Свойства ошибок и поправок нивелирных и линейно-угловых сетей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2:528.1

Н.Б. Лесных, С.А. Егорова

СГГ А, Новосибирск

СВОЙСТВА ОШИБОК И ПОПРАВОК НИВЕЛИРНЫХ И ЛИНЕЙНО-УГЛОВЫХ СЕТЕЙ

На моделях полигонометрической и трех нивелирных сетей исследована возможность использования поправок МНК для проверки отсутствия систематических влияний в геодезической сети. Установлены условия эффективности подобного анализа. Предложено блочное представление обратной весовой матрицы поправок.

N.B. Lesnykh, S.A. Yegorova SSGA, Novosibirsk

ERRORS AND CORRECTIONS PROPERTIES IN LEVELING- AND LINEARANGULAR NETWORKS

The model of a polygonometric network and those of the three leveling ones were investigated for least-square corrections application to test for the absence of systematic errors effect in a geodetic network. The conditions of such analysis efficiency are specified. The block representation of the reverse weighting correction matrix is offered.

Установить наличие систематических влияний в геодезической сети позволяет статистический анализ геодезических данных. Для сравнительно небольших сетей привлекательным объектом анализа становятся поправки, получаемые из уравнивания измерений по методу наименьших квадратов. Поправки являются линейными функциями ошибок. Математическое ожидание поправки, как и случайной ошибки, равно нулю. Количество поправок и ошибок одинаково и значительно превышает число независимых невязок. Между ошибками и поправками, предположительно, имеет место корреляционная связь.

Исследование свойств ошибок и поправок выполнено на моделях полигонометрической и трех нивелирных сетей при четырех - восьми реализациях различных вариантов случайных А[ и неслучайных 0j =Aj +5 ошибок. Проверялось выполнение свойств случайных ошибок измерений:

1) Для ряда результатов измерений с известным законом распределения абсолютные величины случайных ошибок с заданной вероятностью p не превзойдут определенного предела;

2) Положительные и отрицательные случайные ошибки, равные по абсолютной величине, равновозможны;

3) Малые по абсолютной величине случайные ошибки измерений встречаются чаще, чем большие;

4) Среднее арифметическое случайных ошибок измерений по вероятности стремится к нулю с увеличением числа измерений.

Использовались критерии равенства вероятностей и равенства средних [1]. Критерий равенства вероятностей:

Р(|п р - k | < ta) = в, (1)

где в = Ф^) - доверительная вероятность (принято t = 2 для в = 0,95); к -число ошибок в заданном интервале; п - число всех ошибок, подлежащих исследованию; р - теоретическая вероятность попадания ошибки в заданный

интервал; а=^/прсї, где д = 1 - р.

Если неравенство (1) выполняется, можно считать, что данное свойство имеет место, гипотеза не противоречит результатам наблюдений.

Если пр — к| >- 1;ст, гипотеза о наличии данного свойства отвергается.

Критерий ^ Дг

V

завенства средних: (2)

а/л/п ’

где Д=[Д]/п - среднее арифметическое ошибок измерений; Л0=Мд=0 - теоретическое среднее, равное математическому

ожиданию случайной ошибки измерения; а / л/п - оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического;

п

1(4-Д)

1-і

2

П-1

(3)

- оценка среднего квадратического отклонения, характеризующая разброс отдельных значений ошибок (поправок) от их среднего арифметического.

Величина t подчиняется закону распределения Стьюдента с V = п - 1 степенями свободы. Если вероятность Р^ > ) > а, гипотеза о согласии не

отвергается, отклонение среднего арифметического от нуля можно считать несущественным на заданном уровне значимости а. Здесь ^ - вычисленное значение статистики 1

Вычислялись также оценки асимметрии и эксцесса кривых распределения и оценивалась их значимость.

=3

8 = |а3 / сг

(4)

- оценка асимметрии кривой распределения, где

П "2 Из = Е(?Ч-х) /п (5)

¿-1

- оценка центрального момента третьего порядка, вычисляемая без группирования данных.

а5=

6(п-1)

; (6)

(п +1) (п + 3)

оценка среднего квадратического отклонения асимметрии.

Если

8 <2 , асимметрия несущественна.

Е=р4/а4-3 (7)

- оценка эксцесса кривой распределения, где

п л

ш = Х(хі-х) /п (8)

І = 1

- оценка центрального момента четвертого порядка.

24п(п-2) (п-3) (9)

(п-1) (п + 3)(п + 5)

- оценка среднего квадратического отклонения эксцесса.

