CC BY
25Д.В. Баташев, В.М. Попов
ОБ ОДНОЙ ДЕВЯТИЗНАЧНОЙ ПАРАНОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ*
Abstract. A propositional logic VIK is defined in semantic terms of state quasidescription. A hilbert style calculi HVIK and a sequent calculi GVIK which axiomatizing this logic are constructed, a nine-valued characteristic matrix for VIK is performed, also defined the maps embedding a classical propositional logic to VIK.
В семантических терминах квазиописаний состояния определяется пропозициональная логика VIK. Строятся исчисление HVIK гильбертовского типа и секвенциальное исчисление GVIK, аксиоматизирующие эту логику, конструируется девятизначная характеристическая матрица для VIK, определяются отображения, погружающие классическую пропозициональную логику в VIK.
Некоторые предварительные определения
Алфавит пропозиционального языка X есть множество {&, V, D, —, ), (, p1, p2, p3, •••} символов, элементы которого имеют предполагаемые читателем названия.
Определение X-формулы индуктивно:
(1) всякая пропозициональная переменная языка X есть X-формула,
(2) если A и B есть X-формулы, то (A & B), (A V B), (A D B), (— A) есть X-формулы.
Квазиэлементарной X-формулой называем X-формулу, в которую не входят ни &, ни V, ни D.
Логикой называем непустое множество X-формул, замкнутое относительно правила подстановки в X и правила modus ponens в X.
Теорией логики L называем множество X-формул, которое включает L и замкнуто относительно modus ponens в X.
Ясно, что для всякой логики L множество Formx всех X-формул есть теория логики L.
Множество Formx называем тривиальной теорией логики L (для всякой логики L).
* Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант № 04-03-00266.
Противоречивой теорией логики Ь называем такую теорию Т логики Ь, что для некоторой Х-формулы А верно следующее: А е Т и (- А) е Т.
Паранепротиворечивой теорией логики Ь называем такую противоречивую теорию Т логики Ь, что Т не есть тривиальная теория логики Ь.
Паранепротиворечивой логикой называем такую логику Ь, что существует паранепротиворечивая теория логики Ь.
Полной теорией логики Ь называем такую теорию Т логики Ь, что для всякой Х-формулы А верно следующее: А е Т или (- А) е Т.
Параполной теорией логики Ь называем такую теорию Т логики Ь, что Т не является полной теорией логики Ь и всякая полная теория логики Ь, включающая Т, есть тривиальная теория логики Ь.
Параполной логикой называем такую логику Ь, что существует параполная теория логики Ь.
Паранормальной логикой называем логику, которая является паранепротиворечивой и параполной логикой.
Семантика языка Х, базирующаяся на понятии квазиописания состояния, и определение логики У1К
Понятие квазиописания состояния является обобщением введенного в [1] понятия обобщенного описания состояния.
Квазиописанием состояния (кс) называем отображение множества всех квазиэлементарных Х-формул в {0, 1}.
Регулярным квазиописанием состояния называем такое кс а, что для всякой квазиэлементарной Х-формулы е верно следующее: а(е) = а((- (- е))).
Квазиполным квазиописанием состояния называем такое кс а, что если Зе (а(е) = 1 и а((— е)) = 1), то Уд (а(д) = 1 или
е есть квазиэлементарная Х-формула д есть квазиэлементарная Х-формула
а((- д)) = 1).
Можно доказать, что для всякого кс а существует единственное отображение, обозначим его || а, множества Еогтх во множество {0, 1}, удовлетворяющее условиям:
(а) для всякой квазиэлементарной Х-формулы е: |е|а = а(е),
(б) для всякой Х-формулы А, не являющейся квазиэлементарной Х-формулой:
IX если |А | а = 0; |(- А) | а = {
[0 в противном случае,
(в) для всяких X-формул А и В:
Г1, если |A|a = 1 и |В| а = 1; | (A & B) | а = i
10
в противном случае,
Г1, если | A| а = 1 или | В| а = 1; |(A V B) | а = i
[0 в противном случае,
Г1, если | A| а = 0 или | В| а = 1; |(A D B) | а = i
[0 в противном случае.
Обозначим через VIK множество всех таких X-формул А, что для всякого регулярного и квазиполного кс а | A | а = 1.
Доказана следующая теорема 1. Теорема 1. VIK есть паранормальная логика.
