Две лекции о двух путях истории симметрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Наука - образованию

Изв. вузов «ПНД», т. 21, № 4, 2013 УДК 530.1

ДВЕ ЛЕКЦИИ О ДВУХ ПУТЯХ ИСТОРИИ СИММЕТРИИ

Д. И. Трубецков

Эти лекции были прочитаны школьникам на школе-семинаре «Нелинейные дни в Саратове для молодых» в октябре 2012 года. Они посвящены изложению двух путей истории симметрии. Первый путь - самоподобие, то есть инвариантность при изменении размеров. В более общем случае говорят о скейлинге, понимая под этим термином существование степенного соотношения между некоторой переменной у и переменными Х1,...Х„: у = Ах11 ...хПп, где А, ах,...ап - постоянные. В Лекции 1 приведены примеры появления скейлинга (самоподобия) в различных областях науки и культуры. Как указывает Г.И. Баренблат [1], «...степенные законы - скейлинг - никогда не появляются случайно. Они всегда обнаруживают важнейшее свойство рассматриваемого явления, его автомодельность. Слово автомодельность означает, что, изменяясь во времени и пространстве, явление воспроизводит себя в изменяющихся временных и/или пространственных масштабах». В Лекции 2 изложен второй путь - поиск решения алгебраических уравнений, приведших к теории групп. Изложение ведется на фоне исторических событий и описаний действующих лиц истории.

Ключевые слова: Симметрия, самоподобие (скейлинг), фракталы, степенные ряды, подобие, золотое и серебряное сечения, хаос.

Лекция 1. Самоподобие как вид симметрии

Симетрш ж.греч. соразмьръ, соразмьрность, равно (или разно) подоб1е, равномьр1е, равнообраз1е, соответств1е, сходность, одинаковость, либо соразмьрное подобие расположенья частей цьлого, двухъ половинъ; сообраз1е, сообразность; про-тиворавенство, противоподоб1е. Симетрическое расположение дома, фасада, разнообразное на обь половины. Полная симетрш докучаетъ, а изящное разнообразие краситъ и тьшитъ вкусъ.

В.И. Даль. Толковый словарь живого великорусского языка. В 4 т. Т. 4. М.: Изд-во «Русский язык», 1998. С. 186.

Начнем с определений

Известно, что Леонид Исаакович Мандельштам предостерегал от строгих определений. Он сравнивал их введение с пеленанием младенца в колючую проволоку, особенно на раннем этапе вхождения в ту или иную проблему. Однако, вопреки

его предостережению мы дали определение уже в эпиграфе и дадим еще несколько, которые во многом носят описательный характер.

Первое из них принадлежит Герману Вейлю из его замечательной книги «Симметрия» [2, с. 37].

«Симметрия - в широком или узком смысле в зависимости от того, как вы определите значение этого понятия, - является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Вот еще одно определение [3, с. 12, 13].

«Симметрия - это не число и не форма, но специальный вид преобразований, то есть некоторый способ "шевелить" объект. Если объект выглядит неизменным после преобразования, то данное преобразование представляет собой симметрию. Например, квадрат выглядит так же, как раньше, если его повернуть на прямой угол.

Эта идея - серьезно расширенная и усовершенствованная, лежит в основе того, как современная наука понимает Вселенную и ее происхождение... Такое понимание пришло из чистой математики; роль симметрии в физике проявилась позднее...

Говоря более широко, история симметрии иллюстрирует, как культурное влияние и историческую непрерывность великих идей можно выпукло отразить на фоне как политических, так и научных сдвигов и переворотов».

И, наконец, последнее определение симметрии из книги М. Шредера [4, с. 1516], которую будем часто цитировать, а иногда и пересказывать.

«Под симметрией мы понимаем инвариантность при каких либо изменениях: нечто остается одним и тем же, несмотря на потенциальную возможность изменения. По-видимому, сильнее других бросается в глаза зеркальная симметрия, то есть инвариантность при "перемене местами" левой и правой сторон...

Трансляционная, поворотная и зеркальная симметрии, действуя совместно, создают форму кристаллов от алмазов до снежинок. И эти же три симметрии определяют многое из того, что доставляет нам эстетическое наслаждение в орнаментальных узорах... Среди всех симметрий, пышным цветом расцветающих в Саду Инвариантности, лишь один побег до недавнего времени не был взлелеен - буквально вездесущая инвариантность при изменении размеров, называемая самоподобием, или, если речь идет более чем об одном масштабном (скейлинговом) факторе, самоаффинностью...

Слово симметричный - древнегреческого происхождения и означает "соразмерный", "упорядоченный", то есть даже отдаленно не напоминает ни о чем хаотическом. Тем не менее, как это ни парадоксально, самоподобие... - это единственная из всех симметрий, которая порождает саму антитезу симметрии - хаос, состояние полного беспорядка и отсутствия какой бы то ни было соразмерности».

Эта лекция в большей степени отвечает третьему из приведенных определений и посвящена самоподобию.

Эйнштейн доказывает теорему Пифагора на основе подобия треугольников (или анализа размерностей?)

Историки науки считают, что развитию математических способностей Эйнштейна в детстве способствовал его дядя Якоб - инженер по образованию. Он давал мальчику математические задачи, и тот испытывал удовольствие от их решения. В 1891 году Эйнштейн приобрел, по его по словам, «священную книгу по геометрии» - геометрию Эвклида. Изучая ее, он почувствовал, что некоторые доказатель-

ства в книге неоправданно сложны, в частности, доказательство теоремы Пифагора. Он предложил иное доказатель-

Рис. 1. Чертеж к доказательству теоремы Пифагора, которое предложил одиннадцатилетний Эйнштейн

ство1.

Пусть мы имеем прямоугольный треугольник АВС и опустим высоту ВД из вершины прямого угла на гипотенузу АС (рис. 1). Высота делит большой треугольник на два меньших, подобных друг другу и большому треугольнику. Напомним правила подобия треугольников.

Треугольники подобны, если их собственные углы равны и сходственные стороны пропорциональны. Для подобных треугольников достаточно одного из следующих условий:

1) Три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

2) Два угла одного треугольника равны двум углам другого.

3) Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а заключенные между ними углы равны.

Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам сходственных линейных элементов (сторон, высот, диагоналей и т.п.)

Из рисунка видно, что все три треугольника подобны по условию 2. Как уже указывалось в эвклидовой геометрии, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих линейных размеров, то есть площади Ea, Еь и Ec (E - начальная буква немецкого слова Ebene - площадь) трех треугольников связаны с их гипотенузами a, b и c соотношениями

Ea = ma Еь = mb2

2

c

mc

2

(1) (2) (3)

где т - безразмерный отличный от нуля коэффициент, один и тот же во всех соотношениях.

Из рис. 1 видно, что Еа + Еь = Ес или с учетом (1)-(3)

та2 + тЬ2 = тс2, что приводит нас к теореме Пифагора

2 2 2 а2 + Ь2 = с2.

Как восторженно пишет Шредер, теорема, которую доказал одиннадцатилетний ребенок, уже содержала в доказательстве принципы простоты и симметрии (частным случаем последней является самоподобие). «Однако истинная красота доказательства Эйнштейна не в том, что оно столь просто, а в том, что оно вскрывает истинную суть

1Шредер [4, с. 25] пишет по этому поводу следующее. «Эту историю мне рассказал Шнейор Лифсон (из Института Вейцмана в Тель-Авиве), которому поведал ее ассистент Эйнштейна Эрнст

Штраус, слышавший ее от самого старика Альберта».

теоремы Пифагора: подобие и масштабируемость (скейлинг)» [4, с. 27].

Случайное буквенное совпадение соотношения (3) с последующим знаменитым открытием Эйнштейна об эквивалентности энергии и массы E = mc2, следующим из инвариантности при преобразованиях Лоренца, породило забавную карикатуру (рис. 2).

Впрочем, Эйнштейн мог вывести теорему Пифагора и из соображений размерности.

Действительно, из размерности вытекает, что площадь Ec треугольника

можно записать как произведение квад-

2

рата гипотенузы c на произвольную функцию угла f (а). Аналогично можно представить и площади Д ABD и Д BCD, в которых гипотенузами являются катеты треугольника ABC. Тогда c2f (а) = a2f (а) + b2f (а).

Может быть, Эйнштейн решал задачу и так.

Самоподобная расстановка ферзей, не бьющих друг друга.

Снежинка Коха и размерность для фракталов.

Канторово множество и ковер Серпинского

Если мы повторяем некую операцию снова и снова, но в меньшем и меньшем масштабе, то мы практически неизбежно приходим к самоподобной структуре. Повторяющаяся операция может быть алгебраической, символической или геометрической, как, например, в случае следующей шахматной задачки: «Как на шахматной доске заданных размеров должны быть расставлены ферзи, которые не бьют друг друга, то есть никакие два ферзя не стоят на одной горизонтали, одной вертикали или одной диагонали доски?» Задача решается просто, если мы будем говорить о досках, размеры или порядок которых k равен целой степени какого-нибудь целого числа, то есть k = nm, где m и n - целые числа.

Расстановка пяти не бьющих друг друга ферзей показана на рис. 3. Понятно, что легко найти решение для доски 25 х 25, которую можно считать состоящей из 5 х 5 = 25 досок размером 5 х 5. Следует просто оставить пустыми большую часть из этих 25 досок, за исключением пяти, соответствующих занятым на рис. 3 ферзями. Действуя по аналогии, мы придем к доске размером 5n х 5n с расставленными на ней 5n ферзями, не бьющими друг друга2. Расстановка безукоризненно само-

2 Шредер предлагает более романтическую постановку задачи: имеем пять спящих красавиц-королев, которых мы на пути к совершенному самоподобию пробудили ото сна и позволили безгранично множиться.

Рис. 2. Эйнштейн в процессе вывода своей знаменитой формулы Е = тс2 (с точки зрения карикатуриста) [4, с. 27]

Рис. 3. Пять не бьющих друг друга ферзей на доске 5 х 5 [4, с. 29]

подобна: выбирая одну из пяти непустых «поддосок» со стороной, составляющей одну пятую от всей доски, и увеличивая ее в пять раз, получим исходную доску. Множитель 5 - коэффициент подобия доски. Запомним цифру 5, поскольку именно на ней сомкнутся обе темы лекций.

Следующий пример - кривая Коха, предложенная шведским математиком Хельге фон Кохом в 1940 году. Последовательность ее построения показана на рис. 4. Возьмем прямолинейный отрезок единичной длины Ь(1) = 1 (п = 0 на рис. 4), разделим его на три равные части и заменим среднюю часть двумя другими сторонами построенного на ее базе равностороннего треугольника. Получится так называемый образующий элемент, которому на рис. 4 соответствует п = 1. Длина всей построенной кривой Ь(1/3) = 4/3, поскольку каждое звено кривой, состоящей из четырех прямолинейных звеньев, равно 1/3. На следующем шаге построения (п = 2) той же элементарной операции подвергался каждый отрезок длиной 1/3. Иными словами, каждое прямолинейное звено заменяется уменьшен- Рис. 4. Последовательность построения триадной ным образующим элементом и получа- кривой Коха

ется кривая, состоящая из 16 звеньев, длина которой Ь(1/9) = (4/3)2 = 16/9. Действуя подобным образом, получим кривые для любых п. Кривая на любом конечном шаге п имеет длину Ь(Ь) = (4/3)п, где 8 = 3-п. При п ^ то длина звена 8 ^ 0, а длина всей ломаной Ь(8) ^ то. Эта кривая бесконечной длины нигде не дифференцируема, хотя и всюду непрерывна.

