Научная статья на тему 'Двупараметрическое преобразование степенных рядов'

Двупараметрическое преобразование степенных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
131
14
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ / СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ / ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ РАВЕНСТВА / ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Хаиров Рагим Айдабекович

Введено в рассмотрение двупараметрическое преобразование степенных рядов, для которого получены дифференциальные равенства и интегральное представление, позволяющие просто получить известные свойства некоторых семейств специальных и других функций.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Двупараметрическое преобразование степенных рядов»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.58 Р. А. Хаиров

ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Введено в рассмотрение двупараметрическое преобразование степенных рядов, для которого получены дифференциальные равенства и интегральное представление, позволяющие просто получить известные свойства некоторых семейств специальных и других функций.

Ключевые слова: двупараметрическое преобразование, степенные ряды, дифференциальные равенства, интегральное представление.

Пусть f (z) — сумма степенного ряда

п „ ^ D

(1)

да

Z cnz", |z| < R

п=0

Обозначим через f

v(c У J

сумму степенного ряда

(a)

n=0 (c)

V, (a)n n

^ CnTTZ (2)

С помощью теоремы Коши-Адамара ( [ 1 ], стр.71) легко показать, что ряд (2) имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (1).

/ (а). ^ г ■.

Функция у ~г~\ 2 ( [ 2 ], стр.102) называется двупараметрическим преобразованием

v(c). J

функции f(z) .

Двупараметрическим преобразованием функции e является вырожденная гипергеометрическая функция

aI to

ф(а,с;z)= = exp ff z

n=0 П\(с)n (c).

n=0 n!(C)n (CJ

Двупараметрическими преобразованиями функций cos z и sin z будут соответственно

(3)

cos M Z = f (- 1)% ^ I2" Z2и и sinQ Z = {a)¡2;+14)-z^

(с). 7 (2")!(cL (c). ' (2n + 1)!(c)(2"+1)

Функции (3) и (4) связаны между собой равенством

(4)

е

¿л.,

(а). . (а).

СОБ -т-г- Г + I Б1П -Т-Г-

(с ).

(с ).

которое является аналогом формулы Эйлера.

Легко показать, что в круге сходимости ряда (1) имеет место следующая формула

й

/

М

(с ).

Г

а

/'

(а +1).

связывающая производную двупараметрического преобразования функции с двупараметрическим преобразованием ее производной.

Применим эту формулу к функции (3). В результате получим

л М: z (а+1). z йе(с). = Ме (с+1).

йг с

(5)

Повторно применяя эту формулу еще п-1 раз, получим следующее правило дифференцирования вырожденной гипергеометрической функции:

(оЬ

(о+и ).

е(с).• = (ак е(с+и).

(с X

Аналогично для функций (4) получим

й (а). а . (а +1).

— соб^- • =--Б1п4-г- •,

йг (с). с (с +1).

й . (а). а (а +1).

— бШ^-Г- • = — СОБ^-Т •

йг (с). с (с +1).

Теорема. Имеет место дифференциальное соотношение

М.

V(с). ,

Л

=1 •!+о К '

л

V (с). ,

й2 й где Ос = + с—.

йг й2

(6)

тл г г Доказательство. Так как Ос^т~ = и -

(с X (с)„-1'

то Бс/

г(мУ

(с).

г I = У с

Е

(а )

1 " (с)и-1

и иги-1 =

Е сиТ0^ и(и + а -1)

=1 " (с)„-1

Отсюда, с учетом равенства

С

й

\

г--+ а

V йг J

г

1 = (и + а - 1>и-1

получим

г

с

z

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

z

z

1

и

и

Dcf

М: z

V (c).Zj

с

d

z--ь a IV c

V dz n

c iai-i 1Cn (c)„-i

n-1 nzn-1 =

d

z--ь a

dz

f'

(a):

(c)•

t z

v(c)• j

Следствие. Вырожденная гипергеометрическая функция

(a+n )• „

т-fz <»

/ = e{c+n= V

(a )

=n П! ( c

n=0

(c )

n zn

удовлетворяет дифференциальному уравнению

zy" + (c - z)/- ay = 0 Доказательство. При f (z) = ez соотношение (6) принимает вид

с ^ (a)

(с4

Ае

ЙГ _

d (C)z

z — + a v dz j

(7)

(8)

n _ d 2 d Тогда отсюда, с учетом Dc = z —-у + c ——, получим

dz dz

d2 y dy dy z—j- + c— = z — + ay dz dz dz

или, что то же самое, уравнение (7). Таким образом, мы вновь получили вырожденное гипергеометрическое уравнение.

