Двумерные гельмгольцевы пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические

структуры и моделирование 2002, вып. 9, с. 1 11

УДК 514.763

ДВУМЕРНЫЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦЕВЫ ПРОСТРАНСТВА

В.А. Кыров

The Helmholtz planes are defined and their motion groups are given. The quasi-metric tensor that is analogues of metric tensor of the Riemannian spaces is found.

В данной работе определяются гельмгольцевы плоскости и приводятся группы их движений. Находятся метрические функции f гельмгольцевых двумерных пространств, которые в бесконечно малом имеют структуру гельмгольцевых плоскостей. Определяется квазиметричеекий тензор, который является в некотором смысле аналогом метрического тензора в римановых пространствах. Доказывается теорема о существовании единственной квазиметричеекой (согласованной) связности е нулевым кручением, относительно которой при параллельном переносе сохраняется метрическая функция f. Устанавливаются свойства тензора кривизны R гельмгольцевых пространств. Вводится секционная гельмгольцева кривизна K и доказывается, что только для локально плоских пространств она является константой, причем равной нулю.

Приступим к определению гельмгольцевых плоскостей.

Г.Г. Михайличенко в монографии [1] проводит полную классификацию двумерных феноменологически симметричных геометрий, то сеть геометрий со следующим свойством. Существует достаточно гладкое многообразие N, в котором можно ввести единую систему координат. Существует плотное подмногообразие N прямого произведения N х N некоторого двумерного многообразия N на себя. Существует также достаточно гладкая невырожденная функция f : N' ^ R, которую будем называть метрической функцией, и гладкая функция шести переменных Ф : R6 ^ R, что для любого кортежа из четырех произвольных точек < xyzu >, каждая пара го которого принадлежит множеству N', имеет место функциональное уравнение: Ф(Д(xy),f(xz),f(xu),f(yz),f(yu),

Этому свойству удовлетворяют некоторые известные, а также и неизвестные геометрии. К известным геометриям е таким свойством принадлежат: плоскость Евклида, пеевдоевклидова плоскость, еимплектичеекая плоскость и т.д. Неизвестные геометрии со свойством феноменологической симметрии — это: плоскость Гельмгольца Г2, метрическая функция f (xy) которой в специальной единой системе координат имеет следующее представление:

f (zu)) = 0.

(1)

© 2002 В.А. Кыров

Горно-алтайский государственный университет

где y > 0 x1 и x2 — координаты точки я, причем функция arctg рассматривается однозначной с областью значений в промежутке (—п/2,п/2] (этот термин появился из анализа знаменитой работы Гельмгольца «О фактах, лежащих в основании геометрии», где он предлагал изучать геометрию, в которой роль окружности выполняет логарифмическая спираль); псевдогелъмголъцева плоскость PГ2, метрическая функция f которой в некоторой системе координат имеет вид:

f (xv)

[(x1 — y ) — (x — y )2] exp 2pAr(c)th

x2 — y2 V - y1

(2)

где в > 0 и в = 1, причем выбирается функция Arth, сели аргумент по модулю меньше единицы, и выбирается функция Arcth, сели аргумент по величине больше единицы; дуальногельмгольцева плоскость D2 с метрической функцией f в некоторой системе координат:

f (xy) = (x1 — y1)2 exp (2 ^ (3)

V x1 — y )

и, наконец, симплициальная плоскость S2 e метрической функцией f(ij), которая в некоторой системе координат имеет следующее представление:

f (xy)

x2 — y2 x1 — y1

(4)

Объединим в одном выражении метрические функции (1)-(3):

f (xy)

[(x1

y1 )2 — ^(x2

y2)2]exp 2аФє

x2 — y2 x1 — y1

(5)

где для плоскости Гельмгольца Г2 є = —1, а = y и Ф^^) = arctgx; для псев-догельмгольцевой плоскости PГ2 є = 1 а = в и Ф1^) = Ar(c)thx; для дуаль-ногельмгольцевой плоскости D2 є = 0 а = 1 и Ф0^) = x. Ниже под термином плоскость Гельмгольца, если нет опасности путаницы, будет пониматься одна из этих четырех плоскостей, которую обозначим через F2,

Теперь введем строгое определение плоскости Гельмгольца F2, Итак, будем говорить, что множество точек x двумерного многообразия N принадлежат F2, если существует такая точка y из N, что пара < xy >Є N'.

