Научная статья на тему 'Определение параметров эллипсов неопределенности при двух измерениях обобщенным методом центра неопределенности'

Определение параметров эллипсов неопределенности при двух измерениях обобщенным методом центра неопределенности Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
879
59
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Белов В. М., Гончаров С. А., Рябова Е. В., Евстигнеев В. В.

Рассмотрено определение параметров эмпирической зависимости при двух измерениях с использованием алгоритма эллипса неопределенности в обобщенном методе центра неопределенности. Предложен алгоритм оптимального определения параметров.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Белов В. М., Гончаров С. А., Рябова Е. В., Евстигнеев В. В.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Определение параметров эллипсов неопределенности при двух измерениях обобщенным методом центра неопределенности»

УДК 541.127

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЛИПСОВ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПРИ ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ ЦЕНТРА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В.М. Белов, С.А. Гончаров, Е.В. Рябова, В.В. Евстигнеев

Алтайский государственный технический университет им И.И. Ползунова, г. Барнаул E-mail: sim_64@mail.ru

Рассмотрено определение параметров эмпирической зависимости при двух измерениях с использованием алгоритма эллипса неопределенности в обобщенном методе центра неопределенности. Предложен алгоритм оптимального определения параметров.

Для установления закономерностей каких-либо явлений проводят экспериментальные исследования, в ходе которых измеряют значение тех или иных физико-химических величин. При обработке физического эксперимента часто используют эмпирические модели или формулы, которые включают экспериментально неточно измеренные величины, как правило, неточность учитывают в выходных переменных. Случай, когда выходные и входные переменные модели измеряют интерваль-но, особенно в плане разработки конкретных методик анализа данных физического эксперимента, в литературе отражен недостаточно и является актуальным. Постановка и исследование разрешимости задачи погружения множества неопределенности параметров двумерной линейной параметрической модели при точном измерении входных переменных и неточном измерении выходных переменных подробно были рассмотрены в работах [1-4].

Алгоритм погружения множества неопределенности параметров двумерной линейной зависимости в эллипс неопределенности при интервальном задании входных и выходных переменных был рассмотрен в [5-8], где при определении параметров эллипса неопределенности обобщенным методом центра неопределенности были допущены неточности, которые повлияли на результат работы алгоритма.

Рассмотрим алгоритм [5-8] подробнее. При двух измерениях экспериментальные точки должны удовлетворять системе интервальных уравнений

[у]1=[а\+[Ь][х]ъ

[У\2=[а\+[Ь][х]2.

Область возможного измерения параметров линейной функции имеет вид неправильного четырехугольника, угловые точки которого можно определить, используя правила интервальной арифметики. В случае возрастающей функции [у]=[я]+[£][х], т. е. при х£<х^=>у±<у2, угловые точки четырехугольника неопределенности определяем как

А ={а1, Ьх) =

А2 (ci2, Ь2)

А3=(а3, Ь3) =

у[х - -у+2х+ _ Уг -yi

х2 - Xj+ х2 —х{

У 1*2 ~У2Х1 . У1 ~yi

Х+-Х+ х2 -xf

у!х2 -у+2х~ . у2 -у!

А4 = (а4, Ь4) =

У1 *2 ~У~2Х\ . У~2 -У 1

(1)

В случае, если функция видау=[я]+[£][х] является убывающей, т. е. при х^<х^=>у^>у2, то угловые точки четырехугольника неопределенности определяем из соотношений

А=(а 1, bi) =

А ' ^2)

А = (л, ь3) =

А4 = (а4, ЪА) =

у1х2-у2х1, y2-yi

х2 - Xj Х2 ~Xi ,

У[х2 -у2х~ . У2 ~у1

Ч х2+-х~ х2 -х~

у!х2+ ->>х _ у2 -у!

х2 - Xj+ х2 -х|

' у! х~2 -у2х; _ у1 ~у1

ч Х--Х+ х2 - Xj+

(2)

Для определения центра тяжести четырехугольника неопределенности используем метод наименьших квадратов. Тогда, для нахождения координат центра тяжести, получаем соотношение

- х2у1-х1у2, - У2-У1

а о =—=—=—, о о ==——,

Х2 - XI Х2— Х\

где хь хъ уь у2 - средние значения измеряемых входных и выходных переменных соответственно.