По формуле (6) при f(z)= COS z и f (z) = sin z соответственно получим, что функции

(a)„. •

u = cos ■

z и v = sin-

/ ч !Л У - Olli / ч

(c) • (c)

удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

z

Du = -

d

z--ь a

dz

Dv

d

z--ь a

dz

u

Пользуясь формулой (5) из равенства (8) легко выводится следующая трехчленная формула

(a)2

(a+2)•

z(a)2 e<"2)+ a

(c )2

1 - z

c

( a+l) •

,(c+1)T

ae

(a+2) • z (c+2) • _

0

для вырожденной гипергеометрической функции (3). В этой формуле а и с заменим соответственно на а + п и с + п, затем введем обозначение

то

v

<

z

-\-

(а+").,

А (2 )=<

f и )

. . (c+n) .

(z ) = e

В результате получим рекуррентную формулу

zi^2 An+2(z)+(а + n{\-—\лп+1 (z)—(а + n)A„(z)= 0 (n = 0,1,2,...)

l , \ ^n + 2 V / 1 V" 1 A

(c + n)2 V c + n

Представив эту формулу в виде

а + n

= 1 (c + n)(c + n +1)

An+i (z) c An+i(z ) !

An+2 (z )

Ao (z ) ,

для отношения —-r~\ получим непрерывную дробь

Ai (z )

а +1 а + 2 а + 3

1 _ 2 + с(с +1) (с + 1)(с + 2) (с + 2Хс + 3)

с 1 + 1 + 1 +... ('

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

с +1 с + 2 с + 3

Другое разложение 0( ) в непрерывную дробь получено в [з] (стр.134) из разложения

А(2)

гипергеометрической функции.

Приведем примеры двупараметрических преобразований функций. 1) Биноминальное разложение

(1 + х)а=У (- 1)n

n=o n!

имеет следующую символическую форму

(1 + х)а =

1+(—а) х у1 (1).

которая получается из двупараметрического преобразования функции (1 + х ) при значениях параметров c = 1, а = —а

2) Гипергеометрическая функция

F (а, Ъ, c; х )=уЩ^ xn

n=0 n!(c)n

является двупараметрическим преобразованием функции

(1 - * У = £ ^

,=п П!

n=0

3) Функции ([4], стр. 163)

1

Mk Ах)=*2+me"2 I

x X "2

1 ,Л — + m - k

2

^ n!(2m

n=0

(2m + 1)n

y n-xn

i \ — m _-

, Mk-m(x)= x2 e"2

I-

n=0

1 ,Л — m - k

2

!(1 - 2m)n

yn xn,

n

которые образуют фундаментальную систему решений уравнения Уиттекера

d2y

dx2

+

1 k 4

— + —+ —

4 x

- m

x

У = 0,

(10)

л

связаны с двупараметрическим преобразованием функции е (с вырожденной гипергеометрической функцией) при значениях параметров соответственно

1 1

а = — + т - к, с = 2т +1 и о =--т - &, с = 1 - 2т следующим образом

1 z

+ m

Mk,m(x) = x 2 e 2 exp

'1 7Л

- + m - k 2

v

1 -

- m

(2m +1)

.x, Mk-m(x) = x2 e 2 exp

— m - k 2

v

(1 - 2m)

x

Следует отметить, что уравнение (10) может быть получено из (11) и (7). 4) Юнг ( [ 5 ], стр. 51) ввел в рассмотрение функцию

да 2п+У

С (х )=Е(-1)"-^-,

А ' ¿Г ' г(у+2"+1)

Мы ее представим в виде

x

cos

(1).

c"(x) г (v +1) cos (v +1).x'

x

(11)

(12)

из которого следует, что Cv (x) выражается через двупараметрическое преобразование функции cos x при значениях параметров a = 1, c = V + 1. Наряду с функцией Cv (x) рассмотрим функцию

Sv (x ) =

x

sin-

(1).

Г (v +1) (V + 1).

x

(13)

1

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 16, 2010.

-\-

Обе эти функции связаны между собой следующим образом:

■ (1) .

