CC BY
7
The theory of point mappings structures are generalized and applied to the study of normalized projective space Pn. Geometrical images and numerical invariants generated by normalization are found and interpreted geometrically. Ptopositions are proved, in which properties of three affine connections defined by normalization are investigated. УДК 514.75
ДВОЙСТВЕННЫЕ АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ S-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
С.Ю. В о л к о в а
(Балтийский военно-морской институт)
В статье рассматривается построение двойственных аффинных связностей
12 12
V, V и ц, ц скомпонованного S-распределения проективного пространства.
Найдены охваты тензоров кривизны и кручения этих связностей. Показано, что
1 2
связности V и V обобщенно сопряжены относительно поля основного фундаментального тензора Лр базисного Л -распределения. Выяснено, что простран-
1 2
ство аффинной связности Ап,в (Ап,в) имеет нулевое кручение тогда и только
тогда, когда распределение нормалей 1-го ( 2-го) рода Л -распределения являет-
1 2
ся голономным. Аналогично пространство аффинной связности А п,г (А п,г) имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда распределение нормалей 1-го (
2-го) рода L-распределения является голономным. Найдена геометрическая ин-
1 2 12
терпретация совпадения аффинных связностей V и V ( ц и ц). В работе используется следующая схема индексов:
= 1,п; p,q,s,t,...= 1,г; у,^^ г + 1,т; а, Р, у = т + 1,п - 1. 1. Рассмотрим скомпонованное S-распределение [1], базисное Л -распределение которого двойственно нормализовано в смысле Нордена-Чакмазяна [2],[3]
Г 1 б 1 р ]
полями квазитензоров Vр,V0 [1;§4]. Система форм <ш¿,9о,9q ^ , где
1 р
90 = шР -Vршр, (1)
1Р 1» 1Р
9ч =шр -Vршп -5Р(ш0 -90 V?)-ьрчш0 -начша -(VРч -Л^VрVр)ш0 + V0 9о,
удовлетворяет следующим структурным уравнениям
1 б 1 ( 1 р 1 р
'о = Ш а (шк — ), ^ 9 о = 9 о а 91
1 б 1 1 1 Р 1 р
D® J = Ю K А (® К _ S J Ю 0), D 9о = 9о A 9t + г KL Ю K А Ю 0>
D 9q = 9q a 9t + I qKL Ю о А Ю L
где, в частности, имеем
D 9 q =9 q А 91 + Г qKL Ю K АЮ 0, (2)
1Р
гкь = ^Наь] + 5[Кь^|Ь] - VР^ь] - VПц - Hа5[к5^ + ЬР5[к5Ь] -
- VРк5Ь] + V!5[к5Ь] -Л"йVПVР5[к5Ь] - VПVР5}К- нРVП^5Ь] - (3)
- ЬР V П 5Пк 5 Ь],
'[ к 5 Ь] = 1Р
= ] + л-[8нРа|t] - VР[.^] - Начлast] - цял|st] -5яVпV0л^г
- VРч] + л\VпVп] + V85Р] - 5РV«,] - VпVпл"ч[.^] + (4) + V п V 0 л^ 85 ^ 0 V0s5 Р].
1 р 1 Р
Из структурных уравнений (2) следует, что система форм (0 о, 0 я} удовлетворяет структурным уравнениям Картана-Лаптева [4],[5] и, следовательно, определя-1 1 ет пространство Ап,г с линейной связностью V аффинного типа [6, §3] . Эту
связность назовем первой линейной связностью аффинного типа, индуцируемой двойственной нормализацией базисного л -распределения данного скомпоно-
Г 1в Т Г 1в 1
ванного 8-распределения. Системы функций< Гкь ^ (3) , < ^кь ? образуют, соот-
1
ветственно, тензор кручения и тензор кривизны пространства А п,г, причем под-
(1 а 1 Г1 а 1 1р
^ ? (4) тензора < Гдкь ? удовлетворяет тождеству Риччи г(qst) = 0. Тен-
1 1Р 1
зор ^ = Гявр назовем тензором Риччи пространства Ап,г.
