CC BY
36
w 069.64
DWUMIANOWY MODEL WYCENY OPCJI FINANSOWEJ
A. PERA
Wyzsza Szkola Bankowosci i Finansów, Akademia Ekonomiczna, Katowice, Polska, pera@ae.katowice.pl
WSTEP
Inwestowanie na rynku kapitalowym realizuje siç w warunkach ryzyka b^dz niepewnosci. Inwestorzy w zalezno-sci od ich indywidualnego stosunku do ryzyka maj^na rynku do dyspozycji instrumenty finansowe, które daj^alterna-tywnie mozliwosc celowego zwiçkszania ryzyka dla osiqgniçcia ponadproporcjonalnej stopy zwrotu lub ograniczania ryzyka dla zwiçkszenia bezpieczeñstwa finansowego portfela.
Transfer ryzyka na rynku finansowym odbywa siç przy pomocy okreslonych instrumentów finansowych. Do naj-wazniejszych z nich nalezy zaliczyc: kontrakty finansowe, opcje i swapy. Przedmiotem niniejszego opracowania s^finansowe opcje jako instrument rynku terminowego futures. Analiza dotyczy zwlaszcza wyceny opcji wedlug modelu zaproponowanego przez autorów: J.C. Cox'a, S.A. Ross'a oraz M. Rubinstein'a. Model ten traktuje zmiany wartosci aktywa bazowego, na który zostala wystawiona opcja jako zmienn^ dyskretn% która w jednym podokresie analizy moze jeden raz zmienic sw^ wartosc, a zatem mozna dla tej zmiennej dyskretnej skonstruowac model dwumianowy, który przy przyjçciu nizej opisanych zalozeñ pozwala oszacowac biez^c^ wartosc opcji. Alternatywnym (nieporuszo-nym w niniejszym opracowaniu) modelem wyceny opcji jest model Blacka-Scholes'a, który w odróznieniu od modelu dwumianowego zmiany ceny aktywa bazowego traktuje jak zmienne ciagle, co oznacza, ze wartosc aktywa bazowego moze zmieniac siç nieskoñczenie czçsto i o dowolna wartosc.
Umiejçtnosc oszacowanie wartosci opcji jest takze jednym z podstawowych zadañ banku komercyjnego, poniewaz to wlasnie banki s^ instytucjami, które dla ochrony finansowych zasobów s^ szczególnie zainteresowane zabezpie-czaj^cymi instrumentami finansowymi, daj^cym im swobodç aktywnosci na rynku kapitalowym przy jednoczesnym ograniczonym ryzyku inwestycyjnym.
1. ISTOTA OPCJI FINANSOWEJ
Opcja jest terminow^ transakcj^ warunkow% w której jedna ze stron nabywa prawo, ale nie obowi^zek, realizacji umowy. Opcja jest instrumentem, który daje jego wlascicielowi prawo do zakupu lub sprzedazy innego instrumentu. Opcja kupna daje jej wlascicielowi prawo zakupu instrumentu bazowego (którego dotyczy) w okreslonym terminie po okreslonej cenie (zwan^ cen^ wykonania).
Wyrózniamy dwa podstawowe rodzaje opcji:
- opcje kupna (call option);
- opcjç sprzedazy (put option).
Kupuj^cy opcjç kupna ma prawo do kupna okreslonej ilosci instrumentu podstawowego (np. akcji) po z góry okreslonej cenie i w okreslonym w umowie terminie. W zamian za to prawo musi zaplacic wystawcy opcji odpowiedni^ gratyfikacjç, zwan^premi^. Kupuj^cy zrealizuje opcjç wtedy, gdy kurs rynkowy aktywa bazowego w dniu wykonania opcji bçdzie wyz-szy niz cena wykonania. W zwi^zku z tym kupno opcji cali chroni przed wzrostem kursu instrumentu bazowego. Wystawca opcji kupna zobowi^zany jest do sprzedazy przedmiotu kontraktu po cenie wykonania, o ile kupuj^cy zechce zrealizowac swoje prawo do kupna. Ewentualny zarobek wystawcy opcji sprowadza siç tylko do premii otrzymanej od kupuj^cego.
