Движение тонкого тела вблизи свободной поверхности сжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

8. Киселев А.Б. Математическое моделирование взрывного разрушения сферических оболочек с образованием двух фракций осколков // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 2. 41-48.

9. Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов. М.: Наука, 1964.

10. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991.

11. Fucke W. Fragmentation experiments for the evalution of the small size debris population // Proc. First Europ. Conf. on Space Debris. Darmstadt, Germany, 1993. 275-280 (ESA SD-01).

Поступила в редакцию 05.09.2007

УДК 532

ДВИЖЕНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВБЛИЗИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

А. В. Звягин1, М. Н. Смирнова2

Получено аналитическое решение задачи движения тонкого твердого тела в полубесконечной области сжимаемой жидкости параллельно свободной поверхности с постоянной скоростью. Рассмотренная задача аналогична задаче о движении судна на подводных крыльях, т.е. судна, использующего устройство в форме крыла для того, чтобы поднять корпус над водой и уменьшить силы трения и сопротивления, ограничивающие скорость передвижения обычных судов. При движении в воде подводное крыло создает подъемную силу. Полученное решение позволяет определить явные выражения для силы сопротивления и подъемной силы в предельных случаях относительно малых и больших глубин. При движении на малой глубине сила сопротивления оказывается больше, чем в безграничной среде, ввиду дополнительно возникающего волнового сопротивления. При увеличении скорости и приближении ее к скорости звука действующие на тело силы неограниченно возрастают, что типично для линейной постановки.

Ключевые слова: движение тела, каверна, свободная поверхность, сжимаемая жидкость, сопротивление, подъемная сила.

An analytic solution to the problem of motion of a slender rigid body in a semi-infinite domain of a compressible fluid is obtained for the case when the body moves in parallel to the free surface at a constant velocity. This problem is similar to the problem of motion of a hydrofoil ship whose wing-like device allows it to lift its hull above the water surface and to decrease the friction and drag forces limiting the speed of usual ships. During its motion in water, a hydrofoil produces a lift force. The obtained analytic solution allows one to derive explicit expressions for the drag force and for the lift force in the limiting cases of relatively small and large depths. When depth is small, the drag force is greater than that in an infinite medium, since the wave drag is additionally evolved. When the velocity increases and approaches the sound velocity, the forces exerted on the body increase without limit, which is typical for a linear formulation of the problem.

Key words: motion of a body, cavity, free surface, compressible fluid, drag, lift force.

Введение. Задача глиссирования тела по поверхности жидкости бесконечной и конечной глубины в линейной постановке рассматривалась в работах М.И. Гуревича, А.Р. Янпольского, М.Д. Хаскинда [1—3]. Позднее данная проблема для пластины была решена Ю.С. Чаплыгиным и А.Е. Грином [4-6] в нелинейной

1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvsasha@rambler.ru.

2 Смирнова Мария Николаевна — студ. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: wonrims@inbox.ru.

Рис. 1. Схема движения тонкого тела длиной Ь в сжимаемой жидкости на глубине Н с постоянной скоростью Уо под заданным углом атаки

ее движение — плоскопараллельным. Будем считать поле скоростей жидкости потенциальным:

постановке. При движении судов на подводных крыльях мы имеем аналогичную задачу, но в этом случае крыло движется на некоторой заданной глубине Н параллельно свободной поверхности жидкости (рис. 1). Если такое движение продолжается длительное время, можно принять предположение о том, что в системе координат, связанной с телом, это движение можно рассматривать как установившееся [7].