Впервые побочные функции, которые непрерывны, хотя ни в одной точке к ним невозможно провести касательную, были построены Карлом Вейерштрассом. Многие ужаснулись, но были и те, кто увидел в них нечто новое.

Первым был Людвиг Больцман, который в 1809 году писал в письме Феликсу Клейну, что недифференцируемые функции могли бы быть изобретены физиками, поскольку в статистической механике имеются проблемы, для решения которых «недифференцируемые функции абсолютно необходимы». В 1906 году Жан Перрен предсказывал, что «кривые, не имеющие касательных, являются общим правилом, а гладкие кривые, такие как окружность, - интересным, но весьма частным случаем» (цит. в обоих случаях по [4, с. 30-31]). Удивительно, не правда ли?

Рис. 5. а - исходная фигура и образующий элемент для снежинки Коха; б - промежуточный пример для снежинки

Сегодня, с легкой руки Мандель-брота, мы называем такие недифферен-цируемые кривые просто фракталами.

Применяя образующий элемент Коха к равностороннему треугольнику и закрасив внутренность получившейся фигуры в черный цвет, приходим к сплошной звезде Давида (рис. 5, а). Бесконечная итерация приводит к снежинке Коха (пример на рис. 5, б). После п итераций периметр снежинки становится в (4/3)п раз больше периметра исходного треугольника, а при п ^ то становится бесконечно большим. Мы уже указывали на это, анализируя кривую Коха. Как же измерить периметр?

Для гладкой кривой мы заменили бы ее ломаной так, чтобы длина £(8) = N8, где N - число прямолинейных отрезков, умещающихся на кривой, а 8 - длина отрезка. Тогда при 8 ^ 0 £(8) стремится к конечному пределу - длине Ь рассматриваемой кривой.

С фракталами так поступать нельзя: произведение N8 ^ то, потому что когда 8 ^ 0, мы учитываем все более мелкие извивы фрактала. Но стремление к бесконечности происходит по определенному однородному степенному закону от 8, такому что при некотором значении показателя О > 1 произведение N8-° остается конечным. При показателях, меньших О, произведение обращается в бесконечность, а при больших О стремится к нулю. Эту величину О называют размерностью Хаусдорфа-Безиковича, и она выражается формулой

О = Иш

1п N

8^0 1п(1/8)'

Если при построении снежинки Коха шаг на п-м этапе построения равен 8 = 1 /3п то число шагов N = 4п. Следовательно,

О = Иш

1п4п

1п 4

п^те 1п 3п 1п 3

= 1.26...

Величина О лежит между 1 и 2, и это понятно: бесконечно длинная кривая представляет собой нечто большее, чем просто одномерный объект, но в то же время она не двумерная фигура, так как такая кривая не покрывает никакой области на плоскости. Таким образом, то, что О может принимать дробные значения - разумно.

Очевидно, что для гладкой кривой О = 1, для гладкой поверхности3 О = 2, для трехмерного тела О = 3. Интересно, однако, что размерность О = 2 может иметь и топологически одномерный объект - линия. Классический пример - асимптотически самоподобная кривая Джузеппе Пеано (работы которого анализировал Гильберт), проходящая сколь угодно близко от любой точки единичного квадрата

3Для гладкой поверхности число N покрывающих дисков пропорционально 1/82, где 8 - диаметр малых дисков, необходимых для того, чтобы покрыть фигуру.

(рис. 6). Поскольку п-й образующий элемент кривой Пеано состоит из 22п — 1 звеньев длиной 1/2п, то ее размерность О = 2, как и полагается кривой, заполняющей плоскую фигуру.

Размерность Хаусдорфа-Безикови-ча полезна и для описания точечных множеств - «кривых» нулевой длины. Знаменитый пример - множество, построенное Георгом Кантором (рис. 7). Для построения канторова множества возьмем отрезок [0,1], имеющий единичную длину, разделим его на три части и выбросим середину - открытый интервал (1/3; 2/3). Будем поступать дальше аналогично: отрезки [0; 1/3][2/3;1] делим на три части и выбрасываем середины. На к-м шаге описываемой процеду-

Рис. 6. Этапы построения кривой Пеано [4, с. 34]

Рис. 7. Построение канторова множества

ры получим 2к оставшихся отрезков, не связанных друг с другом. Длина каждого отрезка равна 1/3к. В пределе, когда к ^ ж, число вырезанных отрезков неограниченно возрастает, а длина их стремится к нулю. К нулю же стремится и их суммарная длина. Действительно, суммарная длина всех вырезанных отрезков представляет собой сумму геометрической прогрессии со знаменателем ц = 2/3 и первым членом а\ = 1/3, то есть

сц 12 4

1/3

1 — 2/3

= 1.

Поскольку исходная длина отрезка равна 1, то мера ее остатка равна нулю. Но это не значит, что ничего нет.

В случае размерности Хаусдорфа-Безиковича роль радиуса элемента заполнения будет играть длина отрезка, оставшегося на к-м этапе построения, то есть 1/3к; число элементов укрытия равно числу отрезков, то есть 2к. Тогда

О = Иш

1п 2к

1п 2

1п3к 1п3

= 0.63...

Размерность получилась дробной, принимающей значения между 0 и 1. Почему? Потому, что «канторова пыль» гораздо больше, чем точка с размерностью 0, и много меньше, чем отрезок прямой или кривой с размерностью 1. Теперь, пожалуй, можно дать и определение фрактала, следуя Бенуа Мандельброту.

Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого больше его топологической размерности.

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Первое определение весьма ограничительно, но строго. Второе подчеркивает важный признак фрактала: он выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдать. И хотя неологизм «фрактал» был введен недавно, можно считать,

что фрактальная геометрия появилась давно, а главными фигурами в развитии идеи фрактальной размерности были Феликс Хаусдорф (1868-1942) и Абрам Самуилович Безикович (1891-1970).

Естественен вопрос: «Существуют ли двумерные множества, подобные квантовой пыли?» Да, существуют.

Рассмотрим равносторонний треугольник и удалим перевернутый центральный равносторонний треугольник со стороной, равной половине длины исходного треугольника. Останется три треугольника со сторонами, вдвое меньшими стороны исходного треугольника. Если повторять эту операцию над неперевернуты-ми треугольниками, после п шагов получаем N = 3п треугольников со сторонами г = Го2-п. Получающееся при бесконечном повторении этой процедуры множество называется ковром Серпинского (польский математик Вацлав Серпинский, 1882-1969). Размерность Хаусдорфа-Безиковича этого множества О = 1п3/ 1п2 = = 1.58. Заметьте, что О < 2 несмотря на то, что ковер существует в двумерном пространстве (рис. 8).

Заметим, что самоподобие ковра Серпинского сочетается с классической симметрией - симметрией поворота, поскольку форма ковра не изменяется при повороте вокруг его центра на угол 120° или на любое целое, кратное 120°. Как замечает Шредер [4, с. 42], «такие симметрии, сочетающие в себе бесконечный скейлинг и поворот на конечный угол, наблюдаются во многих фрактальных построениях и в работах известного художника Морица Эшера». На рис. 9 приведен трехмерный

вариант ковра Серпинского. Построение начинается с пирамиды, гранями которой являются четыре равносторонних треугольника (с правильного тетраэдра), из которой вырезается центральная перевернутая пирамида вдвое меньших размеров. Эта операция продолжается со всеми оставшимися пирамидами и т.д. Получается что-то вроде ажурной башни (см. рис. 9). Размерность Хаусдорфа-Безиковича следует из самой процедуры построения: уже из первого этапа имеем N = 4 (четыре оставшихся пирамиды) и размер г = 1/2, поэтому О = 1п 4/ 1п 2 = 2. Фрактальная размерность оказывается целой, но на единицу меньше эвклидовой размерности несущего пространства й = 3.

Приведем любопытную цитату из книги [4, с. 43-45].

«Двумерные и трехмерные аналоги ковра Серпинского моделируют многие природные явления и рукотворные сооружения. Взять хотя бы Эйфелеву башню в Париже, спроектированную Густавом Эйфелем. Если бы вместо всемирно извест-

Рис. 8. Построение ковра Серпинского

Рис. 9. Трехмерный вариант ковра Серпинского [4, с. 44]

ной ажурной конструкции это сооружение было спроектировано в виде сплошной пирамиды, то на его строительство было бы израсходовано дополнительно невероятное количество железа без сколько-нибудь заметного увеличения прочности. Эйфель пошел по другому пути: он применил фермы, то есть структурные модули, элементы которых используют жесткость треугольника. (Треугольник в отличие от прямоугольника не может быть деформирован без деформации по крайней мере одной из его сторон.) Однако отдельные элементы больших ферм сами представляют собой фермы, которые в свою очередь состоят из ферм еще меньшего размера. Такая самоподобная конструкция гарантирует высокую прочность при низком весе. Конструкция готических соборов также выдает глубокую веру их строителей в принцип достижения максимальной прочности при минимальной массе. В то же время американский архитектор Бакминстер Фуллер (1895— 1983) и его ажурные купола наглядно продемонстрировали всем, что прочность кроется не в массе, а в точках ветвления. Вопреки тому, что нам подсказывает здравый смысл, ковер Серпинского и аналогичные ему конструкции состоят сплошь из одних лишь точек ветвления. (В сколь угодно малой окрестности точки ветвления на кривой содержится более чем 2 точки)».

Степенные законы и самоподобие

Принцип подобия лежит в основе значительной части алгебры. Возьмем, например, однородную степенную функцию

f (ж) = cxa,

где c и a - постоянные. Если a = 1, то f (ж) = сж и при c < 0 функция описывает восстанавливающую силу линейной пружины. Если же a = —2 и с < 0, то уравнение становится законом всемирного тяготения Ньютона f (ж) = сж-2. Эти простые степенные законы, встречающиеся в природе часто, являются самоподобными: если подвергнуть ж преобразованию подобия, умножив его на некоторую константу, то функция f (ж) по-прежнему будет пропорциональна ж^ правда с другим коэффициентом пропорциональности. Таким образом, закон Ньютона F ~ r-2 справедлив независимо от значения величины r (будь r - длиной световой волны или длиной светового года). В законе Ньютона нет собственного, «встроенного» масштаба. Мы при желании можем растянуть или сжать гравитирующую Вселенную по своему усмотрению.

Закон обратных квадратов описывает и убывание мощности радиолокационного сигнала с расстоянием, чем во время второй мировой войны пользовались немецкие подводные лодки: они оценивали быстроту приближения авиации противника и успевали погрузиться прежде, чем вражеские самолеты начинали их атаковать. Американский физик Луис Альварес (1911-1988) изобрел устройство «Vixen» (лисица), предложив уменьшить интенсивность радиолокационного сигнала настолько, чтобы она была пропорциональна кубу расстояния до подводной лодки (/ ~ r3). Таким образом, при приближении самолета к подводной лодке интенсивность падала, создавая у моряков впечатление, что самолет удаляется. В то же время интенсивность отраженного сигнала от подводной лодки возрастала по мере приближения к цели.