Исчисления HVIK и GVIK
HVIK является исчислением гильбертовского типа. Язык этого исчисления есть X. Множеству всех аксиом исчисления HVIK принадлежат все те и только те X-формулы, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих видов (здесь А, В и С есть X-формулы, D есть X-формула, не являющаяся квазиэлементарной X-формулой):
(I) ((A D B) D ((B D С) D (A D С))),
(II) (A D (A V B)),
(III) (B D (A V B)),
(IV) ((A D С) D ((B D C) D ((A V B) D C))),
(V) ((A & B) D A),
(VI) ((A & B) D B),
(VII) ((C D A) D ((C D B) D (C D (A & B)))),
(VIII) ((A D (B D C)) D ((A & B) D C)),
(IX) (((A & B) D C)) D ((A D (B D C)),
(X) (((A D B) D A) D A),
(XI) ((A & (— A)) D (B V (— B))),
(XII) ((— D) D (D D A)),
(XIII) ((D D (— (A D A))) D (— D)),
(XIV) (A D (— (— A))),
(XV) ((— (— A)) D A).
Правило modus ponens в Х является единственным правилом вывода исчисления HVIK. Доказательства в HVIK строятся обычным для гильбертовского типа исчислений образом.
Доказана следующая теорема 2 о том, что исчисление HVIK аксиоматизирует логику VIK.
Теорема 2. Для всякой Х-формулы А: А доказуема в HVIK т.т.т. А е VIK.
GVIK является секвенциальным исчислением. Секвенции имеют вид п ^ р, где п и р есть конечные последовательности Х-формул (конечной последовательностью Х-формул являются, в частности, пустое множество и любая Х-формула).
Множество всех основных секвенций исчисления GVIK есть множество всех секвенций, каждая из которых имеет вид А ^ А или А, (— А) ^ В, (— В), где А и В есть Х-формулы.
Множеству всех правил исчисления GVIK принадлежат все следующие правила R 1 - R 19 и только они. При нижеследующей формулировке этих правил предполагаем, что Г, А, Е и © есть конечные последовательности Х-формул, а А и В есть Х-формулы.
R 1: Г, A, B, А ^ © Г, B, A, А ^ ©
R 2: Г ^ А, A, B, © Г ^ А, B, A, ©
R 3:
A, A,
©
A, Г ^ ©
R 4: Г ^ А, A, A
Г ^ А, A
R 5:
©
A, Г ^ ©
R 6: A, Г ^ А, B
Г ^ А, (A D B)
R 7: Г^ А, A B, Е ^ © (A D B), Г, Е ^ А, ©
R 8: A, Г ^ А, B
Г ^ А, (A D B)
R 9:
A, Г ^ ©
(A & B), Г ^ ©
R 10:
A, Г ^ ©
(B & A), Г ^ ©
R 11: Г ^ ©, A Г ^ ©, B R 12: Г ^ ©, (A & B) ,
Г ^ ©, A
Г ^ ©, (A V B)
Я 13: Г ^ 0, A Я 14: А, Г ^ © В, Г ^ ©
Г ^ 0, (Б V A) , (А V В), Г ^ 0
Я 15: Г ^ 0, D
(здесь D есть Х-формула, не являющаяся
(— D), Г ^ © квазиэлементарной Х-формулой),
Я 16: D, Г ^ 0
(здесь D есть Х-формула, не являющаяся
Г ^ 0, (— D) квазиэлементарной Х-формулой),
Я 17: А, Г ^ 0 Я 18: Г ^ 0, A
(- (- А)), Г ^ 0 , (- (- A)), Г ^ 0
Я 19: Г ^ А, A A, Е ^ 0 (правило сечения).
Г, Е ^ А, 0
Выводы в СУЕК строятся обычным для секвенциальных исчислений генценовского типа образом (см. [2], [3]). Для СУ1К доказана теорема об устранимости сечения. С использованием этой теоремы доказано, что для всякой Х-формулы А верно следующее: А доказуема в НУ1К т.т.т. секвенция ^ А выводима в СУ1К. Из утверждения и теоремы 2 вытекает следующая теорема 3 о том, что исчисление СУ1К аксиоматизирует логику У1К.
Теорема 3. Для всякой Х-формулы А: секвенция ^ А выводима в СУТК т.т.т. А е У1К.
Девятизначная характеристическая матрица для У1К
Пусть &+, V+ и есть бинарные, а ^ есть унарная операции на {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, определяемые нижеследующими таблицами.