Постановка задачи. Рассматривается движение тонкого тела параллельно свободной поверхности линейно сжимаемой жидкости в предположении, что жидкость отрывается от тыльной поверхности тела. Жидкость считается невесомой, а

V = grad р,

(1)

а саму жидкость — линейно сжимаемой средой:

-.2/

Р = Ро + а (р — ро),

(-) ■

\((р; ро

(2)

где р(х',у',Ь) — потенциал поля скоростей; Р, р — давление и плотность жидкости; Ро, ро — давление и плотность невозмущенной жидкости; а — скорость звука. Движение жидкости должно удовлетворять уравнению неразрывности

(р

(Ь

+ р div V = 0,

(3)

а давление в ней определяется интегралом Коши-Лагранжа уравнений движения жидкости [8]

(' (Р

У - = ««>■ (4)

д'<р ^гас! (р)2 сМ 2

Будем считать малыми величинами изменение плотности и изменение скорости жидкости, индуцированные движением тела:

р'/р = (р - ро)/р < 1,

йР_ р

(Р

<1Р_ ро

I / I ' I

) р + ро У ро ро После подстановки в уравнение неразрывности имеем

^ Р = Ро — ро (1Р = а2 йр.

дЬ

1 д ( д '

— —Лро-Ро—)+У + Р)сИу ёгас1 ч> =

а2 дЬ

дЬ

Тогда в неподвижной системе координат О'х'у' из уравнения неразрывности (3), интеграла (4) и соотношений (1), (2) после линеаризации следует, что потенциал р должен удовлетворять волновому уравнению

д2р 2[д2(Р д'2У др а \дх'2 ду'2)1

а давление в жидкости можно вычислять из следующего соотношения:

Г = Го-Ро%

(5)

(6)

Для рассматриваемой задачи необходимо, чтобы выполнялись граничные условия на свободных поверхностях и на поверхности контакта тела с жидкостью. Будем считать, что на свободной поверхности избыточное давление Р — Ро равно нулю. На контактной поверхности примем условие обтекания,

т.е. равенство проекции скорости жидкости и скорости поверхности тела на нормаль к поверхности n = ( — sin в; (cos 9), где 9 — угол между осью Ox и касательной к контуру тела. Это приводит к следующему условию на поверхности контакта:

Vn = Vq sin в = Vn = —их sin в + иу cos в = —ихв + иу = иу = —,

dip dy'

где их, иу — проекции скорости на неподвижные оси координат х', у'.

Будем считать, что тело достаточно тонкое и движется под малым углом атаки. Это означает, что все возмущения жидкости малы, что позволяет линеаризовать и снести граничные условия на невозмущенные участки границы. Граничные условия можно написать в форме:

на внешней, свободной поверхности жидкости у = 0: Р — Ро =0; на внутренней поверхности каверны жидкости у = Н-, 0 < х: Р — Ро = 0;

ду'

после отрыва жидкости от поверхности тела у = Н+, Ь < х: Р — Ро =0.

Если предположить, что в подвижной системе координат х = х' — УоЬ, у = у' движение будет установившимся, можно переписать уравнения (5), (6) в виде

i д<£> на границе в области контакта жидкости и тела у = Л, , 0 < х < L: uv = —— = Vq sin

2fd2tp d2tp\ d<p

С учетом данного предположения граничные условия перепишутся так:

У = 0: тр = 0; у =/Г, 0<х: = 0; дх дх

у = Ь+, 0<х<Ь: ^ = Уо8тв] у = И+,Ь<х: ^ = 0.

ду дх

(8)

Таким образом, задача свелась к решению уравнения (7) с граничными условиями (8). Построение решения. Будем считать движение дозвуковым. Тогда можно ввести параметр а = л/1 — М2, где М = \о/а — число Маха. Перейдем к безразмерным искомым функциям и безразмерным независимым переменным:

* * Р- ро , Ln * nx * ПУ /пч

^ = ~г> р =-о ' 1 = т> х = ~т> У = т-

ah p0a2 ah ah h

В безразмерных переменных (9) уравнения (7) и граничные условия (8) перепишутся в более удобной форме:

д2(р* д2(р* * _ м д(р\

дх*2 ду*2 ' ^ а дх* '

у* = 0: ^ = 0; у*= 7Г-, 0 < ж: ^ = 0; (Ю)

дх* дх*

у*=тг+,0<х*<1: у = тг+,1<х*: ^ = 0.