Будем предполагать, что эта плоскость одновременно является подмногообразием многообразия N.

Перейдем теперь к определению группы движений плоскости F2 и ее подгруппы вращений.

Пусть G — группа преобразований плоскости F2. Преобразование g назовем движением, если оно сохраняет метрическую функцию f, то есть оставляет ее инвариантной: f о (g х g) = f

Михайличенко Г.Г. в монографии [1] показал, что по метрической функции f находится трехмерная группа движений G, а по этой группе движений восстанавливается метрическая функция f с точностью до «масштабной» гладкой

2

функции р : R ^ R. Решая эту задачу для выше приведенных плоскостей, приходим к группам движений GF2, которые в выше определенных координатах и специальной системы параметров для плоскостей Г2, PГ2, D2 задаются следующими уравнениями:

x1' = ax1 + ebx2 + c, x2' = bx1 + ax2 + d, (a2 — eb2) exp 2аФЄ(- j =1; (6)

для плоскости S2:

x1' = ax1 + c, x2' = ax2 + d, a = 0.

(7)

Очевидно, что эти группы являются подгруппами группы аффинных преобразований, Выделим в группах GF2 подгруппы GF2 по следующему принципу, В GF2 существует такая термальная подгруппа T, являющаяся группой сдвигов, что фактор-группа GF2 /T изоморфна подгруппе GF2, Тогдa GF2 является полупрямым произведением Gf2 и T. Эту группу будем называть группой вращений плоскости F2 и обозначать O(F2). В соответствующей системе координат и параметров эти группы имеют, очевидно, следующие выражения:

x1' = ax1 + ebx2, x2' = bx1 + ax2, (a2 — eb2) exp 2аФ

b

a

1 (6')

и

x1' = ax1, x2' = ax2, a = 0. (7')

Можно показать, что у группы O(F2) имеется три независимых двухточечных гладких инварианта ф1; ф2, ф3: O(F2) ^ (фцф2,фз), от которых удобно перейти к трем инвариантам [2] (необязательно независимым и невырожденным). Эти инварианты в специальной системе координат имеют следующие представления: для плоскостей F2 = Г2, PГ2, D2:

(x, y)F2 = (x1^ — ex2y ) exp ( аФЄ ( — ) + аФ

x

< x, y >F2 = (x1 y2 — x2y1) exp ^аФє ^+ аФє ^^^ ^

(x,x)F2 = ((x1) — e(x2) ) exp 2аФ

x

Є I 1

' x1

для еимплициальнои плоскости

S 2:

/ x2y2

(x,y)s2 = W -Г^Г, V x1y1

(8a)

(8b)

(8c)

(9a)

< x,y >s2

1 2

x y

x2y1

(9b)

3

(x,x)s2

(9c)

где, напомним, я1 и x2 - координаты точки х.

Пусть V2 - двумерное вещественное линейное пространство, в котором фиксируем базис e1, e2. Относительно этого базиса произвольный вектор £ имеет координаты (£^£2), В V2 определим гельмгольцево квазиекалярное произведение (аналог скалярного произведения в римановых пространствах) между векторами £ и п которое относительно базиса e1; е2 в координатах задается формулой (9а) или (10) и обозначается (£, n)F 2, где у же F2 = Г2, P Г2, D2, S2. Вторые формулы определяют в V2 относительно этого же базиса e1; е2 площадь между этими векторами, которая обозначается < £,п >f2- Заметим, что введенное здесь квазиекалярное произведение не удовлетворяет веем свойствам обычного скалярного произведения. Так, оно не является линейным и не определено в нуле,

1. Двумерные гельмгольцевы пространства

С данного момента приступим к определению двумерных гельмгольцевых пространств, которые в бесконечно малой окрестности произвольной точки устроены как гельмгольцевы плоскости. Предварительно введем понятие структурных функций, через которые мы выразим метрические функции этих пространств.

