Моделирование динамики однодискового ротора с шаровым автобалансиром на переходных и установившихся режимах вращения Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Вестник ПНИПУ. Аэрокосмическая техника. 2019. № 57

DOI: 10.15593/2224-9982/2019.57.12 УДК 621.755

Н.Н. Зайцев, Д.Н. Зайцев, Д.А. Минеев

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ОДНОДИСКОВОГО РОТОРА С ШАРОВЫМ АВТОБАЛАНСИРОМ НА ПЕРЕХОДНЫХ И УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ ВРАЩЕНИЯ

Способность шаровых автобалансиров осуществлять автобалансировку роторов на их закритических частотах вращения и отсутствие такой способности на докритических частотах обусловливает необходимость изучения динамики роторов с автобалансиром на переходных режимах вращения. Для численного исследования особенностей таких режимов в данной статье выводится математическая модель динамики однодискового симметричного межопорного ротора с шаровым автобалансирующим устройством, учитывающая нестационарность частоты вращения ротора, воздействие сил тяжести и трение качения шаров в обойме. Для случая автобалансира с двумя шарами предлагается вычислительная модель в виде системы дифференциальных уравнений в форме Коши, и приводятся результаты численного моделирования различных режимов вращения с использованием этой модели. При этом на режиме установившегося вращения моделируется динамика при ступенчатом изменении эксцентриситета центра масс диска. Результаты моделирования изотропного ротора представлены графиками изменений прогиба ротора и координат его мгновенного центра масс, а также перемещений шаров по обойме. Для анизотропного ротора показаны соответствующие его динамике два максимума амплитуды прогиба, орбиты прямой и обратной прецессий. Приведенные графики расчетов с учетом и без учета влияния силы тяжести демонстрируют, что прецессионное движение рассматриваемого ротора происходит относительно его оси, смещенной под действием силы веса. Влияние шарового автобалансира на динамику ротора при переходных и установившихся режимах иллюстрируется графиками изменений координат его мгновенного центра масс, а соответствующая этим режимам динамика шаров в обойме показана на графиках их перемещений.

Ключевые слова: однодисковый ротор, шаровое автобалансирующее устройство, переходные и установившиеся режимы, мгновенный центр масс, амплитуда прогиба, орбита прецессии.

N.N. Zaytsev, D.N. Zaytsev, D.A. Mineev

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation

SIMULATION OF SINGLE-DISC ROTOR DYNAMICS WITH A BALL AUTOBALANCER ON TRANSIENT AND STEADY-STATE MODES OF ROTATION

The ability of ball autobalancers to perform auto-balancing of rotors at their supercritical rotation frequencies and the absence of such ability at subcritical frequencies, necessitates the study of the dynamics of rotors with autobalancer at transient rotation modes. For the numerical study of the peculiarities of such modes in this article the mathematical model of dynamics of the single-disc symmetric inter-supported rotor with the ball auto-balancing device, taking into account the non-stationarity of the rotor speed, the impact of gravity and rolling friction of the balls in the cage, is derived. For the case of two-ball autobalancer, a computational model in the form of a system of differential equations in the form of Cauchy is proposed, and the results of numerical simulation of different rotation modes using this model are presented. Herewith, at the steady-state rotation mode it is modeled the dynamics with an abrupt change in the eccentricity of the center of mass of the disk. The results of isotropic rotor simulation are represented by graphs of changes in the deflection of the rotor and the coordinates of its instantaneous center of mass, the displacements of balls along the cage. For the anisotropic rotor, two maxima of the deflection amplitude and the orbit of the forward and backward precessions typical to its dynamics are shown. The given graphs of calculations taking into account and without taking into account the impact of gravity demonstrate that precessional motion of the rotor under consideration occurs relative to its axis shifted under the influence of weight force. The influence of the ball autobalancer on the rotor dynamics in transient and steady-state modes is illustrated by graphs of changes in the coordinates of its instantaneous center of mass, and the dynamics of balls in the cage corresponding to these modes is shown on the graphs of their movements.

Keywords: single-disk rotor, ball auto-balancing device, transient and steady-state modes, instantaneous center of mass, amplitude of deflection, orbit of precession.

Введение

С целью устранения «на ходу» эксплуатационных изменений дисбаланса быстровра-щающихся роторов представляет интерес применение шаровых автобалансирующих устройств (АБУ), отличающихся относительной простотой принципа работы и конструкции [1]. Шаровое АБУ представляет собой дисковую обойму с периферийным кольцевым каналом, в котором находятся свободно перемещающиеся шары. На установившихся режимах сверхкритических частот вращения ротора шары автоматически располагаются во вращающейся обойме таким образом, что присутствующий дисбаланс компенсируется. Однако на докритических установившихся частотах вращения такой автобалансировки не происходит.