ду* а дх*

Здесь учтено, что в размерных переменных контур обтекаемого тела в области контакта описывается функцией у = у(х), а угол наклона касательной определяется соотношением

эш 6 ~ 6 =

ах

В новых переменных тангенс угла наклона касательной будет иметь вид

+ а 1 ЛУ* 1 ( *\

а ах* а

В дальнейшем для сокращения записи будем опускать звездочки в значениях величин в безразмерной форме.

Согласно (10), нам необходимо найти гармоническую функцию в области у > 0 с разрезом вдоль полуоси у = п, х > 0 (рис. 2, а), удовлетворяющую условиям (10) на границе полуплоскости и соответствующих берегах разреза. Будем искать решение для потенциала в виде действительной части от некоторой аналитической функции комплексной переменной г = х + гу [8]:

р(х, у) = Ие Ф(г), Ф(г) = р(х, и) + гф(х, у). Условия Коши-Римана для аналитических функций:

др дф др дх дУ ду

дф дх '

Рис. 2. Преобразование границы области решения

При этом первое уравнение в (10) будет выполнено тождественно: д2 р д2р д2 ф д2 ф

= 0, а для определения самой функции

+ ■

дх2 ду2 дхду дудх будем использовать граничные условия:

у = 0: Ие Ф'(х) = 0; у = п-, 0 <х: Ие Ф'(х) = 0;

у = 7Г+, 0 < х < I: 1тФ'(ж) = -М<у(х) -; у = 7Г+, I < х: НеФ'(ж) = 0.

а

Фактически необходимо найти первую производную аналитической функции, которую мы обозначим для удобства записи через Т(г) = Ф'(г). Воспользуемся конформным отображением полуплоскости с разрезом (х > 0, у = п) на верхнюю полуплоскость 1тю > 0 (рис. 2, б). Это отображение осуществляется функцией

г = пг + ю — 1п ю — 1, 1т ю> 0, ю = и + гу. (11)

При таком отображении новой границей станет действительная ось и в плоскости комплексной переменной ю. Согласно (11), связь между переменными (х,у) и (и, у) будет такой:

х = и — 1п л/и'2 + V2 — 1, у = ж + V — а^(и + го).

При этом область контакта перейдет в участок и- < и < и++ границы полуплоскости ю, где величина ио является корнем алгебраического уравнения

l = u0 — ln | u01 — 1.

(12)

Рис. 3. График функции f (u) = u — ln |u| — 1: u > 0. Абсциссы точек пересечения горизонтальных линий с кривой являются решениями алгебраического уравнения (12) при различных значениях l

Абсциссы точек пересечения горизонтальных линий с кривой на рис. 3 соответствуют корням и±, ординаты — значениям безразмерной величины I (правой точке пересечения соответствует точка и++, левой — точка и-). Участок плоскости ю = и + гу при у = 0, и > 0 (а^(ю) = 0, у = п) переходит в нижний и верхний берега разреза. Участок плоскости ю = и + гу при у = 0, и < 0 (а^(ю) = п, у = 0) переходит в участок —то < х < х = 0, у = 0.

Для искомой функции Т(г(ю)) в новой плоскости получится следующая краевая задача:

1т Т(и) = д(и) при 1 < и < и++; Ие Т(и) = 0 при и < 1, и > и++,

где д(и) = —Ыч(х(и))/а.

Таким образом, определение аналитической в области функции Т(ю) свелось к задаче Римана-Гильберта [9]: предельные значения действительной и мнимой частей Т(ю) удовлетворяют следующему уравнению с кусочно-постоянными коэффициентами:

А(и) Ие Т (и) + В (и) 1т Т (и) = С (и),

где

A(u) = 1 при u < 1, u > u+, A(u) = 0 при 1 < u < u+; B(u) = 0 при u < 1, u > u+, B(u) = 1 при 1 < u < u+;

—My (x(u))

C(u) = 0 при и < 1, и > Uq, C(u) =- при 1 < и < Uq.

