Двойственные пространства аффинной связности, индуцируемые нормализацией Tin ,Ti распределения H в пространстве Mn,n Текст научной статьи по специальности «Математика»

26. Кретов М. В., Фунтикова Т. П. Наш выдающийся современник Владислав Степанович Малаховский: ученый, педагог, гражданин // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2004. Вып. 35. С. 5—13.

M. Kretov, T. Funtikova

Mathematical world of Malakhovsky Vladislav Stepanovich (to a 85-anniversary from birthday)

In article the brief biography of professor V. S. Malakhovsky is stated, scientific and pedagogical work of the scientist for 60 years is analyzed.

УДК 514.764.3

Т. Г. Аленина

Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары

Двойственные пространства аффинной связности, индуцируемые нормализацией \ггп .1)} распределения Н в пространстве Мпп

Работа посвящена изучению гиперполосного распределения Н . погруженного в пространство М пп.

Ключевые слова: гиперполосное распределение. пространство аффинно-метрической связности.

В работе индексы принимают следующие значения: 7.1 = 0~П; К. Ь = Гп;

i, j, k, 5 = 1, m; а = m +1, n; u, v, w = m +1, n - 1.

© Аленина Т. Г., 2014 16

Определение. Под двойственной нормализацией регулярного гиперполосного распределения Н в пространстве аф-финно-метрической связности Мпп понимают [2; 3] нормализацию его базисного распределения в смысле Нордена [1], причем в каждом центре А0 нормаль первого рода Nп-т содержит характеристику П п-т-1 текущего элемента, оснащающего распределения гиперплоскостных элементов.

Требование инвариантности поля нормалей

N п-т = [П п-т-1, N ] где N = Ап +< А + у А, накладывает следующие условия на функции у'п :

ууп + < =^0;; (1)

на функции уУп это требование никаких условий не накладывает. Но если потребовать инвариантность прямой А = к N ], то функции уУп должны удовлетворять уравнениям

у у:+<.

Следовательно, в качестве уУп можно взять квазитензор первого порядка аУп . Принимая в качестве точки Ип разложение

N = А +У'пА + аУЛ, (2)

где функции угп удовлетворяют уравнениям (1), одновременно с инвариантностью поля нормалей N п-т (у) мы добиваемся инвариантности поля прямых А(у) = [А0Ып(у)]; в дальнейшем предполагается, что точка Ып имеет разложение (2).

Таким образом, ниже под полем инвариантных нормалей первого рода N п-т (у) гиперполосного распределения Н в пространстве Мп, п будем понимать поле соответствующего

квазитензора у'п.

Нормаль второго рода N т_1 натянута на точки = Л1 + у0Л0; требование инвариантности поля Nт_1 (у) равносильно тому. что функции у0 удовлетворяют уравнениям

Уу? + ®0 (= о ) = у>0К. (3)

Условием взаимности (полярно сопряженности) [50] двойственной нормализации (у'п,уi) относительно поля локальных

абсолютов является выполнение следующих

соотношений:

&0 + ( = ?. ауу'п + ап = 0, а» = (4)

Продолжая уравнения (1). имеем

У у1' +(А.\ю]-у]Кп.чаг +у'Л\аи - N',0" =у\Та1. (5)

по п п п ^ п п ыЬ п ыЬ п пЫ 0 ' V /

где

л ) 1 ) ) г>п , 1 п) ) пК , г>)

2у"[ЬТ] = Су п[ь&Т]0 - упКпЬТ + уп 1 - упКК0ЬТ + КпЬТ .

Если в качестве нормалей первого и второго рода взять нормали. определяемые соответственно функциями

т= -апАт. угп +<=т,к®0К.

т+2 (6)

Т = --т+-, УТ +( = 0) = Тк®К. с(т + 2) 4 7

то эти поля являются взаимными относительно поля соприкасающихся гиперквадрик. ибо выполняется условие взаимности:

Т =+ аТ. (7)

' т + 2 1} п У '

Таким образом, справедлива

Теорема I. Нормализация \ггп, Тг} регулярного гиперполосного распределения т -мерных линейных элементов Н, вложенного в пространство аффинно-метрической связности Мпп с полем локальных гиперквадрик, является взаимной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик Qn-1.

В уравнениях (6) функции Т1пК, ТгК , имеют следующие строения:

\

т + 2

ТК = / + ёа0ЛК ).