По теоретическим и экспериментальным исследованиям шаровых АБУ имеются многочисленные публикации, например работы [2-7], в которых рассматриваются условия существования режимов автобалансировки роторов с различной неуравновешенностью. В большинстве теоретических работ на основе получаемых методом Лагранжа математических моделей аналитически исследуются режимы автобалансировки на установившихся частотах вращения с построением их областей устойчивости в пространстве конструктивных параметров на примере роторов с двухшаровыми АБУ. При этом в теоретических исследованиях, как правило, не учитывается влияние сил тяжести и невязкого трения.

Численное моделирование нестационарных режимов вращения однодисковых роторов с АБУ рассматривается в работах [8-11]. Причем в работе [8] дополнительно учитывается сила тяжести, а в источнике [9] - только сила трения качения шаров в обойме АБУ. В работе [10] приводятся результаты параметрического анализа динамики однодискового ротора с двухша-ровым АБУ, полученные численным решением безразмерных уравнений движения без учета сил тяжести и невязкого трения шаров, а в источнике [11] моделируются переходы частоты вращения ротора с «неидеальной» обоймой двухшарового АБУ через критическую частоту.

Если механизм возникновения эффекта автобалансировки шаровыми АБУ на сверхкритических частотах вращения ротора и его отсутствие на докритических частотах изучены и описаны, в частности в источниках [1, 12], то, судя по доступным публикациям, остается мало исследованным влияние динамического поведения шаров в обойме на динамику ротора при его переходных и различных стационарных режимах вращения, в том числе с учетом сил тяжести и невязкого трения шаров.

В данной работе рассматривается построение математической модели динамики одно-дискового ротора с шаровым АБУ, учитывающей нестационарность частоты вращения ротора при наличии сил тяжести и трения качения шаров в обойме. Для случая АБУ с двумя шарами предлагается вычислительная модель в виде системы дифференциальных уравнений в форме Коши, и приводятся результаты численного моделирования с использованием этой модели.

Математическая модель

Для построения математической модели используется методологический подход из работы [12] со следующими допущениями: статически неуравновешенный диск с обоймой шарового АБУ располагается на горизонтальном упругом невесомом валу посредине пролета между одинаковыми упругодемпферными опорами, масса отдельного шара мала по отношению к массе диска с обоймой, шары катятся без проскальзывания по внешней стороне кольцевой дорожки обоймы, шары при движении не сталкиваются, на них действуют силы вязкого сопротивления среды, трения качения и тяжести.

Расчетная схема в плоскости прецессии диска с АБУ представлена на рис. 1, на котором показаны следующие системы координат (СК):

1. Неподвижная СК Оху с началом О на оси расточки опорных подшипников. Оси Ох и Оу в плоскости, перпендикулярной оси подшипников. Ось Ог направлена по оси подшипников, образуя правую систему координат.

О

Направление мгновенного дисбаланса системы Мзаз

Направление

смещения вала г —>

Рис. 1. Расчетная схема динамики системы ротор-шаровое АБУ в плоскости прецессии диска

2. Подвижная СК О1х0у0 с началом О1 в центре диска обоймы, расположенном на геометрической оси вала и смещенном относительно оси подшипников на величину г в результате прогиба вала и/или смещения вала в опорах. Плоскость О1х0 у0 совпадает с плоскостью неподвижной СК Оху. В плоскости прецессионного движения направления осей О1х0 и О1 у0 всегда параллельны осям Ох и Оу соответственно.

3. Вращающаяся СК (ВСК) О1х'у' с началом О1 в центре диска. Ось О1х' направлена по вектору дисбаланса (эксцентриситета центра масс) диска с обоймой без шаров. Оси О1х' и О1 у' вращаются вокруг начала координат с направлением и частотой вращения ю диска. Таким образом, диск в СК О1х'у' неподвижен.

На рис. 1 введены следующие обозначения: О - начало неподвижной СК; О1 - центр диска и обоймы АБУ (точка крепления к оси вала); С - центр масс диска с обоймой без шаров; С - мгновенный центр масс системы диск-шары; Б{ - центр масс шара; ^ - радиус орбиты центра масс Б; О1Сз = аз - мгновенный эксцентриситет центра масс системы диск-шары; О1С = а - эксцентриситет центра масс диска с обоймой без шаров; ОО1 = г - смещение вала; ю - частота собственного вращения ротора; у - фазовый угол вращения диска; ^ - координата направления вектора смещения г в СК О1х'у'; а и ф; - угловые координаты положения шара в соответствующих СК; 9 - угловая координата вектора смещения г в неподвижной СК Оху; х1, у1 - координаты центра О1 диска в СК Оху; Р, Рп - действующая на шар инерционная сила и ее тангенциальная и нормальная проекции.

Уравнения динамики рассматриваемого однодискового ротора с шаровым АБУ находятся из уравнений Лагранжа в предположении, что в обойме АБУ имеется п разных по массе шаров, движущихся по своим кольцевым дорожкам, выполненным концентрично с центром диска.

Уравнения Лагранжа для рассматриваемого случая представлены в общем виде:

й Г дТ 1 -дИ.+ди+дК=Q

йг \ ) 4

где q¡ и q - обобщенная координата и ее производная по времени; T и U - соответственно кинетическая и потенциальная энергия; W - диссипативная функция Релея, учитывающая влияние сил вязкого сопротивления; Qqi - обобщенная сила.

