CC BY
33Интерполяционная теорема для простой паранормальной логики
1пЦ,ш 1
В.М. Попов
abstract. A proof of interpolation theorem for simple paranormal logic Into ы is proposed.
Keywords: quasi-elementary formula, paranormal logic, interpolation theorem
Предлагается доказательство интерполяционной теоремы для простой паранормальной логики Int0 .
Определяем язык L как пропозициональный язык, алфавиту которого принадлежат только V, э (бинарные логические связки языка L), — (унарная логическая связка языка L), ), ( (технические символы языка L), pi, р2, рз, ■ ■ ■ (пропозициональные переменные языка L). Принимаем сокращение «пп» для выражения «пропозициональная переменная языка L». Определение L-формулы обычно: (1) всякая пп есть L-формула, (2) если A и B есть L-формулы, то (A&B), (A V B), (A э B), (—A) есть L-формулы, (3) ничто другое не есть L-формула. Условимся, что N есть множество всех целых положительных чисел и для всякой L-формулы A W(A) есть множество всех пп, входящих в A. Квазиэлементарной L-формулой называем L-формулу, в которую не входят ни &, ни V, ни э. Очевидно, что для всякой квазиэлементарной L-формулы E число всех вхождений связки — в E есть целое неотрицательное число (называем это число длиной квазиэлементарной L-формулы E). Ясно, что для всякой пп р и всякого n из N существует единственная квазиэлементарная L-формула A, удовлетворяющая условию: р входит в A и число всех вхождений связки — в A равно n. Для всякой пп
хРабота выполнена при поддержке РФФИ, грант №10-06-00224а.
p и всякого n из N обозначаем через (-(n)p) квазиэлементарную L-формулу, в которую входит p и число всех вхождений связки - в которую равно n. Следуя [1], определяем исчисления HInto,o и HInto,ш гильбертовского типа. Язык этих исчислений есть L. Множеству всех аксиом исчисления HInto,о принадлежат все те и только те L-формулы, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих видов (здесь A, B и C — формулы):
(I) ((A D B) D ((B D C) D (A D C))),
(II) (A D (A V B)),
(III) (B D (A V B)),
(IV) ((A D C) D ((B D C) D ((A V B) D C))),
(V) ((A&B) D A),
(VI) ((A&B) D B),
(VII) ((C D A) D ((C D B) D (C D (A&B)))),
(VIII) ((A D (B D C)) D ((A&B) D C)),
(IX) (((A&B) D C) D (A D (B D C))),
(X,0) ((-B) D (B D A)),
(XI,0) ((B D (-(A D A))) D (-B)).
Множеству всех аксиом исчисления HInto,ш принадлежат все те и только те L-формулы, каждая из которых имеет вид (X,0) ((-D) D (D D A)) или (XI,ш) ((D D (-(A D A))) D (-D)) (где A есть L-формула, а D есть L-формула, не являющаяся квазиэлементарной L-формулой), или имеет хотя бы один из видов (I)— (IX). Правило modus ponens в L является единственным правилом исчисления HInto,о и единственным правилом исчисления HInto,ш. Доказательства в HInt0,0 (HInto,0-доказательства) и доказательства в HInto>U) (HInto,ш-доказательства) строятся обычным для исчислений гильбертовского типа образом. Стандартно определяются длина HInto^-доказательства, длина HInto ш-доказательства, HInto ,o-доказуемая L-формула и HInto,ш-доказуемая L-формула. Для всякой L-формулы A запись «HInto,o ^ A» означает, что A есть HInto,o-доказуемая L-формула, а запись «HInto,ш ^ A» что A есть H Into,ш-доказуемая L-формула. Обозначаем множество всех HInto,о-доказу-емых L-формул через Into,o, а множество всех HInto,ш-доказуемых L-формул — через Into>U).
ЗАМЕЧАНИЕ. Можно доказать, что (1) Into,o и Intoш являются логиками в L (в смысле [1]), то есть являются непустыми мно-
жествами L-формул, каждое из которых замкнуто относительно modus ponens в L и относительно подстановки L-формулы в L-формулу вместо пп, и (2) Int0>U) строго включается в Int0,0. При этом, согласно [1]: (а) Into,о равно множеству всех интуиционистских тавтологий в языке L, то есть Into,о является интуиционистской логикой в языке L, (б) Into,ш есть простая паранормальная логика.
Интерполяционная теорема (первоначально доказанная в [4] для классической логики предикатов) доказана в [3] для интуиционистской логики предикатов. С помощью интерполяционной теоремы для интуиционистской логики предикатов можно обосновать следующую интерполяционную теорему для интуиционистской логики в языке L (то есть для Into,о).