Центр тяжести исходного четырехугольника неопределенности можно определять и другими способами. Любая комбинация из трех угловых точек, определяемых соотношениями (1) и (2), образует треугольник неопределенности. Таких треугольников будет четыре: А1А2А3, А1А2А4, А1А3А4, ЛДЛ- Известно, что центр тяжести любого треугольника находится на пересечении его медиан. Таким образом, для координат центров тяжести треугольников, имеем соотношение

В2 =

В,=

В4 =

+ а2+а3 Ъх + Ь2 +Ь3

3 3

ах + а2 + аА Ь1 + Ь2 +Ь4

3 3

ах + аъ + а4 Ь1 + ЬЪ +Ь4

3 3

а2 + аъ+аА Ъ2 : +ЬЪ +ЬА

В итоге получаем четыре точки Въ Въ Вь В4, которые определяют новый четырехугольник неопределенности. Полагаем Л=Д> А=Въ А=^г> А4=В4. Далее процедуру определения центров тяжести новых четырехугольников неопределенности повторяем до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность определения центра тяжести исходного четырехугольника неопределенности.

Обозначим центр тяжести четырехугольника через я0, ¿>0. При погружении множества неопределенности параметров линейной параметрической функции в эллипс неопределенности считаем, что центр тяжести исходного четырехугольника неопределенности совпадает с центром описанного вокруг него эллипса неопределенности. Далее угловые точки четырехугольника неопределенности располагаем в порядке возрастания параметра Ь, т. е. ¿,1<^2<^з<^4-

Отрезок А}А является хордой эллипса неопределенности. Тогда параметры прямой А}А4

а4 - а.

34

з _ а3Ъ4-а4Ъ3 34 Ь.-Ь,

4 ^3 4 ^3

Проводим прямую АХАЬ параллельную Ау^. Для этого определяем координаты середины отрезка АЪА{.

«з +а4 Ь3+ Ъ4

«34=—s—; *34=—s—

а0 а34 '

К-ь34’

а34^0 «0^34 ^

Ь0~К

Далее определяем расстояние от середины хорды А}А4 до центра эллипса неопределенности

/ yja01 + Ьт.

где я01=я0-%; Ьп=Ь0-Ьг4.

Хорда эллипса АхАг параллельна хорде А3Д, и симметрична ей относительно центра эллипса [5-8]. Середина хорды АхАг лежит на прямой с параметрами (3), ее координаты определяем соотношениями:

а\г~*12“

Так как хорды АхАг и Ау4, симметричны относительно центра эллипса, то для определения координат точек Д* и А2 вычисляем вспомогательные величины

л л а,- а,

А а34 = А ап =а4-а34 =

2

Ъл -Ъ,

Эллипс неопределенности, описанный около параллелограмма АхАгА^А4, находим в виде

F(a-aü)2 +2 D(a-aü)(b-bü) + Q(b-bü)2 = 1,

где я0, ¿>0 - координаты центра эллипса неопределенности параметров.

Для определения параметров эллипса неопределенности составляем систему уравнений

F Aal + ЮАа^ + QAb? = 1,

F Aal + 2DAa2Ab2 + QAb\ = 1, (4)

где приняты следующие обозначения:

2 ’ ““2 2 ' Переписываем систему (4) в виде

F Aal + ôA*i2 = 1- 2DAalAbl, F Aal + ÔA* 2 = l~ 2DAa2Ab2.

(5)

В работах [5-8] были неточно определены параметры 0 и Р. Решим систему (5) относительно 0 и Е

е = е0+ад ^=^о+^д (О

Параметры прямой а=кЬ+а, проходящей через середину отрезка А3Д, и центр эллипса, находим как

где

Aal ~ Аа1 гл -2Аа1Аа2

— “7 2 a l2 I Г77Г? И —

Aal Abi -Aal Abi ’ ' Aa2Aöi + Aa^

-2 Ab, Ab,

r ¿bl-Ab?

* n

\Ъ=-

AalAbl -AalAbi ’ ' Aa1Aô2 + Aa2Aöt '

Площадь эллипса неопределенности с параме трами F, Q, D вычисляем как

л

V =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

PQ-D2 '

(6)

А Ь34 А Ь12 Ь4 Ь34 ^

Тогда, координаты точки А{ рассчитываем как а\ = «12 - А«^; Ъх = Ьп - АЬп, а координаты точки Аг

«2 = «12 + А«^; Ь2 = Ьп + АЬп.

Таким образом, параллелограмм описы-

вает четырехугольник неопределенности параметров а, Ь. Центр тяжести параллелограмма А^А}А4 совпадает с центром содержащего его эллипса.

Для определения эллипса минимальной площади находим максимум функции /5

(7)

С учетом (6), выражение (7) можно представить в виде

/в е, б)=^е0+(^а+^е0 )я+&1 да -1).

Вычисляем производную/¿(Д 0,1)):

/д (^, е, я)=+ ^е0+года -1).

Затем

/В(^0,Я) = 0.

Решив это уравнение относительно параметра I), получаем выражение

2(^й-1) '

В этом случае, при использовании полученных соотношений для параметров Д 0,1), площадь эллипса неопределенности, будет минимальной.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белов В.М., Суханов В.А., Унгер Ф.Г. Теоретические и прикладные аспекты метода центра неопределенности. - Новосибирск: Наука, 1995. - 144 с.

