Некоторые интервалы между простыми паралогиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Некоторые интервалы между простыми паралогиками1

В. М.Попов

abstract. Some intervals between simple paralogies are characterized, in particular their cardinalities are pointed out.

Ключевые слова: паранепротиворечивостъ, параполнота, паранор-малъностъ.

Охарактеризованы некоторые интервалы между простыми паралогиками. Определяем язык L как стандартный пропозициональный язык с алфавитом {&, V, D, ), (,Pi,P2,P3, ■ ■ ■ }■ При-

L

L

зиэлеметттарпой формулой называем формулу, в которую не входит ни ни V, ни D. Логикой называем непустое множество

L

LL L

L

L

называем множество всех формул тривиальной теорией логики L. Противоречивой теорией логики L называем такую теорию T логики L, что для некоторой формулы А верно: A Е T и —A Е T.

L

тиворечивую теорию T логики L, что T не есть тривиальная тео-L

L

L

L

воречивой теории T логики L верно: если А Е T и —А Е T, то

'Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант .V8 06-06-80292-а.

Некоторые интервалы между простыми паралогиками.

183

A есть квазиэлементарная формула. Полной теорией логики L называем такую теорию T логики L, что для всякой формулы A верно: A Е T или —A Е T. Параполной теорией логики L называем такую теорию T логики L, что T не является полной теорией логики L и всякая полная теория логики L, включающая T,

L

L

L

логику L, что для всякой параполной теории T логики L верно: существует такая квазиэлементарная формула е, что е /T и —е Е T. Простой паралогикой называем логику, которая является простой паранепротиворечивой логикой или простой параполной логикой. Простой паранормальной логикой называем логику, которая является простой паранепротиворечивой логикой и простой параполной логикой. Исчисления HAVP, HVIK, HMAP, HLAP, Н1о,ш, HIi,ш, HI2,HI3, ш являются исчислениями гильбертовского типа. Язык каждого из этих исчислений есть L. Аксиомные схемы исчисления HIo ,ш (здесь и далее A, B и С есть переменные по формулам, a E — переменная по формулам, не являющимся квазиэлементарными формулами): (I) (A D B) D ((B D С) D (A D С)),(!!) A D (A V B^11) B D (A V B), (IV) (A D С) D ((B D С) D ((A V B) D С)), (V) (A&B) D A, (VI) (A&B) D B, (VII) (С D A) D ((С D B) D (С D (A&B))), (VIII) (A D (B D С)) D ((A&B) D С)), (IX) ((A&B) D С) D ((A D (B D С)), (X) ((A D B) D A) D A, (XI) —E D (E D A),

(E D —(A D A)) D —E HI3(I)-(XH) и (XIII) (A&—A) D (B V —B) мы исчисления HI1 (I)-(XI) и (XIV) (B D —(A D A)) D —B. Аксиомные схемы исчисления HI2,(I)-(X), (XII) и (XV) —B D (B D A) HAVP

схемы исчисления HIo,ш, (XVI) ——A D A и (XVII) A D ——A.

HVIK

числения HI3,ш, (XVI) и (XVII). Аксиомные схемы исчисления HMAP: все аксиомные схемы исчисления HIi,ш, (XVI) и (XVII).

HLAP

числения HI2,ш, (XVI) и (XVII). Правило модус поненс в L является единственным правилом вывода всякого из определяемых здесь исчислений. Доказательства в каждом из этих исчисле-

18-'l

В. M. Попов

ттий строятся обычным для гильбертовского типа исчислений образом. Через 1о,ш обозначаем множество всех формул, доказуемых в Н1о,ш, через — множество всех формул, доказуемых в HIi,ш, через I2,ш — множество всех формул, доказуемых в Н12,ш ,через р3,ш — множество всех формул, доказуемых в HI3,ш, через AVP — множество всех формул, доказуемых в HAVP, через VIK — множество всех формул, доказуемых в HVIK, через MAP — множество всех формул, доказуемых в HMAP, через LAP — множество всех формул, доказуемых в HLAP

ющейся классической тавтологией, обозначаем через ClP множество всех формул, каждая из которых есть классическая тав-ClP M

Li

L2, тел и Li и L2 являются логи ками, Li С L2 и M есть множество всех таких логик X, что X = Li, X = L2 и Li С X С L2. (Li, L2)

Li L2 AVP VIK

MAP LAP

ралогики, a Ii,u, I2,u, I3, ш — попарно различные разрешимые простые паралогики, пи одна из которых не является коттеч-нозначной; (2) AVP, VIK, I3, ш — простые паранормальные логики, MAP, Ii,^ — иаранеиротиворечивые (но не парапол-ные) логики, LAP, — параполпые (но не иаранеиротиворечивые) логики; (3) VIK = MAP П LAP и р3ш = П Дш (4) (AVP, MAP) = (AVP, LAP) = {VIK}; (5) (AVP, Form) = {VIK, MAP, LAP, ClP}; (6) (Ii ,ш,MAP) и (I2 ,ш,LAP) - континуальные множества соответственно простых парапепротиво-речивых логик и простых параполных логик; (7) (I33,ш, VIK) и (Io,ш, AVP) — континуальные множества простых паранормальных логик; (8) (I3 ,ш, Ii,ш), (I3,ш, I2,ш) и (Io,ш, I3,ш) —континуальные множества соответственно простых паранепротиворечивых логик, простых параполных логик pi простых паранормальных логик.

Литература

[1] Попое В. М. Интервалы простых паралогик //Смирновские чтения по логике.

Материалы 5-й конференции 20-22 июня 2007, М., 2007. С.35-37.