Для всяких L-формул A и B: если (A D B) есть интуиционистская тавтология в языке L и W(A) П W(B) = 0, то существует такая L-формула C, что (A D C) и (C D B) являются интуиционистскими тавтологиями в языке L и W(C) С W(A) П W(B).
Цель предлагаемой работы — доказательство интерполяционной теоремы для Int0 .
ТЕОРЕМА (Интерполяционная теорема для Int0,M). Для всяких L-формул A и B: если (A D B) € Ш0>ш и W(A) П W(B) = 0, то существует такая L-формула C, что (A D C) € Int0>ш, (C D B) € Int0,ш и W(C) С W(A) П W(B).
Доказательство. В предлагаемом здесь доказательстве интерполяционной теоремы для Int0,ш использованы нижеследующие леммы (0)-(12).
Условимся, что для всякого n из N, для всяких попарно различных пп qi,.. .,qn и всяких A, Bi,.. .,Bn, являющихся L-форму-лами, [q1... qn/B1 ... Bn](A) обозначает результат одновременной подстановки L-формул Bi,.. .,Bn в L-формулу A вместо пп q1,.. .,qn соответственно.
ЛЕММА 0. Для всякого n из N, для всяких попарно различных пп qi,.. .,qn и для всяких L-формул A, Bi,.. .,Bn: если HInt0,ш Ь A, то HInt0, ш Ь [qi ...qn/Bi... Bn](A).
Лемма 0 доказана индукцией по длине HInt0,ш-доказательства.
Доказана также следующая лемма 1.
ЛЕММА 1. Существует единственное отображение ф множества всех L-формул в себя, удовлетворяющее условиям: (1) для всякой пп q верно, что ф^) = q, (2) для всякой пп q верно, что ф^—q)) = (—(q&q)), (3) для всякой L-формулы А, не являющейся пп, верно, что ф((—А)) = (—ф(А)), (4) для всяких L-формул А и В и для всякой бинарной логической связки • языка L верно, 'что ф((А • В)) = (ф(А) • ф(В)).
Отображение, существование и единственность которого утверждается в лемме 1, обозначаем через dub. Опираясь на лемму 1, можно доказать (индукцией по длине HInto,о-доказательства) лемму 2.
ЛЕММА 2. Для всякой L-формулы A: если HInt0,0 Ь А, то HInto,ш Ь dub^).
Определение: негативно-регулярной L-формулой называем такую L-формулу А, в которую не входит ни одна L-формула вида (—q), где q есть пп.
ЛЕММА 3. Для всякой негативно-регулярной L-формулы А верно, что dub^) = А.
Лемма 3 доказана индукцией по построению L-формулы.
ЛЕММА 4. Для всякой L-формулы А верно, что W^иЬ(А)) = W (А).
Лемма 4 доказана индукцией по построению L-формулы. Доказана также следующая лемма 5.
ЛЕММА 5. Пусть F есть L-формула, n € N, qi,...,qn есть попарно различные пп, W(F) = {q\,..., qn}, k есть наибольшее целое положительное число в {u\u € N и существует такая пп q, что (—(u^q) входит в F}, и r\,...,r\,..., гП, ■ ■ ■, гП есть попарно различные пп, ни одна из которых не принадлежит множеству {q\,..., qn}. Тогда существует единственное отображение ф множества всех L-формул в себя, удовлетворяющее условиям:
(a) для всякой пп p верно, что ф(р) = p,
(b) для всякого m из N и для всякой пп, не принадлежащей множеству {q\,..., qn}, верно, что ф((—(т^р)) = (—(m^p),
(c) для всякого такого m из N, что m > q, и для всякого i из {1,... ,n} верно, что ф((—(т\г)) = (—v((—(m-1^qi))),
(d) для всякого такого m из N, что m < к, и для всякого i из {1,... ,n} верно что ф((—(тq,)) = rm,
(e) для всякой L-формулы А, не являющейся квазиэлементарной L-формулой, верно, что ф((—А)) = (—ф(А)),
(f) для всяких L-формул А и В и для всякой бинарной логической связки • языка L верно, что (ф(А • B)) = (ф(А) •
ф(В)).
ЛЕММА 6. Пусть F есть L-формула, n € N, ql,.. ,qn есть попарно различные пп, W(F) = {q\,..., qn}, к есть наибольшее целое положительное число в {u\u € N и существует такая пп q, что (—(u\) входит в F}, r\,... ,..., гП, ■ ■ ■, гП есть попарно различные пп, ни одна из которых не принадлежит множеству {q\,...,qn}, а ф есть отображение множества всех L-формул в себя, удовлетворяющее условиям (a)-(f), сформулированным в лемме 5. Тогда для всякой L-формулы A: если HInt0,ш Ь А, то HInt0, 0 Ь ф(А).