Обобщенными координатами принимаются координаты x1 и yi точки O\ в неподвижной СК Oxy и угловые координаты ф; i = 1,2,...,n шаров, отсчитываемые от оси O1 x0. При этом (см. рис. 1)

ф1 (t) = а (t) + Y (t), (2)

где ai(t) - угловая координата шара во вращающейся СК O1 x y',

t

Y(t) = j ra(T)dT + Y о

0

- фазовый угол вращающейся с диском оси O1x' с учетом начального сдвига фазы Y 0 = Y(0). В неустановившихся и установившихся режимах вращения ротора соответственно ю = ro(t) и ю = const.

Кинетическая энергия вращающегося диска с АБУ

T = 0,5М ( - aY sin y)2 + 0,5M (y + aY cos y)2 + 0,5 JC Y2 +

n 2 n 2

+ Z0,5mi ( - Rфisinфi) + Z0,5mi ( + Ri(Picosфi) +

i=1 i=1

+ Z0,5 J-[Ri (<Pi-Y)-^Y]2,

i=1 ri

где JC, M, a - соответственно полярный момент инерции, масса и эксцентриситет центра масс диска с обоймой; mi, Ji, ri - соответственно масса, момент инерции и радиус i-го шара, R¡ - радиус орбиты движения центра масс i-го шара.

Потенциальная энергия упругих и гравитационных сил

n

U = 0,5CxX2 + 0,5Cy У12 + Msgy1 + Mga sin y + Z m gR sin Ф,-,

i=1

где cx, cy - эквивалентные коэффициенты упругости ротора в направлении осей СК Oxy, определяемые через соответствующие коэффициенты жесткости вала и опор [12]; Ms - масса

n

диска с обоймой и шарами, M s = M + Z m¿.

i=1

Диссипативная функция системы, учитывающая влияние на динамику ротора внешнего вязкого сопротивления, зависящего от скорости абсолютных перемещений центра диска в СК Oxy, и влияние на движение шаров вязкого сопротивления, зависящего от тангенциальной скорости V¡т = R¡ (ф¡ - Y) центра масс шара, имеет вид

W = 0,5bxx2 + 0,5byy2 + Z0,5b;R2( -Y),

i=1

где bx, by - коэффициенты внешнего демпфирования ротора в направлении осей СК Oxy; bi - коэффициент вязкого сопротивления для i-го шара.

В уравнениях Лагранжа (1) инерционные, потенциальные и диссипативные силы учтены непосредственно, поэтому обобщенные силы Qqi определяются как коэффициенты в выражениях для элементарных работ 8Лд1 по виртуальным отклонениям 8qг■ обобщенных координат,

совершаемых активными силами и/или реакциями в направлении этих перемещений. Эти силы, так же как тангенциальная и потенциальная энергии, рассматриваются в абсолютной СК Оху.

Для возможных перемещений 8х1, 8у1 таких внешних сил и реакций нет, поэтому = Qy^ = 0.

Для перемещения 8фг г-го шара по координате фг работу 8Лф будет совершать сила трения качения шара по внешней стороне дорожки обоймы. Сила трения обусловлена нормальной силой ¥п (см. рис. 1), равной

Fni = -miani = mi (Ri(2 - X COS Ф- - У sin Ф- ) ,

где йт - абсолютное нормальное ускорение, соответственно в скобках первое слагаемое - это величина центростремительного ускорения движения шара в СК О1 х0у0, остальные - величина ускорения переносного движения СК О1 х0 у'0.

Сила трения качения, приложенная к центру масс шара, будет иметь вид

Ртр1 = —mi (Riф2 - xiCOSФ,- - yisinФ,- )sgn((p- Y),

где - коэффициент трения качения; 8§и(...) - функция знака.

Элементарная работа по перемещению 8фг определяется как 8Лфг = -Мфг 8ф г, где Мфг -момент силы трения относительно центра О1, М фг = , а отрицательный знак свидетельствует, что совершаемая работа направлена в сторону, противоположную положительному направлению 8ф г.

Таким образом, обобщенная сила Qфг■ имеет вид

qa = -m ф,- = -ri —m (ri фf - xcos ф,- - уsin ф,- )n (ф i- y).

Математическая модель динамики однодискового ротора с АБУ, содержащим n шаров, получается подстановкой T, U, W, Qqi в уравнения Лагранжа (1) и представляет собой систему

нелинейных дифференциальных уравнений, имеющую порядок 2n + 4:

n

MS Xi + bxcci + cXx1 = Ma ((Y sin y + Y2 cos y) + Z miRi (ф, sin Ф, + Ф2 cos ф,);

i =i

n

Ms У + ЬуУ i + Cyyi = - Ma (( cos y-Y2 sin y)- Z miRi (i cos Ф,- -ф2 sin ф,-)- Msg;

i =i

Riф,- + biRi (ф ,-- Y) = m (xisin ф ,-- Уcos ф ,-)- miScos ф ,- +

f Jt л

mi + ~¡*

V i

+ Ji Ri~+! r Y - m¡ (Ri (pf - Xi cos ф i - yi sin ф. )sgn (ф. -Y), i = i, n. (3)

Система (3) содержит два уравнения прецессионного движения геометрического центра диска с АБУ и п уравнений движения шаров. Распределением в этих уравнениях шаров по нескольким концентрическим беговым дорожкам соответственно получается математическая модель однодискового ротора с многорядным шаровым АБУ.

