CC BY
72
УДК 519.2:528.1 Н.Б. Лесных СГГ А, Новосибирск
ДВЕ ОШИБКИ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗЫ ОТСУТСТВИЯ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ВЛИЯНИЙ
Выполнена проверка гипотезы отсутствия систематических влияний в результатах измерений на моделях различных геодезических объектов: ошибок измерений, невязок, разностей двойных измерений, поправок, ошибок функций накопленных аргументов. Для каждого объекта анализа установлена наиболее вероятная ошибка проверки.
N.B. Lesnykh SSGA, Novosibirsk
TWO ERRORS OF CHECKING THE HYPOTHESIS OF SYSTEMATIC EFFECT ABSENCE
The hypothesis has been checked for absence of systematic effects in measurement data by modeling various geodetic objects: measurement errors, misclosures, double measurements difference, corrections and accumulated arguments functions errors. For each analyzed object the most probable check error was defined.
При проверке любой статистической гипотезы возможны две ошибки. Ошибка первого рода - отклонить верную гипотезу, ошибка второго рода -принять неверную гипотезу. Свойства объекта статистического анализа в геодезии в определенной степени предопределяют появление ошибки первого или второго рода.
Покажем на примерах исследования моделей ошибок геодезических измерений и их функций возможные перспективы появления неправильных выводов. Проверяемая гипотеза - отсутствие систематических влияний в геодезической сети, нормальный закон распределения ошибок измерений.
Ошибки измерений
Идеальным объектом анализа являются сами ошибки измерений. Формируем ряд из шестнадцати (n = 16) случайных ошибок измерений с параметрами Мд = 0 и ад = 2, используя встроенную функцию morm(16,0,2) системы Mathcad (табл. 1).
Таблица 1. Случайные ошибки измерений
д - 0,25 0,83 2,93 - 2,46 - 0,77 0,95 0,37 0,39
д 1,04 1,65 1,86 1,79 0,52 - 1,39 0,93 - 0,30
Внесем в первое измерение искажение 51 = - 7. Теперь истинная ошибка первого измерений 0! = - 7 = - 7,25. Проверка свойств случайных ошибок
измерений дала следующие результаты: А = 0,068 - оценка математического
ожидания, среднее арифметическое; а = 2,36 - оценка среднего
квадратического отклонения;
К = (13 15 15 112 0)- вектор количества ошибок в заданных интервалах: 1) к(|Д|< а) = 13; к(|А|< 2а) = 15; к(|А|< За) = 15; 2) к(А>0)= 11;
3) к(а < |Д|< 2а) = 2; к(2а < \А\< За) = 0. Одна ошибка превышает
За .
Pn - K = (- 2,07 0,26 0,95 -3 2,34 0,69) - вектор разностей теоретического и эмпирического числа ошибок в интервалах.
2а= (3,72 1,68 0,44 4 3,56 1,62) - допустимое расхождение Р п и К.
Здесь а1 =д/п р^1 , где р, - теоретическая вероятность появления ошибки
в интервале; qi =1—р^.
4) =0,116- вычисленное значение статистики равенства средних;
Р(1 > 1э) = 0,909.
Б = - 1,77 - оценка асимметрии кривой распределения; 2о§ = 1,06 Е= 3,11-оценка эксцесса кривой распределения; = 1,76.
Таким образом, результаты анализа показали наличие систематических влияний, неслучайный характер ошибок измерений. Существенны асимметрия и эксцесс кривой распределения, не выполняется первое свойство случайных ошибок измерений, грубая ошибка обнаружена по допуску За .
Второй вариант: 013 = А13 - 7 = - 6,48. А = 0,068; а = 2,20 - оценки параметров. Б= - 1,53 и Е= 2,30 превышают допуски.
Третий вариант: 09 = Д9 + 8 = 9,04; 0ц = Ап + 8 = 9,86. Существенны Б = 1,49 и Е= 1,17; не выполняется третье свойство:
Рп - К = (- 3,07 1,26-0,05 -3 4,34- 1,31).
Четвертый вариант: систематическая ошибка 5 = 4 внесена во все случайные ошибки ряда, начиная с № 9 по №16. Свойства случайных ошибок не выполняются: Рп - K = (4,93 5,26 - 0,05 - 5 0,34 - 5,31). tэ = 4,76; P(t > tэ) = 0,00025 - мала.
Пятый вариант: систематическая ошибка 5 = 4 внесена во все случайные ошибки ряда, начиная с № 13 по №16. Не выполняется второе свойство:
Pn - K = (0,93 1,26 - 0,05 5 0,34 -1,31).