&+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 2 4 5 5 1 2 2
2 2 2 2 5 5 5 2 2 2
3 2 2 2 5 5 5 2 2 2
4 4 5 5 4 5 5 4 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
6 5 5 5 5 5 5 5 5 5
7 1 2 2 4 5 5 1 2 2
8 2 2 2 5 5 5 2 2 2
9 2 2 2 5 5 5 2 2 2
У+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
3 1 2 2 1 2 2 1 2 2
4 1 1 1 4 4 4 1 1 1
5 1 2 2 4 5 5 1 2 2
6 1 2 2 4 5 5 1 2 2
7 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8 1 2 2 1 2 2 1 2 2
9 1 2 2 1 2 2 1 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 2 4 5 5 1 2 2 1 5
2 1 1 1 4 4 4 1 1 1 2 4
3 1 1 1 4 4 4 1 1 1 3 6
4 1 2 1 2 2 1 4 2
5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1
6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 3
7 1 2 4 5 5 1 7 8
8 1 1 1 4 4 4 1 1 1 8 7
9 1 1 1 4 4 4 1 1 1 9 9
Операции &+, У+ и определялись таблично в [4] при конструировании характеристической матрицы для логики 13. К сожалению, в [4] при определении операции &+ посредством таблицы допущены три опечатки: в пересечениях третьей сверху строки с четвертым, пятым и шестым столбцами напечатано «1» вместо «5».
Ясно, что <{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, {1}, {&+, У+, Э+, ^ }> есть матрица. Обозначим эту матрицу через Шуж. Оценкой языка Х в
Шуш называем отображение множества {p1, p2, p3, • ..} в носитель матрицы mVIK. Можно доказать, что для всякой оценки v языка X в mVIK существует единственное отображение, обозначаем его | |vmVIK множества FormX в носитель матрицы Шуж, удовлетворяющее следующим условиям:
(a) для всякой пропозициональной переменной р языка X: |р| Ш™ = v(£),
(b) для всяких X-формул А и В:
|(— A)|vmVIK = ^ |A|vmVIK,
| (A & B)| vmVIK = | A | vmVIK &+ |B| vmVIK,
|(A V B)^^ = |A|vmVIK V+ |B|vmVIK ,
|(A D B)^^ = Uim^ D+ |B|vmVIK.
Доказана следующая теорема 4 о том, что mVIK является характеристической матрицей для логики VIK.
Теорема 4.
Для всякой X-формулы А: Vv |А |vmVIK = 1т.т.т. А е VIK.
v есть оценка X в mVIK
Отображения, погружающие классическую пропозициональную логику в VIK
Обозначаем через CLP классическую пропозициональную логику в языке X.
Доказаны следующие теоремы 5 и 6 о погружении CLP в VIK.
Теорема 5. Пусть ф есть отображение множества всех пропозициональных переменных языка X во множество FormX, удовлетворяющее условиям:
1) ф(р) не есть квазиэлементарная X-формула ни для какой пропозициональной переменной р языка X, 2) для всякой пропозициональной переменной р языка X X-формулы (р D ф(р)) и (ф (р) D р) принадлежат логике CLP.
Тогда для всякой X-формулы А верно, что А е CLP т.т.т. hg (А) е VIK, где hg есть такое отображение множества FormX в себя, что для всякой пропозициональной переменной р языка X и всяких X-формул В и С выполняются условия:
(1) hg (р) = Ф (р),
(2) hg ((В ° С)) = h (В) ° hg (С)) (здесь ° е {&, V, D}),
(3) hg ((— В)) = (— hg (В)).
Например, определив для всякой пропозициональной переменной р языка X ф(р) как (р & р) (или как (р V р)) получаем операцию hg, погружающую CLP в VIK.
Теорема 6. Пусть ф есть такое отображение множества FormX в себя, что для всякой пропозициональной переменной р языка X и всяких X-формул В и С выполняются условия:
(1) ф (р) = р,
(2) ф ((В ° С)) = (ф (В) ° ф (С)) (здесь ° е {&, V, D}),
(3) ф ((— В)) = (ф (В) D (— р Dр1))).
Тогда для всякой X-формулы А: А е CLP т.т.т. ф (А) е VIK.
Следствие теоремы 6
Для всякой X-формулы А, в которую не входит —, верно следующее: А е CLP т.т.т. А е VIK.
Таким образом, позитивный фрагмент классической пропозициональной логики, сформулированной в языке X, равен позитивному фрагменту логики VIK.
ЛИТЕРАТУРА
1. Войшвилло Е.К. Философско-методологические аспекты релевантной логики. М., 1988.
2. Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. М., 1967.
3. Смирнов В.А. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972.
4. Попов В.М. Девятизначная характеризация логики I3 // Философия и будущее цивилизации: Тезисы докладов и выступлений IV Российского философского конгресса (Москва, 24-28 мая 2005 г.) Т.1. С. 547-548.