Лемма 6 доказана индукцией по длине HInt0,ш-доказательства.
ЛЕММА 7. В условиях леммы 6 верно, что ф(А) есть квазиэлементарная L-формула для всякой квазиэлементарной L-формулы А.
Доказательство леммы 7, базирующееся на использовании определения отображения ф, тривиально.
ЛЕММА 8. В условиях леммы 6 верно, что для всякой L-формулы А: если W(А) С {q..., qn} и длина всякой квазиэлементарной L-формулы, входящей в А, не больше к, то всякая квазиэлементарная L-формула, входящая в ф(А), является пп.
Лемма 8 доказана индукцией по построению L-формулы.
ЛЕММА 9. В условиях леммы 6 верно, что для всякой L-формулы A: если W(А) С {qi,..., qn} и длина всякой квазиэлементарной L-формулы, входящей в А, не больше к, то [r 1 .. .rk ...
rn ... rkn / (-( 1 )q i)... (-(k)q i)... (-1 )qn) ... ь(%п)](ф(А)) = А.
Лемма 9 доказана индукцией по построению L-формулы.
ЛЕММА 10. В условиях леммы 6 верно, что для всякой Ь-формулы А: если Ш(А) С {д 1,...,дп}, длина всякой квазиэлементарной Ь-формулы, входящей в А, не больше к и И1иЬор \ ф(А), то И1иЬ0>ш \ А.
Лемма 10 доказана с использованием лемм 0, 2, 3, 8 и 9.
ЛЕММА 11. Для всяких Ь-формул А и В: если (А Э В) есть интуиционистская тавтология в языке Ь и Ш(А) П Ш(В) = 0, то существует такая Ь-формула С, что выполняются следующие условия: (а) (А Э С) и (С Э В) являются интуиционистскими тавтологиями в языке Ь, (б) Ш(С) С Ш(А) П Ш(В), (в) С есть негативно-регулярная Ь-формула.
Доказательство леммы 11 проведено с использованием (1) интерполяционной теоремы для интуиционистской логики в языке Ь (формулировка этой теоремы приведена выше), (2) утверждения о том, что для всякой пп д Ь-формула ((д Э (д&д))&((д&д) Э д)) является интуиционистской тавтологией в языке Ь, и (3) следующей теоремы об эквивалентной замене: если А и В есть такие Ь-формулы, что ((А Э В)&(В Э А)) есть интуиционистская тавтология в Ь, то для всякой Ь-формулы М, в которую входит А, интуиционистской тавтологией в языке Ь является ((М Э М')&(М' Э М)), где М' есть результат замены в М некоторых вхождений Ь-формулы А вхождениями Ь-формулы В.
ЛЕММА 12. В условиях леммы 6 верно, что для всякой Ь-формулы А, входящей в Г, ф(А) есть негативно-регулярная Ь-формула.
Доказательство.
Лемма 12 вытекает из нижеследующих подлеммы 1 и подлем-мы 2.
ПОДЛЕММА 1. В условиях леммы 6 верно, что: (1) всякая пп р, входящая в Г, такова, что ф(р) есть негативно-регулярная Ь-формула, (2) всякие Ь-формулы А и В, входящие в Г, таковы, что если ф(А) и ф(В) есть негативно-регулярные Ь-формулы и (А&В) входит в Г, то ф((А&В)) есть негативно-регулярная Ь-формула, (3) всякие Ь-формулы А и В, входящие в Г, таковы, что если ф(А) и ф(В) есть негативно-регулярные Ь-формулы и
(А V В) входит в Г, то ф((А V В)) есть негативно-регулярная Ь-формула, (4) всякие Ь-формулы А и В, входящие в Г, таковы, что если ф(А) и ф(В) есть негативно-регулярные Ь-формулы и (А Э В) входит в Г, то ф((А Э В)) есть негативно-регулярная Ь-формула, (5) всякая Ь-формула А, входящая в Г, такова, что если ф(А) есть негативно-регулярная Ь-формула и (-А) входит в Г, то ф((-А)) есть негативно-регулярная Ь-формула.