Kupuj^cy opcjç sprzedazy nabywa prawo do sprzedazy okreslonej ilosci instrumentu podstawowego po z góry okreslonej cenie i w okreslonym w umowie czasie. Podobnie, jak przy kupnie opcji call, placi za to prawo cenç w postaci premii. Realizacja opcji jest dla niego oplacalna, gdy w dniu wykonania kurs wykonania opcji bçdzie wyzszy niz kurs rynkowy instrumentu bazowego. Nabycie opcji put zabezpiecza przed spadkiem ceny instrumentu bazowego. Wystawca opcji put zobowi^zany jest do nabycia przedmiotu kontraktu. Jego zarobek sprowadza siç tylko do otrzymanej premii.
Opcje s^ instrumentem o niesymetrycznym rozlozeniu ryzyka. Wystawienie opcji wi^ze siç z o wiele wyzszym ryzykiem niz jej kupno. Strata kupuj^cego ogranicza siç jedynie do zaplaconej premii. Potencjalne straty wystawcy opcji, jesli te z kolei nie s^ zabezpieczone lub pokryte, mog^byc nieograniczone.
Bez wzglçdu na typ opcji (call czy put) najwazniejszym problem jest ich wycena. Inwestor kazdorazowo chcialby wiedziec jaka jest biez^ca wartosc instrumentu, który uprawnia go do pewnych decyzji finansowych w przyszlosci. Kazdorazowo nalezy zatem odpowiedziec na pytanie ile to prawo posiada wartosci w biez^cym momencie. Na to pytanie odpowiadaj^ modele wyceny opcji.
2. WYCENA OPCJI WEDLUG MODELU DWUMIANOWEGO ZALOZENIE WYJSCIOWE
Wycenie podlega europejska opcja kupna akcji, która w okresie waznosci opcji nie plací dywidendy. Zalozenia podstawowe:
- inwestor posiada akcje i día zrównowazenia ryzyka wystawia opcje kupna;
- brak mozliwosci dokonywania korzystnych transakcji arbitrazowych;
- cena akcji zachowuje siç zgodnie z modelem dwumianowym.
Zakladamy, ze w kazdym podokresie calego okresu analizy walor bazowy moze przyj^c alternatywnie tylko jedn^ z dwóch wartosci:
- z poziomu S wzrosn^c do Us;
- z poziomu S spasc do poziomu dS.
2.2. MODEL JEDNOOKRESOWY DLA EUROPEJSKIEJ OPCJI KUPNA
Jesli para instrumentów: bazowy i opcja mog^ bye tak dobrane, ze zmiana ceny jednego bçdzie powodowac przeciwstawn^ zmianç ceny drugiego, to zostai skonstruowany portfel bezpieczny. Jesli tak, to rentownosc takiego portfela powinna odpowiadac stopie zwrotu wolnej od ryzyka.
Strategia inwestora jest w takim przypadku nastçpujqca:
- posiadaez instrumentów bazowych zabezpiecza siç wystawieniem opcji, tak by koszty lub przychody tego zabezpieczenia niwelowaiy zyski lub straty na instrumentach bazowych;
- taki portfel daje stopç zwrotu równ^ rw.
Zadaniem inwestora jest dobranie odpowiedniej ilosci opcji do posiadanych akcji. Powstaje w ten sposób struktura zaleznosci, które ze wzglçdu na dwa mozliwe stany w kazdym podokresie nazywamy drzewem dwumianowym:
Zachodzi relacja:
gdzie:
VQ - pocz^tkowa wartosc portfela,
V. - wartosc portfela po jednym okresie,
rf - stopa zwrotu instrumentów wolnych od ryzyka.
V -V
— = (1 + rf) =r,
' o
To z kolei jest równowazne zapisowi:
AS0-C0
(4)
gdzie:
AS - wartosc delta sztuk akcji (aktywa bazowego),
C - wartosc opcji,
0 i 1 odpowiednio moment wystawienia i wyceny opcji,
rf - stopa zwrotu wolna od ryzyka.
Mianownik w powyzszym wzorze oznacza naklad na stworzenie portfela. Jest on równy wartosci zakupu A akcji minus przychód z tytulu premii za wystawion^opcj?.
Jezeli cena akcji w okresie waznosci opcji moze wzrosn^c do wartosci uS lub spasc do poziomu dS to odpowiednio cena opcji moze wzrosn^c do wartosci uC lub spasc do poziomu dC Taki portfel powinien bye wolny od ryzyka, czyli jego wartosc jest taka sama niezaleznie od zmiany ceny akcji.