При движущихся относительно обоймы шарах координаты мгновенного центра масс С системы диск-шары в СК О1ху определяются формулами

x's = Ms

-i

Ma + £ mR cos a. ; yS = MSI Ё mA sin

i=i

a,.

. i=i

(4)

Система уравнений динамики ротора с двухшаровым АБУ в форме Коши

Для записи системы уравнений (3) динамики ротора с двухшаровым (n = 2) АБУ в форме Коши вводятся переменные состояния системы (с учетом уравнения (2)):

zi = xi; z2 = X1 ; z3 = Ji ; z4 = yi ; Z5 = ai ; Z6 = ai ; Z7 = a2 ; Z8 = a2 *

Система уравнений в форме Коши, полученная методом исключений, имеет вид

zi = Fi = Z2;

z2 = F2 = -M-ibXz2 - M-1cXzi + M-May sin y + M-May2 cos у + + M--imiRi ( + y) sin (Z5 +y) + M-Ц R (z6 + Y )cos (Z5 +y) + + M-1m2 R2 (Fg + y) sin (z7 + y) + M-1m2 R2 (z8 + y )2cos (z7 +y);

Z3 = F3 = z4 ;

z4 = F4 = -M-lbyzA -M-1cyz3 - M-Maycosy + M-May2 siny-

- Ms-4Ri (F6 + y)cos(z5 +y) + M-XR ( + Y)2 sin(z5 + y) -

- Ms-im2 R2 (Fg + y) cos (7 + y) + M-m R2 (z8 + Y )2 sin ( + y) - g; (5)

z5 = F5 = z6;

z6 = F6 = D^ + D- fi (a2 )G-% + Si;

z7 = F7 = zg ;

где

z8 = Fg = G2 T2,

Ms = M + Ё mi; /i =

I / ^ mi +4"

i =i

Ri; / 2 =

'i

m2 +

Г2 )

R2;

K = — -miRi; K2 = — -m2R2; n = /i imi—; n2 = /2im2—

A = n cos(z5 + y)sgnz6 + /i imi sin(z5 +y); A2 =n2cos (z7 + y)sgn zg + /2im2sin (z7 +y); в' =n sin(z5 + y)sgnz6 - /i-imi cos(z5 +y); B2 = n2 sin(z7 + y)sgn zg - /2'm2 cos(z7 + y); D' = i - ДЖ/mR' sin (z5 +y) + BiM-xmiRi cos (z5 +y);

2

2

D2 = i - A2M-1m2R2sin(z7 +y) + B2M-1m2R2cos(z7 +y);

P = M-lmlR{Y sin (z5 + y) + M-1miRi (z6 +y )2cos (z5 +y);

P2 = M-m R2YY sin (z7 + y) + M-1m2 R2 (zg +y )2cos (z7 +y);

Qi = -M S^RiY cos (z5 +y) + M-'miRi ( +Y )2sin (z5 +y);

Q2 = -M-1m2 R2y cos (z7 +y) + M-lm2 R2 (zg +y )2sin (z7 +y);

Hi = -/fb^ - \M— ( + Cxzi) + \M-xMaS¡ sin y + + \M-}May2 cos y + AiPi - BiM_-i (byz4 + cyz3) + + BiM-.1May2 sin y - BxM-}May cos y - B' g + BQ -

- /i-imi g cos (z5 + y) + /Г'К'У - niRi (z6 + Y )2 sgn z6;

H2 = -/2-ib2R2zg - A2M- ( + Cxzi) + A2M-lMaS¡ sin y + + A2 M--iMay2 cos y + A2 P2 - B2M--i (byz4 + Cyz3) + + B2M-1May2 sin y - B2M-1May cos y - B2 g + B2Q2 -

- /2'm2g cos ( z7 + У ) + /2 'K2У - П2R2 ( zg + y ) sgn zg;

/i (a2 ) = AM-1m2 R2sin (z7 +y)- BXM -:1m2 R2cos (z7 +y);

/2 (ai) = A2M-1miRi sin(z5 + y) - B2M-ЦRi cos(z5 + y);

51 = D- Af2 + Di"iBiQ2;

52 = D2-i A2 Pi + D~21B2Qi;

G2 = i - D-'/2 (ai )Di-i/i (a2);

T2 = D2-i H2 + D2-i /2 (ai )DriHi + D-' /2 (ai )- + S2.