ПОДЛЕММА 2. Для всякой Ь-формулы Г и для всякого множества Р Ь-формул: если (1) всякая пп, входящая в Г, принадлежит Р, (2) всякие Ь-формулы А и В, входящие в Г, таковы, что если они принадлежат Р и (А&В) входит в Г, то (А&В) € Р,
(3) всякие Ь-формулы А и В, входящие в Г, таковы, что если они принадлежат Р и (А V В) входит в Г, то (А V В) € Р,
(4) всякие Ь-формулы А и В, входящие в Г, таковы, что если они принадлежат Р и (А Э В) входит в Г, то (А Э В) € Р, и
(5) всякая Ь-формула А, входящая в Г, такова, что если А € Р и (—А) входит в Г, то (—А) € Р, то всякая Ь-формула, входящая в Г, принадлежит Р.
д.Е.Б.
Доказательство интерполяционной теоремы для 1пЬо,ш.
(1) Ао и Во есть Ь-формулы (допущение).
(2) (Ао Э Во) € 1иЬо,ш и Ш(Ао) П Ш(Во) = 0 (допущение). Индукцией по построению Ь-формулы можно доказать, что
(3) для всякой Ь-формулы С верно, что Ш(С) есть непустое конечное множество пп.
(4) (Ао Э В0) есть Ь-формула (из (1), по определению Ь-формулы).
(5) Ш((Ао Э Во)) есть непустое конечное множество пп (из (3) и (4)). Пусть
(6) п € К, д 1,...,дп есть попарно различные пп, Ш((А Э В)) = {д 1,..., дп}. Допустим, что
(7) не существует такое и из К, что для некоторой пп р (-(и^р) входит в (Ао Э Во).
(8) (Ао Э Во) € 1п1о, о (из того, что (Ао Э Во) € 1п1о,ш (см. (2)), и того, что 1о,ш С 1пЬо,о (см. замечание)).
(9) Существует такая Ь-формула С, что ((Ао Э С) € 1п1о,о, (С Э Во) € ТпЬо,о и Ш(С) С Ш(Ао) П Ш(Во) (из (1) и того, что
Ш(Ао) ПШ(В0) = 0 (см. (2)), по интерполяционной теореме для 1и10,0). Пусть
(10) С0 есть Ь-формула, (А0 Э С0) € 1и10,0, (С0 Э В0) € 1и10,0 и Ш(С0) С Ш(А0) П Ш(В0). Опираясь на (10) и определение множества 1и10,0, получаем, что
(11) И1и10,0 \ (А0 Э С0) и И1и10,0 \ (С0 Э В0).
(12) И1иЬ0,ш \ йпЪ((А0 Э С0)) и И1иЬ0,ш \ биЪ((С0 Э В0)) (из (11) и того, что (А0 Э С0) и (С0 Э В0) есть Ь-формулы, по лемме 2).
(13) И1и10уШ \ (биЪ(А0) Э биЪ(С0)) и И1и10уШ \ (биЪ(С0) Э биЪ(В0)) (из (12), по определению биЪ и по лемме 1). В свете (7) ясно, что
(14) не существует такое и из К, что для некоторой пп р (—(и)р) входит в А0, и не существует такое и из К, что для некоторой пп р (—(и^р) входит в В0.
(15) биЪ(А0) = А0 и биЪ(В0) = В0 (из (1) и (14), по лемме 3).
(16) И1иЬ0,ш \ (А Э йиЪО) и И1и10,ш \ (йиЪС) Э В0) (из (13) и (15)). '
(17) Ш(биЪ(С0)) = Ш(С0) (из того, что С0 есть Ь-формула (см. (10)), по лемме 4).
(18) Ш(биЪ(С0)) С Ш(А0) П Ш(В0) (из того, что Ш(С0) С Ш(А0) П Ш(В0) (см. (10)), и (17)).
(19) Существует такая Ь-формула С, что И1и10,ш \ (А0 Э С), И1и10,ш \ (С Э В0) и Ш(С) С Ш(А0) П Ш(В0) ( из (16), (18) и того, что биЪ(С0) есть Ь-формула). Снимая допущение (7), получаем, что
(20) если не существует такое и из К, что для некоторого г из {1,...,и} (—(а")дг) входит в (А0 Э В0), то существует такая Ь-формула С, что И1и10, ш \ (А0 э С), И1и10,ш \ (С Э В0) и Ш(С) С Ш(А0) П Ш(В0). Допустим, что
(21) существует такое и из К, что для некоторой пп р (—(и)р) входит в (А0 Э В0).