Будем искать решение в виде Т=< —-т- (¿(ии), где убывает на бесконечности. Такое решение

w — u,

ограничено на бесконечности, а на передней кромке равно нулю:

1шТ(и) = ЯеЯ(и), КеЯ(и) = .

У и+ — и у и — 1 а

Для Q(w) мы получим краевую задачу Дирихле о нахождении гармонической функции в области [9]. Функция Q(w) на границе принимает заданные непрерывные значения:

M I u+_u

ReQ(u) = —7(ж(«))у——— при 1 < и < Uq, ReQ(u) = 0 при и< 1, и > и^ aa у u 1

Решение задачи Дирихле для полуплоскости дается интегралом Шварца [10]

оо ио I '

1 /о гл< (Ь гл{ \ 1 /М и+ — Ь 7(х(Ь)) йЬ

Q(w) = — [ ReQ(t) —--1- iC, ИЛИ Q(w) = -[-

пг J t — w пг J a M t — 1 t — w

1

В случае пластины y = Yo = const интеграл вычисляется в аналитическом виде:

ani J V t — 1 t — w a \\ w — 1

Отсюда для пластины искомым решением будет функция

ад = ^ (1 - , ^ - ^ + • , I (и)

а V ую — и+; а V у и^ — ю/

Полученное решение (13) позволяет определить действующую на тело подъемную силу и силу сопротивления, поскольку распределение давления в области контакта дается выражением

р(х(и)) = — ЯеТ(и), 1 <и<иХ; ЯеТ(и) = / и 1 а а у и+ — и

откуда

**(«)) = (14)

а У и+ — и

Подсчитаем с учетом (14) силы, действующие на пластину, в проекциях на оси х, у:

Ь г

X = — р(х)7(ж) (1х = —ра2 / р*(ж*)о;7*(ж*) — = ра2а2Н —,

пп

Ь I

У = — / р(х) (1х = —ра2 / р*(х*) — йх* = ра2аН —, .! .! п п

о о

/ах* г ах* ах* 1

р*(х*(и))7*(ж*(и)) Ц-¿и, У* = - р*(х*(и)) =

аи у аи аи и

1 1

12НМ2чЦ 2^и+ — 3и+ + и+2 I

X =----— У = -+ > I

и0 аи0

В аэродинамике проекцию X называют силой сопротивления, а У — подъемной силой. Анализ полученного решения. Рассмотрим асимптотическое поведение решения в зависимости от

пЬ

соотношения величин толщины слоя к жидкости над пластиной и длины пластины Ь. Поскольку I = —-,

аН

при условии — —0 длина области контакта стремится к бесконечности (I —оо), при условии — —оо —

к нулю (I — 0).

Так, для малой глубины (Н/Ь — 0)

о , ЬЛ в (п . ! ЬХХ 0|1лГ

Х = -ра2ЬМ2 tg20 2л/--3 + — , Г = -ра2Ш2 — [2\--3 + — , (15)

Ьп На а Ьп На

откуда видно, что при М - 1 сила, действующая на тело, бесконечно возрастает, так как а = VI -м2. При М — 0 сила убывает как малая второго порядка. Для большой глубины (Н/Ь — о) имеем

2^2 2л 3 2пЬ ра2М2в 3 2пЬ . .

X = —ра М tg в--, У = --, (16)

' В 2 а УГ^М2 2 а у 1

откуда видно, что при М — 1 сила также неограниченно возрастает, а параметр Н не участвует в определении силы.

Полученное решение (15) показывает, что при относительно малой толщине слоя жидкости над крылом сопротивление и подъемная сила не зависят от толщины слоя, но зависят от длины тела и угла атаки:

X = —ра2М21ё2 в —, У = —ра2М2 ^ —.

а а а

Силы (16) превосходят соответствующие значения при движении в безграничной среде. В части возрастания сопротивления вблизи поверхности это может быть объяснено возникновением дополнительного волнового сопротивления в результате образования волн на свободной поверхности [8].

