О законе распределения линейной функции случайного аргумента Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Геодезия

УДК 519.2:528.1

О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

Наталья Борисовна Лесных

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент, ведущий научный сотрудник СГГА, тел.(383)343-29-21

Галина Ивановна Лесных

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной геодезии СГГА, тел. (383)344-36-60, e-mail: [email protected]

Теоретически и экспериментально исследуется закон распределения поправок для трех различных законов распределения случайных ошибок измерений.

Ключевые слова: анализ, закон распределения, ошибка, поправка.

ABOUT THE DISTRIBUTION LAW OF LINEAR FUNCTION OF ACCIDENTAL ARGUMENT

Natalya B. Lesnykh

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo, St., associate Prof., leading Researcher SSGA, tel. (383)343-29-21

Galina I. Lesnykh

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo, associate Prof., department of applied geodesy and information systems SSGA, tel. (383)343-29-55, e-mail: [email protected]

The distribution law of the amendments is researching for different distribution laws of measurements chance errors in theory and experiment.

Key words: analysis, distribution law, error, amendment.

Математическая обработка геодезических измерений по методу наименьших квадратов (МНК) приводит к представлению вектора поправок к результатам измерений V как линейной функции вектора невязок W:

V=-nATN -1W. (1)

Вектор W можно выразить через вектор истинных ошибок измерений 0 :

W = -A0=-A (А + 5) = A(A) + A(5) . (2)

Здесь А и 5 - векторы случайных и систематических ошибок результатов измерений, соответственно.

27

Геодезия

При отсутствии систематических ошибок вектор поправок V является линейной функцией вектора случайных ошибок измерений:

V=nATN_1A А = СД, (3)

где Cnxn - матрица с постоянными элементами, n - число измерений.

Поправки, как линейные функции случайных ошибок измерений, могут быть представлены следующими формулами:

' V1 '

v2 =

V Vn ,

c11 c12 ... c1n

c21 c22 ... c2n

\ fA1 ]

A 2

) vA n J

или

vn) Vcn1 cn2 ... cnn) vAn

vi = ci1 'A1 + ci2 'A 2 +... + cin ‘A n (i = 1, 2, ..., n).

(4)

(5)

Установим, какому закону распределения подчиняется случайная величина V (СВ V) в зависимости от закона распределения СВ А. Кроме известного нормального рассмотрим еще два закона распределения случайных величин - Лапласа и логистический [1].

О степени близости рассматриваемых распределений можно судить по значениям плотностей данных распределений, помещенных в таблице.

Таблица

Плотности вероятностей f(A) при оА = 1,0 и М(Д) = 0

А 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Норм. 0,399 0,352 0,242 0,130 0,054 0,018 0,004

Логист. 0,454 0,372 0,219 0,105 0,046 0,019 0,008

Лапласа 0,707 0,349 0,172 0,085 0,042 0,021 0,010

Логистический закон распределения наиболее близок к нормальному. Для (А - М(Д)) / оА = А = 0,0 имеет место максимальное расхождение плотностей нормального закона и распределения Лапласа.

Нормальный закон распределения случайных ошибок измерений с параметрами a a - средним квадратическим отклонением и М(А) = 0 - математическим ожиданием имеет плотность вероятности:

f(A)

A2/2 a A

(6)

28

Геодезия

Первоначально получим плотность вероятности СВ U = c А в соответствии с программой преобразований, заданной в [2]:

u = ф(А) = c-А, А = ф(u) = u/c, ф'(и) = 1/c, |ф'(и) = 1/|c|;

2 2 2

M(u) = c - M( А) = 0, au = c a а , с - постоянная величина;

g(u) = f(y(u)) -|v'(u)|

общая формула плотности вероятности СВ U.

Плотность СВ U при нормальном законе распределения аргумента А:

g(u) =

1 e - u2/c22 a А. I

aA

V22

c

g(u)

1

2 /0 2 2 u /2c Ga

(7)

СВ U распределена нормально с параметрами M(U) = 0 и au = c a a .