(22) {и\и € N и существует такая пп р, что (—(и^р) входит в (А0 Э В0)} = 0 (из (21)). Ясно, что
(23) {и\и € N и существует такая пп р, что (—(и)р) входит в (А0 Э В0)} есть конечное множество. Опираясь на (22) и (23), получаем, что
(24) в {и\и € N и существует такая пп р, что (—(и)р) входит в
(Ао Э Во)} существует наибольшее целое положительное число. Пусть
(25) к есть наибольшее целое положительное число в {и\и € N и существует такая пп р, что (—(и)р) входит в (Ао Э Во)}. Учитывая, что множество {д\,..., дп} конечно, а множество всех пп бесконечно, положим, что
(26) т\,...,тк,... ,гП, ■ ■ ■ ,гП есть попарно различные пп, ни одна из которых не принадлежит множеству {д\,..., дп}.
(27) Существует единственное отображение ф множества всех Ь-формул в себя, удовлетворяющее условиям (а), (Ь), (с), (ё), (е) и (!), сформулированным в лемме 5 (из (4), (6), (25) и (26), по лемме 5). Пусть
(28) фо есть отображение множества всех Ь-формул в себя, удовлетворяющее условиям: (а') для всякой пп р верно, что фо(р) = р, (Ь') для всякого т из N и для всякой пп, не принадлежащей множеству {д\,...,дп}, верно, что фо((-(т)р)) = (-(т^р), (с') для всякого такого т из N , что т > к, и для всякого г из {1,...,п} верно, что фо((-(тд^)) = (—фо((-(т)дг))), (ё') для всякого такого т из К, что т < к, и для всякого г из {1,...,п} верно, что фо((-(тд%)) = т™, (е') для всякой Ь-формулы А, не являющейся квазиэлементарной Ь-формулой, верно, что фо((-А)) = (-фо(А)), (!') для всяких Ь-формул А и В и для всякой бинарной логической связки • языка Ь верно, что фо((А • В)) = (фо(А) • Фо(В)).
(29) И1пЬо,о Ь фо((Ао Э Во)) (из (4), (6), (25), (26) и (28), по лемме 6).
(30) фо((Ао Э Во)) = (фо(Ао) Э Фо(Во)) (из (1) и пункта (?) утверждения (28)).
(31) ИШо,о Ь (фо(Ао) Э Фо(Во)) (из (29) и (30)).
(32) Если Ш(фо(Ао)) П Ш(фо(Во)) = 0, то существует такая Ь-формула С, что И1пЬо, ш Ь (Ао э С), И1пЬо,ш Ь (С Э Во) и Ш(С) С Ш(Ао) П Ш(Во).'
Докажем утверждение (32).
(32.1) Ш(фо(Ао)) П Ш(фо(Во)) = 0 (допущение). Известно, что верно следующее утверждение (32.2).
(32.2) Для всяких Ь-формул А и В: если (А Э В) есть интуиционистская тавтология в Ь и Ш(А) П Ш(В) = 0, то (—А) есть интуиционистская тавтология в Ь или В есть интуиционистская
тавтология в L. Опираясь на утверждения (31), (32.1) и (32.2), получаем, что
(32.3) (—фо(Ао)) есть интуиционистская тавтология в L или (фо(Во)) есть интуиционистская тавтология в L.
(32.4) (—фо(Ао)) есть интуиционистская тавтология в L (допущение). Отсюда и из того, что ни одна интуиционистская тавтология в L не является квазиэлементарной L-формулой, получаем, что
(32.5) (—фо(Ао)) не есть квазиэлементарная L-формула.
(32.6) фо(Ао) не есть квазиэлементарная L-формула (из (32.5), по определению квазиэлементарной L-формулы).
(32.7) Ао не есть квазиэлементарная L-формула (из (1), (4), (6), (25), (26), (28) и (32.6), по лемме 7).
(32.8) Фо((—Ао)) = (—фо(Ао)) (из (1), (32.7) и пункта (с') утверждения (28)).
(32.9) фо((—Ао)) есть интуиционистская тавтология в L (из (32.4) и (32.8)). В свете утверждения (6) ясно, что
(32.10) W((—Ао)) С {q\,...,qn}. Опираясь на (25) и (32.7), получаем, что
(32.11) длина всякой квазиэлементарной L-формулы, входящей в (—Ао), не больше k.