Koñcowa wartosc portfela:
AuS— uC = AdS - dC (5)
czyli:
(6)
Uogólniaj^c otrzymujemy:
A =
uS-dS
AuS - uC AdS-dC
1 +r
1 +r
(7)
Ponadto w czasie zachodzi relacja: koszt skonstruowania portfela (AS-C) jest równy zdyskontowanej przyszlej wartosci portfela czyli po roku:
AS C=AuS-uC = AdS-dC (1 + r) (1+r)
Poszukiwana wartosc opcji moze bye po przeksztalceniu tego wzoru wyliczona jako:
\u.S U( -it
C = A.i-— =AS—---- — (9)
(1 + /-) (l+r)
Prawdziwosc tej relacji pozwala obliczyc biez^c^ wartosc opcji. Jednak nie wiemy zjakim prawdopodobieñstwem nastqpi wzrost ceny akcji a z jakim spadek ceny akcji. Wyliczamy to podstawiaj^c zamiast A akcji wzór na A.
A =
to zachodzi:
uC-dC uS-dS
uC -dC
uS -dS
S-C
uC -dC uS — uC luC -dC
uS -dS uS -dS
dS-dC
(1 +r)
(1+r)
z tego wyliczamy C biez^ce jako:
C = -
1 + r
u-d
u-d
(10)
(11) (12)
Podstawiaj^c dla uproszczenia zapisu: (1 + r)-d
u-d «-(1 + r) u-d
p i jest prawdopodobieñstwem wzrostu kursu akcji oraz
(1— P) jest prawdopodobieñstwem spadku kursów akcji, zatem cena biez^ca opcji kupna ma uprosz-
czon^ postac jako:
C =
-[puC +(1 -p)dC]
,, ^ - ■ (13)
(! + '")
To jest postac w przypadku jednokrotnej kapitalizacji w jednym okresie. Jezeli zas kapitalizacja bytaby cingla za-miast (1+r)"' dyskonto ma postac e"rt (Przejscie w procedurze dyskonta do podstawy logarytmu naturalnego jest zwi^-zane z zamian^ kapitalizacji dyskretnej na kapitalizacje cingla. Zwi^kszanie cz^stotliwosci okresów kapitalizacji por 1 woduje, ze zastosowanie ma wzór: (1 + —)"' Jezeli cz^stotliwosc jest cingla (n—>oo) wówczas granica: lim(l + —)" = e
tl tl Z tego w procesie dyskontowania wyrazenie (1+r)"1 zamieniamy zapisem e ", gdzie t jest zawsze wyrazone w latach lub ulamkach roku).
Uwzgl^dniaj^c cingla kapitalizacji wzór na biez^c^ cen? opcji w okresie 1 roku ma postac:
poniewaz
C = e " (puC + (1 - p)dC) = e e"-d
uC + dC
P =
u-d
(1 ~P) =
u-d u-e"
u-d
u-
(14)
(15)
Jezeli liczba okresów zycia opcji jest wi^ksza niz jeden wówczas proces wyceny jest podobny co do istoty i polega na kolejnych krokach wstecz licz^c od momentu wygasni^cia opcji do okresu biez^cego. Día liczby T okresów przy ci^glej kapitalizacji cena opcji C wyraza si? wzorem:
T\
T\(T-t)\
p'{ 1 - pf -' max{0\u'dT 'S - X}
C = erTJ2
gdzie: '=°
T - liczba okresów zycia opcji t - liczba okresów pozostalych do wygasni^cia opcji.
2.3. PRZYKLAD WYCENY JEDNOOKRESOWEJ EUROPEJSKIEJ OPCJI KUPNA
Dane:
Cena biez^ca akcji S = 20 zl; Wspólczynnik wzrostu ceny akcji u = 1,1; Wspólczynnik spadku ceny akcji d =l/u = 0,9; Cena wykonania opcji X= 21 zl; stopa dyskonta = 5%
Jezeli cena wzrosnie o 1,1 to uS wynosi 22 (20*1,1 = 22), a dS = 18 (20*0,9 = 18)
C„={(</S-JD;0}=0 uC = 1 zl poniewaz (uS - X) — (22 - 21) 1 dC= Ozl bo (18 - 21) —> 0 zl
Na tej podstawie wyliczamy ilosc akcji A:
(16)
AuS - uC = AdS - dC AuS - AdS = uC - dC
A (uS-dS) = uC-dC
. uC-dC
A =-
uS-dS
Trzeba kupic A akcji i wystawic 1 opcj? na t? akcj? wówczas portfel jest bez ryzyka.
