (11)
40 а
При {а, Я} >> {г1, г2} перв ое слагаемое Жг оценивается как
гр
Wгр = соті + О (^^),
лам
^1,2 = ±в1 - Vк 2 +в2 , ^1,2 = ±Р 2 +у1 к 2 +Р2 .
Решение исходной краевой задачи (3), (4) получается из найденных функций %± (к, у) с
помощью обратного преобразования Фурье. Далее нас будет интересовать поведение
а второе слагаемое в (11) - как
Ц [Ау( х, у )]2 dxdy■
а
п VГ1 Г2 ч3/2 г. 2
2 (Г1 + г2)
(г1г2)3/2 £>ю2л/д .
Здесь при вычислениях использовался метод преобразований Фурье с учетом полученных выше асимптотик для функций х± (к, у) (8), (9).
Следовательно, при достаточно больших а и Я основной вклад в энергию дисклинации дает второе слагаемое в (10) и
Ж а 4п + Л/г2 (г1г2)3/2Вю2л/Я . (13)
2 (Г + г2)2 (12) ( )
Отметим интересный факт, что при г1 = г2 = гЛ формула (13) переходит в (2), полученную непосредственным интегрированием точного выражения плотности упругой энергии экранированной дисклинации для круговой области пластической зоны. Тот факт, что конечный результат справедлив как для круга радиуса Я , так и для прямоугольника с полушириной полосы Я, говорит о том, что имеет место сильное экранирование в направлении скольжения дислокаций. Поэтому зависимость от длины полосы при а >> га не сказывается.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 09-02-97032-р).
Список литературы
1. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. М.: Металлургия, 1986. 224 с.
2. Рыбин В.В., Зисман А.А., Золоторевский Н.Ю. // ФТТ. 1985. Т. 27. С. 181-185.
3. Рыбин В.В. // Вопросы материаловедения. 2002. 1 (29). С. 11-33.
4. Перевезенцев В.Н., Рыбин В.В. // Поверхность. 1982. № 10. С. 134-142.
5. Сарафанов Г.Ф., Перевезенцев В.Н. // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31. Вып. 21. С. 73-78.
6. Сарафанов Г.Ф. // ФТТ. 1997. Т. 39. № 9. С.1575-1579.
7. Сарафанов Г.Ф., Перевезенцев В.Н. // ФТТ. 2007. Т. 49. № 10. С. 1780-1786.
8. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. 599 с.
THE SCREENING EFFECT OF THE ELASTIC FIELD OF A DISCLINATION LOCATED ON THE BOUNDARY OF TWO PLASTICALLY DEFORMED HALF-SPACES WITH DIFFERENT DENSITY OF MOBILE DISLOCATIONS
G.F. Sarafanov, Yu.G. Shondin
Self-consistent dynamics of a dislocation ensemble is considered in the field of a disclination situated on the boundary of two plastically deformed half-spaces with different density of mobile dislocations. The calculation is made of the elastic energy W of the screened disclination in the plastic zone of a rectangular form. It is shown that
the elastic energy increases as ~ -\[r (where R is the transverse size of the plastic zone) and weakly depends on its length. This means that there is a strong screening of the defect elastic field in the direction of dislocation slipping.
Keywords: dislocations, disclinations, screening, elastic energy.