Доказано, что условие голономности распределения нормалей первого рода Кп-Г (V) базисного л -распределения принимает вид
5[КЬаМЬ] + 5акН ааь] - VР[к5Ь] - VР5[к%] - Vп5|к%] - VРб^,Ь] = (5)
Г1 а 1
что равносильно обращению в нуль тензора кручения <Гкь > (3) пространства
1
Ап,Г .
2. В силу двойственности теории нормализованного регулярного скомпонованного 8-распределения проективного пространства [8] утверждаем, что систе-
Г_ ; 2 Р 2 Р1
ма форм ^юо,0о,0я [■ строения (1), где входящие в них формы юи функции пи-
2
шутся с черточкой сверху, определяет линейную связность аффинного типа V,
и 11 и и и
которую назовем второй аффинной связностью, индуцируемой нормализацией
2 Р 2 Р
базисного л -распределения. Охваты тензоров кручения гкь и кривизны Гякь 2
пространства А п,г имеют структурные построения , аналогичные охватам соот-
ветствующих тензоров пространства А п,г, причем входящие в них функции пи-
2 Р 2 Р 2 Р
шутся с черточкой сверху. Приведем построения форм 9 0, 9 р и подтензора Грй
2 Р
тензора кривизны гркь:
2 Р 1 Р
9 0 = 9 0 + ЛРР Л«ю а + (V П +Л" ЛРР + V 0 ЛРР)ш р, (а)
2 Р 1 Р
9q = 9q + VpРшq + Л*Лп„кшК + (5рЛ^ - ЛР V00Л^ - 5qv0 + ^ VI,5р - ^5Р)ш0 +
+ (5 Р Лра V п +Л^НПаЛРрч + Л? ЛкчЬпка +ЛПрр Л^ р + Н^ша + +(цЛ?+ ьр>0 + (VРр + Л?Л;V00Vр + Л- лр^vn - Л?v0V0 + (6)
^ ^ п йр ,р / 0 \лпр п Мр Г п Мр п вп п п М р
+Лр?ЛРррНпп + 25р<Vп +5рVпЛпп + Vпv? -ЛпчvпVп)ш^
2 Р
Гч*=Лр Лргь?[ ] - Лр лрг л<а[ н,а»] - Лрп V 0[8 Лп]р - Л? Лр Лпг[ 8нн»] -
- ЛРп?ЛрЛпг[] + 5рV0VпЛп*] + Л?V0рЛп*] - Vр V0Л?Лп, ] + Л°, Vр.5Р] - (7)
?Лг[] + 5р V ? VпЛ[в»] + Лп v Л[й] vр v ?Лп Л[] + Лv п[в51 ]
-- 5РЛ°?[8 V] +Лрп V0 v0sЛп]р -Vп V05РвЛ1 ]р -Лп?р Vп VпЛпг[в5Р] .
12
Пространства Ап,г и Ап,г являются двойственными друг другу [6, §3] , что подтверждается инволютивностью преобразования их слоевых форм по закону
2 Р 2р 2 2р
(6). Для тензора гр81 справедливо тождество Риччи г(р8г) = 0. Тензор Грв = Грвр
2
назовем тензором Риччи пространства Ап,г . Аналогично доказывается, что
условием голономности распределения нормалей 2-го рода 0) является
2 Р 2
обращение в нуль тензора кручения г кЬ пространства Ап,г .