Степенные законы описывают и спектры мощности различных шумов, в том числе самый загадочный из них - вездесущий, но часто труднообъяснимый фликер-шум 1//, где / - частота.

В мире фракталов степенные законы не обязательно должны быть целыми: они часто бывают дробными. Вот пример из человеческого восприятия. В весьма широком диапазоне амплитуд звуковых сигналов субъективная громкость Ь ~ /°'3, где I - физическая интенсивность звука (мы вернемся к этой теме позднее). Так, для усиления звучания своей музыки вдвое рок-группа из 5 музыкантов должна увеличить свою численность в 10 раз (50 музыкантов) при условии, что «выходная мощность» каждого музыканта останется на прежнем уровне. Вот почему рок-группы так пристрастны к электронным усилителям. Итальянский экономист Вильфредо Парето (1848-1923), работая в Швейцарии, обнаружил, что вероятность того, что один человек в 10 раз богаче другого, подчиняется нормальному распределению, но вероятность стократного превышения благосостояния оказывается намного больше той, что предсказывается нормальным распределением. По мнению Парето, такой «утолщенный хвост» возникает, наверное, потому, что богатый может эффективнее умножать свое богатство, чем средний индивид, чтобы достичь более высоких доходов и большего богатства. Таким образом, по Парето, число людей с доходом, превышающим некоторую большую величину, следует степенному закону. Похожий обратно-степенной закон был найден Джорджи Кингсли Ципфом ( 1902-1950) для частоты использования слов: длинные слова используются реже, чем короткие. Математическое выражение закона имеет следующий вид:

f (r)

1

r ln(1.78R)'

где f - частота использования слова; r - ранг слова - слово, стоящее на r-м месте в списке слов данного языка, расположенных в порядке убывания их употребления; R - общее число различных слов. Законы, подобные f (r) ~ 1/r называются гиперболическими законами. Предположим, что для английского языка R = 12000 слов. Тогда относительные частоты слов высокого ранга (the, of, and, to и т.д. в порядке убывания рангов) приближенно равны 0.1; 0.05; 0.033; 0.025; и т.д. На рис. 10

показано, сколь точно соответствуют экспериментальные данные и расчеты по закону Ципфа [4, с. 66].

Интересны результаты применения закона Ципфа к языку отдельных писателей. У хорошего писателя с активным словарем примерно в 100000 слов 10 слов наивысшего ранга занимают 24% текста. В то же время в примитивном газетном английском со словарем в R = 10000 слов доля часто употребляемых слов около 30%, то есть не на много больше. Дело в том, что лю-

Рис. 10. Зависимость частоты слова от ранга слова: бому писателю трудно избежать таких сплошная кривая - расчет по закону Ципфа слов, как the, of, and и to. У Шредера

есть интересный пассаж, касающийся обезьяньего языка [4, с. 67-69]. Если обезьяна «печатает» на пишущей машинке, на клавиатуре которой имеется N равновероятных клавиш с буквами и одна клавиша для пробела (с вероятностью р0), то создаваемые обезьяной слова, то есть последовательности букв между пробелами, имеют частоты

-1 + 1п(1-р0)

/ (т) ~ Т 1пЛГ

При N = 26 и ро = 1/5 показатель величины г равен (—1, 068), что лишь немного меньше (—1). Далее Шредер пишет следующее [4, с. 67-68].

«В общем случае обезьяньи слова можно моделировать как канторово множество с фрактальной размерностью О, равной величине, обратной показателю дроби 1/г. В нашем примере

1пЛГ

Для алфавита из 9 букв и р-1 = 110 показатель равен ( — 1.048), что соответствует "канторовой пыли" с О « 0.954. Арифметической моделью для слов (бесконечно большого количества слов) такого девятибуквенного "языка" служат все десятичные дроби между 0 и 1, в записи которых после запятой не встречается ни одного нуля (не считая нулей на концах конечных дробей)».

Поскольку обезьяний язык имеет фрактальную размерность, то он обладает и самоподобием. Действительно, если все слова этого языка умножить на 10 и отбросить целую часть или просто отбросить самую левую «букву» каждого слова, то получится еще один обезьяний язык. «Можно сказать, что слова такого рода языков растут на самоподобных деревьях: выберите любую ветвь, как бы высоко она ни росла и как бы ни мала была, и она окажется тождественной всему дереву. В этом особенно наглядно проявляется отличие обезьяньего языка от языков естественных: языки, на которых говорят и пишут живые люди, не растут на самоподобных деревьях, а если мы станем-таки настаивать на том, чтобы туда их повесить (Боже упаси!), то большинство ветвей окажутся мертвыми» [4, с. 68-69].

Альфред Лотка привел примеры обратно-степенных законов из области социологии. Один из них изложен в статье [5] и касается публикации научных статей в академических журналах. Смысл закона просто формулирует Э. Петерс в своей книге [6, с. 131]: «Чем больше статей опубликовал академик, тем более вероятна его публикация. Это происходит потому, что интенсивность публикаций подкрепляется учащимися студентами; большинство хорошо известных и старых членов академии могут быть соавторами, тем самым увеличивая свою продуктивность».

Золотое и серебряное сечения и гиперболический хаос

Итерация является одним из богатейших источников самоподобия. Если выбрано подходящее начальное значение, то повторное применение некоторой одной и той же операции - геометрической, арифметической или просто абстрактной, производимой над символами, почти неизбежно приводит к самоподобию. Возьмем в

качестве примера простое правило

2 — +

п+1

При ^о — 0 и — 1 эта рекуррентная формула порождает хорошо известную последовательность чисел Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... «Что же в них самоподобного?» - спросите вы. Умножим каждое из чисел на 1.6 и округлим до ближайшего целого числа. В результате получим: 0, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., то есть за исключением нескольких первых членов (и, возможно, нескольких более поздних) ту же последовательность чисел Фибоначчи.

Рассмотрим числовую последовательность, образованную из отношений соседних чисел Фибоначчи при — — 1, то есть

Л- п

V

Л- п.—

п— 1

1 2 _ 3 5 _ 8 _ 13 21 _ Г Г 2' 3' 5' ~8~' 13'

(4)

или

п

^П—1

— 1; 2; 1.5; 1.66; 1.6; 1.625; 1.61538; ...

К чему стремится эта последовательность, то есть к чему стремится последовательность ^п+1 при п ^ то? Для ответа на этот вопрос перепишем последовательность (4) иначе:

1

— 1;

21 - = 1 + -:

1 1'

3

= 1 +

1

5

1 +

13

= 1 +

1

1+

1

1

1 + т

то есть мы получаем, что это отношение можно представить в виде цепной дроби

V

^ п

^п—1

= 1 +

1+

1+

1+

1 +..

Причем Нт^-^оо (Рп/Рп_\) = (1 + л/5)/2 = х, где т - число Фидия, знаменитое золотое сечение. Как доказать это? Вспомним задачу из «Начал» Эвклида о делении отрезка в крайнем и среднем отношении. Суть задачи в следующем: разделить отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы большая часть отрезка СВ так относилась к меньшей части АС, как отрезок АВ к своей большей части СВ (рис. 11), то есть АВ/СВ = СВ/АС = х.

АС + СВ СВ

Рис. 11. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении («золотое сечение»)

Тогда имеем —= ^

АС 1 1

= Ж = 1+СВ=1+СВ =1 + -АС

1

2

1

1

1

1

1

Откуда получаем х2 = х + 1; уравнение имеет решение т = (1 + л/5)/2. Приближенное значение золотой пропорции равно:

т и 1.6180339887498948482045868343656381177203...

В качестве удивительного примера золотого сечения рассмотрим следующую задачу.

Ускорение силы тяжести при удалении от земной поверхности описывается формулой gh = g0R2/(R + h)2, где h - высота над поверхностью Земли, R - ее радиус, go - ускорение силы тяжести на поверхности Земли. При опускании тела вглубь Земли выполняется зависимость g_h = go(1 — h/R). Когда gh = g_h? Элементарные преобразования показывают, что равенство выполняется при R = h ( \/5 I 1)/2.

Если вместо x подставить в квадратное уравнение т, то получим т2 = 1 + т или т = 1 + 1/т. Подставляя в правую часть последнего выражения его значение, придем к представлению т в виде «многоэтажной» дроби

i + i т

Продолжая такую подстановку в правой части бесконечное число раз, получим дробь с бесконечным количеством «этажей»

1

X = 1 +-=-.

1 +

1 +

1 +

1 +...

Таким образом, мы пришли к дроби /¥п-1 и тем самым доказали, что Ит^оо 1 = х = (л/5 + 1)/2.

На рис. 12 приведено изображение периодической непрерывной дроби для величины золотого сечения, из которого видно, что она геометрически самоподобна4. Заменив 1 в соотношении т = 1/т на любое другое положительное число п, мы ^ 1 получим серебряные сечения тп, опреде-

1 + -

1 + ■

1

1

ляемые соотношением тп + п = 1/тп, которые также можно представить в виде цепных дробей.

Цепная дробь для данного положительного иррационального числа а < 1 вычисляется следующим образом: положим хо = 1/а и применим итерацию хп+1 = 1/(хп )1, где угловые скобки ( )1 с

индексом 1 означают дробную часть чис- Рис. 12. Геометрическая самоподобная непрела, то есть «взятие остатка по модулю 1» рывная дробь для величины золотого сечения

(например, (п)1 =0.14...). Тогда непре- [4' с. 88]

43амечу, что Шредер называет золотым сечением и число у = (\/5 — 1)/2, то есть число, обратное т, приводя для у рассуждения, аналогичные представленным выше.

1

1

рывная дробь для а запишется как [[х0|, [х1 [х2[х3|...], где скобки |_ \ означают округление до ближайшего целого числа, а [хо] - целую часть числа а. Так как все члены непрерывной дроби для а (за исключением первого) равны 1, число а является неподвижной точкой и итерация хп+1 — 1/(хп), называется также гиперболическим отображением.

Проитерируем гиперболическое отображение, начиная с какого-либо серебряного сечения, на компьютере, производящем вычисления с любой конечной точностью. Результатом будет полнейший хаос.

Пример. Пусть начальным значением выбрано (\/ТТТ — 3)/2 = [3,3,3,...] = — 0.3027756... - серебряное сечение Т3. Гиперболическое отображение, вычисленное с помощью микрокалькулятора, дает (запишем только первую цифру после запятой) восемь раз подряд 0.3, а затем 0.2; 0.8; 0.2; 0.6; 0.4; 0.0; 0.2 и т.д. - полностью непредсказуемая последовательность с хаотическим хвостом [4, с. 89].

Откуда берется здесь этот хаос? В исследуемом отображении имеет место чувствительность к начальным данным. Если начальные данные известны с погрешностью е, то погрешность в хп будет расти с ростом п экспоненциально.

О подобии в физике

В физике даже на элементарном уровне подобие существенно упрощает решение разных задач. Вот несколько примеров. Возьмем физическую систему с потенциальной энергией и, которая представляет собой однородную функцию степени к от пространственных координат гт

и(аг1, аг2,...) — аки(г1, г2,...).