с(т + 2)4 '

Возьмем систему форм Пфаффа <Х0,вг- !>, где

00 = Х - ТХ,

ТК =--- а1: (а^Л; +а;),

(8)

1 1 1

К . Ы 2 к

в; =х-тх + С+з;в о Тк- (9)

-ых-(-лрх ) + тв;

эта система удовлетворяет структурным уравнениям Картана — Лаптева:

яё" =4к а ¿к+2 Г т Х АХ, яё' = % А ё'к+1 Г От Х лХ0 ,(10) 1 г 1

где функции г '5Т, г ^^ имеют строения

? От=[^ - тхл^ + ткн:^ +

+ Т?г - тг нп

Т Л"5т 1 п!\'о

+Кп$и\Хп -Т1ии8[8пп - т папл^

чп о т ни О т п ии о т

(11)

Г »= 2

{ЛДм к - с^Т] - КЛ + +(-( - Т +лпТТХ ) + Т8 - - (12) - ТХлл^к]+ ТТк] +К - Т'К + ус 1к0С -

N + (V + 8Т Тк у[пТкТ* + Т Т + Т&

и] ^ э, ] к 0э, \ п к к п кк п п ] п I 0 э, ] ^ э,'

Следовательно. система форм (9) вместе с Щ»0 } определяет

~ 1 пространство аффинной связности Ап.т . тензор кручения г 'ЬТ 1 . 1 и подтензор ~ к, тензора кривизны ~ ]ЬТ имеют строения (12).

В силу соотношений (11) функции

V' = -]. V = кпк (13)

удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

дТ - Т'Ш" + Т "Ш' + Ш' Ы 0) = Т К ШК. „ „ ч

п п п п э п \ ' пК 0 ' /1 Л \

/77—0 — 0 /77 —К \1Н7

дТ' -ТШ +ШШ = ТШК.

где

ТпК = Л [т^ -Т]К J. Тк =Л"1 [п^тп + ТК J. (15) По аналогии с (9) возьмем систему форм Пфаффа Ш .0 ]\. где

2 в =Ш0 - ТШ

ё] =Ш' -ТШ +18%0ШК + 8 в2кТк - (16) -Щш;-( -ЛЛТТ) + V] ¿0.

Согласно (12) система форм (16) вместе с Х } удовлетворяет структурным уравнениям пространства аффинной связности

б =§к а в?;+1Г От х АХ ,

(17)

б в' = вк а в;+- г' Х аХ

2 2 2

г +

2

12

) '^к 'Г' ^0 '^0 '

2

где функции г имеют строение

2

1г = 2

лк ^ л^-1 лпт ]0 +лп 4^1,]л [А] -лп - 3ХЧ- -18:0 лпТ +КТУ -

Т3 лт ^-лп [Л^ +лпут1п[Д]-л'пЩ лпу - тТ л^^ з;]

+ лгк л^яЬ-л1пТ + ) + ) Аап + -2(-) 8)Ьк Ак1п ^ +

+ ^1 -С8:0^ +л% -т:+лТ-

- 2(1+1)(лк-3г:1'лкл^Ап +8)ЬиАи:А:„-3)Ьп)) +

+(л +- 3]1к лкп лпиАи: .

г. г.

Из строений (9), (16) форм в', в) находим

3) = в\+л лХ +(-лт1л+8)лкт1 +злт1п) +(( + Алл + т^ли )Х + + 3'ТХ + Алл: -1 лшт,8)0 + +л:тщ - тлх + Ат;Ал: +ААтnkА:тs )Х.

(18)

Имеют место дифференциальные уравнения

ал; -л % -Л; ¿к = ;&+оы + /Ш. (19)

где

® = - -+ -Ц-+ -+ТКЛ"кЛпкШо.

с п +1 п +1

п _ А V лп . \п Лтк

С']и =-Л'кА;и +ЛккПМ' .

/к =л\Тк - лпкЛпхткп -л;]лпп + Т - Т] + тТк.

Из выражений (19) следует. что двойственные аффинные

1 2

связности У и У обобщенно сопряжены относительно поля тензора Лп вдоль любой кривой. принадлежащей распределению Н в М п.п .

Теорема II. Нормализация V .Т } регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов Н, погруженного в пространство аффинно-метрической связности Мпп взаимна относительно поля соприкасающихся гиперквадрик, индуцирует два двойственных пространства

1 2

аффинной связности Ап,т и Ап.т, определяемые системами

1 2

форм соответственно, (9) и (16); связности У и У обобщенно сопряжены относительно поля основного тензора Лп

вдоль любой кривой, принадлежащей базисному распределению многообразия Н в Мпп.

Список литературы 1. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М.. 1976.

2. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.

З.Чакмазян А. В. Двойственная нормализация // Докл. АН АрмССР. 1959. Т. 28, № 4. С. 151—157.

T. Alenina

Dual spaces of affine connection induced by the normalization \ггп, Ti} of distribution H in the space M n,n

This work is devoted to regular hyperband distribution H in the space of affine-metric connection M nn.

УДК 514.75

О. О. Белова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Индуцирование аналога связности Нейфельда на грассмаподобном многообразии центрированных плоскостей

В п-мерном проективном пространстве рассмотрено грасс-маноподобное многообразие центрированных плоскостей. Над ним возникает некоторое главное расслоение. в котором задается аналог связности Нейфельда. Доказано. что аналог сильной нормализации Нордена индуцирует данную связность.

Ключевые слова: проективное пространство. грассманоподобное многообразие центрированных плоскостей. главное расслоение. аналог сильной нормализации Нордена. связность Нейфельда.

© Белова О. О.. 2014