CC BY
10
УДК 514.756
ДВОЙСТВЕННАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ ПОЛЯРНЫХ НЕГОЛОНОМНЫХ ГИПЕРПОЛОС В ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
DUAL NORMALIZATION OF POLAR ANHOLONOMIC HYPER-BANDS IN A PROJECTIVE METRIC SPACE
Е. Н. Смирнова E. N. Smirnova
ГОУВПО «Чувашская государственная сельскохозяйственная академия»,
г. Чебоксары
Аннотация. В данной работе в проективно-метрическом пространстве Kn с абсолютом Q-i найдена связь между двойственными нормализациями полярных неголономных гиперполос.
Abstract. We describe connection between the dual normalizations of polar anholonomic hyperbands in the projective metric space in the article.
Ключевые слова: проективно-метрическое пространство, гиперполосное распределение, нормализация.
Keywords: projective metric space, hyper-band distribution, normalization.
Актуальность исследуемой проблемы. До настоящего времени в математической литературе геометрия полярных гиперполосных распределений, погруженных в проективно-метрическое пространство Kn, оставалась практически не разработанной. В этой связи целью работы явилось изучение двойственной нормализации полярных гиперполосных распределений в пространстве Kn .
Материал и методика исследований. В ходе исследований используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [1], метод внешних дифференциальных форм Э. Кар-тана [6] и метод нормализации А. П. Нордена [2].
Результаты исследований и их обсуждение. Полученные результаты являются новыми и достоверными, они доложены на заседаниях научно-исследовательских семинаров и конференций различных рангов.
На протяжении всего изложения индексы принимают следующие значения:
I,K,L = 0,n; I,K,L = 1,n; K = 0,n- 1;i,j,k = 1,m; u,v,w = m + 1,n-1; a = m + 1,n.
Рассмотрим «-мерное проективное пространство Рп. Деривационные формулы проективного репера Я = {} и структурные уравнения проективного пространства имеют вид [6, 143]
dЛ/ = а>КЛК, Оа>К = Ы а оК ,Ы = 0. (1)
Проективно-метрическим пространством Кп называется проективное пространство Рп, в котором задана неподвижная гиперквадрика Qn_1 (абсолют) [1, 339]. В случае Л0 ё Q2n_1 уравнение абсолюта пространства Кп можно записать в виде [4]
а1Кх1хк + -оХ + сх° )2 = 0,а[1К] = 0,ё0/ = ё1 o,ё00 = с = соп^ * 0, аж = ёж _ ёи0ёК1 (2) с с
причем условие его неподвижности определяется уравнениями
^1К _ аИ°К _ аЬК°1 = (а1ЬёК0 + аКЬё1 0)о0 , ^10 _ ёЬ0°1 _ с°1 = а11°0 ■ (3)
с
В пространстве Кп рассмотрим регулярную неголономную гиперполосу Н, т. е. регулярное гиперполосное распределение т-мерных линейных элементов, т < п _ 1 [3, 104]. Известно [3, 106], что относительно репера Я первого порядка подмногообразие Н определяется системой дифференциальных уравнений
о = лпыКЫ =лкоК.О =лпа<>0, =КоК.
(4)
Ниже предполагается, что симметричные тензоры а^ и аш не вырождены
а„а“ =г/,а,„а" =%. (5)
В работе [5] доказано, что при задании в Кп с абсолютом (2), удовлетворяющим ус-
ловиям (5), регулярного гиперполосного распределения Н (т < п-1) индуцируется полярное исходному гиперполосное распределение Н с центром в точке Вп, базисным распределением которого является распределение т-мерных линейных элементов [ВпВ1] °Рт, а оснащающее распределение представляет собой распределение гиперп-лоскостных элементов, у которого текущий элемент [ВпВ1Ву] есть поляра центра Л0 исходного подмногообразия Н, причем
Вг =Л _ ^ ёг0Л0 ,Ву =Л _ 1 ё у0Л0 , Вп = (Лп _ 1 ёп0Л0 ) _ а]какпВ] _ аЫ"а^пВ и (6)
с с с
Ниже рассмотрим класс распределений Н в Кп, для которых тензор а^ обращается в нуль: а^ = 0.
Из уравнений (3) для а^ = 0 следует справедливость соотношений
4 ~ гк
О = _а
(акп° + ат°к + ап*,°п )_ 1 (акьёу0 + ауьёк0 Ы
с
Гиперполосное распределение Н в Кп отнесем к подвижному реперу Я* = {Bn,Bi,Bv,B0 °А0}; его деривационные формулы и уравнения структуры проективно-метрического пространства Кп имеют вид
В = ПК В, Я ПК = П а ПК .
1 1 К 1 1 ь
Приведем строения некоторых форм Пфаффа П^
П = -агкА„[апк -| Щ = -а™Апп^ | П =-1(а^< + аупмп0 )
Пу = а1- - ёг0®1 + а™атЦп, П0 = - - [а1как0 + ), ПУ = аУ - - gvoWo + (7)
с с с
Гл0 1 Л „п пп ,,п ,,п ,,п 1 _ \^^П
Пп = Лпп®0, Пп = ®п - а акп®б- - а акп®г I?п0 - а §6-0акп - а §г0акп )а0 .