Изменим все пространственные координаты в а раз, а время - в в раз. Тогда все скорости изменятся в а/в раз, а кинетическая энергия - в а2/в2 раз. Но, если коэффициент а2/в2 равен множителю ак потенциальной энергии, то лагранжиан физической системы умножается на постоянный коэффициент ак, и уравнения движения остаются неизменными. Траектории движения всех материальных точек («частиц») остаются подобными исходным траекториям, изменяются только масштабы. Временные интервалы вдоль новой траектории изменяются в в — а1-к/2 раз, значения энергии - в ак раз, а угловые моменты - в а1+к/2, поскольку они имеют ту же размерность, что и квант действия Планка (энергия, умноженная на время).

Применим эти общие рассуждения к конкретным системам.

1. Начнем с линейного осциллятора, потенциальная энергия которого представляет однородную квадратичную функцию, то есть к — 2. Выясним, зависит ли период колебаний такой системы (математический маятник) от амплитуды малых колебаний. Мы не будем решать никаких уравнений. Выше получено, что время при изменении масштаба изменяется в а1-к/2 раз, то есть при к — 2 - в а0 раз. Отсюда вывод: все значения времени, в том числе и период колебаний, остаются неизменными, то есть собственная частота линейного осциллятора не зависит от амплитуды. Линейный осциллятор обладает свойством изохронности. В квантовой механике этому соответствует эквидистантность уровней энергии - расстояние между двумя любыми уровнями энергии равно Ну, где Н - постоянная Планка, V - частота.

2. Рассмотрим теперь нелинейный осциллятор с восстанавливающей силой, подчиняющейся кубическому закону, то есть с однородным потенциалом четвертой степени (k = 4). Нам не удастся в этом случае найти решение в элементарных функциях. Но подобие показывает нам, что время должно изменяться как a1-k/2 = a-1, то есть частоты пропорциональны a. Чем больше энергия осциллятора, тем больше его резонансная частота, чего и следовало ожидать от пружины с возрастающей жесткостью. Точнее говоря, резонансная частота такого нелинейного осциллятора изменяется как корень четвертой степени из его энергии.

3. В однородном силовом поле потенциальная энергия является однородной линейной функцией пространственных координат, то есть k = 1, и значения времени изменяются как a1-k/2 = a1/2. Это действительно так, в чем убедился Галилей, который, по легенде, для увеличения продолжительности свободного падения в два раза должен был взбираться по ступеням Пизанской башни на вчетверо большую высоту5. По легенде, Галилей заметил, что большие и маленькие камни, брошенные с Пизанской башни, падают с почти одинаковой скоростью. В действительности Галилей скатывал шары по наклонным плоскостям, но... легенда о падающей башне живет своей жизнью, и ей нет дела до исторических фактов. Если пренебречь аэродинамическим сопротивлением, то время падения t прямо пропорционально корню квадратному из высоты h и не зависит от массы камня t ~ h1/2. На справедливость этого закона никак не влияет масштаб входящих в него величин - почти никак, потому что если хотя бы взобраться на высокую гору, то притяжение Земли станет меньше. Поэтому существует естественный предел, ограничивающий масштабную инвариантность или самоподобие галилеевского закона t ~

h1/2,

а именно - радиус

Земли.

4. В законе ньютоновского притяжения потенциальная энергия обратно пропорциональна расстоянию, то есть k = -1. Для круговых орбит вокруг массивного центра следует ожидать, что время будет изменяться как a1-k/2 = a3/2. Мы переоткрыли с вами частный случай одного из основных законов небесной механики -третьего закона Кеплера о движении планет.

5. Более общие законы движения планет рассмотрел в своих «Началах» Исаак Ньютон, показав, что, если выполняется скейлинговое соотношение т ~ rn, то для круговой орбиты радиусом r и периодом обращения т гравитационный потенциал U ~ r2-2n. Из нашего принципа подобия при n = 3/2 мы возвращаемся к закону U ~ r-1, то есть к реальному миру падающих яблок и лун, движущихся по орбитам.

Великое озарение Ньютона состояло в том, что он увидел или понял: сила, с которой Земля притягивает яблоко, в 3600 = 602 раз больше, чем сила, с которой Земля притягивает Луну, расположенную в 60 раз дальше от центра Земли. Благодаря этому озарению (а может быть, падению яблока), Ньютон вывел закон Всемирного тяготения, согласно которому сила гравитационного притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния. Забавно, что немецкое слово Einfall (озарение) произносится так же, как ein Fall (падение).

При U ~ r-2 одна из возможных орбит имеет форму логарифмической спирали (в полярных координатах г(ф) = roew, где ro и у = const), то есть самоподобного

5Шредер считает, что это даже апокриф - произведение на библейскую тему, признаваемое недостоверным и отвергаемое церковью.

объекта. Применяя к радиусу-вектору, то есть к размеру спирали, преобразование подобия с коэффициентом S, получаем ту же спираль Sr = гоек(ф+1п s/k), повернутую на постоянный угол (ln S) /к. Угол ф определен только по модулю 2п, поэтому при коэффициентах подобия S = e2nmK, где m - целое число, бесконечная спираль остается инвариантной, то есть логарифмическая спираль самоподобна, причем коэффициент самоподобия S = е2п|к|. Логарифмическая спираль оказывается самоподобной при любом вещественном коэффициенте подобия, если пренебречь вращением.

Независимость от масштаба весьма желательна при проектировании приемно-передающих антенн широкого диапазона длин волн. При использовании круговых поляризованных волн поворот антенны на любой угол никак не отразится на коэффициентах усиления и направленного действия антенны. Если мы придадим антенне форму логарифмической спирали (хорошо бы из сверхпроводящей проволоки), то она одинаково хорошо будет работать на всех длинах волн в любом заданном диапазоне. Такие антенны существуют. Они похожи на конусообразные диванные пружины.

Природа тоже использует самоподобие логарифмической спирали. У многокамерного моллюска наутилуса каждая камера представляет собой увеличенную копию предшествующей, причем для любых смежных камер коэффициент подобия остается постоянным. Как следствие, наутилус растет по логарифмической спирали.

Мы увлеклись гладкой самоподобной кривой. Вернемся к преобразованиям подобия. Софус Ли (1842-1899), а позднее Джордж Дэвид Биркгоф (1884-1944) занялись поиском групп преобразований, которые оставляли бы инвариантными дифференциальные уравнения, а следовательно, и их решения, получившие название подобных (или инвариантно-групповых) решений. Предположим, что для решения ф(ж, у) существует следующий предел:

lim е"ф(еьж, ecу) = ф(ж, у). (5)

£—^0

Тогда подобное решение ф(ж, у) подчиняется масштабному закону

ф(ж, у) = Гф(Хь x, Xcy),

который следует непосредственно из равенства (5) и, более того, является обобщением соотношения (5). К теории групп привел и алгебраический путь к симметрии (Лекция 2).

Однако преобразование подобия не всегда так просто, как было показано на некоторых примерах. Поглощение, трение и другие механизмы энергопотерь создают трудности при попытке их масштабировать. Проблемы возникают при проектировании концертных залов и оперных театров, в СВЧ электродинамике и в гидродинамике, хотя они решаемы.

Масштабирование в психологии

В психологии измерения фактически отсутствовали до тех пор, пока физиолог Э.Г. Вебер (1795-1878), брат физика Вильгельма Вебера (1804-1891), не провел тщательные исследования звуковых и тактильных ощущений, заложив основы науки об ощущениях. Закон Вебера звучит так: увеличение интенсивности раздражителя, необходимое для того, чтобы вызвать едва заметное усиление ощущения, не

является раз и навсегда заданной величиной, а зависит от отношения приращения интенсивности раздражителя к его первоначальной интенсивности. Позднее физик и философ Г.Т. Фехнер (1801-1887) переформулировал закон, который стал называться законом Вебера-Фехнера, и указал область его применимости. Фехнер заложил основы экспериментальной эстетики, исследуя, какие формы и размеры приятны глазу. Современным психологам удалось ввести в психологию измерения, почти столь же однозначные, как и в физике, появилась новая дисциплина - психофизика, а психоакустика и психовизуальные исследования стали ее разделами. Стивенс [7] ввел отношение масштабов для субъективных параметров (громкость, яркость и т.п.), а также установил простые степенные соотношения между этими субъективными параметрами и такими физическими величинами как поток энергии, интенсивность и т.п. В чем суть обнаруженного? Для того чтобы громкость звука возросла вдвое, его интенсивность I должна увеличиться в 10 раз. Это верно для большей части диапазона интенсивности звука, воспринимаемого человеческим ухом без болевых ощущений (диапазон охватывает более 12 порядков величины при средних звуковых частотах). Так как ^2 ~ 0.3, мы получаем следующий степенной закон для громкости как функции от интенсивности звука:

Ь - I0.3,

о чем мы уже упоминали в связи с тем, что степенной закон может иметь и дробную степень. Входящие в психофизические степенные ряды показатели, такие как число 0.3 в приведенном соотношении, не универсальны, но специфичны для исследуемого ощущения (например, для субъективной яркости, кажущегося веса груза или видимой длины) и детально проанализированы психофизиками. Таким образом, универсальность психофизике не присуща.

Самоподобие в музыке

Древние греки обнаружили, что деление струны на две равные части дает приятный для слуха музыкальный интервал, называемый ныне октавой. Соответствующее соотношение физических частот равно 2:1. Другой приятно звучащий интервал - чистая квинта - с соотношением частот 3 : 2. У пифагорейцев возник вопрос, можно ли получить целое число октав из одной лишь квинты путем повторного применения простого отношения частот 3 : 2? Или иначе, можно ли найти решение уравнения

в целых числах т и п? Из теории чисел известно, что уравнение 3п = 2к не имеет решений в целых числах при п > 0. Древних греков сие не остановило, и они нашли хорошее приближенное решение

основанное почти на точном равенстве 31/19 и 21/12.

Систематический подход к получению таких почти точных равенств сводится к записи отношения логарифмов двух целых оснований данного уравнения в виде непрерывной дроби6:

1П 2 1

1п3 1 +_-

1 +

1

1 +-

1

2 +

2 + ...

Обрывая непрерывную дробь на пятом члене, мы получаем хорошее приближение для музыкальной квинты:

1п2 _ 12 Тп~3 ~ 19'

откуда следует, что (3/2)12 « 27.

Чтобы, скажем, на фортепьяно (или других инструментах с фиксированным наборов тонов) можно было играть в различных тональностях, частоты этих тональностей должны выбираться из одного и того же основного набора частот. Это подвигло Иоганна Себастьяна Баха разработать темперированный строй, основанный на полутоне 21/12. Настроенный в соответствии с темперированной гаммой музыкальный инструмент имеет частоты, близкие к следующим кратным самого низкого тона:

1 21/12 22/12 23/12 24/12 25/12

Эти частоты имеют самоподобную последовательность с коэффициентом подобия 21/12. Если бы все эти ноты прозвучали одновременно, то инструмент создал бы акустических выход, близкий к самоподобной функции Вейерштрасса.