Закон распределения Лапласа характеризуют два параметра - а = М(А) (для случайных ошибок измерений М(А) = 0), А а =аА /V2=au /|ф/2 и плотность вероятности:

f(L) (А)=—— e 1А / Аа 2 Аа

(8)

Используя предыдущие преобразования, получим выражение для плотности вероятности СВ U:

g(L)(u)

1 e-| uMc| АА

|c|2 А а

(9)

Формула плотности (9) означает, что СВ U подчиняется закону распределения Лапласа с параметрами:

M(U) = 0 и Аи =^| JiOp |c| Аа .

Логистический закон распределения имеет плотность вероятности:

f( л)(А>

А / А

А

,-А / Аа

Аа (1 + eА/ Аа )2 Аа (1 + e-A/ Аа )2

(10)

29

Геодезия

и параметры: а = М(Д) = 0 и Аа = Плотность вероятности СВ U:

u/c Аа

gW(u)=- ^ А

аА

V3

п

u/c А А

Аа (1 + eu/cАа )2 Аа (1 + e

Параметры распределения СВ U:

- u/c Ха )2

X

au-V3 c -ста^/3 %а'П * c -Ха -п-л/3

u

п

п

д аА

А

, А

u

л/3 -п

(11)

СВ U - линейная функция СВ Д, имеющей логистическое распределение, также подчиняется логистическому закону распределения с параметрами:

M(U) = 0 и А u = c - Аа .

В рассмотренных случаях теоретически линейная функция случайного аргумента случайна и распределена по тому же закону, что и аргумент этой функции.

Случайный вектор V поправок МНК можно рассматривать как линейную функцию случайного вектора U:

vi =ui1 + ui2 +... + uin. (12)

На основании центральной предельной теоремы Ляпунова [1], не зависимо от закона распределения слагаемых - линейных функций случайных ошибок измерений (нормального, логистического или закона Лапласа) поправки, как суммы большого числа независимых случайных величин, будут распределены приближенно нормально.

Этот вывод вполне соответствует экспериментальным данным [4, 5, 6], в том числе нашим результатам уравнивания модели нивелирной сети с числом измерений n = 60 и числом избыточных измерений г = 28. Случайные ошибки измерений были заданы в трех вариантах - для нормального закона распределения, закона Лапласа и логистического. Во всех трех случаях поправки МНК были распределены нормально. При этом логистическое распределение поправок не отрицается, но с худшими по сравнению с нормальным законом показателями. Распределение Лапласа исключается только по значению оценки эксцесса кривой распределения поправок, равной нулю (E= 0,0). Оценка эксцесса кривой распределения соответствующих ошибок E = 2,99 практически совпала с теоретическим значением эксцесса кривой распределения Лапласа Е = 3.

30

Геодезия

Для ряда ошибок, распределенных по закону Лапласа, максимальная ошибка измеренного превышения нивелирной сети A32 = 5,52 мм компенсировалась также максимальной по абсолютной величине для данной сети поправкой v32 = -2,96 мм. Замена крупных ошибок меньшими по абсолютной величине поправками привела к уменьшению значения оценки эксцесса практически до нуля и большему соответствию распределения поправок по всем остальным показателям нормальному закону.

Таким образом, выполненное исследование дает основание считать, что при достаточно большом числе измерений для любого закона распределения случайных ошибок измерений, распределение случайных поправок МНК может быть нормальным.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лесных Н.Б. Законы распределения случайных величин в геодезии: монография. -Новосибирск: СГГА, 2005. - 128 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Издательский центр «Академия», 2005. -

576 с.

3. Лесных Н.Б. Отбраковка грубых ошибок критерием равенства вероятностей // Вестник СГГА. - 2009. - Вып. 10. - С. 72-75.

4. Антонович К.М., Яхман В.В. Выбор стохастической модели при уравнивании спутниковых геодезических измерений // Вестник СГГА. - 2006. - Вып. 11. - С. 58-64.

5. Дударев В.И. Математические модели радиодальномерных траекторных измерений ИСЗ // Вестник СГГА. - 1998. - Вып. 3. - С. 46-48.

6. Карманов И.Н., Мещеряков Н.А. Разновидности погрешностей при выполнении экспериментальных измерений // Вестник СГГА. - 2005. - Вып. 10. - С. 194-198.

Получено 26.10.2012

© Н.Б. Лесных, Г.И. Лесных, 2012

31