В ходе решения задачи были получены следующие выражения для скорости набегающего потока:

V,? = тг— = — 1тТ(и) = у* = = ЯеТ(и) = . /—— в области контакта при 1 < и <

у ду* а х дх* а и+ — и 0

и

у* _ То— Л _ -|; у* = о на свободной поверхности и на границе каверны при и < 1, и > иХ.

у а V у \и — и+\;

Рассмотрим асимптотическое поведение решения в характерных точках в зависимости от соотношения величин толщины слоя Н и длины пластины Ь.

У передней кромки тела на границе каверны решение имеет следующий вид. При х = и — 1п \и\ — 1, х — 0+, у — п-

„,_7оМ/ (Л 1 \/2ж*"

Н пЬ

1) - -»■ 0, т.е. I = —

Ь

аН

о, и0

0+ - Тогда

аН

V* &

ТоМ/ а

1

аН\

пЬ

V* = aVy* ^вVо[ 1 —

2аНх

Таким образом, из анализа величины скорости жидкости на верхней границе каверны видно, что на малой глубине при стремлении к передней кромке тела скорость возрастает до конечной величины V* = V. tg в.

Н+

2) — —>■ оо, т.е. I —0, иХ ~ 1 +

2пЬ

. Тогда Уу = вУ0\1- (7-

х

Ь — - "о V аН' 'у " -оу уь

Для большой глубины скорость верхней границы каверны при стремлении к передней кромке также возрастает до V* = Уо tg в.

На верхней границе каверны в бесконечно удаленной точке решение имеет следующий вид. При х — +о, у = п-, и — +о, х & — 1пи, и & е-х

1

1

1

2 \/г/+

1е

/г п / 7г£

1} I ^ ^ 1 = ^

,и

+

о

ттЬ аН

Тогда

, /аЛ< 1 I аИ / а/гЛ **

откуда видно, что при ж —+оо скорость на верхней границе каверны стремится к величине

I7« = 1 — \/— ], которая при Н/Ь —0 совпадает со значением скорости на передней кромке

пЬ

каверны (рис. 4, а).

Н+

2) — —оо, т.е. I —>■ 0, «о~ ~ 1 + Ь

2тг£ аН

1

. Тогда

2ттЬ Ъ 2жЬ \

■ж[1+[1-2УыГ]е~ак

Vу = V» tg в

Таким образом, при большой глубине вертикальная скорость на верхней границе каверны стремится к конечной величине Уу = У^Х^в — у-——,

2 аН

которая по мере увеличения глубины будет стремиться к нулю. Профиль скорости на верхней границе каверны для случая большой глубины представлен на рис. 4, б.

На свободной поверхности реше- Рис. 4. Изменение вертикальной скорости жидкости на верхней гра-ние имеет следующий вид. нице каверны при движении крыла на малой (а) и на большой (б)

(а) При х —> +о, у = 0, и —> 0- глубине. Штриховые кривые отражают динамику скорости при

уменьшении (а) и увеличении (б) глубины

V * = ^у

7о М

а

1

1 + е-

и+ + е-х*

7оМ

а

1

1

1

1 +

1

1 е-

и

+

ТоМ^ _

а

+

и

+

1е

н=

х

н=

н=

1

1

х

2

о

Н пЬ , пЬ

1) — —0, т.е. I = —-, иХ к> —-. 1огда Ь аН 0 аН

аН 1 аН

пЬ

пЬ

аН

пЬ

откуда видно, что при х — +то скорость на свободной поверхности (у = 0) стремится к величине Уу = Votgв( 1 — \ ——), которая при Н/Ь 0 совпадает со значением скорости на передней кромке

каверны.

пЬ

то, т.е. I — 0, и+ & 1 +

2тг Ь

аН

■. Тогда

Таким образом, при большой глубине вертикальная скорость на свободной поверхности (х — +то,

у = 0) стремится к конечной величине Уу = Уо tg в ■ стремиться к нулю.