Джон Робинсон Пирс и замечательные соотношения между числами 3, 5 и 7

Джон Робинсон Пирс - один из великих инженеров-провидцев в области вакуумной СВЧ-электроники7. Им опубликовано большое число известных в науке книг и статей по фундаментальным вопросам СВЧ-электроники. Ему принадлежит также реализация нескольких проектов синхронных спутников Земли. Именно он придумал термин «транзистор». Он написал 22 научно-фантастических рассказа, несколько научно-популярных книг: «Почти все о волнах», «Электроны, волны, сообщения» (переведены на русский язык), «Волны и сигналы: наука коммуникаций», «Истоки спутниковых коммуникаций», «Наука о музыкальном звуке». В частности, он заинтересовался вопросом о том, нельзя ли заменить отношение частот октавы 2 : 1 отношением частот 3 : 1 (соответствующий интервал Пирс предложил назвать три-тавой) и создать самоподобный (равнотемперированный) ряд с отношением частот, в

6Непрерывные дроби, как правило, дают хорошие рациональные аппроксимации иррациональных чисел, например, я ~ 355/113. Это приближение, использующее не очень большие целые числа, было известно еще древним китайцам.

7Впрочем, Шредер [4, с. 165] приписывает Пирсу фразу: «Природе отвратительны вакуумные лампы», сравнивая ее с высказанной в 1550 году Томасом Кранмером, архиепископом Кентеберийским, «природа не терпит пустоты» (Naturall reason abhorreth vacuum)

1

которых участвуют 5 и 7 [8]. Вопрос стоит так: существует ли корень целой степени N из числа 3 (31/^) - такой, что его целыми степенями хорошо аппроксимируются отношения 5/3 и 7/5 (по аналогии с аппроксимациями 3/2 27/12 и 5/2 29/12 хорошо темперированного строя Баха)? Раскладывая отношение 1п 3/ 1п 5 в непрерывную дробь и оборвав ее на числе 6, получим

1пЗ _ 13 Ь5 ~ 19'

то есть 31/13 ~ 51/19. Это означает, что начальное отношение частот 31/13 ~ 1.088 представляет собой подходящий «полутон» для построения музыкального строя, который дает хорошее согласие, по модулю тритавы, с нотами, порождаемыми отношением частот 5 : 3. В самом деле, 36/13 совпадает с 5:3 с точностью до 0.4%.

Разложение 1п3/ 1п 7 в непрерывную дробь дает аппроксимацию 31/13 « 71/23. Таким образом, число 31/13 выступает как предпочтительный начальный интервал для построения хорошо темперированного строя Пирса. Разница между 7/3 и одной из степеней основания 31/13, а именно числом 34/13 составляет всего 0.16%. Отношения частот снова образуют самоподобную последовательность

1 31/13 32/13 33/13

Говорят, что слушатели, тестировавшие музыкальный строй Пирса, упорно отдавали предпочтение сочинениям, написанным в традиционной манере.

Еще о степенных законах

Приведем еще несколько примеров того, как степенные законы с целыми и дробными показателями являются источниками самоподобия. Самоподобие имеет место для объектов, которые растут (например, города), и для объектов, разбитых на куски (раздробленные камни). Отсутствие у данного объекта (вида объектов) внутреннего масштаба -единственное необходимое условие для того, чтобы в некотором диапазоне размеров выполнялся степенной закон.

В космическом пространстве средняя частота, с которой различные виды межпланетных обломков врезаются в земную атмосферу, обратно пропорциональна квадрату диаметра падающего тела, причем данное соотношение выполняется в диапазоне, охватывающем более 10 порядков величины (рис. 13).

Рис. 13. Частота столкновений метеоритов с Землей как функция диаметра частиц [4, с. 152]

Луис Альварес (о нем шла речь в связи с борьбой с подводными лодками) и его сотрудники использовали рис.13 для подтверждения гипотезы Альвареса о внезапной гибели динозавров 65 миллионов лет назад. По Альваресу, причиной явилось падение гигантского метеорита, которое подняло в воздух огромное количество пыли, закрыв солнечный свет и тем самым лишив динозавров необходимой для выживания зелени. Нетрудно увидеть аналогию с моделью «ядерной зимы».

Говоря о динозаврах, интересно обратиться к рис. 14 [9], на котором представлено приблизительное распространение сухопутных животных в зависимости от длины тела животного. Из анализа следует степенной закон с показателем (-2), справедливый в диапазоне, охватывающем диапазон изменения длины от 1 мм до 10 м.

Масштабная инвариантность может даже помочь объяснить особенности нашего восприятия музыки. Музыкальное произведение, независимо от того, в каком ключе оно написано, будет приятным для слуха только в том случае, если в нем присутствуют изменения тональности во многих масштабах частот и изменения ритма хотя бы в нескольких временных масштабах. Иоганн Себастьян Бах в своих Бран-денбургских концертах, не подозревая о том, использовал однородную степенную

функцию

f (ж) ~ сж-1,

которая, как упоминалось, называется гиперболическим законом.

Именно так может быть аппроксимирован спектр мощности f (ж) в довольно широком диапазоне (квадрат преобразования Фурье) относительных частотных интервалов ж между последовательными нотами. Перепишем исходную функцию в виде

ln f (ж) = const — ln ж,

где ж измеряется в полутонах. Видно, что в двукратно логарифмической системе координат (ln f от ln ж) данные ложатся на прямую с наклоном (—45°).

Степенному закону подчиняется и спектр амплитуд (или мгновенных гром-костей) музыки Баха. Причем показатель такой же, как в законе для спектра частотных интервалов (рис. 15).

Хочется задать вопрос: «Почему при сочинении музыки Бах использовал гиперболический степенной закон?». Но это некорректный вопрос. Бах стремился к тому, чтобы его музыка была интересна для слушателя. Правильнее спро-

Рис. 14. Число видов сухопутных животных как функция длины их тела

40.0 -

ш

ч:

'20.0 -

ф с

о

0.01 0.1 1.0 10.0 Групповая частота, Гц

Рис. 15. Спектр вариаций амплитуды для Первого Бранденбургского концерта Баха [10]

сить: «Почему спектры частотных интервалов и амплитуд интересных музыкальных произведений (хотя бы некоторых) являются гиперболическими?».

На этот вопрос дает ответ, в какой-то мере, теория «эстетической ценности» Джорджа Дэвида Биркгофа (1884-1944). Суть теории в следующем: спектр мощности «эстетической» функции не должен вести себя ни как утомительно однообразный «коричневый» шум с зависимостью от частоты /-2, ни как совершенно непредсказуемый белый шум с зависимостью /0. На бытовой язык сказанное переводится так: произведение искусства приятно и интересно лишь при условии, что оно не слишком предсказуемо и правильно, и в то же время не таит в себе слишком много сюрпризов.

Показатели, встречающиеся в большинстве музыкальных произведений, находятся, как обнаружил Восс в цитируемой нами статье [10], посередине интервала (0, -2), что дает гиперболический закон. Иллюстрация сказанного взята из книги Шредера и представлена на рис. 16 и 17 [4, с. 159 и 161].

Шредер [4, с. 158] приводит любопытное высказывание ван дер Поля о музыке Баха: «Это великая музыка, потому что она неотвратима (подразумевая а < 0) и вместе с тем неожиданна (а > -2)».

Поскольку спектр мощности любого шума, подчиняющегося однородному степенному закону (/а), самоподобен, соответствующая временная диаграмма также

Рис. 16. а - «белая» музыка, составленная из независимых нот; б - «коричневая» музыка, составленная из нот с независимыми инкрементами по частоте; в - «розовая» музыка - частоты и продолжительность звучания нот определяются 1/f-шумом (розовым шумом)

Рис. 17. Временные диаграммы шумов: а - белый шум с f0 -спектром мощности; б - «розовый» шум с 1 /f-спектром; в - «коричневый» шум с 1 /f2 -спектром

должна быть самоподобна. Разумеется, в случае шума самоподобие носит лишь статистический характер: увеличенный фрагмент не является точной детерминированной копией формы сигнала до изменения масштаба. Более того, для сохранения мощности при изменении масштаба частот амплитуды должны измениться в г-а/2 раз (г - коэффициент изменения масштаба). Поэтому, строго говоря, такие стохастические процессы самоаффинны, то есть имеют более одного масштабирующего множителя: г - для частот (или, что эквивалентно 1 /г для значений времени) и г-а/2 - для амплитуд.

Наверное, мало кто отмечал, что соотношение неопределенностей Гейзенберга в квантовой механике

Ад ■ Ар > Й,

где д и р - две «канонически сопряженные» переменные, например, координата и импульс, а Й - постоянная Планка, деленная на 2п, также является гиперболическим законом. Насколько известно, область применимости принципа неопределенности не ограничена. Как пишет Шредер [4, с. 163]: «Теории приходят и уходят, но "аш перечеркнутое" всегда остается с нами».

Коснемся еще таких самоподобных природных систем, как деревья, реки, артерии, легкие, для которых важны показатели при поперечных сечениях. Пусть ствол дерева имеет диаметр который разветвляется на две главные ветви с диаметрами и ^2. Вопрос: «существует ли некоторое устойчивое соотношение между этими диаметрами по мере того, как мы продвигаемся от ствола дерева ко все более тонким ветвям вплоть до черенков листьев?». Леонардо да Винчи считал, что для беспрепятственного движения соков вверх по дереву поперечные сечения двух главных ветвей в сумме должны быть равны поперечному сечению ствола, то есть = + ^2 [11, с. 224-225]. Его гипотеза ныне воплощена в трубчатой модели дерева [12]. Эта модель опирается на идеализированное представление о том, как сок поступает от корней дерева к листьям по многочисленным неветвящимся сосудам («трубкам»), занимающим определенную долю сечения каждой ветви. Такое же соотношение, а именно

= ¿А + ¿А, (6)

где А = 2, выполняется в месте слияния двух рек (^1, ^2, ^ - ширина рек). Установлено, что ширина ^ реки пропорциональна корню из количества воды переносимого рекой: ^ ~ ^°'5. Однако глубина реки как правило, изменяется в соответствии с законом £ ~ Возникающая разница восполняется за счет увеличения скорости течения V, которая пропорциональна ф0Л. Таким образом, река, образовавшаяся от слияния двух притоков одинаковой величины и несущая, следовательно, вдвое больший объем воды в секунду, обычно в 1.4 раза шире каждого из своих притоков, но лишь в 1.3 раза глубже их. Скорость же течения реки приблизительно в 1.1 раза больше, чем скорость течения притоков. Произведение 1.1 ■ 1.3 ■ 1.4 ~ 2, поскольку вода при слиянии никуда не теряется и ниоткуда не добавляется. Поскольку, в отличие от рек, сливающиеся или разветвляющиеся дороги не имеют глубины, для них показатель А в соотношении (6) равен 1 при условии, что количество машин, проезжающих по одной полосе за минуту, одинаково для всех дорог. Иными словами, полосы движения играют ту же роль, что и сосуды с древесными соками в трубчатой модели деревьев.

В диапазоне, охватывающем примерно 20 бифуркаций от сердца до капиллярных сосудов, артерии и вены в сосудистой системе млекопитающих удовлетворяют степенному закону (6) с А ~ 2.7. Поскольку необходимо, чтобы артерии и вены доходили до каждой точки тела для обеспечения питания или избавления от отходов, эта величина А вполне разумна. Идеальное значение А = 3 недостижимо, ибо в этом случае сосудистая система заполнит все пространство, оставив слишком мало места для других задач. Бронхи легкого имеют показатель подобия, очень близкий к А = 3 (такое значение имеет фрактал, заполняющий трехмерное пространство). Как показано в статье [13], на протяжении 15 бифуркаций бронхиальное дерево остается почти самоподобным (рис. 18).