1 2
3. Покажем, что связности V и V обобщенно сопряжены [3],[7] относительно поля тензора Л°рр вдоль любой принадлежащей базисному Л -распределению кривой
ша = 0, ш, = 0, ш р = 0, ш Р = |р 9, (8)
где
VIрр(ш 0 +9 0) = | Р 9, а9 = 9л9 0. Действительно, дифференциальные уравнения тензора Л°рр [1] в силу соотношений (1),(6) можно представить в виде
21 11
¿Л°рр - Лпр1 9р- Лпр 9р = Лпрр9 + аРр,ш0 + ар^а + а0рш0, (9)
где
9 = ш 0 -ш р -V0® 0 -Vрш п,
яп дп I Б _ I п д] яп _ дп |_| 1 _ |_| п дР _ I п д1 ПГА
apqi Л pq , apqa Лtqн ар н pаЛpq (10)
=Л"д(упр _Лпруп уп) _ —пп _ Н0п Лр| _ ур_ ^ ■ Резюмируя полученное в п.1-3, сформулируем предложение:
Теорема 1. На нормализованном полями квазитензоров (Vр, V0) скомпонованном регулярном 8-распределении проективного пространства Рп индуциру-
1 2
ются две двойственные аффинные связности V и V, определяемые соответственно системами форм (1) и (6), которые обобщенно сопряжены относительно поля основного тензора вдоль любой кривой, принадлежащей базисному
1 2 1 Л -распределению. Связность V (V) пространства аффинной связности Ап,г
2
(А п,г) имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда распределение нормалей первого рода Кп_ г(У) ( второго рода N г ) является голономным.
Таким образом, для 8-распределения получены результаты, аналогичные результатам А.В.Столярова [7] для гиперполосных распределений ^ с Рп,п.
12 12 4. Найдем условие совпадения связностей V, V пространств Ап,г и Ап,г. Согласно (6), это условие сводится к одновременному выполнению следующих соотношений:
Лпча = 0, (а)
V Р + (Лпчп + V 0 )ЛР°| = 0, (в)
ЛРп(ЛГЧп - Л^ V00) + vpЛп|п + Лnfsvfn5р + 5Р(ЛГ| V' - v0) - 5рv0 = 0, (с) ЛрЛпЧа +Лрп(ИПаЛР| + I—пка) + Н а| = 0, ЛрП^ + —* Л*Л^ + = 0, (ё) Лрп(Л^Чп +Лпч vn V? _ V? V00 _ V?! +Лк|—пкп +Л?|Н|5п +Лпч Лпп vП) + (11) + Vр(Лрп + V0) + V пр| _ Лпп|VSVр + 5Р(Л?п + 2vt0)vtn = 0. (е)
Выясним геометрическую интерпретацию условий (11). Из соотношений (11а) вытекает, что ^(Л)-распределение является взаимным. Тогда из уравнений
VЛгpq +ЛПрЧ ю 0 =ЛПрЧ—ю 0,
в силу (11а) и соотношений:
Л р = ЛПЛ ппр , Лб[|П ] = ЛПраЛа|П ] + Лрп Л[|П ], 1
(->0 — кп к-ч !п рп — ьп ьп
Ьр _ Ьр|ПЬп , Ср|П _ ьр|П _ 0(р|°п)
следует, что функции Л^ симметричны по любой паре нижних индексов и
Ь°° =Лр. (12)
Свертывая соотношения (11с) по р,д, имеем
Лп = Ь0 = v0 _Л^р- (13)
Следовательно, нормализация Л-распределения является взаимной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик
Ьрчхрх^ + У^х а х Р + У^х^ + 2Лпа х'х а + 2ф ¡х1хп + 2фа х а хп +
+ 2Ьрхрхп + 1пхпхп = 2х0хп. (14)
1 1
Из соотношений МО = ^ -Л^), Мр =-^Ьр4(Ь0 +Л1п), (11в), (12), (13)
непосредственно следует, что ур = Мр, = М 0, т.е. нормализация Л-
распределения есть нормализация Михэйлеску. Выражения (11с) в силу (13) перепишутся в виде
^ -Ь прЧЬ0) =0« срЧ1 = а
т.е. тензор Дарбу Орч1 обращается в нуль. Следовательно, соприкасающиеся
гиперквадрики поля (14) имеют касание 3-го порядка с Л-распределением.
Справедливо и обратное утверждение. Действительно, условия (11а,в,с) выполняются, если ^(Л)-распределение является взаимным, его нормализация есть нормализация Михэйлеску и соприкасающиеся гиперквадрики (14) имеют с Л-распределением касание 3-го порядка. Теперь, дифференцируя (11а,в) и учитывая (11с), [1, (1.5), (4.1), (4.4)], получаем соотношения (1Ы^). В результате приходим к следующей геометрической интерпретации.
