Движение неуравновешенного ротора с жидкостным автобалансирующим устройством при нарастающей по линейному закону угловой скорости Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.0

ДВИЖЕНИЕ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА С ЖИДКОСТНЫМ АВТОБАЛАНСИРУЮЩИМ УСТРОЙСТВОМ ПРИ НАРАСТАЮЩЕЙ ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ

В.А. Дубовик, Е.Н. Пашков

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Исследуются колебания ротора с автоматическим балансирующим устройством на гибком валу при переходе через критическую скорость. Дифференциальные уравнения, описывающие движение механической системы в горизонтальной плоскости, решаются численным методом Рунге-Кутта. Результаты расчетов сравниваются с известными для ротора без балансирующего устройства.

Для автоматического устранения неуравновешенности вращающихся роторов используют различные жидкостные автобалансирующие устройства (АБУ) [1]. При переходе через критическую скорость происходит увеличение амплитуды колебаний дисбаланса системы - наступает резонанс.

Поэтому необходимо исследование влияния АБУ на нестационарные процессы при изменении закона вращательного движения ротора. Случай скачкообразного изменения угловой скорости ротора с АБУ исследован в [2]. Ниже изучаются колебания системы с учетом сил внешнего сопротивления - демпфирования, возникающего при переходе через резонанс в случае равноускоренного вращения вала.

В соответствии с рис. 2 [2] рассмотрим движение ротора, содержащего камеру с поплавком, заполненную однородной несжимаемой жидкостью, симметрично закрепленного на гибком вертикальном валу, проходящем через его геометрический центр

О1. Центр масс ротора (точка Р) смещен от О1 на расстояние О1Р=е. Точка О2 - проекция оси опор вала на плоскость движения. При вращении ротора вал прогибается в месте крепления ротора на величину О2О1=5, поплавок 2, для которого геометрическая и материальная оси симметрии совпадают, так же как в поплавковых гироскопах [3] центрируется на оси вращения О2, и жидкость перетекает в сторону прогиба. Предполагаем, что при нестационарном движении ротора отрыв жидкости от стенок не происходит, и центрирование поплавка сохраняется. В этом случае центр масс слоя жидкости расположен на линии центров в точке G. Сформулированные допущения позволяют исключить из рассмотрения гидродинамическую задачу.

По аналогии с [4] введем в плоскости движения точек О1, G, Р две системы координат с общим началом в точке О2: неподвижную систему О2^ц и подвижную Оху, ось О2х которой параллельна отрезку О1Р. Законы вращательного движения ротора и системы О2ху определяются одним и тем же углом поворота ДО (/- время), следовательно ротор в подвижной системе координат может перемещаться только поступательно.

Координаты точки О1 - точки пересечения вала с плоскостью движения обозначим через х, у и £, п соответственно в подвижной и неподвижной системах координат. Связь между ними устанавливается известными формулами

(1)

£ = X cos в - y sin в;

П = X sin в + y cos в-

На ротор со стороны вала действует сила упругости^ =-сО2О1 и сила внешнего трения, пропорциональная абсолютной скорости точки OJ (VO), Fx=—xV0, где с и х - коэффициенты упругости и внешнего трения. Условие равновесия всех внешних сил и сил инерции запишется в виде

-cO2Ol - xV0 -mfiP -m2aG = 0- (2)

Здесь mj и m2- массы ротора и жидкости; —, и —G - ускорения центров масс ротора и жидкости соответственно. Координаты точек P и G определяются выражениями

4Р = 4 + ecosß; np =П + esinß; = r4; По = n,

(3)

где r=r12/(r12-r22); r1 и r2 - радиусы камеры и поплавка соответственно.

Проецируя (2) на неподвижные оси координат и используя (3) для вычисления ускорений, получаем дифференциальные уравнения движения ротора с АБУ

+ xl + с4 = m,e(cos в ■ р2 + sin в ■ в),

■ 2 •• (4)

тП+ХП+ сц = mte(sinв ■в - cosPP)-

Здесь m=m+rm2, точки сверху означают производные по времени.

Из уравнения равновесия моментов всех сил относительно оси О2 можно определить крутящий момент, обеспечивающий заданное вращение вала по закону в=в( t).

Полагая в (4) в =o0=const, получаем стационарное движение, т.е. круговое движение вала с постоянной стрелой прогиба

l0 = D[(c - ma02)cos a0t + xa0sin a0t],

П0 = D[(c - ma02)sin a0t -xa0cos a0t], (5)

D = mea2 /[(c -m^2)2 + xX2]-

Пусть начиная с начального момента времени угловая скорость ротора начала изменяться по закону

в = a = a0 + 2е ■ t, (6)

где a0 - начальная угловая скорость, соответствующая стационарному движению (5), 2s - угловое ускорение.

Начальными условиями движения, аналогично

[3], следует взять значения 40, п0 и их производные по времени при = из (5)

4(0) = Б(с - даю02); По(0) = -

4(0) = ®х®1; По(0) = В(с - тт20)-Ю- (7)

Из (4) находим связь между критическими угловыми скоростями системы ротор-АБУ 0.=^1с/т и самого ротора на гибком валу О.0=л1с/т1

0. = 0.0<У, (8)

где \у=т1/т=1/(1+гт2/т1).