1э = 2,91; P(t > 1э) = 0,011.
Шестой вариант: 09 = Д9 + 4 = 4,04; 0ц = Ап + 4 = 4,86. Оценки параметров: А = 1,006; а = 2,16. Систематическая ошибка 5 = 4 составила 1,9 а и компенсировалась, не нарушив свойств случайных ошибок.
Т.о., заданная методика анализа хорошо выявляет систематические влияния в ошибках измерений. Одиночные, грубые ошибки порядка За ,
систематические ошибки порядка 2 а , присутствующие в четырех и более результатах были надежно обнаружены.
Исключение составил шестой вариант ошибок, систематическая составляющая которых, равная 1,9 а , присутствовала только в двух измерениях. Наличие систематических влияний не было обнаружено, допущена ошибка второго рода.
Невязки
Случайные некоррелированные невязки нивелирной сети из п = 60 измерений и г = 28 избыточных измерений с параметрами Мд = 0 и ад = 1 помещены в табл. 2.
Таблица 2. Случайные невязки нивелирной сети
W 0,7 - 0,4 1,0 - 2,2 0,7 0,6 0,4 1,7 - 0,4 0,2
W - 2,0 - 4,6 - 0,1 - 0,4 - 1,4 2,5 - 1,2 1,6 - 1,3
W 1,1 - 3,2 0,3 1,3 - 2,2 2,4 0,8 0,4 - 2,0
Внесем в значения невязок единичную, грубую ошибку 5| = 7, тогда
\¥1 = 7,7. Оценки параметров: ;^=0,046; аш = 2,25.
Результаты анализа обнаруживают наличие систематических влияний.
Б= 0,96 превосходит допуск 2ст§ = 0,85. Е= 2,80 больше, чем 2о^ =
1,53.
K = (23 26 27 15 3 1); Pn - K = (- 3,88 0,71 0,92 -1 4,59 0,20).
2 а = (4,92 2,22 0,58 5,29 4,70 2,15) - одно недопустимое расхождение Рп и К свидетельствуют о невыполнении первого свойства (0,92 > 0,58).
Одна ошибка превышает 3 .
Внесем в четвертую часть всех невязок от №8 до №15 систематическую ошибку 5 = 4. Результаты анализа выявляют систематическое влияние, не выполняется второе свойство: Рп - K = (- 0,88 0,71 - 0,08 - 6 1,59 - 0,80).
Когда число систематических ошибок 5 = 4 составляло меньше четвертой части всех невязок (с №8 по №13), их влияние не обнаруживалось. Т.о., имела место ошибка второго рода - принятие неверной гипотезы.
Разности двойных измерений
Как известно, если в результатах двойных измерений присутствуют примерно равные систематические ошибки, то в большей части такие ошибки в разностях двойных измерений погашаются. Достаточно небольшая остаточная систематическая ошибка статистическим анализом может не обнаруживаться, имеет место ошибка второго рода.
Рассмотрим случай, когда только результаты повторных измерений получили систематические смещения. В табл. 3 представлены два ряда ошибок: случайные ошибки Д с параметрами Мд = 0 и ад = 2 и случайные ошибки Д' из табл.1, искаженные с № 13 по № 16 систематической ошибкой 5 = 4:
0' = Д' + 5. d = Д - 0' - разности повторных измерений.
Таблица 3. Разности двойных измерений
д 0' d д 0' d д 0' d
0,44 - 0,25 0,69 - 2,63 0,37 - 3,00 - 1,85 5,52 - 7,37
0,81 0,83 - 0,02 - 5,68 0,39 - 6,07 - 1,76 2,61 - 4,37
- 2,31 2,93 - 5,24 2,55 1,04 1,51 0,56 4,93 - 4,37
- 2,21 - 2,46 0,25 1,58 1,65 - 0,07 - 0,80 3,70 - 4,50
- 2,21 - 0,77 - 1,44 0,29 1,86 - 1,57
- 0,82 0,95 - 1,77 - 2,01 1,79 - 3,80
Результаты анализа разностей: d = - 2,648; ст^= 2,65.
S= -0,11; 2og = 1,06; Ё= - 1,34; 2og = 1,76;
К = (8 14 16 3 6 2); Рп - К = (2,93 1,26 -0,05 5-1,66-1,31)
2 а = (3,72 1,68 0,44 4 3,56 1,62) - допустимое расхождение Рп и К.
t з =3,88 ; P(t > t3) = 0,0015 - мала.