Верификация вычислительной модели

Для численного интегрирования системы (5) методом Рунге - Кутты 4-го порядка (МРК) была написана программа на языке VBA в среде Excel. Программа позволяет на каждом шаге МРК осуществлять вычисления правых частей системы (5) в требуемой последовательности с пересчетом внутри шага y(t) в соответствии с выбранным законом вращения ю(г).

Для верификации вычислительной программы были проведены расчеты по данным для ротора с двухшаровым АБУ из работы [9]: масса диска M = 0,i кг с эксцентриситетом центра масс a = i00 мкм, коэффициенты жесткости cx = cy = i000 Н/м, коэффициенты внешнего демпфирования bx = by = 0,2 Нс/м, радиус круговой орбиты центра масс шаров R = 0,0i м, масса шаров m' = m2 = 0,00i кг, коэффициент вязкого сопротивления шаров b = b2 = i Н-с/м, коэффициенты трения качения ц = ц2 = 0,000 00i м, радиусы шаров Г' = r2 = 0,003 i3 м, моменты инерции J' = J2 = 3,9i-i0-9 кг-м2, критическая частота вращения i00 рад/с. Задавались нулевые начальные условия.

При расчетах правых частей уравнений на каждом шаге МРК значения частоты ю и фазы y вращения ротора рассчитывались по формулам

rn(t) = ю(.) + (О(t -1;); Y(t) = y() + ю( )(t -1;) + 0,5cb(t -1; )2,

(6)

где ti - текущее время на начало i-го шага интегрирования; t - текущее время, для которого вычисляются правые части. Принималось ( = 40 рад/с2 и ю(0) = y(0) = 0. Результат данного расчета (графики на рис. 2 для случая g = 0) идентичен расчету работы [9], показанному в ней на Fig. 4.

а б

Рис. 2. Режим разгона с учетом (^ = 9,81) и без учета (£ = 0) сил тяжести

а б

Рис. 3. Орбиты при разгоне без учета (а) и с учетом (б) сил тяжести

На рис. 2 приведен также результат данного расчета при наличии сил тяжести (случай g = 9,81), не учитываемых в работе [9]. В этом случае график относительного прогиба г/а на рис. 2, а показывает, что колебания ротора происходят относительно его оси, смещенной под воздействием силы веса. Об этом же свидетельствуют орбиты прецессий на рис. 3, соответствующие расчетам с учетом и без учета сил тяжести.

Данное обстоятельство согласуется с теорией динамики роторов [13]. Влияние сил тяжести на перемещение шаров во ВСК можно видеть на рис. 2, б.

На рис. 2, а также видно, что максимум амплитуды колебаний ротора при разгоне имеет место не в момент совпадения его частоты вращения с критической частотой, а позже. Причем

амплитуда колебаний после первого максимума не убывает монотонно, а имеет несколько максимумов меньшей величины. Это характерно для быстрого разгона [14, с. 131; 11].

Проведенные расчеты позволяют считать, что разработанная вычислительная модель динамики однодискового ротора с двухшаровым АБУ приемлема для проведения исследований численным моделированием.

Численное моделирование

Численное моделирование проводилось для ротора с двухшаровым АБУ со следующими параметрами: масса диска без шаров М = 8,91 кг при начальном эксцентриситете а = 50 мкм, коэффициенты жесткости ротора сх = су = 2 923 676,7 Н/м, коэффициенты внешнего демпфирования Ьх = Ьу = 57,28 Нс/м, радиус круговой орбиты центров масс шаров = Я2 = 0,081 м, массы шаров т1 = т2 = 0,0036 кг, коэффициенты вязкого сопротивления шаров Ь1 = Ь2 = = 0,004 Н-с/м, коэффициенты трения качения шаров ц1 = ц2 = 0,000 05 м, радиусы шаров г1 = = г2 = 0,004 762 5 м, моменты инерции шаров ^ = /2 = 3,266-10-8 кгм2, критическая частота вращения 572,83 рад/с (91,169 Гц).

Моделировались участки разгона [0, г1 ], установившегося вращения ( г2) при юуст и

принудительного торможения [2, tк ]. Разгон и торможение осуществлялись с постоянными

ускорениями: Юр = ЮуСт / г1 и Ют = -Юуст / (к - Ч ).

Фазовый угол вращения ротора вычислялся на каждом шаге МРК подобно уравнению (6):

У (г) =

У(г/) + ю(гг )(г - гг) + 0,5Юр (г - гг Л 0 ^ ^ ^

у(гг) + ю(г; )( - ), ¿1 < I, < Хг; У(гг) + ю(г; )(г - ) + 0,5Ют (г - )2, ¿2 ^ гг ^ гк.

Численное интегрирование системы (5) выполнялось с шагом 0,0005 с (частота дискретизации 2000 Гц) при выводе на печать с шагом 0,002 с (частота дискретизации 500 Гц) при юуст = 754 рад/с (120 Гц). Границы продолжительности режимов вращения: г1 = 12 с, г2 = 44 с, гк = 56 с. В момент г = 28 с увеличивался эксцентриситет а в 1,3 раза. Начальные условия: Х1(0) = у 1(0) = 0, а1(0) = -93,36°, а2(0) = -86,64°.