(32.12) 1иЬо>ш Ь (—Ао) (из того, что (—Ао) есть L-формула, (4), (6), (25), (26), (28), (32.9), (32.10) и (32.11), по лемме 10). Вспомнив, что W(Ао) П W(Во) = 0, положим, что
(32.13) ж € W(Ао) П W(Во). Понятно, что тогда
(32.14) х есть пропозициональная переменная языка L и
(32.15) (—(х э х)) есть L-формула. Используя утверждение (1), (32.7), (32.15), определение L-формулы и определение аксиомы исчисления Н1иЬо,ш, получаем, что
(32.16) ((—Ао) э (Ао э (—(х э х)))) есть аксиома исчисления НШо,ш. Но тогда ясно, что
(32.17) НШо,ш Ь ((—Ао) э (Ао э (—(х э х)))). Опираясь на утверждения (32.12) и (32.17), получаем, что
(32.18) Н1иЬо>ш Ь (Ао э (—(х э х))). Простое доказательство нижеследующего утверждения (32.19) не приводим.
(32.19) HInto>u Ь ((—(х э х)) э Во).
(32.20) W((—(х э х))) = {х} (из (32.14) и (32.15), по определению W).
(32.21) Существует такая Ь-формула С, что: И1пЬо,ш Ь (Ао Э С), ИШоЬ (С Э Во) и Ш(С) С Ш(Ао) П Ш(Во) (из (32.13), (32.15), (32.18), (32.19) и (32.20)). Снимая допущение (32.4), получаем, что
(32.22) если (-фо(Ао)) есть интуиционистская тавтология в Ь, то существует такая Ь-формула С, что: И1пЬо,ш Ь (Ао Э С), ИШо,ш Ь (С Э Во) и Ш(С) С Ш(Ао) П Ш(Во).
(32.23) фо(Во) есть интуиционистская тавтология в Ь (допущение). В свете утверждения (6) очевидно, что
(32.24) Ш(фо(Во)) С {д\,...,дп}. Опираясь на утверждение (25), получаем, что
(32.25) длина всякой квазиэлементарной Ь-формулы, входящей в Во, не больше к.
(32.26) ИШо,ш Ь Во (из (1), (4), (16), (25), (26), (28), (32.23), (32.24) и (32. 25) по лемме 10). Учитывая, что Ш(Ао) П Ш(Во) = 0, положим, что
(32.27) у € Ш(Ао) П Ш(Во). Разумеется, тогда
(32.28) у есть пп и
(32.29) (у Э у) есть Ь-формула. Опираясь на утверждения (32.26) и (32. 29), нетрудно доказать, что
(32.30) И1Ыо,ш Ь ((у Э у) Э Во). Можно доказать также, что
(32.31) И1п1о,ш Ь (Ао Э (у Э у)).
(32.32) Ш((у Э у)) = {у} (из (32.28) и (32.29), по определению Ш).
(32.33) Существует такая Ь-формула С, что: И1пЬо,ш Ь (Ао Э С), ИШоЬ (С Э Во) и Ш(С) С Ш(Ао) П Ш(Во) (из (32.27), (32.29), (32.30), (32. 31) и (32.32)). Снимая допущение (32.23), получаем, что
(32.34) если фо(Во) есть интуиционистская тавтология в Ь, то существует такая Ь-формула С, что: И1пЬо,ш Ь (Ао Э С), ИШо,ш Ь (С Э Во) и Ш(С) С Ш(Ао) П Ш(Во). '
(32.35) Существует такая Ь-формула С, что: И1пЬо,ш Ь (Ао Э С), И1Ыо,ш Ь (С Э Во) и Ш(С) С Ш(Ао) П Ш(Во) (из (32.3), (32.23) и (32.34)). Снимая допущение (32.1), получаем, что если Ш(фо(Ао)) П Ш(фо(Во)) = 0, то существует такая Ь-формула С, что: ИШо,ш Ь (Ао Э С), ИШо,ш Ь (С Э Во) и Ш(С) С Ш(Ао) П Ш(Во).
Утверждение (32) доказано.
(33) Если W(ф0(А0)) П W(ф0(Б0)) = 0, то существует такая L-формула C, что: И1иЬ0>ш h (А0 D C), HInt0,u h (C D Б0) и W (C ) ç W (A0) П W (Б0). '
Докажем утверждение (33).
(33.1) W(ф0(А0)) П W(ф0(Б0)) = 0 (допущение). Ясно, что
(33.2) ф0(А0) и ф0(Б0) являются L-формулами.
(33.3) (ф0(А0) D ф0(Б0)) € Int0,0 (из 31), по определению множества Int0,0).
(33.4) (Ф0А0) D ф0(Б0)) есть интуиционистская тавтология в языке L (из (33.3) и того, что Int0 ,0 есть множество всех интуиционистских тавтологий в языке L).