Соотношение (8) показывает, что с уменьшением параметра у, характеризующего конструкцию жидкостного АБУ, к-ритическая скорость системы убывает по закону У Решение уравнений (4) можно получить в форме интегралов от произведений тригонометрических функций с малыми периодами, численная реализация которого требует вычислений в большом числе точек [4]. Поэтому для определения прогиба вала и дисбаланса системы предпочтительно перейти в (4, 5) по формулам (1) к координатам х, у точки О2 подвижной плоскости. Уравнения движения и начальные условия принимают вид

т( х - 2ву - в у - в2 х) + сх + х(х - в у) = т.вр2,

& & 2 & •• (9)

т(у + 2вх + вх-в у) + су + х(У +вх) = -т^в.

х(0) = В(с - т®02), у(0) = -Ох«>0, (10)

х(0) = 0, у(0) = 0. ( )

Здесь в изменяется по закону (6).

Прогиб вала 5 и дисбаланс системы (т1+т2)гс (гс - отклонение центра масс от оси вращения), отнесенный к начальному дисбалансу ротора т1е, запишутся в виде

5 х2(/) + у 2(/),

л=(т* тт^Гс=^ [х(/)/(еу)+ч2+[уо /(еу)]2- ( 1

Задачи (9, 10) решаются численно методом Рун-ге-Кутта четвертого порядка точности с автоматическим выбором шага [5]. На каждом шаге вычисляются значения прогиба, дисбаланса по формулам (11) и значение угловой скорости, соответствующее расчетному моменту времени по ур. (6).

Расчеты проведены для данных, используемых в

[4] для ротора без АБУ: 00=105 с-1, е=10 с-2, начальная угловая скорость вала полагалась ю0=40 с-1. Установлено, что изменение прогиба вала и дисбаланса системы сильно зависят от силы внешнего трения, т.е. от отношения и=х,/тх. На рис. 1 показаны зависимости 5/е и й от £=ю/00 при равноускоренном переходе угловой скорости через критическую 00 при различных значениях у (^1 - соот-

а)

Рис. 1. Зависимость: а) прогиба вала 5/е и б) дисбаланса системы в от 1=<в/0.0 при п=0

б)

--------------------- а) ----------------------

Рис. 3. Изменение: а) максимального прогиба вала 5*/е и б,

ветствует ротору без АБУ) для «=0, а на рис. 2 - для «=100 с-1. Из этих рисунков видно, что изменения дисбаланса системы для «=0 и «=100 с-1 резко отличаются друг от друга, так для первого случая максимальные отклонения дисбаланса системы при всех значениях у меньше, а для второго случая больше отклонения дисбаланса ротора без АБУ. Смена характеристики изменения дисбаланса наступает при «=5 с-1. Прогиб вала системы при всех « меньше, чем для ротора без жидкости. Кривая при у^1 на рис. 1, а, совпадает с соответствующей кривой для чистого ротора, приведенной в [4], что подтверждает точность расчета. На рис. 3 показаны зависимости максимального прогиба вала 5*/е и дисбалансы системы й* от « при различных значениях у

По этим кривым для каждого « можно выбрать у чтобы обеспечить переход системы через критическую угловую скорость с допустимыми прогибом и дисбалансом.

Сравнивая полученные результаты с [2], заключаем, что максимальная амплитуда колебаний дисбаланса ротора с АБУ при скачкообразном переходе через резонанс значительно больше, чем в рассмотренном случае, для больших сил сопротивления («=100 с-1). Из сказанного следует, что жидкостное АБУ снижает критическую скорость, а при линейном нарастании и вибрацию ротора.

------------------ б)

системы в* от п

Выводы

1. Показано, что квадрат критической угловой скорости системы ротор - АБУ изменяется по линейному закону с уменьшением параметра у, характеризующего конструкцию жидкостного автобалансировочного устройства.

2. При равноускоренном нарастании угловой скорости (с переходом ее через критическую) максимальный дисбаланс системы для малых сил внешнего трения становится меньше, а для больших сил - больше дисбаланса ротора, максимальный прогиб вала при любом внешнем трении уменьшается с уменьшением параметра у. С увеличением угловой скорости в закритической области дисбаланс системы за счет её самоцентрирования становится меньше дисбаланса ротора.

3. Переходный процесс зависит от закона изменения угловой скорости вала. При плавном её увеличении амплитуда колебаний дисбаланса и прогиба вала меньше чем при скачкообразном процессе.

4. Результаты расчетов переходного процесса следует учитывать при конструировании жидко -стного АБУ и выборе режима нарастания угловой скорости, т.к. возникающая вибрация зависит от у и способа перехода через резонанс.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гусаров А.А. Автобалансирующие устройства прямого действия. - М.: Наука, 2002. - 119 с.

2. Дубовик В.А., Пашков Е.Н. Нестационарное движение неуравновешенного ротора с жидкостным автобалансирующим устройством при скачкообразном изменении угловой скорости // Известия Томского политехнического университета. - 2005.

- Т. 308. - № 5. - С. 123-125.

3. Андрейченко К.П. Динамика поплавковых гироскопов и акселерометров. - М.: Машиностроение, 1987. - 128 с.

4. Диментберг Ф.М. Изгибные колебания вращающихся валов. -М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 246 с.

5. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. - М.: Мир, 1982.

- 238 с.