На рис. 4-8 представлены результаты расчетов без учета и с учетом сил тяжести при АБУ

с двумя шарами (абу2) и без шаров (абу0). На рис. 4 показаны изменения прогиба г = ^Х^ + у12 на рассматриваемых режимах вращения, на рис. 5 - только на установившемся режиме. На ри-

а б

Рис. 4. Прогиб без учета (а) и с учетом (б) сил тяжести: с двумя шарами в АБУ (абу2)

и без шаров (абу0)

сунках видно, что шары обеспечивают автобалансировку при сверхкритическом установившемся вращении, сохраняя ее вплоть до прохождения критической частоты при торможении (см. рис. 6).

0,6

0,5

0,4

2 0,3

0,2

0,1

0,0

Прогиб (£ = 0) — абу2 абуО (В

—

125 100 и 75 Ч 3 50 25 0

к

>

к

12,00 17,00 22,00 27,00 32,00 37,00 42,00

а б

Рис. 5. Прогиб при равномерном вращении без учета (а) и с учетом (б) сил тяжести: с двумя шарами в АБУ (абу2) и без шаров (абу0)

Рис. 6 иллюстрирует изменения во вращающейся СК координат мгновенного центра масс, определяемых по формулам (4), а также ступенчатое изменение эксцентриситета а центра масс диска без шаров. На рис. 6 можно видеть, что на установившемся режиме эксцентриситет

центра масс ротора с шарами аз = ^(х'8 )2 + (у' )2 соответствует условию автобалансировки, когда аз ^ 0.

а б

Рис. 6. Координаты мгновенного центра масс без учета (а) и с учетом (б) сил тяжести

Движение шаров в АБУ показано во вращающейся СК в виде углового перемещения по обойме (см. рис. 7) и изменений их угловых координат (см. рис. 8). По рисункам можно видеть, как движение шаров синхронизируется с вращением обоймы. В частности, на рис. 8, а видно, что при отсутствии сил тяжести после изменения эксцентриситета а шары меняются местами относительно своего установившегося расположения.

4,0

3,0 2,0 1,0 0,0 -1,0 -2,0 -3,0 -4,0

Рис. 7. Угловое перемещение шаров без учета (а) и с учетом (б) сил тяжести

Угловое перемещение шаров = 0)

/

/ \

\

/ \

\

/ \ ч Jv

-ч \

— шар 1

шар 2

Т40-

120 100

80 ^

з"

60 40 20 0

24 32 г, с

4,0 ■ 3,0 2,0 ■ 1,0 0,0 -1,0 -2,0 -3,0 -4,0

Угловое перемещение шаров (g - 9,81)

0

16

24 32 г, с

40

48

1

/ / Л

L / \

\

/

/ \

ч Л

N

— шар 1

— шар 2

+40120 100 80 и 60 40 20 0

56

а б

Рис. 8. Приведенное (к ± п) угловое перемещение шаров без учета (а) и с учетом (б) сил тяжести

На рис. 9 приведены прогиб и орбиты прецессии для рассматриваемого ротора с анизотропной жесткостью cy = 2cx и коэффициентом трения качения шаров Ц1 = ц2 = 0,000 15 м. Орбиты на рис. 9, б соответствуют одному обороту ротора, а их координаты отнесены к максимальному значению вблизи рассматриваемого момента времени. Ожидаемо [15], что у ротора имеются две критические частоты вращения (см. рис. 9, а), на частоте вращения между которыми наблюдается обратная прецессия (см. рис. 9, б).

4,0

3,0

i 2,0

1,0

0,0

Прогиб (g = 9,81) — абу2 — со » orb5 Start • orb9start » orbHstart

160 120 80 з' 40 -0

4 \

/ \

L * L S

Орбиты центра вала

-Ь5-

0,00 8,00 16,00 24,00 32,00 40,00 48,00 56,00

с/с, = 2 t, с

а

огЫ4- 150,1 Гц

ojc=1

б

Рис. 9. Модуль прогиба (а) и орбиты (б) при анизотропном роторе. Точками обозначены начала траекторий в рассматриваемый момент времени

б

а

Заключение

По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Полученная при указанных допущениях нелинейная математическая модель динамики однодискового симметричного ротора с многорядным шаровым АБУ, учитывающая нестационарность скорости вращения, воздействие сил тяжести и трение качения шаров, пригодна для построения вычислительных моделей задач численного моделирования установившихся и переходных режимов вращения.

2. Математическая модель динамики, полученная для однодискового ротора с двухшаро-вым АБУ и приведенная к форме Коши, может быть использована для численного параметрического исследования динамики, в том числе с учетом анизотропности ротора.

3. Полученные результаты численного моделирования соответствуют основным теоретическим положениям динамики симметричного однодискового ротора. При этом численное решение разработанной математической модели методом Рунге - Кутты 4-го порядка показало, что его применение требует особого внимания к выбору шага интегрирования и организации расчета правых частей уравнений.