(б) При х — —то, у = 0, и — —то

1 2пЬ

аН

которая по мере увеличения глубины будет

7оМ /ц+ - 1 12ц+ -2у+ -1 а \ 2х* Вх*2

у* = —-—I --ь

у а V

Н пЬ , пЬ

1) — —^ 0, т.е. I = —-, иХ к> —-. 1огда Ь аН 0 аН

Уу = —Уо tg в

( 7ГЬ

аН

1

12п2Ь2 2пЬ \ — 1

2пх

+

а2 Н2

аН

Вп2 х

22

\ ак а21г2 /

Таким образом, в случае малой глубины на свободной поверхности (х удаленной точке скорость стремится к нулю.

1 + Л/—Г-- Тогда

(17)

— то, у = 0) в бесконечно

Ь

то, т.е. I — 0, и+

(

Уу = —Уо tg в

аН

2пЬ аН

аН 2пх

+

12 1 +

2тг£У

аН

2

27гЬ _з\

аН

8тт2Х2 а2 Н2

(1В)

\ а2 Н2 /

Для большой глубины скорость в бесконечно удаленной точке также стремится к нулю, что объясняется затуханием индуцированных возмущений на бесконечности перед телом. При этом в формулах (17),

(18) первый член пренебрежимо мал, а скорость все время отрицательна и стремится к нулю, как что

х2

говорит о том, что свободная поверхность стремится к горизонтальному положению.

На нижней границе каверны в бесконечно удаленной точке решение имеет следующий вид. При х — +то, у = п+, и — +то

= ьМЛ^-1 1 12^ - 2< - 1

у а I 2аг

2

+

Вх

2

Н

пЬ

1) у —0, т.е. I = —>■ то, & Тогда

пЬ

Ь

аН

аН

Уу = —Уо tg в

/тгЬ

аН

1

12п2Ь2 2пЬ

— 1

2пх

+

а2 Н2

аН

22

аН

8ттгх а2Н2

/

Таким образом, в случае малой глубины на нижней границе каверны в бесконечно удаленной точке скорость стремится к нулю.

' Ь

ж, т.е. l — 0, u+

1 +

ah

. Тогда

Vy = -Vq tg в

(

\

2nL ah

ah 2nx

+

2ttL _з\ ah

2J2.

Sti x a2 h2

/

Для большой глубины скорость в бесконечно удаленной точке также стремится к нулю. При этом

первый член пренебрежимо мал, а скорость все время отрицательна и стремится к нулю, как —г, что

х2

говорит о том, что свободная поверхность стремится к горизонтальному положению.

На нижней границе каверны у .задней кромки движущегося тела решение имеет следующий вид.

При x — L, y = п+, u — u{

V * = Vy

7qM

a

1

u

\u - u+l

Из полученного решения видно, что при приближении к задней кромке величина вертикальной скорости имеет особенность для случая любой глубины. При этом скорость отрицательна, т.е. происходит резкий срыв потока с задней кромки.

Таким образом, скорость жидкости на нижней границе каверны как для малой, так и для большой глубины ведет себя одинаковым образом: всюду отрицательна и по мере увеличения расстояния от задней кромки по модулю убывает и стремится к нулю (рис. 5). Проведенные оценки позволяют построить качественную картину формы каверны и свободной поверхности при движении пластины (рис. 5).

Заключение. Рассмотрена задача о движении тонкого тела в сжимаемой жидкости на глубине Н с постоянной скоростью У0 под заданным углом атаки. Построено решение, позволяющее найти величину силы сопро- Рис 5 Форма св°бодн°й поверхности и з°ны °т-тивления и подъемной силы при движении тела в пре- рыва при движении во™ут°й пластины в полубес-дельных случаях. Показано, что при стремлении числа конечном ал°е жвдкостж

Маха к единице силы бесконечно возрастают. При движении на малой глубине сила сопротивления оказывается больше, чем в безграничной среде, ввиду дополнительно возникающего волнового сопротивления. Анализ полученного решения показывает, что оно может быть справедливо для движения вогнутого крыла (крыла отрицательной кривизны). При этом срыв потока осуществляется с задней кромки, а на передней происходит конечный поворот потока.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 09-08-00396.

h X

У\ Ж

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гуревич М.И., Янпольский А.Р. О движении глиссирующей пластины // Техн. воздушного флота. 1933. № 10. 52-70.