Пусть M - гладкое п-мерное многообразие, Пусть T(M) - касательное расслоение со стандартным слоем Vn и касательным проетранетвом Tx(M) в точке х многообразия M, Пусть L(M) - расслоение линейных реперов и со структурной группой GL(n, R). Слой Lx(M) в L(M) над точкой х Є M состоит из линейных реперов и, отличающихся друг от друга на элементы из GL(n,R), то есть v = uA, A Є GL(n,R), u,v Є Lx(M). Очевидно,что в точке х Є M и = (X1,..., Xn). Каждый линейный репер и из L(M) можно рассмотреть как изоморфизм Vn на Tx(M) [3]. Пусть (e1,..., en) - фиксированный базис в Vn, Тогда иві = Xj, где i = 1,..., п, следовательно, u£ = £гХі Є Tx(M), причем £ = £гег.

Рассмотрим отображение

и : Lx(M) х Lx(M) х Tx(M) ^ Vn, (10)

которое в явном виде задается следующей формулой. Пусть и и v - произвольные реперы из Lx(M), Пусть произвольный вектор X Є Tx(M) в бази се v имеет координаты X1, ...,Хп. Тогда положим

u(u,v,X ) = aj Xjej. (11)

Предположим, что v = (Y1,..., Yn) и u = (X1,..., Xn). Поэтому u = (XjYj,..., XnYj), причем i,j = 1,...,n, В отношении отображения (10) выдвинем еще требование: а = X-1, где X — матрица отличия репера и от v. Предполагается, что соответствие (10) является гладким по своим аргументам. Кроме того, будем полагать, что относительно открытого покрытия Ua многообразия M в силу

4

локальной тривиальности расслоения L(M) существует семейство изоморфизмов ка : L(Ua) ^ Ua х GL(n, R), которые определяют сечения через и и v: аа : Ua ^ L(M) то формулам a1a(x) = k-^x^) и &2a(x) = K-0,(x,e) соот-

ветственно, Тогда соответствие x ^ и является необходимое число раз дифференцируемым в произвольной координатной окрестности U С M, Поэтому элементы матрицы а являются дифференцируемыми функциями в U, которые будем называть структурными функциями.

Естественно рассмотреть следующее сужение отображения (10):

и : Lx(M) х {v} х Tx(M) ^ Vn.

Его мы обозначим

U : Lx(M) х Tx(M) ^ Vn (12)

Предположим, что v = (dx1,dxn) - координатный базис в координатной окрестности U произвольной точки многообразия M, Тогда

uv(и, dxi) = е* = ajej.

Очевидно следующее свойство отображения uv:

и о uv (и, dxi) = dxi

и в более общем случае

и о uv(и, X) = X.

Лемма 1. При переходе от системы координат U к системе координат U' структурные функции а преобразуются по закону

j , dxk

at = аітг-г,

г k dxг

(13)

где а — структурные функции в координатной окрестности, U, а а' - структурные функции в координатной окрестности, U', причем, i,j,k = 1, ...,n. ■

Из леммы следует, что функции (11) инвариантны относительно произвольной замены координат.

Рассмотрим подгруппу Ли G группы GL(n, R) и редукцию общей линейной группы GL(n, R) к подгруппе G. Редуцированное подрасслоение будем обозначать Q(M,G) или просто Q. Рассмотрим сужение отображения (10) на Qx относительно первого аргумента.

и : Qx(M) х Lx(M) х Tx(M) ^ Vn. (14)

Функция (14), так же, как и функция (10), является гладкой. Тогда для фиксированного репера v Є Lx (M)

uv(и, X) = аjXiej,

(15)

5

где и - произвольный репер из Qx. Заметим, что функции (15) в силу выше доказанной леммы инвариантны относительно произвольной замены координат. Поскольку u — произвольный репер из Qx, a v - некоторый фиксированный репер из Lx(M), то матрица а представима в таком виде:

где b - произвольный элемент подгруппы G, a c — некоторая фиксированная матрица из GL(n,R). Пусть Ua — некоторое открытое покрытие многообразия M. В силу локальной тривиальности расслоения L(M) и того, что Q(M) - редуцированное подрасслоение расслоения линейных реперов, существует семейство изоморфизмов ка : L(Ua) ^ Ua х GL(n,R), которое индуцирует семейство изоморфизмов ка : Q(Ua) ^ Ua х G. Рассмотрим отображения аа : Ua ^ L(M)

и та : Ua ^ Q(M), которые определяют сечения: аа(х) = к-1(х,е) через репер v Є Lx(M), в частности, если v - координатный базис, то в качестве сечения иа(х) удобно взять сечение, задаваемое реперами dxi,...,dx«, т1а(х) = я-<^(х,е) через произвольный репер и Є Qx(M) и т2а(х) = K-Oc(x,e) через некоторый репер и' Є Qx(M). Тогда а-1 - матрица отличия репера т1а(х) от репера аа(х), а с-1 - матрица отличия репера т2а(х) от репера аа(х). Заметим, что c - это некоторая специальным образом подобранная матрица. Из выше приводимых рассуждений следует, что функция (14), так же как и функция (10) в координатной окрестности U, является гладкой с гладким соответствием х ^ и. Очевидно, что разложение (16) справедливо и для структурных функций в координатной окрестности U.