Библиографический список

1. Гусаров А. А. Автобалансирующие устройства прямого действия. - М.: Наука, 2002. - 119 с.

2. Горбенко А.Н. Влияние силы тяжести на колебания ротора с шариковым автобалансирующим устройством // Вестник Технологического университета Подолья. - 2000. - № 1. - С. 110-114.

3. Bolton J.N. Single- and dual-plane automatic balancing of an elastically mounted cylindrical rotor with considerations of coulomb friction and gravity: dissertation for the degree of Doctor of Philosophy in Engineering Mechanics. - 2010. - URL: https://vtechworks.lib.vt.edu/bitstream/handle/10919/29946/Bolton_JN_D_ 2010.pdf? sequence=1 (accessed 04 May 2019).

4. Гончаров В.В., Филимонихин Г.Б. Вид и структура дифференциальных уравнений движения и процесса уравновешивания роторной машины с автобалансирами // Известия Томского политехнического университета. - 2015. - Т. 326, № 12. - С. 20-30.

5. Экспериментальное исследование процесса статической и динамической балансировки шаровыми автобалансирами крыльчатки осевого вентилятора / Л. С. Олийниченко, В.В. Гончаров, В.Н. Сидей, О.В. Горпинченко // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2017. - Вып. 2, № 1. -С. 42-50.

6. Зайцев Н.Н., Зайцев Д.Н., Минеев Д.А. Моделирование динамики горизонтального ротора с двумя двухшаровыми автобалансирами // Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации -2018: материалы XIX Всерос. науч.-техн. конф., г. Пермь, 15-17 нояб. 2018 г. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2018. - C. 113-118.

7. Experimental investigation of ABB effect on unbalanced rotor vibration / M. Makram1, S.S. Kossa1, M.K. Khalil, A.F. Nemnem, G. Samer // J. of Coupled Systems and Multiscale Dynamics. - 2017. - Vol. 5. -P. 225-231. DOI: 10.1166/jcsmd.2017.1135

8. Chung J., Shuichi Yoshida, Teruyuki Naka. Effect of gravity and angular velocity on an automatic ball balancer // SICE J. of Control, Measurement and System Integration. - May 2014. - Vol. 7, no. 3. -P. 141-146.

9. Yoshida Shuichi, Teruyuki Naka. Reduction method of residual balancing error on auto-balancer mechanism // SICE J. of Control, Measurement and System Integration. - May 2014. - Vol. 7, no. 3. - P. 141-146.

10. Быков В. Г. Нестационарные режимы движения статически неуравновешенного ротора с автобалансировочным механизмом // Вестник СПбГУ. Сер. 1. - 2010. - Вып. 3. - С. 89-96.

11. Быков В.Г., Ковачев А. С. Прохождение через резонанс статически неуравновешенного ротора с «неидеальным» автобалансировочным устройством // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. - 2017. - Т. 4 (62). - С. 671-680.

12. Зайцев Н.Н., Зайцев Д.Н., Макаров А.А. Инженерный анализ установившихся режимов одно-дискового ротора с многорядным шаровым автобалансирующим устройством // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. - 2017. -№ 48. - C. 43-59.

13. Скубачевский Г.С. Авиационные газотурбинные двигатели. - М.: Машиностроение, 1969. -

543 с.

14. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела: Сопротивление материалов с элементами теории сплошных сред и строительной механики. - М.: Наука, 1981. - Т. III. - 480 с.

15. Подольский М.Е., Черенкова С.В. Физическая природа и условия возбуждения прямой и обратной прецессий ротора // Теория механизмов и машин. - 2014. - Т. 12, № 1. - С. 27-40.

References

1. Gusarov A. A. Avtobalansiruyushchie ustroystva pryamogo deystviya [Autobalancing device of direct action]. Moscow: Nauka, 2002, 119 p.

2. Gorbenko A.N. Vliyanie sily tyazhesti na kolebaniya rotora s sharikovym avtobalansiruyushchim ustroystvom [Influence of gravity on vibrations of a rotor with ball autobalancing device]. Vestnik Tekhnologicheskogo universiteta Podolya, 2000, № 1, pp. 110-114.

3. Bolton J.N. Single- and dual-plane automatic balancing of an elastically mounted cylindrical rotor with considerations of coulomb friction and gravity. Dissertation for the degree of Doctor of Philosophy In Engineering Mechanics, 2010. URL: https://vtechworks.lib.vt.edu/bitstream/handle/10919/29946/Bolton_JN_ D_2010.pdf?sequence=1 (Treatment date: 04/05/2019).

4. Goncharov V.V., Filimonikhin G. B. Vid i struktura differentsialnykh uravneniy dvizheniya i prot-sessa uravnoveshivaniya rotornoy mashiny s avtobalansirami [Form and structure of differential equations of motion and process of auto-balancing in the rotor machine with auto-balancers]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2015, vol. 326, no. 12, pp. 20-30.