(33.5) Существует такая L-формула C, что: (ф0(А0) D C) и (C D ф0(Б0)) есть интуиционистские тавтологии в L, W (C ) ç W(ф0(А0)) П W(ф0(Б0)) и C есть негативно-регулярная L-формула (из (33.1), (33.2) и (33.4), по лемме 11). Пусть
(33.6) C0 есть L-формула, (Ф0А0) D C0) и (C0 D ф0(Б0)) есть интуиционистские тавтологии в L, W(C0) Ç W(Ф0А0)) П W(ф0(Б0)) и C есть негативно-регулярная L-формула.
(33.7) (ф0(А0) D C0) € Int0,0 и (C0 D ф0№)) € Int0,0 (из (33.6) и того, что Int0,0 есть множество всех интуиционистских тавтологий в языке L).
(33.8) (ф0(А0) D C0) и (C0 D ф0(Б0)) являются HInt0,0-доказуемыми L-формулами (из (33.7), по соглашению об обозначении).
(33.9) HInt0,0 h (ф0(А0) D C0) и HInt0,0 h (C0 D МБ0)) (из (33.8), по соглашению об использовании «HInt0,0 h»).
(33.10) HInt0,u h бпЬ((ф0(А0) D C0)) и HInt0,u h dub((C0 D ф0(Б0))) (из (33.9), по лемме 2).
(33.11) HInt0,u h (йиЬ(ф0(А0)) D dub(C0) и HInh,u h (dub(C0) D йиЬ(ф0(Б0))) (из (33.10), по лемме 1).
(33.12) dub(C0) = C0 (из(33.6), по лемме 3). Очевидно, что
(33.13) L-формулы А0 и Б0 входят в L-формулу (А0 D Б0).
(33.14) ф0(А0) и ф0(Б0) есть негативно-регулярные L-формулы (из (1), (4), (6), (25), (26), (28) и (33.13), по лемме 12).
(33.15) dub(М.А0)) = Ф0А0) и dub(ф0(Б0)) = Ф0(Б0) (из (33.14), по лемме 3).
(33.16) HInt0,ш h (ф0(А0) D C0) и HInt0,ш h (C0 D щШ) (из (33.11), (33.12) и (33.15)). Понятно, что
(33.17) произведение к на п есть целое положительное число,
\ к \ к т\,...,тк,... ,тп,... ,тп есть попарно различные пп, а
(—(^д\),..., (—(к')д\),..., (—(1 \п),..., (-(к)дп) есть Ь-формулы.
Условившись вместо «[т \.. .тк .. .т1п .. / (-( 1 ^д \) ... (—(к^д \)...
(-( 1)дп).. . (-(кдп)]» использовать «5» и опираясь на (33.16) и
(33.17), получаем по лемме 0, что
(33.18) ИШо,ш Ь Б ((фо (Ао) Э Со)) и ИШо,ш Ь Б ((Со Э фо(Во))). Используя дистрибутивность Б относительно импликации Э, получаем, что
(33.19) Ь-формула Б ((фо(Ао)) Э Со) есть Ь-формула (Б(фо(Ао)) Э Б (Со)), а Ь-формула Б ((Со Э фо (Во))) есть Ь-формула (Б(Со) Э Б(фо(Во))).
(33.20) И1пЬо,ш Ь (Б (фо(Ао)) Э Б (Со)) и И1пЬо,ш Ь (Б(Со) Э Б(фо(Во))) (из (33.18) и (33.19), по соглашению об использовании «Б»). В свете утверждений (6) и (25) ясно, что
(33.21) Ш (Ао) С{ддп}, Ш (Во) С {д дп}, длина всякой квазиэлементарной Ь-формулы, входящей в Ао, не больше к, длина всякой квазиэлементарной Ь-формулы, входящей в Во, не больше к.
(33.22) Б(фо(Ао)) = Ао и Б(фо(Во)) = Во (из (4), (6), (25), (26), (28) и (33.21), по лемме 9).
(33.23) И1пЬо,ш Ь (Ао Э Б (Со)) и И1пЬо,ш Ь (Б (Со) Э Во) (из (33.20) и (33.22)).
(33.24) Ш(Со) С Ш(фо(Ао)) П Ш(фо(Во)) (из(33.6)).
(33.25) Ш(Со) С Ш(фо(Ао)) и Ш(Со) С Ш(фо(Во)) (из (33.24)). Очевидно следующее утверждение
(33.26), имеющее семиотический характер. (33.26) Для всякого т из К, для всяких Ь-формул А, В, С\,...,Ст и для всяких попарно различных пп в\,.. .,вт: если Ш(А) С Ш(В), то Ш ([в \ ...вт / С\... Ст](А)) С Ш ([в \ ...вт / С\... Ст](В)).