2. Белов В.М., Унгер Ф.Г., Карбаинов Ю.А., Пролубников В.И., Тубалов Н.П. Оценивание параметров эмпирических зависимостей методом центра неопределенности. - Новосибирск: Наука, 2001. - 175 с.

3. Белов В.М., Суханов В.А., Унгер Ф.Г. Аппроксимация эллипсом множества неопределенности параметров зависимостей, сводящихся клинейным. - Томск, 1990. - 28 с. ПрепринтТНЦ СО АН СССР; №45.

4. Белов В.М. Оценивание параметров линейных химико-аналитиче-ских и физико-химических зависимостей методом центра неопределенности: Дис.... канд. физ.-мат. наук. - Томск, 1992. -166 с.

5. Белов В.М., Гончаров С.А., Гончарова H.JI. Рекуррентный алгоритм оценивания параметров линейной двухпараметриче-

ской функции // Физико-химические процессы в неорганических материалах: 8-я Междунар. конф. - Т. 2. - Кемерово, 2001.-С. 134-135.

6. Гончаров С.А. Обобщенный метод центра неопределенности для оценивания параметров линейных экспериментальных физических зависимостей. Дис. ... канд. тех. наук. - Барнаул, 2003.- 160 с.

7. Гончаров С.А., Белов В.М., Гончарова H.JI. Оценка области неопределенности параметров линейных функций эллипсом неопределенности // Валихановские чтения - 7: Междунар. науч.-практ. конф. - Т. 7. - Кокшетау, 2002. - С. 3-5.

8. Гончаров С.А., Дудник Е.А, Шарапов С.В. Оценка параметров линейной функции эллипсом неопределенности // IV Науч,-техн. конф. студентов и аспирантов. - Рубцовск, 2002. - С. 5-9.

Поступила 14.11.2006 г.

УДК 621.0

УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ВРАЩЕНИЯ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА С ЖИДКОСТНЫМ АВТОБАЛАНСИРУЮЩИМ УСТРОЙСТВОМ НА ГИБКОМ ВАЛУ

В.А. Дубовик, Е.Н. Пашков

Томский политехнический университет E-mail: epashkov@rambler.ru

Получено условие устойчивости вращения ротора с жидкостным автобалансирующим устройством, состоящим из камеры, поплавка и несжимаемой однородной жидкости, заполняющей пространство между ними. На ротор действуют восстанавливающая сила, силы внутреннего и внешнего трения. Последние линейно зависят соответственно от скорости деформации и абсолютной скорости точки крепления ротора к валу.

Для устранения дисбаланса вращающихся тел применяют различные жидкостные балансировочные устройства (АБУ) [1]. В процессе эксплуатации таких систем необходимо знать критические угловые скорости, при которых нарушается устойчивость стационарных вращений. В ряде работ, например в [2, 3], получены приближённые условия устойчивости установившегося вращения уравновешенного цилиндра, частично заполненного жидкостью, которые трудно применить к системам с АБУ. Непосредственное исследование устойчивости вращения роторов с жидкостными АБУ в литературе не описано.

В предлагаемой работе, по аналогии с [4] для неуравновешенных дисков на гибком валу, изучается устойчивость вращения ротора с жидкостным АБУ без свободной поверхности при действии сил внешнего и внутреннего трения. Природа этих сил подробно изложена в [4]. Так, силы внешнего трения вызываются вязким сопротивлением внешней среды, опор, специальных демпферов и зависят от скоростей абсолютных перемещений точек ротора и вала; силы внутреннего трения порождаются сопротивлением частиц материала и в первом приближении принимаются пропорциональными скорости деформации вала. Представляет интерес исследовать влия-

ние соотношения рассмотренных сил на устойчивость вращения ротора с АБУ. Решение такой задачи для неуравновешенного диска без АБУ приведено в [4]. Пусть ротор с АБУ закреплён симметрично относительно опор вертикального гибкого вала, проходящего через его геометрический центр (рисунок).

АБУ состоит из балансировочной камеры - 1 высотой /г, поплавка - 2 и однородной несжимаемой жидкости - 3, заполняющей пространство между их стенками. Центр масс ротора (точка Р) смещён от Ох на расстояние ОхР=е. Точка 02 проекция оси опор вала на плоскость движения. При вращении системы вал прогибается в месте крепления ротора на величину 020ь поплавок, для которого геометрическая и материальная оси симметрии совпадают, так же как в поплавковых гироскопах [5] центрируется на оси вращения 02 за счёт сил давления, а жидкость перетекает в сторону прогиба. Предполагаем, что при возмущённом движении ротора отрыв жидкости от стенок не происходит и центрирование поплавка сохраняется. В этом случае центр масс слоя жидкости расположен на линии центров 0201 в точке О. Сформулированные предположения позволяют исключить из рассмотрения гидродинамическую задачу.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.