Второе и четвертое свойство не выполняются. Систематические ошибки второго ряда измерений отразились на разностях и были обнаружены статистическим анализом.
Поправки МНК
Результаты статистического исследования поправок, полученных из уравнивания моделей геодезических сетей по методу наименьших квадратов (МНК) подробно изложены в работе «Свойства ошибок и поправок нивелирных и линейно-угловых сетей», выполненной в соавторстве с С.А. Егоровой. Отметим здесь, что исследование поправок в наибольшей степени способно привести к появлению ошибки второго рода.
Одиночные ошибки, превосходящие 3 о, не обнаруживаются анализом поправок. Например, при анализе поправок одной из нивелирных сетей (сети А2), измерение с ошибкой 01 = - 8,8 (од = 1) получило поправку v = 3,51; в другом варианте две ошибки 01 = - 8,8 и 013 = - 7,5 (5 = - 7) компенсировались поправками, равными 3,91 и 3,35.
Уравнивание по методу наименьших квадратов, т. е., под условием
[pv2]=min не допускает появления таких же крупных поправок, как
2 2
соответствующие им ошибки измерений, [рА ]>-[рv ] . В рядах поправок одиночные, грубые ошибки измерений или массовые систематические ошибки (по результатам исследований не более четверти всех исследуемых элементов выборки) сглажены, компенсировались и приобрели случайные свойства.
Функции накопленных аргументов
Функциями накопленных аргументов будем называть функции типа j
Fj=í>i. (1)
i = 1
Функциями накопленных аргументов являются, например, дирекционные углы полигонометрического хода, отметки определяемых точек нивелирного хода или полигона и др. Истинные, случайные ошибки дирекционных углов являются накопленными функциями ошибок углов:
Да)=дО); д(а2)=Д«+д(2);,,,;Д«=Д(1)+Д(2)+,,,+ Дй) (2)
Результаты статистического анализа показали, что свойствами случайных ошибок измерений накопленные ошибки дирекционных углов не обладают.
Иногда в рядах нормально распределенных случайных чисел встречаются области с повторением одного и того же знака (плюса или минуса) на протяжении семи и даже девяти значений. Если отсчет случайных ошибок угловых измерений придется на начало такой области, происходит накопление ошибок одного знака уже на значительно большем протяжении -от 21 до 33 чисел.
Статистический анализ таких рядов ошибок дирекционных углов обнаружит наличие систематических влияний, которого не было в ошибках измерения углов.
Т. о., использование для статистического анализа функций накопленных аргументов может привести к ошибке первого рода - отклонению верной гипотезы.
Функции от функций накопленных аргументов
Аналогичные ошибки проверки выдвинутой гипотезы могут иметь место при анализе функций от функций накопленных аргументов, например, ошибок приращений координат или ошибок координат полигонометрического хода.
Выполним анализ случайных ошибок приращений координат:
Adx=c°saAs- SsinaAa/p; (3)
Ajy =smaA§+ScosaAa/p. (4)
В зависимости от величины слагаемых правой части формул (3) и (4) на закон распределения ошибок Acjx и A¿y будут влиять случайные ошибки
измерения длин линий А§ или накопленные ошибки дирекционных углов Аа
. Приведем результаты анализа слагаемых формул (3) и (4) на следующих двух примерах:
1) a =50 ; S = 270 м; n = 20 ; aS = 1 см; ар = 3" .
Обозначим: a = cos a AS ; b = S sin a Aa / p"; Adx = a - b;
а1 = sin a AS; b1 = S cos a Aa /p"; Ady = a1 + b1.
Результаты вычислений и анализа: a - случайные числа; в - числа одного знака (с минусом), неслучайны; а > в, = a - Ь - случайные числа.
a1 - случайные числа, в1 - числа одного знака (с минусом); а1 < в1, Дdy a1 + Ь1 — все одного знака (с ^минусо^м), неслучайны.
2) а =850 ; S = 270 м; п = 20 ; а8 = 1 см; ар = 3".
a - случайные числа; в - числа одного знака (с минусом);
а < в, Д& = a - Ь - числа одного знака (положительные), неслучайные.
a1 - случайные числа; в1 - числа одного знака (с минусом);
а1 > в1, Д^ = a1 + Ь1 - случайные числа.
В отличие от представленного в примере вытянутого хода, в сети, содержащей различно направленные полигоны, результаты влияния функций накопленных аргументов не столь очевидны. Однако, вывод о наличии систематических влияний в результатах измерений углов и в этом случае может оказаться ошибочным.
© Н.Б. Лесных, 2010