У г ———X

С—(х)+ гЗу(х) = -^-е <У+1> . . Г(у +1)

Для получения дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют функции СУ (х) и 5— (х), представим функцию

и(х) — СУ (х) + г5У (х) (14)

в виде

" "+1 м И+У

/ \ х х -^-Л х

и(х) = —,-т + г—,-т +> г -т

Г(у +1) Г(у +1) £ Г(п + у + 1)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и находим

«( У(У _ 1) "_2 , У(У + 1) У_1 V - (П + У)(П + У_ 1) п+у_2

и (х) — / \ х + г / \ х + / г / \ х

Г(у +1) Г(у +1) £ Г(п + у + 1)

В последнем ряде сначала заменим п на п +1 затем воспользуемся равенством

Г(п + у + 1)—(п + у + 2)(п + у + 1)(у + 1)иГ(у + 1)

В результате получим

и"(х)———хУ_2+'ТУ+Г) х"_' _ГУ+Г)|£ ,п У+УП

Таким образом, функция (14) удовлетворяет дифференциальному уравнению

" _ "(" _ 1) у_2 . "(" +1) у_1

и I и — / г х I г / г х ,

г(" + 1) Г(" + 1)

из которого следует, что

С" (х)+ С"(х)— "У" г)х , Г(" +Г)

8у (х)+5—(х) — —" х" 1 Г(" +Г)

У

Теперь получим интегральное представление для двупараметрического преобразования

'(О): 1 ч(с). х/

Г (а ). 1

Теорема. Двупараметрическое преобразование У ~т\ х функции /(х) имеет

следующее интегральное представление

/

(4 , 1= г(с)

(с) . ) Г (а)г (с - а)

1

| /(хХ) Ха-1(1 - X )с-а-1 С,

(15)

где с > а > 0.

Доказательство. Согласно формуле

имеем

В равенстве

1г а-1(1 -г г *=г^Щ

1 Г(а + р)

1 ха+"-1(1 - х)

С-а-1Л= Г(а )Г (С - а ) (а )„

Г(с) (с).

(16)

1 1 да

| / х >а-1(1 - г)с-а-1 йг = с„хяга+я-1(1 - г)с-а-1 йг

о п=0

изменим порядок суммирования и интегрирования, законность которого вытекает из абсолютной и равномерной сходимости ряда

1 пп

о п=0

с„хпгп

относительно ? на [0,1] при х е (- Я, Я). После этого воспользуемся формулой (16). В результате получим равенство

хг )о-'(1 - г)— й = Г (о)Гс- а^ (о)

г(с)

с мп гсп / ч х

п=0

(с ),

которое доказывает справедливость формулы (15). Отметим несколько частных случаев формулы (15)

1) Если /(х) = е , то из формулы (15) вновь получим известное интегральное представление вырожденной гипергеометрической функции ([ 6 ], стр.317):

Ф(а, с; х) = ечз х = ^рГтЦ1 еЯг"- (1 - ') (Ъ). Г (" )Г(с - ") 0

с - а-1

йг

2) Если /(х)= (1 - X) , то из (15) вновь получим известное интегральное представление для гипергеометрической функции ([ 5 ], стр.317):

Ъ, с; х) = (1 - Та).

,-ь

(ъ).

ГтаЩ-а) I(1 - х,)- ь,а-1(1 - г)

с - а-1

йг

0

0

0

0

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 16, 2010. -\-

3) Для функций Су(х), 5^(х) из символических формул (12), (13) и формулы (15) получим:

V 1

с(х )=—^—^ [(1 - г У^СОБ хМ, (17)

Г{у +1у 0

1

)=Г^1) _ t )V"1sin Xtdt' (18)

где v > 0.

Из (17), (18) и леммы Римана из теории рядов Фурье следует, что

lim CM = о, lim = о.

V V

Библиографический список:

1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973.

2. Хаиров Р.А. Однопараметрическое и двупараметрическое преобразования степенных рядов.// Материалы международной конференции «Современные проблемы математики» // ИПЦ ДГТУ, 2006, с.100-103.

3. Хованский А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. - М.: Гос. изд. техн.- теорет. лит., 1956.

4. Уиттекер Э.Т., Ватсон Д.Н. Курс анализа. - М.: Физматгиз, 1963.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены) - М.: Наука, 1974.

6. Лебедев Н.Н. Специальные функции. - М.: Физматлит, 1963.

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 16, 2010.

-\-

R.A. Chairov

Double-parametric transformation of power series

In the article double-parametric transformation of power series is considered. For these series differential equality and integral presentation, which allow to get some sets of special functions properties, are obtained.

Keywords: double-parametric transformation, differential equality, integral presentation

Хаиров Рагим Айдабекович (р. 1973) старший преподаватель кафедры физики и математики Дагестанской государственной сельскохозяйственной академии. Окончил математический факультет Дагестанского государственного университета. Область научных интересов: теория функций и функциональный анализ. Автор 15 научных публикаций.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.