Проектирование полигонометрического хода методом моделирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.4:519.2

В.Е. Мизин

СГГ А, Новосибирск

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПОЛИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ХОДА МЕТОДОМ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Рассмотрены возможности компьютерного проектирования на примере полигонометрического хода с использованием метода математического моделирования. Сравниваются невязки предлагаемых проектов, вычисляемые как функции ошибок измерений.

V.Ye. Mizin SSGA, Novosibirsk

TRAVERSE DESIGNING BY MODELING

Computer-aided design capabilities are considered by the example of a traverse. Mathematical simulation is used for the purpose. The offered polygons misclosures are compared, which are computed as measurement errors functions.

Геодезической основой, создаваемой на линейном объекте, могут являться полигонометрические ходы, вытянутая форма которых наиболее соответствует протяженному контуру линейного сооружения.

К проекту полигонометрического хода предъявляется ряд требований и ограничений на число сторон n, длину хода [S], значение угловой невязки хода:Га, значение относительной невязки хода f / [S] .

Угловые и координатные невязки при этом представляют как функции результатов измерений [1].

Невязки полигонометрического хода вычисляются по формулам:

fa=P\+Р2+"' + @п+1~^ак~ан^+^® (-О

fx=dx^+dx2+...+dxn-(xK-xH); (2)

fy=dyl+dy2+...+dyn-(yK-yH) . (3)

Рассмотрим возможности компьютерного проектирования полигонометрического хода с использованием метода математического моделирования.

Для решения поставленной задачи невязки рассматриваются как функции истинных ошибок результатов измерений.

В полигонометрическом ходе измеряются углы в и длины линий S. Случайные ошибки измерений обозначим: Ар - ошибки угловых измерений и As - ошибки линейных измерений.

Истинные ошибки функций случайных ошибок измерений вычисляют по формуле

дф

ду,

п

А

О

п ■

(4)

Такими функциями будут являться ошибки дирекционных углов и координат. Дирекционный угол 1-ой линии равен

а1 =а}1+ Р\ + @2 +"+А “180° •/.

Истинная, случайная ошибка невязки дирекционного угла равна сумме случайных ошибок углов или случайной ошибке конечного дирекционного угла

А?"=Га = +А® +...+д£*> =Д^1). (5)

Координаты пунктов полигонометрического хода

X. л=Хг,+СЇХл+СІХ~+... + СІХ. г + 1 н 1 2 I

и

У1 + ]=Уп+с/У]+с/У2+-- + с/у, определяются с ошибками

д^1)=д(1)+д(2)+,„+д©

Л ах ах ах

(6)

а(!+1)=а(!)+а(?)+... + А«. (7)

У ау ау ау у 7

В качестве аргументов координатных ошибок будем рассматривать случайные ошибки приращений координат (к. =5'- соза•; ф-=8-ът.а .

I I Г I I I

Возьмем частные производные от функций с1х и с!у по аргументам Б и а

ссіх- дйх-

I

I _

дйуі

Бта-, -^—L=Sl соьа-. і да- 1 1

5^

98,

По формуле (4) получим случайные ошибки приращений координат: а[2=С08 от• А^ -Л'; 8Іп аі ^ / р , (8)

1 ""ОС

к(0

,(0

(О

Ау =8Іпа. Ау+5 со8сг Ау /р ау і Ъ> і і а

(9)

Истинные, случайные ошибки координатных невязок равны суммам случайных ошибок приращений координат:

д(?) =./х=Т со$а, - X ^ эша- / р, (10)

•* /=1 /=1

=./у=Т вт ос) + X ^ С08 0^1 /р. (11)

•* /=1 /=1

На примере полигонометрического хода продемонстрируем возможности метода моделирования [2] при проектировании геодезической сети. Необходимые расчеты произведем в системе Мathcad. Подобные вычисления призваны подтвердить соответствие проектируемого хода всем инструктивным требованиям и допускам.