2. Хаскинд М.Д. Плоская задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости конечной глубины // Изв. АН СССР. ОТН. 1943. № 1, 2. 67-90.

3. Гуревич М.И. Глиссирование дужки круга по поверхности тяжелой жидкости // Техн. заметки ЦАГИ. 1937. Вып. 153. 1-6.

4. Чаплыгин Ю.С. Глиссирование плоской пластинки бесконечного размаха по поверхности тяжелой жидкости // Тр. ЦАГИ. 1940. Вып. 508. 3-45.

5. Чаплыгин Ю.С. Глиссирование по жидкости конечной глубины // Прикл. матем. и механ. 1941. 5, вып. 2. 223-252.

6. Green A.E. The gliding of a plate on a stream of finite depth // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1935. 31, N 4. 583-603; 1936. 32, N 1. 167-184.

7. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980.

8. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1973.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

10. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

Поступила в редакцию 02.06.2008

УДК 533.6.011.5:532.526:541.2

АНАЛИЗ КАТАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИЛИКОНИЗИРОВАННЫХ

ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ ПОКРЫТИЙ

В. Л. Ковалев1, М. Ю. Погосбекян2

На основе микроскопического подхода, учитывающего молекулярное строение приповерхностного слоя, анализируются каталитические свойства теплозащитных покрытий космических аппаратов — ,3-кристобалита и SiC. Рассчитаны величины коэффициентов гетерогенной рекомбинации атомов кислорода и аккомодации энергии рекомбинации, а также распределение энергии по внутренним степеням свободы. Обнаружено, в частности, что при малых энергиях столкновения атомов с поверхностью гетерогенная рекомбинация атомов кислорода более эффективна на SiC, а при больших — на ,3-кристобалите. Тем не менее из-за большей аккомодации энергии рекомбинации величина коэффициента передачи тепла к покрытию SiC больше во всем исследованном диапазоне изменения энергии столкновения атомов с поверхностью.

Ключевые слова: каталитические свойства теплозащитных покрытий космических аппаратов, молекулярная динамика, прямое численное моделирование.

The catalytic properties of heat-shielding coatings (^-cristobalite and SiC) used on space vehicles are analyzed on the basis of the microscopic approach with consideration of the molecular structure of the near-surface layer. The heterogeneous recombination coefficient of oxygen atoms and the recombination energy accommodation coefficient are determined. The energy distribution by internal degrees of freedom is calculated. In particular, it is found that, when the energy of collision of atoms with the surface is small, the oxygen atom heterogeneous recombination is more efficient for SiC coatings, whereas this recombination is more efficient in the case of ^-cristobalite if the collision energy is large. Nevertheless, the heat-transfer coefficient is greater for SiC coatings in the studied range of collision energy variations, since the recombination energy accommodation is larger.

Key words: catalytic properties of heat-shielding coatings for space vehicles, molecular dynamics, direct numerical simulation.

Интерес к исследованиям каталитических свойств теплозащитных покрытий связан с созданием перспективных гиперзвуковых летательных аппаратов, для которых разрабатываются новые материалы, обеспечивающие тепловую защиту при температурах поверхности около 2000 K. При гиперзвуковом обтекании гетерогенные каталитические реакции определяют более половины потока тепла к поверхности тела. Кроме того, весьма актуальными стали вопросы снижения тепловых нагрузок на поверхность космических аппаратов и зондов, предназначенных для спуска в атмосфере Марса и последующего возвращения на Землю.

До настоящего времени гетерогенные каталитические процессы на теплозащитных покрытиях космических аппаратов остаются недостаточно изученными как в теоретическом, так и в экспериментальном

1 Ковалев Валерий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kovalev@mech.math. msu. su.

2 Погосбекян Михаил Юрьевич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Ин-та механики МГУ, e-mail: pogosbekian@imec.ru.