Если Е < 2эксцесс несущественный.

Приведем результаты анализа.

Нивелирная сеть А. Содержит п = 11 измерений г = 5 избыточных измерений. Уравнивание выполнено для четырех вариантов случайных и четырех вариантов неслучайных ошибок. Учитывая небольшой объем исследуемой совокупности ошибок, выполнялась проверка их свойств, которая должна была подтвердить случайный или неслучайный характер заданных ошибок. Действительно, случайные, нормально распределенные ошибки с параметрами ад =1 и Мд = 0 обладали по результатам анализа всеми свойствами случайных ошибок, имели несущественные асимметрию и эксцесс.

Систематические ошибки 5 были внесены в следующие измерения. Первый вариант: 59 = 511 = 8. Второй вариант: 59 = 8. Третий вариант: 59 = 511 = 4. Четвертый вариант: 511 = 4.

Результаты анализа неслучайных ошибок оказались следующими. Первой вариант - не выполняются первое и третье свойства. Остальные показатели в допуске. Второй вариант - не выполняется третье свойство. Анализ ошибок третьего и четвертого варианта не обнаружил систематических влияний. Сравнительно небольшие систематические смещения компенсировались и в целом ряд не утратил свойств случайных ошибок.

Поправки сети А обладали случайными свойствами во всех восьми реализациях случайных и неслучайных ошибок.

Нивелирная сеть А1 с числом измерений п = 15 и числом избыточных измерений г = 5. Исследовано восемь вариантов рядов ошибок и поправок при наличии неслучайных смещений.

1) 513 = - 7; 2) 51 = - 7; 3) 513 = 51= - 7; 4) 59 = 10;

5) 52 = 8; 56 = 10; 514 = 8. 6) 54 =.. .= 57,= 512 =.. .= 515= 8;

7) 51 =...= 5з = 58 =...= 5П = 5; 8) 5 = 3 £ = 1.15).

В результате анализа неслучайных ошибок первых четырех рядов установлено, что все значения асимметрии превосходят допуск. Существенно значение эксцесса первого, второго и четвертого рядов. Первые три свойства случайных ошибок полностью не выполняются. Т.о., проверка подтвердила неслучайный характер ошибок.

Приведем результаты исследования поправок сети А1, полученных по неслучайным ошибкам. Для первого ряда поправок не выполняется второе свойство. Из п = 15 поправок к = 12 положительных. В соответствии с критерием равенства вероятностей расхождение р п - к = 7, 5 -12 = - 4,5 превысило допуск 2 а = 3,87, но 4,5 < 3 а. В рядах поправок со второго по пятый все свойства случайных ошибок выполняются, асимметрия и эксцесс несущественны.

Шестой ряд содержит восемь крупных систематических ошибок. Анализ поправок обнаруживает нарушение четвертого свойства. Вероятность превышения полученного значения статистики критерия равенства средних оказалась невысокой р^ > ^) = 0,013. Не выполняется второе свойство случайных ошибок: р п - к = 5,5. Для седьмого ряда поправок также не выполняется второе свойство (компенсации положительных и отрицательных ошибок) 5,5 > 3,87.

Для восьмого ряда, содержащего небольшую, постоянную, но присутствующую во всех измерениях ошибку 5 = 3 = 3 а, все четыре свойства случайных ошибок не выполняются, эксцесс существенный. Т.о., шестой, седьмой и восьмой ряды поправок не носят случайного характера, не обладают всеми свойствами случайных ошибок.

Нивелирная сеть А2 с числом измерений п = 17 и избыточных измерений г = 5 уравнена в четырех вариантах со следующими систематическими ошибками: 1) 51 = - 7; 2) 51 = 513 = -7; 3) 56 = 57 = 59 = 514 = 10; 4) 5; = 4 (1 = 1, ..., 17).

Наличие систематических влияний обнаружено только в двух последних вариантах. Вариант три - существенна асимметрия: 8 = - 1,103; 2с§ = 1,03;

не выполняется второе свойство: р п - к = 4,5; 2 а = 4,12. В четвертом варианте все свойства случайных ошибок не выполняются.

Линейно - угловая сеть полигонометрии состоит из п = 14 сторон, п' = 17 углов. Число избыточных измерений г = 9. Сеть уравнена по методу наименьших квадратов в пяти вариантах. В первом варианте Др, Дв -случайные ошибки углов и сторон с параметрами: Мр = Мв = 0 и ар = 3”, ав = 1. В последующие варианты внесены систематические ошибки.

2) 06 = Дб + 15”; Дв.