Если предположить, что геометрия бронхиального дерева определяется требованием минимального сопротивления потоку воздуха во всей бронхиальной системе, то = = 21/3 , то есть существует постоянный коэффициент ветвления [14]. Тогда из соотношения (6) находим, что А = 3. Мандельброт [11, с. 226-227] дает иное объяснение заполнения бронхами трехмерного пространства, не требующее внесения коэффициентов ветвления = =

21/3

в генетический код. Он пишет: «Мы будем опираться на тот фундаментальный факт, что внутриутробный рост легкого начинается с почки, из которой вырастает трубка, на которой, в свою очередь, образуются две новые почки, каждая из которых ведет себя вышеописанным образом. Помимо всего прочего, такой рост самоподобен (а ствол легкого образует остаток!)... Ветви нашего дерева образуют стандартное множество: его размерность и в топологическом, и во фрактальном смысле равна эвклидовой. Если оболочка каждой ветви является гладкой, то размерность всей оболочки равны показателю А» [11, с. 227-228]. Получается, что эмпирически наблюдаемое самоподобие (рис. 18) достигается не потому, что самоподобная структура оптимальна, а потому, что оно следует кратчайшей программе управления: каждая стадия повторяет предыдущую, но в меньшем масштабе. Таким образом, геометрия легких полностью определяется двумя параметрами: отношением ширина/длина ветвей бронхов и показателем при диаметре А. То, что А ~ 3, получается из-за того, что большое число бифуркаций должно заполнить почти все пространство, не вытесняя друг друга.

В лекции 2 мы рассмотрим другой путь к симметрии в контексте истории нахождения решений алгебраических уравнений.

Рис. 18. Самоподобное бронхиальное дерево (рис. 6 из главы 4 книги [4])

Библиографический список к Лекции 1

1. Баренблат Г.И. Автомодельные явления - анализ размерностей и скэйлинг. Долгопрудный: Издательский дом «Интеллект», 2009. 216 с.

2. Вейль Г. Симметрия. М.: Изд-во «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1968. 191 с.

3. Стюарт Иэн. Истина и красота. Всемирная истории симметрии. М.: Изд-во Астрель: CORPUS, 2010. 461 с.

4. Шредер М. Фракталы, хаос и степенные законы. Москва; Ижевск: РХД, 2001. 528 с.

5. Lotka A.J. The frequency distribution of scientific productivity // Journal of the Washington Academy of Sciences. 1926. 16.

6. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000. 334.

7. Stevens S.S. On predicting exponent for cross-modality matches // Percep. Psychophys. 1969. Vol. 6. P. 251.

8. Mathes M. V., Pierce J.R., Reeves A., Roberts L. Theoretical and experimental exploration of Bohlen-Pierce scale // J. Acoust. Soc. Amer. 1988. Vol. 84. P. 1214.

9. May P.M. How many species are there on earth? // Science. 1988. Vol. 214. P. 1441.

10. Voss R.F., Clark J. 1/f noise in music: Music from 1/f noise // J. Acoust. Soc. American. 1978. Vol. 63. P. 258.

11. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.

12. Zimmerman M.N. Hydraulic architecture of some diffuse-porous trees // Can. J. Botany. 1978. Vol. 56. P. 2286.

13. Comroe J.H. The Lung// Scientific American. February. 1966. Vol. 214. P. 56.

14. Wilson T.A. Design of the bronchial tree // Nature. 1967. Vol. 213. P. 668.

Лекция 2. Алгебраический путь к симметрии

Естественный вопрос - как связаны поиск решений алгебраических уравнений и понятие симметрии? Иэн Стюарт [1, с. 13] отвечает на него так: «Причина в том, что в качестве доминирующей идеи симметрия появилась не так, как можно было бы ожидать, - то есть не через геометрию. Вместо этого глубинно прекрасная и жизненно необходимая концепция симметрии, которой сегодня пользуются математики и физики, пришла к нам из алгебры». Заметим, что создатели алгебраического пути к симметрии были яркими, часто необычными людьми, поэтому в лекции могло быть и более броское название «Герои и злодеи в истории решения алгебраических уравнений». Погрузимся в мир поиска решений алгебраических уравнений, начав с древности.

Глиняные клинописные таблички вавилонян

О культуре жителей Вавилона известно очень много. Археологам повезло из-за того, что вавилоняне делали записи на влажной глине клинописью - своеобразным клинообразным шрифтом. Надписи становились практически неуничтожимыми, когда глина затвердевала. Пожар не уничтожал таблички, а превращал их в керамику,

которая могла сохраняться еще дольше. Пески пустыни помогали сохранять написанное сколь угодно долго.

Приведем далее важное замечание Стюарта [1, с. 24-25]. «Таким образом Вавилон и стал тем местом, с которого начинается письменная история. Там же берет свое начало и история понимания человечеством симметрии - и её воплощения в систематическую и количественную теорию, исчисление "симметрии", ни в чем не уступающее по своей мощи дифференциальному и интегральному исчислению, созданному Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Без сомнения, его истоки можно было бы проследить еще дальше вглубь веков, если бы у нас нашлась машина времени или хотя бы еще немного больше глиняных табличек. Но, как нам сообщает письменная история, именно вавилонские математики направили человечество на путь познания симметрии, что в свою очередь радикально повлияло на наше восприятие физического мира».

Вавилоняне использовали шестидесятиричную систему счисления, они знали о прямоугольных треугольниках и использовали математику, как бы сейчас сказали, для фундаментальных исследований - для астрономии, для сельскохозяйственных и религиозных нужд, а также для прикладных целей - задач торговли и сбора налогов.

Самое важное достижение вавилонских математиков - начало понимания того, как решать алгебраические уравнения. Им была известна некоторая стандартная процедура для решения таких уравнений.

Востоковед Отто Нейгенбауэр в 1930 году (а первые раскопки были в 1811 году) понял, что на одной из табличек написано квадратное уравнение: уравнение, которое содержит неизвестное и его квадрат, перемешанные с различными конкретными числами. Не исключено, что вавилоняне знали и какие-либо хитрые способы решения кубических уравнений с помощью численных таблиц1.

Стюарт [1, с. 39] приводит задачу о решении квадратного уравнения, которой около 4000 лет.

«Найти сторону квадрата, если площадь минус сторона составляет 14.30». На той же табличке приводится и решение. «Возьми половину от 1, что есть 0;30. Умножь 0;30 на 0;30 что даст 0;15. Прибавь это к 14.30 и получишь 14.30;15. Это квадрат числа 29;30. Теперь прибавь 0;30 к 29;30. Результат равен 30 - стороне квадрата».

В современных обозначениях решение выглядит так.

Возьми половину от 1, что есть 0;30 Умножь 0;30 на 0;30, что даст 0; 15 Прибавь это к 14.30 и получишь 14.30; 15 Это квадрат числа 29;30 Теперь прибавь 0;30 к 29;30 Результат равен стороне квадрата 30

1 2 1

4

870±

870| = 29± • 29± 30.

кстати, вавилонские математики знали и умели вычислять с высокой точностью значение \/2. Оно вычислялось так:

24 51 10

1+ во + во* + Ш =1'4142129'

Поскольку \/2 = 1.4142135, то разница составляет около шести миллионных.

Рис. 1. Геометрическое представление квадратного уравнения

Рис. 2. Дополнение квадрата

Рис. 3. Окончательный вариант геометрического решения: неизвестное плюс 1 при возведении в квадрат дает квадрат числа 5

Как додумались вавилоняне до решения? Стюарт [1, с. 40-41] считает, что они могли рассуждать геометрически, и демонстрирует ход решения на примере более простой задачи, чем предыдущая.

«Найти сторону квадрата, если площадь плюс две стороны равна 24».

На современном языке - нужно решить уравнение ж2 + 2ж — 24 = 0. Задачу можно представить себе как показано на рис. 1. Вертикальный размер и квадрата и прямоугольника слева соответствует неизвестному, а малые квадраты имеют единичный размер. Разобьем высокий прямоугольник пополам и приклеим два полученных куска к квадрату.

Получится фигура в виде квадрата с

одним недостающим углом. Дополним квадрат путем добавления к обеим частям уравнения недостающего угла (рис. 2). Получился квадрат слева и 25 единичных квадратов справа, которые мы соберем в квадрат 5 х 5 (рис. 3)2. Неизвестное равно 4.

Итак, вавилонский писец сообщал нам, что решение квадратного уравнения

ж2 — аж = Ь есть

а

Х = 2 +

Отрицательных чисел еще не знали.

Гияс аль-Дин Абуль-файх Омар ибн аль-Нишапури аль-Хайями (Омар Хайям)

и кубические уравнения

Кто не помнит знаменитые рубаи Омара Хайяма? Вот одно из них:

Кто мы? Куклы на нитках, а кукольщик наш - небосвод.

Он в большом балагане своём представленье ведёт.

Он сейчас на ковре бытия нас попрыгать заставит,

А потом в свой сундук одного за другим уберёт.

Однако кто знает его математические работы, посвященные, в частности, теории уравнений третьей степени с использованием конических сечений? Напомню, что коническими они называются потому, что их можно получить, пересекая плоскостью двойной конус, который похож на два рожка мороженого, соединённые своими острыми концами. Существует три основных типа конических сечений (рис. 4).

2 К сожалению, некоторые сегодняшние школьники и даже студенты движутся назад, в Вавилон. На просьбу написать а2 + Ъ2 («а» в квадрате + «Ь» в квадрате) можно получить запись ГаП + |б|.

• Эллипс возникает, когда секущая плоскость проходит через одну половину двойного конуса (окружность получается, если плоскость перпендикулярна оси конуса).

• Гипербола возникает, когда секущая плоскость проходит через обе половины двойного конуса.

• Парабола получается, когда секущая плоскость параллельна какой-либо из кривых, лежащих на поверхности конуса.

Пользуясь коническими сечениями, Омар Хайям получил геометрические решения для четырнадцати типов различных кубических уравнений в зависимости от того, какие слагаемые появляются в каждой части уравнения. Например: куб = = квадрат+сторона+число; куб+число = =квадрат + сторона и т.д.

Как же он решал уравнения? Чтобы понять это, остановимся на случае «куб + сторона + число = квадрат». В наших обозначениях это значит

х3 + Ьх + с = ах2.

Вот инструкция последовательности шагов (рис. 5), которую Омар Хайям даёт читателям своей книги «Алгебра» (он окончил её в 1079 году).

1. Проводим три отрезка с длинами с/Ь, у/Ь и а так, чтобы образовался прямой угол.

2. Проводим полуокружность, диаметр которой - горизонтальный отрезок. Продолжаем вертикальную прямую до

шаг

Рис. 4. Конические сечения

\Уь

шаг 2

/ 4 шаг 3 / \

шаг 4 ^ 1Д

Рис. 5. Решение кубического уравнения, данное Омаром Хайямом

пересечения с ней. Если жирный вертикальный отрезок имеет длину д, добиваемся того, чтобы отрезок жирной горизонтальной прямой имел длину сй/у/Ъ.