(33.27) Ш(Б(Со)) С Ш(Б(фо(Ао))) и Ш(Б(Со)) С Ш(Б(фо(Во))) (из (33.2), (33.6), (33.17), (33.25) и (33.26)).
(33.28) Ш(Б(Со)) С Ш(Ао) и Ш(Б(Со)) С Ш(Во) (из (33.22) и (33.27)).
(33.29) Ш(Б(Со)) С Ш(Ао) П Ш(Во) (из (33.28)).
(33.30) Существует такая Ь-формула С, что: И1пЬо,ш Ь (Ао Э С), ИШо,ш Ь (С Э Во) и Ш(С) С Ш(Ао) П Ш(Во) (из того, что Б(Со) есть Ь-формула, и утверждений (33.23) и (33.29)). Снимая
допущение (33.1), получаем, что если W(фо(Ао)) П W(фо(Во)) = 0, то существует такая L-формула C, что: HInt0, ш h (Ао D C), HInto,ш h (C D Во) и W(C) С W(Ао) П W(Во). Утверждение (33) доказано.
(34) Существует такая L-формула C, что: Н1иЬо,ш h (Ао D C), НШо,ш h (C D Во) и W(C) С W(Ао) П W(Во) (из (32) и (33)). Снимая допущение (21), получаем, что
(35) если существует такое u из N, что для некоторой пп p (—(u)p) входит в (Ао D Во), то существует такая L-формула C, что: НШо,ш h (Ао D C), НШо,ш h (C D Во) и W(C) С W(Ао) П W (Во).
(36) Существует такая L-формула C, что: Н1иЬо,ш h (Ао D C), НШо,ш h (C D Во) и W(C) С W(Ао) П W(Во) (из (20) и (35)). Опираясь на (36) и соглашение об обозначении, получаем, что
(37) существует такая L-формула C, что: (Ао D C) € 1иЬо,ш, (C D Во) € 1иЬо,ш и W(C) С W(Ао)ПШ(Во). Снимая допущения (1) и (2) и обобщая, получаем, что для всяких L-формул А и В: если (А D В) € 1иЬо уШ и W(А) П W(В) = 0, то существует такая формула C, что (А D C) € 1иЬо,ш, (C D В) € 1иЬоуШ и W(C) С W(А) П W(В).
Интерполяционная теорема для 1Шо,ш доказана.
Q.E.D.
Литература
[1] Попов В.М. Секвенциальные аксиоматизации простых паралогик //Логические исследования. Вып. 16. Центр гуманитарных инициатив, М.; СПб., 2010. С. 205-220.
[2] Смирнов В.А. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972.
[3] Шютте К. Интерполяционная теорема для интуиционистской логики предикатов //Математическая теория логического вывода. М., 1967. С. 285-295.
[4] Craig W. Linear reasoning. A new form of the Herbrand-Gentzen theorem //Journal of Symbolic Logic. 1957. Vol. 22. P. 250-268.
Замечание. В публикации В.М. Попова «Секвенциальная аксиоматизация паранормальной логики PContPComp» (Логические исследования. Вып. 17. С. 240-245) на стр. 243-244 в формулировке правила ВОКЛ, в формулировке правила ВИП и в формулировке ВОИП имеются опечатки. Правильные формулировки этих правил таковы:
((-А) • г) - е ((-в) • г) - е ((-(А&В)) • г) - е
(ВОКЛ)
г — (е • А) г — (е • (-в)) т—ё^ЫАЭЩ)
(ВОИП)
В публикации В.М. Попова «Секвенциальные аксиоматизации пропозициональных логик нельсоновского типа» (Логические исследования. Вып. 17. С. 246-250) допущены ошибки:
(1) утверждение о том, что для исчисления ОРСои1(М) верна теорема об устранимости сечения,
(2) утверждение о том, что позитивный фрагмент логики РСои1(М) равен позитивному фрагменту интуиционистской пропозициональной логики,
(3) утверждение о том, что логика РСои1(М) не имеет конечной характеристической матрицы.
В исчислении ОРСои1(М) сечение неустранимо, позитивный фрагмент логики РСои1(М) равен позитивному фрагменту классической (а не интуиционистской) пропозициональной логики. Логика РСои1(М) имеет конечную характеристическую матрицу, поскольку, как показал В.О. Шангин, РСои1(М) равна трехзначной логике, являющейся множеством всех теорем исчисления РСои1, построенного в работе Л.И. Розоноэра «О выявлении противоречий в формальных теориях.1» (Автоматика и телемеханика. № 6, 1983).
