CC BY
22Две последовательности простых паранепротиворечивых логик1
В. М. Попов
abstract. The infinite sequences Ii,i, Ii,2, Ii,3, ••• and Inti,i, Inti,2, Inti 3,. • • Intiof simple paraconsistent logics are defined. The sequent systems axiomatizing these logics are discribed^
Определяются две такие бесконечные строго убывающие по включению последовательности Дд, Ii,2, /1,3,... и Inti,i, Inti,2, Inti,з,.. .простых паранепротворечивых логик, что пересечение всех членов первой последовательности есть простая паране-противоречивая логика Ii ^, а пересечение всех членов второй последовательности есть простая паранепротиворечивая логика Inti,ш.
Язык L, являющийся языком всех рассматриваемых в предлагаемой работе логик, есть стандартно определяемый пропозициональный язык, алфавиту которого принадлежат только следующие символы: pi, Р2, рз,... (пропозициональные переменные языка L), &, V, D (бинарные логические связки языка L), — (унарная логическая связка языка L), левая и правая круглые скобки. Определение L-формулы индуктивно:
(1) всякая пропозициональная переменная языка L есть L-формула,
(2) если A и B являются L-формулами, то (A&B), (A V B), (A D B) и (—A) являются L-формулами,
(3) ничто другое не является L-формулой.
Квазиэлементарной L-формулой называем L-формулу, в которую не входит ни одна бинарная логическая связка языка L.
хИсследование поддержано РФФИ, грант № 06-06-80292-а.
Длиной квазиэлементарной L-формулы называем число всех вхождений — в эту L-формулу. Ясно, что для всякой квазиэлементарной L-формулы существует единственная длина этой квазиэлементарной L-формулы, и что длина всякой квазиэлементарной L-формулы есть целое неотрицательное число. Обозначаем правило modus ponens в L через MP, а правило подстановки L-формулы в L-формулу вместо пропозициональной переменной языка L обозначаем через Sub. Логикой называем непустое множество L-формул, замкнутое относительно MP и Sub. Теорией логики L называем множество L-формул, включающее логику L и замкнутое относительно MP. Множество всех L-формул называем тривиальной теорией. Противоречивой теорией логики L называем такую теорию T логики L, что для некоторой L-формулы A верно следующее: A £ T и —A £ T. Паранепротиворечивой теорией логики L называем такую противоречивую теорию T логики L, что T не есть тривиальная теория. Простой паранепротиворечивой теорией логики L называем такую паранепротиворечивую теорию T логики L, что для всякой L-формулы A верно следующее: если A и (—A) принадлежат теории T, то A есть квазиэлементарная L-формула. Паранепро-тиворечивой логикой называем такую логику L, что существует паранепротиворечивая теория логики L. Простой паранепро-тиворечивой логикой называем такую паранепротиворечивую логику L, что всякая паранепротиворечивая теория логики L является простой паранепротиворечивой теорией логики L. Определим исчисления HInti,i, HInti>2, HInti,3,... HInti>ш, HIi)b HIi,2, HIi,3,... HIi,u. Все эти исчисления являются исчислениями гильбертовского типа, язык каждого из которых есть L. Каждое из этих исчислений имеет единственное правило вывода — правило MP. Таким образом, для определения любого из этих исчислений остается задать множество всех его аксиом. Множеству всех аксиом исчисления HIntii (i есть целое неотрицательное число) принадлежат все те и только те L-формулы, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих видов (A, B, C и D есть L-формулы, при этом D не является квазиэлементарной L-формулой длины меньшей i):
(I) ((A D B) D ((B D C) D (A D C))),
(II) (А Э (А V В)),
(III) (В Э (А V В)),
(IV) ((А э С) э ((В э С) э ((А V В) э С))),
(V) ((А&В) Э А), (VI) ((А&В) Э В),
(VII) ((С э А) Э ((С э В) э (С э (А&В)))), (VIII) ((А э (В э С)) э ((А&В) э С)),
(IX) (((А&В) э С) э ((А э (В э С))),
(X) ((А Э (-(В э В))) э (-А)),
(XI) ((-Б) Э (Б Э А)).