3. Проводим гиперболу, асимптоты которой - прямые 1 и 2.

4. Находим, где гипербола пересекает полуокружность. Тогда длины двух жирных отрезков х есть два положительных решения кубического уравнения.

Слово Стюарту [1, с. 78]. «Подробности, как всегда, не так важны, как общий стиль. Выполняем ряд эвклидовых построений циркулем и линейкой, потом прибегаем к помощи гиперболы, потом ещё

немного эвклидовых построений - и готово. Аналогичное решение дает Омар Хайям для всех своих четырнадцати случаев и доказывает, что решение правильное».

Отрицательных чисел, как уже указывалось, в математике ещё не было, поэтому уравнения каждый раз надо было сочинять так, чтобы все слагаемые были положительными. До Омара Хайяма не было метода решения уравнений: каждое требовало отдельного исследования. Он писал так: «Я же, напротив, никогда не ослабевал в своем желании сделать известными, притом со всей точностью, все возможные случаи и в каждом из них провести различие между возможным и невозможным» (под «невозможным» он понимал отсутствие положительного решения; цит. по [1, с. 77]).

Тарталья, Кардано, Феррари и... опять кубическое уравнение [2, 3]

Первая фигура в этой миниатюре - Никколо Фонтана по прозвищу Тарталья-заика (1500-1557)3. Родился он в бедной итальянской семье, отец его умер рано, оставив жену с тремя детьми. В 1506 году родной город Никколо Брешию захватили французские войска, устроив кровавую бойню. Людей не спасли даже стены храма, где они пытались укрыться от расправы. Никколо чудом остался жив, но был ранен. Ему повредили горло, рассекли язык, поэтому он с трудом произносил слова. Отсюда и прозвище «Тарталья-заика». Мать не могла платить за учебу, поэтому в школе Никколо проучился лишь 15 дней. Благодаря терпению и настойчивости, мальчик научился читать. Легенда гласит, что, поскольку денег на бумагу не было, он каждый день ходил на кладбище и писал упражнения и задачи углём на мраморных надгробиях. В математике Тарталья самостоятельно добился небывалых успехов, став выдающимся математиком своего времени. Он преподавал в Вероне, Брешии и Венеции, написал несколько книг. Главная из них под названием «Общие исследования чисел и мер» была издана в 1556 году в Венеции. Драматические события в жизни Тартальи связаны с тем, что он и ещё один итальянский математик дель Фер-ро открыли способ нахождения корней кубического уравнения. В чём драматизм ситуации?

Начиная с XII века в Европе возобновились математические турниры, заменившие кровавые рыцарские. Инициатором интеллектуальных турниров стал император «Священной римской империи Германской нации» Фридрих II Гогенштауфен. Но, если во времена Эвклида в Александрии ученики соревновались за первенство в глазах Эвклида, то теперь они боролись за должность при дворе4. Ожесточённая борьба разгорелась между двумя лучшими итальянскими математиками XVI века Никколо Тартальей и Джироламо Кардано. И хотя они добивались признания разными путями, в истории математики их имена не разделить: есть алгоритм Кардано-Тартальи.

Поэтому вторая фигура в нашем рассказе - Джироламо (Джероламо, Иероним)

3Истинная фамилия Тартальи неизвестна. Не исключено, что он и сам не знал её. На своем завещании он подписался Фонтана, хотя своего отца называл Микелетто.

4В одном из таких турниров победил Леонардо Пизанский или Фибоначчи (Ш1ш Вопасс - сын Бо-наччи). Он победил придворного математика и секретаря короля, решив все три предложенные сложные алгебраические задачи, в то время как его соперник не решил ни одной. Его именем назван числовой ряд - ряд Фибоначчи, описывающий решение задачи о размножении кроликов.

Кардано (1501(?)-1576), также известный как Жером Кардан. О Джироламо Карда-но известно много, поскольку в 1575 году он сам рассказал о себе в «Книге моей жизни». В этой книге он перечисляет написанные им книги, выделяя математический тракт «Великое искусство» с подзаголовком «Правила алгебры». В трактате Кардано написано и о физике, и об астрономии, о вопросах морали, о драгоценных камнях, воде, медицине, теологических предсказаниях. В его книге собраны методы решения квадратных уравнений, известные, как вы помните, ещё вавилонянам, но приведены решения кубических уравнений и уравнений четвёртой степени, которые, в отличие от решений Хайяма, были алгебраическими. Подробности его биографии можно найти в книге [3]. Наш герой был побочным сыном миланского юриста Фацио Кардано и молодой вдовы Кьяры Микериа, у которой было ещё трое детей от первого брака. Родился он предположительно в 1501 году в городе Павии, входившем в Миланское герцогство. Когда эпидемия чумы приблизилась к Милану, беременную Кьяру убедили уехать в деревню. Там и родился Джироламо, в то время как старшие его сводные братья, оставленные в городе, умерли от чумы. Отец Джи-роламо был образованным человеком и учил своего незаконного сына математике и астрологии5. Стюарт [1, с. 89] приводил следующий отрывок из биографической книги Кардано.

«В раннем детстве отец обучил меня основам арифметики, и примерно тогда же он приобщил меня к таинствам; откуда он приобрёл эти познания, мне неизвестно. Вскоре он обучил меня началам арабской астрологии... а когда мне исполнилось двенадцать, он преподал мне первые шесть книг Эвклида».

Он начал изучать медицину в Павии, а затем в Падуе. Видимо он был одним из лучших студентов, и впоследствии, когда отец умер, Джироламо был избран с перевесом в один голос ректором университета. Впрочем, многие его не любили за склонность к резким высказываниям. Это, в частности, привело к тому, что его долго не принимали в коллегию врачей, хотя репутация его была высока. Карьера Кардано развивалась по нескольким направлениям: известного врача и литератора, авторитетного математика, плодовитого учёного. Но Джироламо растратил по пустякам полученное им наследство и бросился в омут авантюр и азартных игр. О себе он писал: «...насколько сильно меня привлекали излишества шахматной доски и игорного стола, настолько же я знаю, что в глазах людей я заслуживаю самого сурового порицания. Я играл и в то, и в другое многие годы - в шахматы более сорока лет, а в кости -около двадцати пяти; и не только каждый год, но - сознаюсь со стыдом - каждый день, теряя при этом всё - мысль, состояние, время» (цит. по [1, с. 90]).

Его биография подобна авантюрному роману. Он неосторожно высказывался о религии и составил гороскоп Иисуса Христа. Все это инквизиция расценила как святотатство, и Кардано чуть было не угодил в тюрьму. Спасли его заступничество влиятельных людей, которых он успешно лечил, мировая слава учёного и немалый денежный залог. Приоритет в открытии формулы для нахождения корней кубического уравнения - предмет серьёзного столкновения между Кардано и Тартальей.

Тарталья был впереди: ему удалось решить широкий класс кубических уравнений. Кардано долго добивался, чтобы Тарталья открыл ему секрет решения, дав в 1539 году клятву не раскрывать его. Тарталья поверил ему и сообщил Кардано в

5 Фацио Кардано преподавал геометрию в университете в Павии и в благотворительном учреждении Пьятти в Милане и даже консультировал по геометрии Леонардо да Винчи.

стихотворной форме правило нахождения корней кубического уравнения. Строчки относятся к уравнению х = дх + г.

Когда куб рядом с вещью Вместе равны какому-либо числу, То найди два других числа. На него разнящихся, Потом допусти и всегда держись этого правила, что их произведение Должно равняться кубу трети вещи. Возьми от них стороны кубов И правильно вычти их. Остаток даст тебе искомую вещь.

(цит. по [3, с. 149])

В книге [3] дано следующее объяснение стихотворного алгоритма. «Куб рядом с вещью» - это х + дх; «число» - это г; «на него разнящихся» означает и — V = г; произведение, равное «кубу трети вещи» - это иу = (д/3)3; «возьми от них стороны куба» - то есть и \/\>, «правильно вычти их» значит — ^/у; «остаток» или «искомая вещь» - это, разумеется, х.

Но через 6 лет в книге Кардано «Великое искусство» Тарталья находит полное изложение своего решения. Конечно, он был взбешён и написал Кардано: «Вы вероломно украли у меня самое лучшее моё украшение...». Возможно, два великих математика и не боролись бы друг с другом, если бы не было известного профессора Болонского университета Сципиона дель Ферро. Именно он первым нашёл корни кубического уравнения определенного вида и перед смертью поделился решением со своим учеником Антонио Фиоре, которого, по словам современников, интересовала совсем не наука, а больше дочь профессора. Однако Фиоре, получив столько неожиданный подарок, решает снискать славу первого математика и вызывает на состязание самого Тарталью в конце 1534 года. Тарталья знал, что Фиоре владеет секретом, подаренным его учителем. За 10 дней, оставшихся до состязания, Тарта-лья сумел найти решения для всех неисследованных Фиоре уравнений.

Состязание состоялось 12 февраля 1535 года, когда соперники через нотариуса предложили друг другу по 30 задач. Фиоре не решил ни одной задачи, предложенные Тартальей, а тот решил за два часа все задачи противника. Фиоре надеялся победить соперника кубическими уравнениями, но для Тартальи их решение не составляло труда. Тарталья же задал вопросы Фиоре по всему курсу математики. И, как пишет В. Кессельман [2, с. 73], «...университетское образование явно уступило кладбищенскому». Победа была сокрушительной и известие о ней и об открытии Тартальи быстро разнеслось по всей Италии6. И вот здесь на сцену выходит Кардано с навязчивой идеей узнать тайну Тартальи. Как уже было сказано, в 1539 году он узнает секрет, дав клятву не разглашать его. В Болонье в 1542 году Кардано знакомится с рукописями покойного профессора дель Ферро. Теперь он понял все и, нарушив клятву, через шесть лет публикует тайный алгоритм. Справедливости ради надо заметить, что Кардано ссылался на Тарталью.

«В наши дни Шипионе7 дель Ферро из Болоньи решил случай куба и первой степени, равных постоянной, - очень изящное и достойное восхищения достижение...

6Проигравший в соревновании по условиям оплачивал обед победителю и его 29 друзьям. Кроме того, он платил по сольди за каждую решенную задачу.

7В традиционном переводе - Сципион.

Состязаясь с ним, мой друг Никколо Тарталья из Брешии ... решил тот же случай, когда участвовал в поединке с его (дель Ферро) учеником Антонио Марио Фиором, и подвигнутый к тому множественными мольбами, передал решение мне» (цит. по [1, с. 92]).

Досаду Тартальи легко понять: люди будут помнить книги, а не истинного открывателя решения, к тому же в Европе того времени математические секреты могли стоить больших денег.

В книге Кардано содержалось и алгебраическое решение уравнений четвертой степени, которое было найдено учеником Кардано - Лудовико Феррари (1522-1565).