5. Oliynichenko L.S., Goncharov V.V., Sidey V.N., Gorpinchenko O.V. Eksperimentalnoe issledovanie protsessa staticheskoy i dinamicheskoy balansirovki sharovymi avtobalansirami krylchatki osevogo ventilyatora [Experimental study of the process of static and dynamic balancing of the axial fan impeller by ball autobal-ancers]. Eastern-European Journal Of Enterprise Technologies, 2017, vol. 2, no. 1, pp. 42-50.

6. Zaytsev N.N., Zaytsev D.N., Mineev D.A. Modelirovanie dinamiki gorizontalnogo rotora s dvumya dvukhsharovymi avtobalansirami [Simulation of horizontal rotor dynamics with two double-ball autobalances]. Aerokosmicheskaya tekhnika, vysokie tekhnologii i innovatsii - 2018: Materials of the XIX All-Russian Scientific and Technical Conference (Perm, 15-17 November, 2018), Perm: Perm National Research Polytechnic University, 2018, pp. 113-118.

7. Makram M. Experimental investigation of ABB effect on unbalanced rotor vibration / M. Makram1, S.S. Kossa1, M.K. Khalil, A.F. Nemnem, G. Samer // Journal of Coupled Systems and Multiscale Dynamics, 2017, Vol. 5, pp. -231. DOI: 10.1166/jcsmd.2017.1135

8. Chung J. Effect of gravity and angular velocity on an automatic ball balancer / Shuichi Yoshida, Teruyuki Naka. SICE Journal of Control, Measurement, and System Integration, May 2014, Vol. 7, No. 3, pp. 141-146.

9. Shuichi Yoshida, Teruyuki Naka. Reduction Method of Residual Balancing Error on Auto-Balancer Mechanism. SICE Journal of Control, Measurement, and System Integration. - May 2014, Vol. 7, No. 3, pp. 141-146.

10. Bykov V.G. Nestatsionarnye rezhimy dvizheniya staticheski neuravnoveshennogo rotora s avtobalan-sirovochnym mekhanizmom [Non-steady motion modes of statically unbalanced rotor with avtobalancing mechanism]. Vestnik of Saint Petersburg University, Iss. 1, 2010, no. 3, pp. 89-96.

11. Bykov V.G., Kovachev A.S. Prokhozhdenie cherez rezonans staticheski neuravnoveshennogo rotora s «neidealnym» avtobalansirovochnym ustroystvom [Passing through the resonance of a static unbalanced rotor with an "non-ideal " autobalancing device]. Vestnik Of Saint Petersburg University Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4 (62, no. 4, pp. 671- 680.

12. Zaytsev N.N., Zaytsev D.N., Makarov A.A. Inzhenernyy analiz ustanovivshikhsya rezhimov odno-diskovogo rotora s mnogoryadnym sharovym avtobalansiruyushchim ustroystvom [Engineering analysis of steady-state regimes of the single-disk rotor with multi-row automatic ball balancing device]. PNRPU Aerospace Engineering Bulletin, 2017, no. 48, pp. 43-59.

13. Skubachevskiy G.S. Aviatsionnye gazoturbinnye dvigateli [Aviation gas-turbine engines]. Moscow: Mashinostroeniye, 1969, 543 p.

14. Filin A.P. Prikladnaya mekhanika tverdogo deformiruemogo tela: Soprotivlenie materialov s elementami teorii sploshnykh sred i stroitelnoy mekhaniki. T.III [Applied mechanics of solid deformed body: resistance

of materials with elements of the theory of continuous medium and construction mechanics]. Moscow: Nauka, 1981, vol.3, 480 p.

15. Podolskiy M.E., Cherenkova S.V. Fizicheskaya priroda i usloviya vozbuzhdeniya pryamoy i obratnoy pretsessii rotora [Physical nature and conditions of excitation of direct and reverse precession of the rotor]. The Theory of Mechanisms and Machines, 2014, no.1, vol. 12, pp. 27-40.

Об авторах

Зайцев Николай Николаевич (Пермь, Россия) - доктор технических наук, профессор кафедры «Ракетно-космическая техника и энергетические системы» ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., д. 29, e-mail: znn@perm.ru).

Зайцев Денис Николаевич (Пермь, Россия) - ведущий инженер кафедры «Ракетно-космическая техника и энергетические системы» ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., д. 29, e-mail: rkt@pstu.ru).

Минеев Дмитрий Андреевич (Пермь, Россия) - аспирант кафедры «Ракетно-космическая техника и энергетические системы» ФГБОУ ВО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., д. 29, e-mail: mda886@mail.ru).

About the authors

Nikolay N. Zaytsev (Perm, Russian Federation) - Doctor of Technical Sciences, Professor of Rocket and Space Engineering and Power Generating Systems Department, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: znn@perm.ru).

Denis N. Zaytsev (Perm, Russian Federation) - Leading Engineer of Rocket and Space Engineering and Power Generating Systems Department, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: rkt@pstu.ru).

Dmitriy A. Mineev (Perm, Russian Federation) - PhD Student of Rocket and Space Engineering and Power Generating Systems Department, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: mda886@mail.ru).

Получено 29.05.2019