ДРОБНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

INTERNATIONAL JOURNAL OF THEORETICAL AND PRACTICAL RESEARCH

DOI https://dx.doi.org/10.5281/zenodo.5752255 Fizika-matematika fanlari / Physical and mathematical sciences / /Физико-математические науки

International journal of theoretical and practical research

Scientific Journal

Year: 2021 Issue: 2 Volume: 1 Published: 01.12.2021

http://alferganus.uz

Citation:

Каримов, Ш.Т., Собиржонов, О.О. (2021). Дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля обобщенных функций. SJ International journal of theoretical and practical research, 1 (2),6-13.

Doi: https://dx.doi.org/10.5281/zenodo.5751807

QR-Article

Каримов Шахобиддин Тойчибоевич

заведующий кафедрой прикладной математики и информатики, доктор физико-математических наук, Ферганский государственный университет, Узбекистан Собиржонов Омадбек Олмосбек

угли Магистрант Ферганский государственный университет

DOI 10.5281/zenodo. 5751007

ДРОБНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Аннотация: В статье исследуется интегралы и производные дробного порядка Римана-Лиувилля от обобщенных функций на отрезке вещественной оси. Ключевые слова: Интегралы и производные дробного порядка Римана-Лиувилля, обобщенные функции, функция Хевисайда, дельта-функция Дирака.

Karimov Shahobiddin Toychiboevich

Head of the Department of Applied Mathematics and Computer Science,

Doctor of Physical and Mathematical Sciences,

Fergana State University

Sobirzhonov Omadbek Olmosbek ugli

Master's student, Fergana State University

RIEMANN - LIOUVILLE FRA TIONAL INTEGRALS AND DERIVATIVES

OF GENERALIZED FUNCTIONS

Abstract: The article investigates Riemann-Liouville integrals and derivatives of the fractional order from generalized functions on a segment of the real axis.

6

INTERNATIONAL JOURNAL OF THEORETICAL AND PRACTICAL RESEARCH

DOI https://dx.doi.org/10.5281/zenodo.5752255

Keywords: Riemann-Liouville fractional order integrals and derivatives, generalized functions, Heaviside function, Dirac delta function.

Каримов Ша^обиддин Тойчибоевич

Амалий математика ва информатика кафедраси мудири,

Физика-математика фанлари доктори, Фаргона давлат университети, Узбекистон

Собиржонов Омадбек Олмосбек угли

Магистрант, Фаргона давлат университет

УМУМЛАШГАН ФУНКЦИЯЛАРНИНГ КАСР ТАРТИБЛИ РИМАН-ЛИУВИЛЛ ИНТЕГРАЛЛАРИ ВА Х^ОСИЛАЛАРИ

Аннотация: мацолада уациций уцнинг сегментида умумлашган функцияларнинг каср тартибли Риман-Лиувилл интеграли ва уосиласи урганилган. Калит сузлар: Риман-Лиувилл каср тартибли интеграли ва уосиласи, умумлашган функциялар, Х,евисайд функцияси, Дирак дельта- функцияси.

Обобщенная функция понимается как непрерывный функционал над некоторым классом основных функций. В зависимости от рассматриваемых задач используются самые разнообразные классы основных функций, учитывающие специфику задачи.

Рассмотрим обобщенные функции на Q, где Q - отрезок [a, b]. Основные функции на Q берутся бесконечно дифференцируемыми внутри Q с предписанным поведением на концах Q. Значение обобщенной функции f как функционала над основной функцией р будет обозначаться в виде (f ,р). Обобщенная функция называется регулярной, если существует такая локально суммируемая функция f (x), что J f (х)р(x)dx существует для всех основных

Q

функций ((x) и

(f,() = J f ( x)( x)dx

(1)

Q

(предполагается, что в качестве (f ,ф) выбрана билинейная форма, совпадающая с (1) в случае регулярной обобщенной функции).

Функцией Хевисайда называют обобщенную функцию в(х) действующую по формуле

© ®

INTERNATIONAL JOURNAL OF THEORETICAL AND PRACTICAL RESEARCH

Б01 https://dx.doi.org/10.5281/zenodo.5752255

(в(х), р(х)) = | р(x)dx.

о

Это регулярная обобщенная функция, и ее действие на основные функции задается по формуле (1) с помощью локально инттегрируемой в Я функции

0( X) =

1, X > 0, 0, X < 0.

Эту функцию еще называют функцией единичного скачка.