Множеству всех аксиом исчисления Н1п1\принадлежат все те и только те ¿-формулы, каждая из которых имеет хотя бы один из видов (^-(Х^, или имеет вид ((-Е) Э (Е Э А)), где Е есть ¿-формула, не являющаяся квазиэлементарной ¿-формулой Для всякого п из {0,1, 2,...} множество всех аксиом исчисления Н1\,п равно объединению множества всех аксиом исчисления Н1п1\пП с множеством всех ¿-формул вида (((А Э В) Э А) Э А), где А и В являются ¿-формулами. Заметим, что множество всех ¿-формул, каждая из которых доказуема в Н1п1\,о, равно множеству всех интуиционистских тавтологий в языке ¿, а множество всех ¿-формул, каждая из которых доказуема в Н1\,о, равно множеству всех классических тавтологий в языке ¿. Условимся, что для всякого п из {0,1, 2,...} 1иЬ1 п есть множество всех ¿-формул, доказуемых в Н1п1\п и 1\пп есть множество всех ¿-формул, доказуемых в Н1\,п. Доказаны следующие теорема 1 и теорема 2.
ТЕОРЕМА 1. Для всякого п из {0,1, 2,...} 1пЬ\,п и 1\ ,п являются простыми паранепротиворечивыми логиками.
ТЕОРЕМА 2. Последовательность 1пЬ\д, 1пЬ\,2, 1пЬ\,з,... и последовательность 1\,1, 1,2, 1\, з,... строго убывают по включению, пересечение всех членов первой последовательности равно
In.ii, а пересечение всех членов второй последовательности равно II,ш.
Определим исчисления О1пДд, О1М1}2, С1^1,з,... С1^1,ш, С11,1, С11,2, С11,з,... С11 . Все эти исчисления являются секвенциальными исчислениями, выводы в которых строятся обычным для этого типа исчислений способом. Для всякого целого положительного числа к формулировка исчисления О1иЬ1^ (соответственно формулировка исчисления ОД,к) получается из предложенной в [1] формулировки исчисления С1 (соответственно из предложенной в [1] формулировки исчисления ОК) исключением правил для кванторов (при надлежащей модификации языка) и наложением на правила введения негации слева ограничения: боковая формула этого правила есть ¿-формула, не являющаяся квазиэлементарной ¿-формулой, длина которой меньше к. Формулировка исчисления О1иЪ1,ш (соответственно формулировка исчисления ОД,Ш) получается из формулировки исчисления О1, данной в [1] (соответственно из формулировки исчисления ОК, данной в [1], исключением правил для кванторов (при надлежащей модификации языка) и наложением на правила введения негации слева ограничения: боковая формула этого правила есть ¿-формула, не являющаяся квазиэлементарной ¿-формулой. Для каждого исчисления О1иЬ1кк и ОД,к (к € {1, 2,... ш}) доказана теорема об устранимости сечения. Для любого исчисления О1иЬ1, к (к € {1, 2,... ш}) доказательства теоремы об устранимости сечения можно построить аналогично данному в [1] доказательству теоремы об устранимости сечения для О1, а для любого исчисления ОД, к (к € {1, 2,... ш}) доказательство теоремы об устранимости сечения можно построить аналогично данному в [1] доказательству теоремы об устранимости сечения для ОК. С использованием факта устранимости сечения для каждого исчисления О1иЬ1, к и ОД, к (к € {1, 2,... ш}) и методов работы [1] доказаны следующие теоремы 3 и 4.
ТЕОРЕМА 3. Для всякого к из {0,1, 2,...ш} и для всякой ¿-формулы А верно следующее:
(1) А € In.ii,к тогда и только тогда, когда секвенция ^ А выводима в О1иЬ1, к;
(2) А € II,к тогда и только тогда, когда секвенция ^ А выводима в ОII, к ■
ТЕОРЕМА 4. Для всякого к из {0,1, 2,.. .ш} исчисления ОInil,к и ОЬ, к разрешимы.
СЛЕДСТВИЕ 5. (Следствие теорем 3 и 4) Для всякого к из {0,1, 2,.. .ш} логики Intl,к и II, к разрешимы.
Литература
[1] Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. М., 1967. С. 9—74.