A *22— 1 = A * 18 — 0
A *22 —A *18 = 1
A *4 = 1
A = 0,25 —► na kazd^ 1 wystawion^opcj? kupna trzeba nabyc 0,25 akcji.
Wartosc portfela na koniec okresu gdy cena wzrosnie powinna bye taka sama jak wartosc
portfela gdy cena spadnie, czyli:
0,25 * 22 — 1 = 4,5 przy wzroscie ceny instrumentu bazowego,
0.25.* 18-0 = 4,5 przy spadku ceny instrumentu bazowego.
Jest to w zwi^zku z tym portfel wolny od ryzyka, który moze bye podstaw^ wyceny opeji.
W koñcu biez^ca wartosc portfela wynosi:
_4-5
(1+/-)' 1-05
Z tego z kolei poszukiwana wartosc opeji wyliczona ze wzoru (9) wynosi:
0 25-22-1
C = 0,25-20- = 5-4,29 = 0,71z/
1+0,05
lub równowaznie z tego samego wzoru:
n 9S-18-0
C = 0,25-20--- =5-4,29 = 0,71 zl
1 + 0,05
Alternatywnym sposobem jest obliczenie prawdopodobieñstwo wzrostu i spadku ceny instrumentu bazowego a nast^pnie wartosc opeji jako srednia wazona jej koñcowej ceny wzrostowej i koñcowej ceny spadkowej, korzystaj^c ze wzorów (12) i (13):
(l+0,05)-0,9 (I_D) = 0f25
1,1-0,9
Wartosc opeji zgodnie z podstawowym wzorem tego modelu wyceny wynosi zatem:
C = —— \puC +(1 -p)dC}= 1 [0,75-1+0,25-0] = — = 0,71 zl (l + r)L 1 1 + 0,05l 1 1,05
W kazdym przypadku wartosc uzyskanego wyniku jest identyczna. Dla zadanych wartosci wyjsciowych warto kupic opcj? kupna, jesli jej cena biez^ca nie jest wyzsza niz 71 groszy.
2.3. PODSUMOWANIE
Zaprezentowany model wyceny opeji jest obok modelu Blacka-Scholesa najcz^sciej stosowan^ metod^ wyceny opeji. Zalozenia tego modelu s^ dose mocno rygorystyczne. Warto wspomniec chociazby zakladan^zaleznosc: u=l/d, czy arbitralne dzielenie okresu zycia opeji na okreslon^ liczb? podokresów (z reguly mal^) w których aktywo bazowe moze przyj^c alternatywnie jedn^ dwóch wielkosci.
Istnienie tych ograniczen nie deprecjonuje jednak wartosci modelu. Trzeba bowiem miec kazdorazowo na uwa-dze, ze wycena opeji dotyczy rynków przyszlosci, a te z natury rzeczy s^ dla okresów biez^cych charakteryzowane wartosciami probabilistycznymi lub wr?cz niepewnymi. Trudno w zwi^zku z tym oczekiwac, ze jakikolwiek model rynku kapitalowego odczyta w pelni jego przyszly stan. Warto na koniec zauwazyc, ze gdyby taki model powstal to kategoria opeji i rynku futures przestalaby miec racj? bytu ze wzgl^du na determinizm stanów przyszlych, co przeciez nie odpowiada rzeczywistosci. Funkcjonowanie rynków finansowych jest bogatsze od dyspozycyjnych metod ich modelowego okreslania.
LITERATURA
1. D?bski, W. Rynek finansowy i jego mechanizmy / W. D?bski. - PWN, Warszawa 2002.
2. Dziawgo, E. Modele kontraktów opcyjnych / E. Dziawgo. - Wyd. Uniwersytetu im. M. Kopernika w Toruniu, 2003.
3. Francis, J.C. Podstawy inwestowania: wycena papierów wartosciowych i konstrukeja portfela / J.C. Francis, R.W. Taylor. Oficyna Ekonomiczna, Kraków, 2001.
4. Sopocko, A. Rynkowe instrumenty finansowe / A. Sopocko. - PWN, Warszawa, 2005.
DOUBLE-TYPE MODEL OF THE ESTIMATION OF THE FINANCIAL OPTION
A. PER A Summary
The results of studying the double-type model of the estimation of the capital market financial option are given in the article. It has been established that functions of the financial market regulation are more extensive than the existing methods of its modeling.
Поступила в редакцию 10 марта 2008 г.