Теорема 2. На скомпонованном S-распределении с полем симметрического
1 2
тензора связности V и V совпадают тогда и только тогда, когда
^(Л)-распределение является взаимным, нормализация Л-распределения есть нормализация Михэйлеску, а соприкасающиеся гиперквадрики (14) имеют касание 3-го порядка с Л-распределением.
Таким образом, для S-распределения проективного пространства Рп мы приходим к аналогичной геометрической интерпретации, полученной в случае пространств проективной связности Рп,п и Рпп с нулевым кручением для гиперполосного распределения ^ ^ Рп,п АЗ.Столяровым [7].
5. Точно таким же образом выясняется, что нормализованное в смысле Нор-
дена-Чакмазяна базисное L-распределение данного скомпонованного S-распре-
1 2
деления порождает две двойственные аффинные связности ц и ц, относительно которых имеют место следующие предложения.
Теорема 3. Нормализованное в смысле Нордена-Чакмазяна (полями квазитензоров уп, V0) базисное L-распределение индуцирует на скомпонованном регулярном S-распределении проективного пространства Рп две двойственные аф-
1 2
финные связности ц и ц, определяемые соответственно системами форм:
1 ¡ 1 ¡ 1 к Ц0 = ®'0 -уп®0- ц = ® 1 -уп®п ¡(®0 -Ц0 у0)- L¡пj®0 - на®а ■ к ■ 1 1 21 ^ 21 ^ - (уп -Лкукуп)®0 + у0 ц0; ц0 = ц0' ц] = ц
которые обобщенно сопряжены относительно поля основного тензора Ln вдоль
любой кривой, принадлежащей базисному L-распределению. Соответствующая 12 12 связность ц ( ц ) пространства аффинной связности А n,s ( An, s ) имеет нулевое
кручение тогда и только тогда, когда распределение нормалей первого рода N n_s(v)( второго рода N s_i(v)) является голономным.
Теорема 4. На скомпонованном S-распределении с полем симметрического
1 2
тензора Ln связности ц и ц совпадают тогда и только тогда, когда ^(L)-
распределение является взаимным, нормализация L-распределения есть нормализация Михэйлеску, а соприкасающиеся гиперквадрики
l ¡jx'xj + S^x a x Р + Snpqxpxq + 2Anpa x px a + 2Spxpxn + 2Sa x a xn +
+ 2lixixn + lnxnxn = 2x0xn. имеют касание 3-го порядка с L-распределением.
Библиографический список
1. Волкова С.Ю. H (A, L) -распределения проективного пространства // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград, 1991. N 22. C.23-25.
2. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М .: Наука , 1976.
3. Чакмазян А.В. Двойственная нормализация / Докл. АН Арм. ССР. 1959. Т.28. N4. C.151-157.
4. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. 248 с.
5. Остиану Н.М., Рыжков В.В., Швейкин П.И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т.4. C.7-70.
6. Столяров А.В. Дифференциальная геометрия полос // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т.10. C.25-54.
7. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. Чебоксары, 1992. 290 с.
8. Волкова С.Ю. О двойственных проективных связностях H(A, L)-распределения // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград, 1993. N24. C.28-37.
S.Ju.V o l k o v a
DUAL AFFINE CONNECTIONS OF S-DISTRIBUTION
12 12
Dual affine connections V, V and ц, ц of grouped S-distribution of the projective
space are constructed. Scopes of curvature and torsion tensors of these connections are
1 2
found. It is shown, that connections V and V are generalized conjugated concerning fundamental tensor Apq of base A-distribution. It is discovered torsion of affine con-
1 2
nection space A n,r ( A n,r ) vanishes if and only if distribution of 1-st (2-st) normals of
J 2
A-distribution is holonomic. Torsion of affine connection space An,s ( An,s ) vanishes
if and only if distribution of 1-st (2-nd) normals of L-distribution is holonomic. Geo-
1 2 12
metrical interpretation of affine connections V and V ( ц h ц ) coinsidence is found out.