Пусть теперь M — гладкое двумерное многообразие. Пусть G — это группа гельмгольцевых вращений O(F2). Рассмотрим редуцированное подрасслоение Q(M) = Q(M, O(F2)) расслоения линейных реперов L(M), Этому подрасслоению соответствует отображение

Поскольку для G-пространства справедливо разложение структурных функций

(16), то отображение uv в координатах принимает такой вид:

где b - произвольная матрица из O(F2). Заметим, что выражение (17) при произвольном и задает семейство векторов в V2, которые определяют одно и то же значение квазиекалярного произведения вектора на себя (£,£)F2 по формуле (8а) или (9с), Так как в (17) X - произвольный вектор из Tx(M), то естественно переносится квазиекалярное произведение в касательное пространство Tx(M) по формуле

a = bc

(к)

или в координатах

Uv : Qx(M) х Tx(M) ^ V2.

Uv (и, X) = bjkckXlej,

(17)

f (X, Y) = (uv(и, X),Uv(u, Y))F2

(18)

6

причем X,Y Є Tx(M), Таким образом, мы получили отображение

f : Qx(M) х Tx(M) х Tx(M) ^ R.

Это отображение, очевидно, является гладким по своим аргументам и как соответствие x ^ f. Формула (18) позволяет в L(M) ввести отношение эквивалентности, Классами эквивалентности являются редуцированные подраеелоения Q(M,O(F2)). Функцию (18) можно положить в основу определения подраеелоения Q(M,O(F2)). Эту функцию будем называть метрической функцией гельмгольцева двумерного пространства.

Найдем явный вид метрической функции (18) в координатной окрестности

U. Пусть линейное отображение ^переводит векторы X, Y Є Tx(M) в соответственно следующие векторы

uv (u,X) = aj X zej, uv (u,Y) = aj Y zej,

где под •и теперь понимается координатный базис в U, Следовательно, метрическая функция f принимает такой вид: для собственно гельмгольцевых, псев-догельмгольцевых и дуальногельмгольцевых пространств:

f (X, Y) = gjXiYj exp аФ

a2 X k a}X1

^ ,'alYk

аФ 1 k

a}Y1

для симплициальных пространств:

(19)

f (X, Y)

ak X k akY j a}X1 alY4 ’

(20)

= 1, 2, причем

gj = ai ai - eakak> (21)

где є = -1,1, 0 и под є не понимается индекс суммирования. Заметим, что здесь под a уже понимается фиксированная матрица. Можно показать, что символы

(21) образуют тензор. Легко установить, что метрическая функция (19) или (20) остается инвариантной при переходе к произвольной другой системе координат. Дифференциалы координат dxl образуют контравариантный тензор первого ранга, которому однозначно соответствует вектор в касательном пространстве Tx (M), Положим в (19) и (20) Xг = Yг = dx\ Тогда будем иметь

f = gj dxldxj exp

2аФ(

ak dxk a,1dx1

(19')

akdxj f = —----T

aldx1 ’

(20')

где i,j,k,l = 1,2.

Следует заметить, что если вместо Q(M,O(Fk)) взять расслоение ортонормированных реперов O(M) и провести аналогичные рассуждения, то получим римановы пространства [3],

7

2. Квазиметрическая связность

Заметим, что по построению гельмгольцевы пространства являются пространствами с линейной связностью. Приступим к исследованию связностей в этих пространствах. Докажем существование и единственность квазиметрической связности с нулевым кручением.

Связность в расслоении линейных реперов L(M) называется квазиметрической или, согласованной связностью, если параллельный перенос слоев из T(M) сохраняет метрическую функцию f гельмгольцева пространства.

Из определения квазиметричекой связности следует равенство нулю кова-риантной производной:

Vk f (X,X) = 0.