Класс X = X (О) основных функций предполагается наделенным топологией (сходимостью). Через X'= X'(О) обозначаем топологический сопряженное к Х пространство обобщенных функций.

Понятие обобщенной функции, сосредоточенной в точке. Обобщенная функция / е X' равны нулю на открытом множестве Б, если (/, р) = 0 для любой основной функции, тождественно равной нулю вне Объединение Oj■ всех открытых множеств, на которых f=0, называется нулевым множеством функции f. Дополнение нулевого множества до О называется носителем обобщенной функции и обозначается Бирр / = О \ й]. Если Бирр / есть точка х0

, то говорят, что обобщенная функция сосредоточена в точке х0.

Известная 8- функция Дирака 8(х — х0), х0 еО, и ее производные, действующие по правилу

(8( *)(х — х),р) = (—1)()(хо),

представляют собой примеры обобщенных функций, сосредоточенных в точке. Справедливо и обратное утверждение: всякий функционал f, сосредоточенный в точке х0, имеет вид

N

f = £ек&*)(X - Хо).

k=0

Существует два основных способа определения дробных интегралов и производных от обобщенных функций. Первый восходит к Л.Шварцу и основывается на определении дробного интеграла как свертки:

1

хГ - f

Т(а)

(2)

8

INTERNATIONAL JOURNAL OF THEORETICAL AND PRACTICAL RESEARCH

DOI https://dx.doi.org/10.5281/zenodo.5752255

функции

Г(«)

-x

a-1

с обобщенной функцией f . Этот способ приспособлен к

полуоси.

Для основных функций р(х), у/(х) е Хф) их сверткой называется функция

+<Х) +Х)

р( х) * у(х) =\р( X — у)у(у)Оу = | р( у)¥( х — У)ЛУ-

—<Х) —<х)

Свертка обобщенных функций определяется замыканием по непрерывности свертки основных функций.

Определение операции свертки в области обобщенных функций опирается на понятие прямого произведения обобщенных функций. Напомним, что прямое произведение обобщенных функций f (х), g(y) е Х'(О) определяется ка

функционал f (х) х g(у), который на основные функции р(х, у) е С (Я2)

действует по формуле

(!(х) х g(у\ р( х у)) =(!(х) (g(у\ р( х у)))-

Для обобщенных функций f (х), g(у) е Х'(О) свертка обобщается по формуле

(I * g, р) = (I(х) х g(у\р(х + у)) = (/(х), (g(у), р(х + у))). (3)

Таким образом свертка f * g определяется как значение функционала

f (х) х g(у) двух переменных на функциях р(х, у) вида р(х + у). Однако

функция р(х + у), не будучи финитной в Я2, не является основной функцией

двух переменных. Очевидно, определение (3) будет иметь смысл, например для обобщенных функций f (х), g(у) сосредаточенных на полуоси. В самом деле,

пусть носитель основной функции р(х), содержится в интервале [—а,а]. Так как

f (х) = 0, х < 0, g(у) = 0, у < 0, то функционал (3), не изменится если заменить

функцию р(х + у) финитной функцией двух переменных у/(х, у), совпадающий

с р(х + у) в треугольнике 0 < х < а, 0 < у < а, х + у < а.

Второй, более употребительный способ основан на переходе к сопряженному оператору. Именно, исходя из формул дробного интегрирования по частям, полагают

(ia() = ( f, b):

(4)

1

9

INTERNATIONAL JOURNAL OF THEORETICAL AND PRACTICAL RESEARCH

Б01 https://dx.doi.org/10.5281/zenodo.5752255 и аналогично для , I" и дробных производных. Подход (4) будет корректен,

если непрерывно действует из основного пространства Х в Х.Часто поступают в более общем виде: f и I"/ рассматривают как обобщенные функции над разными классами Х и Y основных функций, так что / е X', 1"+/ е У и тогда Iдолжен непрерывно действовать из Y в Х.

В случае отрезка основываемся на подходе через сопряженный оператор, т.е. на формуле

(a, р)=(f, b

(5)

где

(/»(x) = f P(t\ dt, x > a, Va+^w r(a)f (x -1)1-a

1 b

(^x) = ™ f

p(t )dt

\1-a

x < b.

(6)

(7)

Г( а ) X (г - х)

Операторы Iи I" называют операторами дробного интегрирования. Интегралы (6) и (7) принято называть дробными интегралами Римана-Лиувилля.

