CC BY
14
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.58 Р. А. Хаиров
ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Введено в рассмотрение двупараметрическое преобразование степенных рядов, для которого получены дифференциальные равенства и интегральное представление, позволяющие просто получить известные свойства некоторых семейств специальных и других функций.
Ключевые слова: двупараметрическое преобразование, степенные ряды, дифференциальные равенства, интегральное представление.
Пусть f (z) — сумма степенного ряда
п „ ^ D
(1)
да
Z cnz", |z| < R
п=0
Обозначим через f
v(c У J
сумму степенного ряда
(a)
n=0 (c)
V, (a)n n
^ CnTTZ (2)
С помощью теоремы Коши-Адамара ( [ 1 ], стр.71) легко показать, что ряд (2) имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (1).
/ (а). ^ г ■.
Функция у ~г~\ 2 ( [ 2 ], стр.102) называется двупараметрическим преобразованием
v(c). J
функции f(z) .
Двупараметрическим преобразованием функции e является вырожденная гипергеометрическая функция
aI to
ф(а,с;z)= = exp ff z
n=0 П\(с)n (c).
n=0 n!(C)n (CJ
Двупараметрическими преобразованиями функций cos z и sin z будут соответственно
(3)
cos M Z = f (- 1)% ^ I2" Z2и и sinQ Z = {a)¡2;+14)-z^
(с). 7 (2")!(cL (c). ' (2n + 1)!(c)(2"+1)
Функции (3) и (4) связаны между собой равенством
(4)
е
¿л.,
(а). . (а).
СОБ -т-г- Г + I Б1П -Т-Г-
(с ).
(с ).
которое является аналогом формулы Эйлера.
Легко показать, что в круге сходимости ряда (1) имеет место следующая формула
й
/
М
(с ).
Г
а
/'
(а +1).
связывающая производную двупараметрического преобразования функции с двупараметрическим преобразованием ее производной.
Применим эту формулу к функции (3). В результате получим
л М: z (а+1). z йе(с). = Ме (с+1).
йг с
(5)
Повторно применяя эту формулу еще п-1 раз, получим следующее правило дифференцирования вырожденной гипергеометрической функции:
(оЬ
(о+и ).
е(с).• = (ак е(с+и).
(с X
Аналогично для функций (4) получим
й (а). а . (а +1).
— соб^- • =--Б1п4-г- •,
йг (с). с (с +1).
й . (а). а (а +1).
— бШ^-Г- • = — СОБ^-Т •
йг (с). с (с +1).
Теорема. Имеет место дифференциальное соотношение
М.
V(с). ,
Л
=1 •!+о К '
л
V (с). ,
й2 й где Ос = + с—.
йг й2
(6)
тл г г Доказательство. Так как Ос^т~ = и -
(с X (с)„-1'
то Бс/
г(мУ
(с).
г I = У с
Е
(а )
1 " (с)и-1
и иги-1 =
Е сиТ0^ и(и + а -1)
=1 " (с)„-1
Отсюда, с учетом равенства
С
й
\
г--+ а
V йг J
г
1 = (и + а - 1>и-1
получим
г
с
z
z
z
1
и
и
Dcf
М: z
V (c).Zj
с
d
z--ь a IV c
V dz n
c iai-i 1Cn (c)„-i
n-1 nzn-1 =
d
z--ь a
dz
f'
(a):
(c)•
t z
v(c)• j
Следствие. Вырожденная гипергеометрическая функция
(a+n )• „
т-fz <»
/ = e{c+n= V
(a )
=n П! ( c
n=0
(c )
n zn
удовлетворяет дифференциальному уравнению
zy" + (c - z)/- ay = 0 Доказательство. При f (z) = ez соотношение (6) принимает вид
с ^ (a)
(с4
Ае
ЙГ _
d (C)z
z — + a v dz j
(7)
(8)
n _ d 2 d Тогда отсюда, с учетом Dc = z —-у + c ——, получим
dz dz
d2 y dy dy z—j- + c— = z — + ay dz dz dz
или, что то же самое, уравнение (7). Таким образом, мы вновь получили вырожденное гипергеометрическое уравнение.