Кручение определяется обычным образом. Несложно убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1. Гельмгольцево двумерное многообразие в координатной окрестности U произвольной точки допускает единственную квазиметрическую связность с нулевым кручением, символы Кристоффеля которой задаются выражениям,и

Г

єік

г

ік

-h

2 h“

. dhki dhj

dxi dxj dxk j

Ґ dhjk . dhki dhij

v dxi dxj dxk

ah (^jki + Лkij Лijk )

h (\jki + Лkij ^jk)j

где для, квази,метрического тензора имеем, выражение

(22)

(23)

hj — ai aj — є&І aj + a(a i aj — aj a i), hij — ai aj — aj ai, (24)

для символов

л = a2 da! — _i M

ijk j dxk j dxk

щ наконец, hijhjk = ^k? hijhjk = ^k? є = —1,1, 0 u a следует понимать индекс суммирования.

(25)

7,в, 1, причем под є не

Из доказательства теоремы 1 и выражения для ковариантной производной тензора следует, что

Vk hij — 2aqijk j qijk

ГЬ hjl + Лijk,

Vk hij — 2aqijkj qijk — Г kihjl + Лijk •

Следует заметить, что для римановых пространств ковариантная производная метрического тензора относительно римановой связности равна также нулю.

Легко показать, что символы hj и hij преобразуются по тензорному закону, которые будут называться квазиметрическими 'тензорами. Символы Лijk преобразуются по закону:

Л'

лijk

Л 8xl dxm dxn , д2xl dxm

lmn dx i dx j dxk + lm dx'ix'k dx j

8

где i,j,k,l = 1,2.

Предположим, что в координатной окрестности U произвольной точки x Є M функции aj = const. Тогда мы приходим локально к гельмгольцевой плоскости F2. Осуществим локально обратимую заме ну координат x = a\x\ y = а2хг, где по «немому» индексу i ведется суммирование от 1 до 2, Значит, метрические функции (19’), (20’) принимают такой вид:

f

[dx2

£dy2]exp

2аФ(

dy

dx

(19")

f = % <20">

Сравнивая c (19’), (20’), имеем aj = a2 = 1, a1 = a\ = 0, Поэтому квазиметрический тензор гельмгольцевых плоскостей равен:

ъ = ( -а а ) ■ hij = ( -01 1 У

3. Секционная гельмгольцева кривизна

В этом параграфе введем понятие секционной гельмгольцевой кривизны O(F2)-проетранетв, где уже строго под F2 понимается л ибо Г2, либ о P Г2, либ о D2. Заметим, что для симплициальных пространств понятие секционной кривизны не определяется. Сначала определим свойства компонент тензора кривизны гельмгольцевых пространств, С данного момента под O(F2) будем понимать изоморфный образ группы вращений с конечными уравнениями (6’) в общей линейной группе GL(n,R). Справедлива следующая

Теорема 2. Алгебра Ли o(F2) группы Ли O(F2) состоит из матриц

—аа єа а —аа

(26)

где, напомним, а = у, в, 1 и є = —1,1, 0 соответственно. ■

Напомним, что связность в расслоении линейных реперов L(M) называется согласованной со структурой, если при параллельном переносе слоев в T(M) сохраняется метрическая функция f гельмгольцева пространства. Тогда форма кривизны [3] связности, согласованной со структурой, является элементом алгебры Ли o(F2), то есть имеет вид (26), Переходя от формы кривизны к тензору кривизны R [3], устанавливаем его свойства:

1, Антисимметрия по нижним индексам: Rjkl = — Rj7fc;

2, При фиксированных индексах k и l в точке x Rjkl Є o(F2).

Из этих свойств следуют равенства

R

і

112

аR2

112)

R212 = є^112) R212

а^12-

Перейдем теперь к выводу выражений для секционной кривизны. Рассмотрим двумерное гельмгольцево многообразие M с касательным пространством

9

Tx(M), Касательное пространство Tx(M) является также двумерным и поэтому содержит единственную двумерную плоскость, то сеть M имеет единственное двумерное направление. Рассмотрим два произвольных линейно независимых вектора X,Y Є Tx(M), которые относительно координатного базиса имеют координаты X1 и Yг, где i = 1, 2, Секционную кривизну K определим следующей формулой:

K

f (R(X,Y )Y, X)

< X,Y >F2

^(X,Y),

(27)

где введено сокращающее обозначение

<^(X, Y) = exp

аФ(

afXi a)X j

+ аФ

a>Y j

5

причем aj — структурные функции. Из выражений (8,2) для гельмгольцевой площади следует, что в координатах

< X, Y >F2 = hijXiYj<p(X,Y).