Предлагаем следующую методику. В значения углов и сторон полигонометрического хода, снятые со схемы, вносим случайные ошибки измерений - случайные, нормально распределенные числа, с заданными параметрами - математическим ожиданием М(Д) = 0 и средним

квадратическими отклонениями углов ар и сторон а^ По формулам (5), (10), (11) производится вычисление невязок полигонометрического хода.

Возможно решение следующих задач проектирования. Выбор наилучшего варианта для разного соотношения точности угловых и линейных измерений. При заданной точности измерений выбор положения пунктов хода - значений углов и сторон. Обоснование увеличения длины или числа сторон в ходе при более высокой по сравнению с первоначально заданной (по инструкции) точностью измерений. И другие подобные задачи.

Вычисляем: длину хода X, угловую невязку fa, координатные невязки 1х и fy, невязку хода £ знаменатель относительной невязки хода (2/1). Исходными данными для расчетов являются случайные ошибки углов Д, выраженные в секундах, дирекционные углы а в градусах, случайные ошибки сторон Дs в сантиметрах, длины сторон S см, задаваемые в виде векторов.

Изменяя значения и количество углов и сторон, точность предполагаемых измерений, получаем различные варианты проекта полигонометрического хода. Анализируя значения полученных невязок можно выбрать оптимальный вариант. Предпочтительно просчитать несколько вариантов с различными рядами случайных ошибок.

Выполним сравнение двух проектов с различными значениями средних квадратических отклонений углов и сторон:

1) ар=3", аs = 1 см ;

2) ар=2", аS = 3 см.

Каждый проект рассматривался для двух вариантов рядов случайных ошибок. Приведем вычисления по одному варианту первого проекта.

V

-1.54Л

-3.16

-1.46

2.27

0.68

5.03

-0.45

1.79

-2.70

-3.48

-0.78

1.07

5.48

1.60

-6.17

83 :=

п—1

( 90 ^ 100 102 83 78 83 73 53 57 67 87 67 67

V82/

/

Лэ :=

^ 1.38 ^ -1.85

1.97

-0.93

0.71

0.20

-2.05

-0.74

0.86

-0.21

0.42

-0.12

-0.25

-1.63

8:=

/

^ 25000 ^ 30000 40000 25000 26000 27000 23000 29000 22000 30000 40000 26000 27000 28000

V

п—1

х віпі Аг. • АвіІ 84 := ^

сіх. •

і = 0

- = 1.732 х Ю5 і

і = О

п := 14 і := 0.. (п - 1) р := 206265

) =°

сіх. := 8. ■ сові Аг.1 її і]

п—1

Аг. := ос; ■ — 1 180

сіу. := 8. ■ яіп Аг.

1 1 Iі 1

п—1

/

81 := сое' Аг.| • 82 := ^

/

і = 0

ґх:= 81 - 82

п— 1

і = О

V

Р )

Е:=Х 8і

і = О

ґа := £ А] І = О

^ := 83 + 84 . [~2 72

ґ := + 1у

ґа = -1.82 ґх= 1.617 іу = -1.632

Полученные значения невязок по двум проектам представлены в табл. 1.

Таблица 1. Невязки полигонометрического хода

а

П

Невязки ор=3", ов = 1 см ор=2", ов = 3 см

1 - ый ряд А 2- ой ряд А 1 - ый ряд А 2- ой ряд А

fa -1,82" - 1,52" -4,66" 3 т, 3, -

Гх 1,62 см 9,60 см 5,57 см 13,89 см

Гу - 1,63 - 4,74 13,58 9,28

Г 2,30 10,71 14,68 16,70

1/[Б] 1/173200 1/37170 1/27120 1/23830

По результатам двух испытаний проходит первый проект хода.

Предлагаемый способ проектирования методом моделирования не рекомендуется использовать в геодезических построениях, в том числе и полигонометрических ходах, с небольшим числом измерений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лесных Н.Б. Метод наименьших квадратов на примерах уравнивания полигонометрических сетей. - Новосибирск: СГГА, 2007. - 160 с.

2. Лесных А.И. Поиск грубых ошибок методом моделирования // Материалы XXIV науч.-техн. конф. препод. СГГА. - Новосибирск, 2000.

© В.Е. Мизин, 2010