По формуле (6) при f(z)= COS z и f (z) = sin z соответственно получим, что функции
(a)„. •
u = cos ■
z и v = sin-
/ ч !Л У - Olli / ч
(c) • (c)
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
z
Du = -
d
z--ь a
dz
Dv
d
z--ь a
dz
u
Пользуясь формулой (5) из равенства (8) легко выводится следующая трехчленная формула
(a)2
(a+2)•
z(a)2 e<"2)+ a
(c )2
1 - z
c
( a+l) •
,(c+1)T
ae
(a+2) • z (c+2) • _
0
для вырожденной гипергеометрической функции (3). В этой формуле а и с заменим соответственно на а + п и с + п, затем введем обозначение
то
v
<
z
-\-
(а+").,
А (2 )=<
f и )
. . (c+n) .
(z ) = e
В результате получим рекуррентную формулу
zi^2 An+2(z)+(а + n{\-—\лп+1 (z)—(а + n)A„(z)= 0 (n = 0,1,2,...)
l , \ ^n + 2 V / 1 V" 1 A
(c + n)2 V c + n
Представив эту формулу в виде
а + n
= 1 (c + n)(c + n +1)
An+i (z) c An+i(z ) !
An+2 (z )
Ao (z ) ,
для отношения —-r~\ получим непрерывную дробь
Ai (z )
а +1 а + 2 а + 3
1 _ 2 + с(с +1) (с + 1)(с + 2) (с + 2Хс + 3)
с 1 + 1 + 1 +... ('
с +1 с + 2 с + 3
Другое разложение 0( ) в непрерывную дробь получено в [з] (стр.134) из разложения
А(2)
гипергеометрической функции.
Приведем примеры двупараметрических преобразований функций. 1) Биноминальное разложение
(1 + х)а=У (- 1)n
n=o n!
имеет следующую символическую форму
(1 + х)а =
1+(—а) х у1 (1).
которая получается из двупараметрического преобразования функции (1 + х ) при значениях параметров c = 1, а = —а
2) Гипергеометрическая функция
F (а, Ъ, c; х )=уЩ^ xn
n=0 n!(c)n
является двупараметрическим преобразованием функции
(1 - * У = £ ^
,=п П!
n=0
3) Функции ([4], стр. 163)
1
Mk Ах)=*2+me"2 I
x X "2
1 ,Л — + m - k
2
^ n!(2m
n=0
(2m + 1)n
y n-xn
i \ — m _-
, Mk-m(x)= x2 e"2
I-
n=0
1 ,Л — m - k
2
!(1 - 2m)n
yn xn,
n
которые образуют фундаментальную систему решений уравнения Уиттекера
d2y
dx2
+
1 k 4
— + —+ —
4 x
- m
x
У = 0,
(10)
л
связаны с двупараметрическим преобразованием функции е (с вырожденной гипергеометрической функцией) при значениях параметров соответственно
1 1
а = — + т - к, с = 2т +1 и о =--т - &, с = 1 - 2т следующим образом
1 z
+ m
Mk,m(x) = x 2 e 2 exp
'1 7Л
- + m - k 2
v
1 -
- m
(2m +1)
.x, Mk-m(x) = x2 e 2 exp
— m - k 2
v
(1 - 2m)
x
Следует отметить, что уравнение (10) может быть получено из (11) и (7). 4) Юнг ( [ 5 ], стр. 51) ввел в рассмотрение функцию
да 2п+У
С (х )=Е(-1)"-^-,
А ' ¿Г ' г(у+2"+1)
Мы ее представим в виде
x
cos
(1).
c"(x) г (v +1) cos (v +1).x'
x
(11)
(12)
из которого следует, что Cv (x) выражается через двупараметрическое преобразование функции cos x при значениях параметров a = 1, c = V + 1. Наряду с функцией Cv (x) рассмотрим функцию
Sv (x ) =
x
sin-
(1).
Г (v +1) (V + 1).
x
(13)
1
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 16, 2010.
-\-
Обе эти функции связаны между собой следующим образом:
■ (1) .