Рассмотрим подмножество Sx(M) прямого произведения Tx(M) х Tx(M), состоящее из линейно независимых пар векторов < X, Y >, то есть этому множеству не принадлежит диагональ из прямого произведения. Пару векторов будем называть линейно независимой, если определитель, составленный из их координат, равен нулю. Очевидно, что в Sx(M) можно естественно ввести гладкую структуру. Следует заметить, что для ненулевых векторов < X, Y >F2 = 0 тогда и только тогда, когда < X, Y >Є Tx(M) х Tx(M)/Sx(M), В таком случае секционную кривизну K можно представить как отображение

K : M х Sx(M) ^ R.

(28)

Пусть векторы X, Y Є Tx(M), причем < X, Y >Є Sx(M), включены в гладкие векторные поля из T(M), Тогда функции f, <, >F2, ^ будут гладко зависеть от точек из M и пар векторов из Sx (M), Значит, функция (28) является гладкой. Выражение (27) можно еще записать в такой форме:

f (R(X, Y )Y, X) hij X iYi

(27')

Из выше доказанной леммы следует, что при замене координат в точке x секционная кривизна K остается неизменной.

Выясним теперь, как изменяется секционная кривизна K в зависимости от преобразований векторов в касательном пространстве Tx(M),

Пусть Hx - совокупность диффеоморфизмов касательного пространства Tx(M), Очевидно, что Hx является группой Ли, совпадающей с GL(Tx(M)), Элементы hx группы Hx тогда являются невырожденными матрицами. Будем предполагать, что соответствие x ^ hx является гладким, Группа Hx в касательном пространстве Tx(M) действует так: hx : X ^ hx(X), Определим действие группы Hx в прямом произведении Tx(M) х Tx(M) по формуле

10

hx x h'x :< X,Y >^< hx(X),h'x(Y) >. Эту группу мы обозначим (H х H)х. Очевидно, что пространство Sx(M) является инвариантом группы (H х H)x. Рассмотрим диагональную подгруппу группы (H х H)x, которую будем обозначать просто Ho- Пусть элемент (h х h)x группы H0 пару векторов < X, Y > из пространства Sx переводит в пару < hx(X),hx(Y) >, Выясним, как при этом будет изменяться значение секционной кривизны K. Имеет место следующее утверждение. Если hx является элементом группы гельмгольцевых вращений O(F2), где F2 = Г2, PГ2, D2, то справедлива формула

K (x,X,Y) = K (x,hx(X ),hx(Y)). (29)

Последнее утверждение приводит к тому, что пространство Sx(M) разбивается на классы Sx(H0). Эти классы состоят из пар векторов < X, Y >, которые отличаются друг от друга на матрицы группы гельмгольцевых вращений O(F2), Тогда для произвольных пар векторов класса Sx(H0) имеет место формула (29), Заметим, что в случае римановых пространств это утверждение справедливо для произвольных преобразований из группы H0,

Если K = const для всех точек x Є M, то пространство называется пространством постоянной кривизны.

От (27’) приходим к формуле

f (R(X, Y)Y, X) = KhijXiYг, (30)

которая нам ниже понадобится. Справедлива следующая

Теорема 3. Если секционная гельмгольцева кривизна K в некоторой координатной окрестности, U некоторой точки гельмгольцева, двумерного пространства не зависит от векторов X uY, то K = 0 е этой окрестности,.

Доказательство. Предположим, что в некоторой окрестности U некоторой точки K не зависит от X и Y, Тогда в (30) правая часть является билинейной формой, а левая часть не является такой. Это возможно только при K = 0, Теорема доказана, ■

Из этой теоремы следует, что гельмгольцево пространство постоянной кривизны может иметь только нулевую кривизну.

Литература

1. Михайличенко Г.Г. Полиметрические геометрии. Новосибирск, 2001.

2. Кыров В.А. Векторы некоторых двумерных феноменологически симметричных геометрий // Наука, культура, образование (Горно-Алтайск). 2000. N.6/7. С.111 -114.

3. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981.

И