3) 06 = Дб + 15”, 012 = Д12 + 15”; Дв .

4) 06 = Дб + 15”, 012 = Д12 + 15”, 016 = Д16 + 15”, Дв .

5) 01 = Д1 + 7”, 06 = Д6 + 7”, 012 = Д12 + 7”, 014 = Д14 + 7”, 016 = Д16 + 7”;Дв.

Первый и второй варианты поправок углов сохраняют все свойства случайных ошибок. Единичная, крупная ошибка 56 = 15” = 5 ар второго варианта не повлияла на случайное распределение поправок, v6 = - 5,0”.

В третьем варианте значение эксцесса Е = -1,749 уже несколько превосходит допуск 2 а = 1,744.

В четвертом и пятом рядах поправок углов не выполняются все свойства случайных ошибок. В частности, второе свойство для четвертого варианта

р п - к = 6,5; для пятого варианта р п - к = 5,5 при допуске 2 а = 4,12. Четвертое свойство:

4) % = 5,86; р(г > ^ = 0,000024; 5) г, = 4,44; р(г > г,) = 0,0004.

Для случайных ошибок сторон распределение четвертого и пятого рядов поправок в линии хода не является случайным. В четвертом и пятом вариантах нарушено второе свойство (4 > 3,74). В пятом варианте статистика гэ = 4,24 критерия равенства средних имеет невысокую вероятность Р^ > ^) = 0,00096.

Таким образом, одиночные грубые ошибки, как правило, не приводят к изменениям случайных свойств поправок.

Систематические искажения, превышающие 3 а, большинства ошибок измерений, или крупные, не единичные грубые или систематические ошибки приводят к изменению свойств поправок и могут быть обнаружены статистическим анализом поправок.

Если при анализе поправок обнаружены систематические влияния, это значит, что такие влияния присутствуют в ошибках измерений геодезической сети. Исключением является случай, когда геодезическая сеть содержит большое число промежуточных точек, которые обуславливают появление одинаковых поправок и нарушение третьего свойства случайных ошибок измерений «малые по абсолютной величине ошибки встречаются чаще, чем большие» [2].

Если свойства поправок соответствуют свойствам случайных ошибок измерений, это не означает, что в ошибках нет единичных, грубых искажений.

Результаты оценки точности измерений по материалам уравнивания, значительно превышающие предполагаемые средние квадратические ошибки, могут указывать на наличие систематических влияний в сети.

Допустимые значения поправок целесообразно вычислять с использованием значения средней квадратической ошибки измерения, требуемой по инструкции или результатов оценки точности измерений на станции [2].

Обратные веса поправок - диагональные элементы обратной весовой матрицы поправок Ру. Для параметрического способа уравнивания

, (10)

где Оу =П - матрица обратных весов результатов измерений.

1 X

Ру =АЫ~ А - обратная весовая матрица уравненных измерений.

Представим матрицу коэффициентов параметрических поправок в блочном виде, например, из трех блоков

уравнений

лт=|

а1хп1

а11хп2

я?Т

аАхп3

(11)

Тогда

АЫ_1ЛТ

Г \

ап1х1

а1

п2х1

а2

п3х1

N

V

ят „1Т я9т

а1хп1 а11хп2 а21хп3

1

ап1х1;^ а1хп1 ап1х1;^ а11хп2 ап1х1;^ а21хп3

У

а1

[х]

!^‘аТхп1 а1п1х1^‘а1^хп2 а1п2х^_1а2Тхп3

хп 4„1Т

п2х

V

а2п3х1;^ а1хп1 а2п3х1;^ а11хп2 а2п3х1;^ а21хп3

(12)

)хг"' ~Пхп2 ~~п3х1

- обратная весовая матрица уравненных результатов измерений, от которой по формуле (10) легко перейти к обратной весовой матрице поправок.

Блочное вычисление обратной весовой матрицы поправок обеспечивает компактность ее представления и удобство использования, возможность ограничиться определением только тех блоков, которые содержат нужные диагональные элементы - обратные веса максимальных поправок.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лесных Н.Б. Законы распределения случайных величин в геодезии. -Новосибирск: СГГК, 2005. - 128 с.

2. Лесных Н.Б., Малиновский А.Л., Мизина Г.И. Анализ результатов уравнивания нивелирных сетей АЭС // Межвуз. сб. науч. трудов «Совершенствование методов инженерно-геодезических работ. - Новосибирск, 1988 - С. 41-45.

© Н.Б. Лесных, С.А. Егорова, 2010