Через год Тарталья выпустил книгу «Проблемы и различные изобретения», в которой обрушился на Кардано в весьма жестких выражениях. Кардано молчал. Тогда за честь Кардано вступился его ученик Феррари, наговорив Тарталье гадостей и вызвав на состязание по все наукам от математики до астрологии. Главным и обязательным условием состязания было место его проведения - Милан - город, где родился Феррари. Тарталья, надеясь на честные правила соревнования, согласился ехать в Милан. Он чувствовал себя правым в споре с Кардано и не сомневался в своих познаниях. В церкви Святой Марии в Милане 10 августа 1548 года в 6 часов вечера посмотреть на математическую дуэль собралось множество людей из разных слоев общества. Здесь были горожане, военные, представители знати, преподаватели и студенты университетов, огромная толпа друзей Лудовико Феррари, которого называли «человеком с лицом ангела и сердцем дьявола». С Никколо Тарталья был только его родной брат. Кардано - главная фигура в споре, зная о соревновании, уехал из Милана.

Честным поединок не назовешь: Тарталью оскорбляли, не давали говорить, Феррари тянул дело к ночи длинными речами. Тарталья понял настроения толпы, прекратил соревнования и покинул Милан. Он опасался, что ближе к ночи диспут может быть закончен ударом кинжала наёмного убийцы.

Феррари счел себя победителем, а Тарталью в Брешии посчитали неудачником, отказали в работе, не заплатили за уже прочитанные лекции. Он прожил в бедности до самой смерти и никогда не утверждал, что выиграл дебаты. Напротив, Феррари приписанная им самим себе победа принесла славу: ему предлагали читать лекции в лучших университетах, обучать сына императора. Он выбрал пост руководителя налогового управления при правителе Милана и стал вскоре очень богатым; в Болонье он возглавил кафедру математики. По легенде, он был в 43 года отравлен родной сестрой.

Последний поворот сюжета связан с трагедией Кардано. Процитируем здесь В. Кессельмана [2, с. 75], который так пишет о злоключениях Джироламо Кардано. «Его старший сын Джамбаттиста втайне женился на девушке сомнительной репутации и дурного характера, которая всюду заявляла, что вышла замуж по расчету. Однажды в пылу гнева она назвала имена настоящих отцов их детей. Молодой муж не мог перенести такого позора. У аптекаря он раздобыл яд и уговорил слугу подсыпать его в праздничный торт, пообещав за это денег и одежду. Торт был испечен, жена - отравлена. Но убийц быстро нашли, и Джамбаттиста был "казнен отсечением головы". Смерть сына потрясла Кардано, он был близок к невменяемости. Как безумный, целыми днями он носился на коне по полям, ночами играл в азартные игры, пытался заглушить душевные страдания физической болью и голодом. Не успев отойти от первого потрясения, Кардано узнает, что его второй сын стал бродягой и вором. Кардано пытался остановить сына; однажды во время ссоры он отрубил ему ухо (так поступил человек, написавший десятки книг о

методах гуманного воспитания и лечения!). В ответ сын ограбил отца, и Кардано обратился к властям за помощью. Через неделю сын снова грозится поджечь дом и убить отца. Альдо арестовали, судили и приговорили к пожизненному заключению, но Кардано добился смягчения: сын был осужден на изгнание из родного города Болонья. Кардано покончил жизнь самоубийством».

В его автобиографической «Книге моей жизни» есть такие слова: «Сознаюсь, что в математике кое-что, но в самом деле ничтожное количество, я заимствовал у брата Никколо». Похоже, что его все-таки мучила совесть.

Чтобы оценить, чего же достигли Тарталья, Кардано и Феррари, вернемся к вавилонским табличкам, объясняющим, как решать квадратные уравнения. Напомним, что их рецепт для уравнения х2 — ах = Ь есть х = а/2 + д/(а/2)2 + Ь.

Решение кубического уравнения х3 + ах = Ь выглядит во времена Тартальи и Кардано (и сегодня) посложнее и имеет следующий вид:

Ъ Ь2 зГь /а3 Ъ2

В который раз отметим, что не было отрицательных корней и тем более комплекс-ных8.

Наконец, алгоритм Феррари для уравнения

ах4 + Ьх3 + сх2 + йх + е = 0

состоит в том, что при а = 1 его корни совпадают с корнями двух квадратных уравнений:

*» + № + *)§+(» + ^)=0,

где Л =Ь л/8 у + Ь2 — 4с, а у - какой-либо действительный корень кубического уравнения

8у3 - 4су2 + (2Ьй - 8е)у + е(4с - Ь2) - й2 = 0.

Алгоритм Феррари был математической вершиной книги Кардано. Слово Стюарту [1, с. 104]. «"Великое искусство" не содержит решения квинтики - уравнения, в котором неизвестное получается в пятой степени. Но ведь по мере возрастания степени уравнения метод его решения в свою очередь усложнялся, так что мало кто сомневался, что, применив достаточную изобретательность, можно будет решить и уравнение пятой степени - скорее всего, потребуется использовать корни пятой степени, так что соответствующая формула окажется весьма громоздкой».

Оказалось, что это не так. И доказал это Нильс Хенрик Абель - норвежский математик, о котором его коллега Карл Густав Якоби написал: «Он ушел от нас, но след, оставленный им, неизгладим».

8Уравнение ах3 + Ьх2 + сх + d = 0 введением переменной у = х + Ь/ (2а) сводится к уравнению у3 + Зру + 2д = 0, где 2д = 263/(27а2) - 6с/(3а2) +с1/а и 3р= (Зас - Ъ2)/(За2). Если у1=и + у,

У2 = £111 + £2V, Уз = £2и + £1V, ТО и = ^+ \/Ч2 + р2, V = ^~ \/Ч2 + р2, £1 И £2 - КОрНИ

уравнения х2 + х + 1 = 0, £1,2 = —1/2 ± г\/3/2, где г =

Нильс Хенрик Абель и его великая теорема

Будем следовать в изложении статье [4] и книге [5]. Абель родился 5 августа 1802 года на юге Норвегии в семье священника. В 1815 году отец отправил Нильса в кафедральную школу в столицу Норвегии Христианию. Абелю повезло: в школе он встретил учителя Бернта Микеля Хольмбое, который заметил, оценил его математическое дарование и на протяжении многих лет оказывал деятельную поддержку своему выдающемуся, но несчастному ученику. Учитель писал об ученике: «Абель сочетает в себе гениальные математические способности с неистощимым интересом к науке, ...он станет самым выдающимся математиком в мире». Абель поступил в университет в 1821 году. Отец у него умер, и у Нильса не было средств к существованию. Он подал прошение о стипендии, но у университета не было средств для этого. Тогда некоторые профессора университета, «дабы сохранить для науки редкое дарование», стали выплачивать ему стипендию из своих средств. Этого было недостаточно для содержания семьи, поэтому Абелю пришлось подрабатывать уроками, что не избавило его от нищеты. В первый ряд математиков мира Абеля поставила его статья «Доказательство невозможности решения в радикалах общего уравнения выше четвертой степени», которая была опубликована в 1826 году. Однако следующая его работа, представленная Парижской академии наук и переданная Коши для рецензирования и представления в печать, затерялась среди бумаг великого математика. Он разыскал её только после смерти Абеля. Этот труд Абеля, вместе с трудом Якоби, был удостоен большой премии Академии. Увы, эта премия не досталась Абелю при жизни, и все последние годы Абель провел в крайней нужде. Он умер от чахотки 6 апреля 1829 года в возрасте 27 лет. Осталась великая теорема Абеля [4, с. 13]: «Ни для какого натурального п, большего четырех, нельзя указать формулу, которая выражала бы корни любого уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов». Покажем, что существует (конкретное) уравнение пятой степени с целыми коэффициентами, не разрешимое в радикалах. Рассмотрим в качестве примера уравнение

р(х) = х5 - 4х - 2 = 0.

Для того чтобы данное уравнение имело пять вещественных корней, необходимо, чтобы по так называемой теореме Ролля производная = 5х4 — 4 имела бы четыре вещественных корня, а она имеет только два.

Вместо заключения к лекции

13 мая 1832 года. Дуэль двух молодых людей - французов - из-за молодой женщины. Падает на землю смертельно раненый Эварист Галуа, которому всего 21 год. В полном собрании его работ не более 60 страниц, но они революционны для математики. Галуа изобрел язык, позволяющий описывать симметрии в математических структурах и выводить их следствия. Язык этот сегодня носит название «теория групп» и широко используется в современной физике (о жизни и работах Галуа см. [1, глава 7] и [6]). С позиций этой теории общее уравнение пятой степени нельзя решить с помощью формулы, потому что у него неправильные симметрии, но это уже другая история.

Библиографический список к Лекции 2

1. Стюарт Иэн. Истина и красота. Всемирная история симметрии. М.: Изд-во Астрель: CORPUS, 2010. 461 с.

2. Кессельман В. Занимательная математика. М.: АСТ-Астрель, 2008. 224 с.

3. Гутер Р., Полунов Ю. Джироламо Кардано. Гений времени и места. М.: ЭНАС, 2010. 256 с.

4. Тихомиров В. Абель и его великая теорема // Квант. 2003, № 1. С. 11.

5. Оре О. Замечательный математик Нильс Хенрик Абель. М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1961. 343 с.

6. Инфельт Л. Эварист Галуа. Избранник Богов. М.: Изд-во ЦК ВЛКСМ «Молодая гвардия», 1958. 367 с.

СГУ, НИЯУМИФИ Поступила в редакцию 25.01.2013

TWO LECTURES ABOUT THE TWO WAYS OF SYMMETRY INVESTIGATION

D.I. Trubetskov

These lectures were delivered to the high school students at the School - seminar «Nonlinear Days for Youth in Saratov - 2012» in October 2012. They present the two ways of historical investigation of symmetry. The first way is self-similarity, i.e. invariance at dimension scale changing. In a more general way the term «scaling» is used, meaning the existence of power-law correlation between some variable and variables xi,...xn: y = Ax^1 , where A, a1 ,...an - are constant. Lecture 1 gives examples of scaling (self-similarity) appearing in various fields of science and culture. G.I. Barenblatt indicates that scaling laws never appear by accident. They always reveal the most important property of the phenomenon under consideration: its self-similarity. The term self-similarity means that changing in time and space, a phenomenon repeats itself in changed temporary and / or space scales. Lecture 2 describes the second way of symmetry investigation. It is search for solutions of algebraic equations which led to creation of group theory. As a background the lecture includes historical events and characters dealing with the described scientific investigations.

Keywords: Symmetry, self-similarity, scaling, fractals, power series, similarity, golden and

Трубецков Дмитрий Иванович - родился в Саратове (1938). Окончил физический факультет СГУ (1960). Защитил диссертации на соискание ученой степени кандидата (1965) и доктора физико-математических наук в СГУ (1978) в области радиофизики. Заведующий кафедрой электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ, профессор кафедры прикладной математики НИЯУ МИФИ, член-корреспондент Российской академии наук, заслуженный деятель науки РФ, лауреат премии Президента РФ в области образования. Область научных интересов: вакуумная электроника и микроэлектроника сверхвысоких частот, теория колебаний и волн, нелинейная динамика, история науки. Автор более двадцати учебных пособий и монографий, а также более двухсот статей в периодической печати. 410012 Саратов, ул. Астраханская, 83

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского 115409 Москва, Каширское шоссе, 31

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» E-mail: dtrubetskov@yahoo.com

silver ratio, chaos.