Ввиду (5) мы можем рассматривать дробный интеграл I"+/ на

обобщенных функциях f, если они определены на основных функциях р, образующих класс Х, инвариантный относительно дробного интегрирования I"/. Таким классом, как нетрудно видеть, служить класс

С([аЬ]) = {р:р(х)еС°([аЬ])( (Ь) = 0, к = 0,1,2,...} (8) Он инвариантен также относительно дробного дифференцирования , где

1 а } /(г)аг

(Daa+f )( x):

(Dlf)(x) -

Г(1 - a) dxJ (x -1)

Г J (t)dt

f (v-t\a,

1

d b f(t)dt

Г(1 - a) dxJ (x -1)

f

x > a

x < b

Эти операторы называются дробной производной Римана-Лиувилля порядка 0 < а < 1, соответственно левосторонней и правосторонней.

Аналогичный класс

С([а,Ь]) = {р:р(х) е С«([а,Ь]),р<к)(а) = 0, к = 0,1,2,...}

a

10

INTERNATIONAL JOURNAL OF THEORETICAL AND PRACTICAL RESEARCH

DOI https://dx.doi.org/10.5281/zenodo.5752255 инвариантен относительно дробного интегрирования I

дифференцирования D" .

а a+

и дробного

Простым рассуждениями устанавливается следующее утверждение: уравнение Абеля 1"+р = f, где f е X\ X = C™([a,b]), имеет в классе X' обобщенных функций единственное решение р = D"+ f, понимаемое в смысле

(Da ,р)=(f, diP) .

В качестве примера рассмотрим дробный интеграл и производную регулярной обобщенной функции Хевисайда в( x - b) и сингулярной

обобщенной функции - дельта-функции Дирака S(x - b)

СЛ x - b) =

d:m x - b)

0, x < b,

(x - max(a, b)) ° Г (a +1)

0, x < b,

(x - max(a, b)) Г (1 - a )

-, x > b,

x > b,

i:+s( x - b)=

dxS(x - b)

0, b £[a,x], (x - b)a-1

Г( a )

b £ [a,x],

0,b £ [a,x],

(x - b) ~a-1

-a ---—, b £ [a, x].

Г(1 - a)

В данной статье мы рассмотрели понятие дробной производной и интеграла Римана-Лиувилля от обобщенных функций. Обсуждали два подхода определения интегралов и производных дробного порядка от обобщенных функций. Первый основывается на определении дробного интеграла как свертки и более приспособлен к полуоси. Второй, более употребительный способ основан на переходе к сопряженному оператору.

Аналогично можно определить и другие модифицированные интегралы, и производные дробного порядка от обобщенных функций.

11

INTERNATIONAL JOURNAL OF THEORETICAL AND PRACTICAL RESEARCH

DPI https://dx.doi.org/10.5281/zenodo.5752255

Список использованной литературы:

1. Самко, С. Г., Килбас, А. А., & Маричев, О. И. (1987). Интегралы и производные дробного порядка, и некоторые их приложения/СГ Самко, АА Килбас, ОИМаричев. Минск: Наука и техника.

2. Владимиров, В. С. (1976). Обобщенные функции в математической физике. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.

3. Нахушев, А. М. (2003). Дробное исчисление и его применение. Физматлит.

4. Псху, А. В. (2005). Уравнения в частных производных дробного порядка. Наука.

5. Kiryakova, V. (1994). Generalized Fractional Calculus and Applications. Longman Sci. & Technical and J. Wiley & Sons, Harlow and N. York.

6. Учайкин, В. В. (2008). Метод дробных производных. Артишок.

7. Тарасов, В. Е. (2011). Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. М.: Институт компьютерных исследований.

8. Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., & Trujillo, J. J. (2006). Theory and applications of fractional differential equations (Vol. 204). elsevier.

9. Samko, S. G. (1987). Fractional integrals and derivatives, theory and applications. Minsk; Nauka I Tekhnika.

10. Miller, K. S., & Ross, B. (1993). An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. Wiley.

11. Mainardi, F. (2010). Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity: an introduction to mathematical models. World Scientific.

12. Podlubny, I. (1998). Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications. Elsevier.

13. Ross, B. (1975). A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus. In Fractional calculus and its applications (pp. 1-36). Springer, Berlin, Heidelberg.

14. Tarasov, V. E. (2011). Fractional dynamics: applications of fractional calculus to dynamics of particles, fields and media. Springer Science & Business Media.

15. Uchaikin, V. V. (2013). Fractional derivatives for physicists and engineers (Vol. 2). Berlin: Springer.

© ®

12