У г ———X
С—(х)+ гЗу(х) = -^-е <У+1> . . Г(у +1)
Для получения дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют функции СУ (х) и 5— (х), представим функцию
и(х) — СУ (х) + г5У (х) (14)
в виде
" "+1 м И+У
/ \ х х -^-Л х
и(х) = —,-т + г—,-т +> г -т
Г(у +1) Г(у +1) £ Г(п + у + 1)
и находим
«( У(У _ 1) "_2 , У(У + 1) У_1 V - (П + У)(П + У_ 1) п+у_2
и (х) — / \ х + г / \ х + / г / \ х
Г(у +1) Г(у +1) £ Г(п + у + 1)
В последнем ряде сначала заменим п на п +1 затем воспользуемся равенством
Г(п + у + 1)—(п + у + 2)(п + у + 1)(у + 1)иГ(у + 1)
В результате получим
и"(х)———хУ_2+'ТУ+Г) х"_' _ГУ+Г)|£ ,п У+УП
Таким образом, функция (14) удовлетворяет дифференциальному уравнению
" _ "(" _ 1) у_2 . "(" +1) у_1
и I и — / г х I г / г х ,
г(" + 1) Г(" + 1)
из которого следует, что
С" (х)+ С"(х)— "У" г)х , Г(" +Г)
8у (х)+5—(х) — —" х" 1 Г(" +Г)
У
Теперь получим интегральное представление для двупараметрического преобразования
'(О): 1 ч(с). х/
Г (а ). 1
Теорема. Двупараметрическое преобразование У ~т\ х функции /(х) имеет
следующее интегральное представление
/
(4 , 1= г(с)
(с) . ) Г (а)г (с - а)
1
| /(хХ) Ха-1(1 - X )с-а-1 С,
(15)
где с > а > 0.
Доказательство. Согласно формуле
имеем
В равенстве
1г а-1(1 -г г *=г^Щ
1 Г(а + р)
1 ха+"-1(1 - х)
С-а-1Л= Г(а )Г (С - а ) (а )„
Г(с) (с).
(16)
1 1 да
| / х >а-1(1 - г)с-а-1 йг = с„хяга+я-1(1 - г)с-а-1 йг
о п=0
изменим порядок суммирования и интегрирования, законность которого вытекает из абсолютной и равномерной сходимости ряда
1 пп
о п=0
с„хпгп
относительно ? на [0,1] при х е (- Я, Я). После этого воспользуемся формулой (16). В результате получим равенство
IЛ
хг )о-'(1 - г)— й = Г (о)Гс- а^ (о)
г(с)
с мп гсп / ч х
п=0
(с ),
которое доказывает справедливость формулы (15). Отметим несколько частных случаев формулы (15)
1) Если /(х) = е , то из формулы (15) вновь получим известное интегральное представление вырожденной гипергеометрической функции ([ 6 ], стр.317):
Ф(а, с; х) = ечз х = ^рГтЦ1 еЯг"- (1 - ') (Ъ). Г (" )Г(с - ") 0
с - а-1
йг
2) Если /(х)= (1 - X) , то из (15) вновь получим известное интегральное представление для гипергеометрической функции ([ 5 ], стр.317):
Ъ, с; х) = (1 - Та).
,-ь
(ъ).
ГтаЩ-а) I(1 - х,)- ь,а-1(1 - г)
с - а-1
йг
0
0
0
0
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 16, 2010. -\-
3) Для функций Су(х), 5^(х) из символических формул (12), (13) и формулы (15) получим:
V 1
с(х )=—^—^ [(1 - г У^СОБ хМ, (17)
Г{у +1у 0
1
)=Г^1) _ t )V"1sin Xtdt' (18)
где v > 0.
Из (17), (18) и леммы Римана из теории рядов Фурье следует, что
lim CM = о, lim = о.
V V
Библиографический список:
1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973.
2. Хаиров Р.А. Однопараметрическое и двупараметрическое преобразования степенных рядов.// Материалы международной конференции «Современные проблемы математики» // ИПЦ ДГТУ, 2006, с.100-103.
3. Хованский А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. - М.: Гос. изд. техн.- теорет. лит., 1956.
4. Уиттекер Э.Т., Ватсон Д.Н. Курс анализа. - М.: Физматгиз, 1963.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены) - М.: Наука, 1974.
6. Лебедев Н.Н. Специальные функции. - М.: Физматлит, 1963.
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 16, 2010.
-\-
R.A. Chairov
Double-parametric transformation of power series
In the article double-parametric transformation of power series is considered. For these series differential equality and integral presentation, which allow to get some sets of special functions properties, are obtained.
Keywords: double-parametric transformation, differential equality, integral presentation
Хаиров Рагим Айдабекович (р. 1973) старший преподаватель кафедры физики и математики Дагестанской государственной сельскохозяйственной академии. Окончил математический факультет Дагестанского государственного университета. Область научных интересов: теория функций и функциональный анализ. Автор 15 научных публикаций.
