CC BY
8
УДК 514.764.3
Т. Г. Аленина
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
Поля соприкасающихся гиперквадрик С?м на регулярном гиперполосном распределении в пространстве аффинно-метрической связности
Изучаются поля соприкасающихся гиперквадрик О— на регулярном гиперполосном распределении Н в М пп .
Ключевые слова: гиперквадрика, гиперполосное распределение, пространство аффинно-метрической связности.
В работе индексы принимают следующие значения: I, I = 0П; К, Ь = ГП;
1, у, к, s = 1, т; а = т +1,п; и, V, ^ = т +1,п -1.
Определение 1 [1—3]. Гиперквадрика поля О— на распределении Н в пространстве аффинно-метрической связности Мпп, касающаяся текущей плоскости Пп-1 оснащающего
распределения в его центре А, называется соприкасающейся, если с любой кривой
Г®0 = ¡ив, Б в = в л 600, I: \ 0 ' 0' (1)
1 < = 0,
принадлежащей базисному распределению, она имеет касание второго порядка, то есть
4, A + A A + dA + —d2A g elj (mod l)
(здесь понимается касание с разверткой данной кривой на исходный слой).
Определение 2 [3]. Говорят, что гиперквадрика поля Q—-1 имеет соприкосновение третьего порядка с кривой l (см. выражение (1)), принадлежащей распределению Н в пространстве Мnn, если
1 2 1 2
A,, A, + dAo, A0 + dA0 +—d A0,A0 + dA0 + —d A0 +
1 d3 A0 G Q—-1 (mod l);
+ — й3 А0 е 3! 0
в случае, когда такое соприкосновение имеет место для любой кривой (1), то говорят, что у гиперквадрики есть соприкосновение третьего порядка с многообразием Н в М пп.
Если в репере первого порядка уравнение гиперквадрики 0П-1 имеет вид
дПх1х' = дП = дп, (2)
то требование касания 0ч с текущим элементом оснащающего распределения приводит к равенствам
400 = Чг 0 = Чу0 = 0 (3)
а требование ее касания второго порядка с любой кривой, принадлежащей базисному распределению, приведет к
Чп0аП + Чу = 0 (4)
Предполагая чп0 ф 0, за счет нормировки коэффициентов уравнения (2) можно добиться, чтобы
Чп0 =-1, Чу = аП• (5)
В силу выражений (4), (5) уравнение соприкасающейся гиперквадрики 0-1 запишется в виде
а^х1 + 2чтх1хп + 2^хх + Чтхиху +
+ 2ди„хихп + дпп (хп )2 = 2х0 хп. (6)
Согласно некоторым работам [1; 2] критерием инвариантности гиперквадрик поля (2) (относительно преобразований стационарной подгруппы текущего элемента распределения Н) является выполнение дифференциальных уравнений
3Чц - ЧК7ж1К - ЧТКП1 = ®9п, Б© = © л ©(7)
Условия (7) для нулевых коэффициентов (3) удовлетворяются тождественно. Для остальных коэффициентов уравнения гиперквадрик поля (2) после исключения формы © = -жЩ условия (7) запишутся в виде системы уравнений
- У - + = °
Ч - - ЧгиК + Ч»< = °
Чп - ЧкпЖг - ЧгкЖ1 - = ° (8)
&1т - - + = ° Чип- ЧшК - - Чикж = ° Чпп - Чпп< - 2(ч1пК + ЧпК) =
Коэффициенты соприкасающихся гиперквадрик поля (6) можно охватить компонентами последовательности полей фундаментальных геометрических объектов распределения Н не единственным образом.
Будем искать такие соприкасающиеся гиперквадрики, относительно которых плоскости Пт и Пп-т-1 в каждом центре А° распределения Н были бы полярно сопряжены, в силу чего в уравнении (6) должно быть ч^ = 0 . Заметим, что уравнения (82) для этих нулевых коэффициентов тождественно удовлетворяются.
Определение 3. Гиперполосное распределение т-мерных линейных элементов Н называется взаимным, если Л^ = 0.
В дальнейшем будем рассматривать взаимное распределение Н . В качестве диу можно взять диу = а^. Функции
Ле/ 1 I ь д р = - — ^+Лп 2 [п +1 с т
Ле1' 1 ( Ь д
7 _ _ _1 и + АП _ о и0
и /-Ч ,1 ип
2 [ п +1 с
Ле/ Т д
£ _ _ ^п о п0
(9)
п +1 с
удовлетворяют дифференциальным уравнениям
¿р. _ р,_ а;п- _ о, 7 _ тх _ апих _ о, (10)
Щк _ Кк _у'к _у'иК _у< _у'и _ Лп]К _ Апк _ 0,
а следовательно, их можно взять в качестве коэффициентов д,п, дип, дпп уравнения соприкасающихся гиперквадрик поля
(6) соответственно.
Таким образом, имеем поле инвариантных внутренним образом определенных соприкасающихся гиперквадрик Q2_1 распределения Н, уравнения которых в репере первого порядка записываются в виде
а-х'х1' + 2ргх,хп + аптхиху + 2Гухухп + £п(хп) _ 2х0хп. (11)
Согласно уравнениям (101) в случае Л^-]_ 0 система функций
3 Лп-) _ р((Л-) (12)
образует тензор второго порядка.