На распределении Н в кольце пфаффовых форм {П?} система п форм
{П? } ° {Пк, П, П } линейно независима. В силу этого полярное распределение Н в Кп в репере Я* = {Вп,Ві ,Ву,Л0} определяется системой дифференциальных уравнений
ПП = Л%ПК, Пу = ЛУ-ПК, П = Ы'-ПК, П = Л%пК . (8)
г К п ’ г гК п ’ V уК п ’ V уК п Vй/
По аналогии с гиперполосой [3, 119] под двойственной нормализацией регулярного гиперполосного распределения Н с Кп мы будем понимать нормализацию его базисного распределения в смысле А. П. Нордена, т. е. в каждой точке А0 є Н заданы плоскости Хп-т и ^ т-1 , такие что Хп-т (А0 ) ^Пп (А0) = ^, Хп-т (А0 ) и Пп (А0 ) = Кп ,
N„-1 (А0 ) с рт (А0 ), А0 * Nm-1 (А0 );
плоскости Nn-m (А0) и Nm-1 (А0) называются соответственно нормалями первого и второго родов в точке А0 є Н, при этом в каждом центре А0 нормаль первого рода Nn-m содержит характеристику Рп-т-1 текущего элемента, оснащающего распределения гиперп-лоскостных элементов.
Рассмотрим нормаль первого рода Nп-т (А0) °[рп-т-1, Nn ] гиперполосного распределения Н относительно абсолюта 01п-1, где Рп-т-1 =[А0, Ау ] и Nn = Ап + ПпАі + аУГ1Ау,
аУу = — Лп ЛУ. Требование инвариантности поля нормалей Nп-т (А0) накладывают слет
дующие условия на функции Угп : йПп -У1па"п + У]па>) + а>1п = У1пК®0 .
Поляра нормали первого рода Nп_т (А0) относительно абсолюта Qn_1 определяется системой
Nm_1
gI 0 х1 + ех° = 0,
а1иХ = 0 (9)
х1 (аПП + а1п ) = 0
Потребуем, чтобы точка Вп (см. (6)) не принадлежала Nm_1 . Аналитическим выражением этого условия является отличие от нуля относительного инварианта
de/ к
Апп = апп _ а агпакп _ ^^п^п * 0 . (10)
Плоскость Nm_1 натянута на точки Nг, где Nг = Вг + у”Вп. Найдем функции угп.
Для этого, используя соотношения (6), подставим координаты точек N в третье уравнение системы (9). Получим следующий результат:
уп = _ аг.уп + агп (11)
' = А "
пп
Таким образом, доказана
Теорема 1. Для регулярного гиперполосного распределения Н т-мерных линейных элементов, заданного в проективно-метрическом пространстве Кп с абсолютом , удовлетворяющим условиям (5), (10) и агу = 0 , задание на нем поля нормали I рода ^-т (у'п) на полярном относительно 0^_1 распределении Н т-мерных линейных элементов индуцирует поле нормали IIрода Nm_1 (угп), определяемое соотношениями (11).
Полярой нормали второго рода Nm_1 (А0) ° N ], где N = Аг + у0 А0, исходного гиперполосного распределения Н является плоскость Nn_m
а1}Х +1 к10х + сх° 0 + у0 )= 0 . (12)
Плоскость Nn_m будет содержать
1) характеристику Рп_т_1 оснащающего распределения ~~п_1 подмногообразия Н, ибо Nm_1 с рт , а Рп_т_1 - поляра плоскости пт относительно абсолюта Q'l_1;
2) точку Вп , так как Nm_1 с кп_1 и Вп - поляра плоскости кп_1 относительно ОгГ1_1 .
В плоскости Nn_m возьмем точку
~0 = А0 + КВг + КВу + КВп . (13)
Требование инвариантности поля нормалей Nn_m накладывают следующие условия на функции у0 : dу10 + У^О] = у'0~^ .
Подставим координаты точки N 0 (см. (13)) в уравнение (12) и получим следующие соотношения:
у0 =~а]к (&0 + су\). (14)
Таким образом, справедлива
Теорема 2. Для регулярного гиперполосного распределения Н т-мерных линейных элементов, заданного в Кп с абсолютом , удовлетворяющим условиям (5), (10) и агу = 0, задание на нем поля нормали второго рода ^-1 (у{)°) на полярном относительно Q)2_1 распределении Н т-мерных линейных элементов индуцирует поле нормали первого рода Nn_m (у]), определяемое соотношениями (14).
Резюме. Двойственная нормализация исходного распределения Н, заданного в Кп с абсолютом Q2_1, удовлетворяющим условиям (5), (10) и агу = 0, определяет двойственную нормализацию полярного относительно абсолюта Q2_1 распределения Н т-мерных линейных элементов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Московского математического общества. - М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.
2. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с.
3. Столяров, А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 1994. - 290 с.
4. Столяров, А. В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства / А. В. Столяров // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : сб. науч. ст. - Калининград : Калининградский университет, 2001. - Вып. 32. - С. 94-101.
5. Столяров, А. В. Взаимно-полярные неголономные гиперполосы в проективно-метрическом пространстве / А. В. Столяров // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. - 2003. - № 1 (35). - С. 51-58.
6. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. -М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.