Покажем, что при Л^-] = 0 обращение в нуль тензора Б'пк
есть условие касания третьего порядка соприкасающихся гиперквадрик поля (11) с подмногообразием Н в пространстве М
В случае распределения Н с полем симметрического тен-
1 2 1 3
зора Л. координаты точки А0 + йЛ0 +—й А0 +—й А0 при
смещении вдоль кривой (1), принадлежащей подмногообразию Н в пространстве Мпп, с точностью до третьего порядка малости удовлетворяют уравнению соприкасающейся гиперквадрики (11) тогда и только тогда, когда выполнены соотношения
1 Л п „ Л п
3 Лк - Рг Л.к
цгр3рк = 0. (13)
Если такое соприкосновение имеет место для любой кривой (1) (то есть р1 — произвольные, одновременно не равны нулю), то из соотношений (13) следует, что при Л^-] = 0 обращение в нуль тензора второго порядка Б^ (см. (12)) есть условие соприкосновения третьего порядка гиперквадрики поля (11) с взаимным распределением Н .
Теорема 1. Во второй дифференциальной окрестности текущего элемента взаимного регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов Н, вложенного в пространство аффинно-метрической связности М пп,
внутренним образом определяется поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик О- подмногообразия Н, уравнения которых записываются в виде выражения (11), где функции ап, pi, а, , Бп имеют строение (9); в случае распределения Н с полем симметричного тензора Л. необходимым и достаточным условием соприкосновения третьего порядка
гиперквадрики поля (11) с подмногообразием Н является обращение в нуль тензора второго порядка (см. (12)).
В третьей дифференциальной окрестности найдем поле соприкасающихся гиперквадрик подмногообразия Н в М п п,
являющегося необязательно взаимным. Возьмем охват
справедливо
Охват
ае/ п к а, _ а^а- ;
У3а, _ (т + 2)аХ _ 0.
л,- _ а,--
(14)
(15)
(16)
удовлетворяет уравнениям
УЛ, _ (т + 2)аХ _ Л,Х;
следовательно, функции
Л,
(17)
удовлетворяют уравнениям (83).
т + 2
Вп
качестве дих можно взять дих = аих. Продолжая уравнения (17), имеем
_ ЛЛX _ (т + + (т + 2)ат _ 0. (18)
Охват
Ь __(аиа" +а0)
V \ их п VI
(19)
удовлетворяет следующим уравнениям:
УЬ _ а1п: _ 0. (20)
Следовательно, уравнениям (85) удовлетворяет охват (19), то есть в качестве дхп можно взять дхп _ Ьх.
В третьей дифференциальной окрестности возьмем функцию
с
А/ 1
Ф п =-1
п т(т + 2)
( Хг X,
Хг1--— -X
т + 2 с
/
- ; (21)
в силу выражений (17), (18) и (20) эта функция удовлетворяет уравнению
Х
ЯФп - Ф„К - 2( К + ЪУп) = 0. (22)
т + 2
Следовательно, в уравнении (86) в качестве дпп можно взять а = Ф
^ пп п
Таким образом, в третьей дифференциальной окрестности текущего элемента распределения Н в пространстве М пп внутренним инвариантным образом определяется поле соприкасающихся гиперквадрик О-, уравнения которых записываются в виде
а-х'х1 + 2—г— хгхп + а"хиху + 2Ъ^хп + Ф п (хп )2 = 2 х0 хп. 1 т + 2 и (23)
В уравнении (23) все коэффициенты, за исключением а^, получены с использованием полей фундаментальных подобъ-
ектов } к, 1 ¡1 к-, 1 Л1 } третьего порядка с привлечением полей объектов {л1-, Лп } 1 {?г0}; следовательно,
поле соприкасающихся гиперквадрик имеет место и на регулярной гиперполосе Н т в пространстве М пп, если вместо
тензора взять тензор БЩУ, полученный в работах [3; 4].
Нетрудно проверить, что при Л^-] = 0 обращение в нуль тензора второго порядка
~ т + 2 1
»Ф = — Л1)+ 0(,Л%)- а{Лп1к) (24)
есть условие соприкосновения третьего порядка гиперквадрик поля (23) с гиперполосным распределением Н в пространстве
М п,п .
Теорема 2. Регулярное гиперполосное распределение т-мер-ных линейных элементов Н в пространстве Мпп в третьей
дифференциальной окрестности внутренним образом порождает поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик 0п_1, уравнения которых имеют вид (23), где функции ап, X,, а, Ьх, Фп имеют соответственно строения (16), (19), (21); в случае распределения Н с полем симметричного тензора Лп. необходимым и достаточным условием соприкосновения третьего порядка гиперквадрики поля (23) с подмногообразием Н является обращение в нуль тензора второго порядка Щк (см. (24)).
Список литературы
1. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
2. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Тр. Геом. семинара. М., 1971. Т. 3. С. 49—94.
3. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.
4. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии. Итоги науки и техн. / ВИНИТИ АН СССР. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.
T. Alenina
Fields of osculating hyperquadrics Q2n_x on regular hyperband distribution in the space of affine-metric connection
This work is devoted to fields of osculating hyperquadric Q1n_1 on regular hyperband distribution in the M nn .
